2024-2025学年江苏省无锡市锡山高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡市锡山高级中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在中，点在边上，且，则( )
A. B.
C. D.
3.直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是( )
A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 以上都有可能
4.已知向量满足，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.设的内角、、所对的边分别为，，，若，则的形状为( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
6.如图，圆柱的轴截面为正方形，是上底面的一个动点，为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径，且三棱锥的体积最大值为，则该圆柱的侧面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.在中，，且，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是( )
A. 若，则 B. 若则
C. 若，则 D. 若，则
10.如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为，则下列选项中正确的是( )
A. 该几何体的高为
B. 该几何体的表面积为
C. 该几何体的体积为
D. 一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为
11.在中，角，，的对边分别为，，，面积为，有以下四个命题中正确的是( )
A. 当，，时，解三角形有两解
B. 当，时，不可能是直角三角形
C. 当，，时，的周长为
D. 当，，时，若为的外心，则的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为的菱形，且，则原平面图形的面积为______．
14.如图，是边长为的等边三角形，是边上一点，延长至点，若，且为常数，则的长度是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．
求的大小；
求的面积．
16.本小题分
如图，正方体的棱长为，，，设过，，三点的平面为，平面平面．
求三棱锥的体积；
求证：直线，，交于一点．
17.本小题分
如图，已知是直角边长为的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点．
当时，求的值；
当时，求的取值范围．
18.本小题分
桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图所示的圆台，图中为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以的速度前进，分钟启到达点在点时测得点位于北偏西方向上，点位于北偏西方向上；在点时测得点位于北偏东方向上，点位于北偏东方向上，且在点时观测的仰角的正切值为设点在地表水平面上的正投影为，点在地表水平面上的正投影为，，，，在地表水平面上的分布如图所示．
该山的高度为多少千米？
已知该山的下底面圆的半径为，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多少平方千米？
19.本小题分
如图，中，，，点在线段上，为等边三角形．
若，，求线段的长度；
若，求线段的最大值；
若平分，求与内切圆半径之比的取值范围．
参考答案
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15.解：由余弦定理得，即，
即，即，
将代入整理得，即，
解得或或舍，
因为，
所以，即，
所以不合题意，舍去，
所以，，
所以，
因为，
所以．
．
16.解：已知正方体的棱长为，，，
连接，到平面的距离为，
因为，
故，
故，
故．
证明：在平面中，，不平行，
设，
则且，
故平面且平面，
又平面平面，
故，
所以，，三线共点．
17.解：已知是直角边长为的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点．
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，
又，
则，
则；
当时，
则，，
则，
则，其中，
则的取值范围为．
18.解：由题意可知，，
所以，在中，由正弦定理，
所以，即，
又点观测时仰角的正切值为，所以该山的高度为千米；
设的外接圆为圆，因为，，
又由题意可知，所以，
所以，
所以，
所以根据圆的性质，，，，四点共圆，
在中，由正弦定理得圆直径为，
在中，由正弦定理，
延长与圆台交于点，由题意下底面圆半径为，
圆台的母线长可在直角中由勾股定理得：
，
圆台的侧面积，
圆台的上底面面积，
所以侧面积与上底面面积相加知：该山被冰雪覆盖的面积为平方千米．
19.解：因为，
所以，
即，
所以，
所以；
由可知，
所以，
设，，且为等边三角形，
所以，
即，
故，
且，
所以当时，，
所以；
因为平分，
所以由角平分线定理得，即，
故，
设，，，的内切圆半径分别为，，
在中，则，解得，
因为，
所以，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
又因为，
，
所以，
令，则，
因为，所以，
则，故，
即，故，
所以与的内切圆半径之比的范围为．
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