2024-2025学年福建省福州市福九联盟高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省福州市福九联盟高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列中，，，则的公比为( )
A. B. C. D.
2.下列求导正确的是( )
A. B.
C. D.
3.平潭岛是祖国大陆距离台湾最近的地方，岛上的龙凤头海滨浴场沙滩玩耍或观赏日出、猴研岛离台湾最近地方、长江澳风车田日落美景、壳丘头遗址博物馆了解南岛语族文化自然风光优美、文化底蕴深厚，是游客喜欢的打卡景点某天甲、乙、丙三位同学准备从这个景点任选一个景点游玩，则不同游玩方案的种数为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图象如图所示，则的解析式可以是( )
A. B. C. D.
5.已知函数在处取得极大值，则实数的取值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
6.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每个月延迟个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示：
出生时间 年月月 年月月 年月月 年月月
改革后法定退休年龄 岁个月 岁个月 岁个月 岁个月
那么年月出生的男职工退休年龄为( )
A. 岁个月 B. 岁个月 C. 岁个月 D. 岁个月
7.有张分别标有数字，，，的红色卡片和张分别标有数字，，，的蓝色卡片，从这张卡片中取出张卡片排成一行．如果取出的张卡片所标数字之和等于，则不同的排法共有种．
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项式的展开式中各二项式系数和为，则下列说法正确的是( )
A. 展开式共有项 B. 二项式系数最大的项是第项
C. 展开式的常数项为 D. 展开式中各项的系数和为
10.已知椭圆的左，右焦点为，，，分别为它的左右顶点，点为椭圆上的动点不在轴上，下列选项正确的是( )
A. 的周长为 B. 存在点使得
C. 直线与直线的斜率乘积为 D. 的最小值为
11.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 的最小值为
B. 有两个零点
C. 若点是函数图象上的动点，则点到直线距离的最小值为
D. 若恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为______时，这个纸盒的容积最大．
14.“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧，已知函数，，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，对一切正整数，点在函数的图象上．
求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
求的极值；
证明：．
17.本小题分
如图，在四梭锥中，平面，底面是菱形，且，，分别为，的中点．
求证：平面；
若与底面所成角的正切值为，求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
设函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
若，讨论在上的单调性；
当时，，求实数的取值范围．
19.本小题分
在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的乘积，形成一个新数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“延拓”如数列，第一次“延拓”后得到数列，，，第二次“延拓”后得到数列，，，，将数列，，经过次“延拓”后所得数列的项数记为，所有项的乘积记为．
给定数列，，，回答下列问题：
写出该数列的第一次与第二次“延拓”后得到的数列，并求出与的值；
将定数列，，经过次“延拓”后所得数列的项数记为，现将，，，，构成数列，求的值；
已知数列，，，其中，，，该数列经过次“延拓”后，能被整除，则满足上述条件的数列，，有几个？
参考答案
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15.解：对一切正整数，点在函数的图象上，
可得，
即有，
当时，，
上式对也成立，
则，；
若数列满足，
则数列的前项和
．
16.解：函数的定义域为，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则当时，函数取得极小值，且极小值为，无极大值；
证明：要证，即证，即证，
设，则，
易知当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则，即，即得证．
17.解：证明：连接，交与点，连接，
因为底面是菱形，所以点是的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，且平面，，
因此平面；
因为平面，所以在平面上的射影为，
所以为与底面所成角，
所以，因为，则，
因为底面是菱形，，
设中点为，易知，，两两互相垂直，
故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
显然平面的一个法向量为，而，
，
设平面的一个法向量为，
则，
令，解得，，
所以，
故，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
18.解：当时，，，即切点为，
，则切线的斜率，切线的方程为，即．
依题意定义域为，，
若，则，，即在上单调递增，
若，由，则，当时，则，，在上单调递增，
当时，则，时，，时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在区间单调递减，在区间上单调递增；
，依题意当时，，
整理可得，当时，，
成立---，当时，可变式为成立，
设，等价于--，
，
设，，，，，
则在区间上单调递减，，
因为时，，时，，
在区间在单调递增，在区间在单调递减，
则，由可知，当时，，
只需满足，由可得，当时，成立，实数的取值范围．
19.解：数列，，第一次“延拓”后得到数列，，，，，第次“延拓”后得到数列，，，，，，，，，，．
数列，，第次“延拓”后得到数列，记为，第次“延拓”后，每两项之间添加项，共添加了项，
总项数，故，即，
又，即，是首项为，公比为的等比数列，，
即，令，
则，
，
，
，．
由题设可知，，，，
而，故要使能被整除，则，，中既要有能被整除的数，又要有能被整除的数．
令集合，，，
在集合，，中各取一个数构成数列，共有个；
在集合中取两次数，集合中取一个数构成数列，共有个；
在集合中取两次数，集合中取一个数构成数列，共有个．
综上所述满足条件的数列共有．
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