2024-2025学年江西省南昌市江西师范大学附属中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西师范大学附属中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等差数列的公差为，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，且，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知函数为自然常数，记，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.设为双曲线曲线的左、右焦点，过直线与第一象限相交于点，且直线倾斜角的余弦值为，的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列满足，前项和；公比为正数的等比数列满足，，设，为数列的前项和，则当时，的最大值是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 已知函数在上可导，若，则
B. 已知函数，若，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
10.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：，，，，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：，，，，称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是( )
A.
B. 既是三角形数，又是正方形数
C.
D. ，总存在，使得成立
11.已知函数，直线，则下列说法不正确的有( )
A.
B. 若有两个不等实根，则
C. 若有且仅有个整数，使得点在直线的上方，则实数的取值范围为
D. 当时，在轴右侧，直线恒在曲线上方
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，且，，，则方程的解的组数为 ．
13.已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是 ．
14.已知数列，中，，，，，若对使得恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
，求函数在区间上的最大值和最小值．
已知，求的极值
16.本小题分
高血脂症是指脂肪代谢或者运转异常使人体血液中的血脂含量超过正常范围，表现为血中胆固醇或甘油三酯过高或高密度脂蛋白过低，现代医学称“血脂异常”高血脂症是常见病、多发病，更是导致心脑血管疾病的元凶最新的调查显示，中国成人高血脂的患病率为，大概每五位成人中就有两位是高血脂患者改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血脂水平下降，高血脂发病率降低，控制高血脂的发展．
某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动下表为开展活动起个季度社区高血脂患者的血脂情况统计．
季度
血脂明显降低或治愈人数人
已知血脂明显降低或治愈人数与季度变量季度变量依次为具有线性相关关系，试求出与的经验回归方程，并预测第季度血脂明显降低或治愈者大约有多少人？
社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组去参加徒步走比赛若比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛已知甲组在每轮比赛中获胜的概率均为；乙组在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙组在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和设进入决赛的组数为，求的分布列与数学期望．
附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
17.本小题分
已知数列满足，数列的前项和为，．
求的通项公式；
设，数列的前项和为若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
若有穷数列是正整数，满足即是正整数，且，就称该数列为“对称数列”．
已知数列是项数为的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项；
已知是项数为的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前项和．
参考答案
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15.解：由题意可知，
所以，
令，解得，，
列表有
递增 极大值 递减 极小值 递增
由上可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以最小值为，最大值为．
函数的定义域为，，令，得或，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以在处取得极大值，所以在处取得极小值．
16.解：，．
，
，
所以，
所以，
所以，
当时，，
所以第季度血脂明显降低或治愈者大约有人．
由题知的可能取值为，，，．
依题意，甲组、乙组、丙组进入决赛的概率分别为，，，
所以，
，
，
．
所以随机变量的分布列为：
所以．

17.解：由，可得当时，，
两式相减可得：，
当时，可得，
所以，也满足，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为．
由可知，则，
则，
，
两式作差得，
则，
由不等式对一切恒成立，
可得为奇数时，恒成立，
由单调递增，可得最小值为，即有，可得；
为偶数时，恒成立，
由单调递增，可得最小值为，即有，
综上可得：．
18.解：，
，
当时，，在上是单调增函数；
当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上是单调增函数；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
由可得，当时，．
由不等式恒成立，得恒成立，
即在时恒成立．
令，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以的最大值为，得，所以实数的取值范围是．
19.设的公差为，则，
解得，
数列为；
因为构成首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，
所以当时取得最大值，且．
因为，，，，成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为，
所以这样的对称数列有：
，，，，，，，，，，；
，，，，，，，，，，；
因为，
对于，当时；
当时
，
所以；
对于，当时；
当时
，
所以．

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