浙江省杭州市富阳区江南中学2024-2025学年高一下学期3月月考（期中模拟考） 数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 浙江省杭州市富阳区江南中学2024-2025学年高一下学期3月月考（期中模拟考） 数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 571.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-27 20:29:38 | ||
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文档简介
江南中学2024级高一年级3月月考（期中模拟考）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（ ）
A B.
C. D.
4. 如图，在直角，，，点，是边上两个三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知向量，向量在方向上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
6. 已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
8. 平面向量、、满足，，，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分．
9. 已知复数，，则下列命题正确的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，，则一定是等边三角形
B. 若，则一定是钝角三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，则一定是直角三角形
11. 如图，在长方形中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时， B. 当时，
C. 对任意，不成立 D. 若，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数z满足，则的最大值为________．
13. 已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为________．
14. 若为重心，，则的最小值为_______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数满足，且为纯虚数．
（1）求；
（2）若，，求实数，的值．
16. 如图，正三棱锥中，，点分别为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿三棱锥侧面爬行到点，求：
（1）该三棱锥体积与表面积；
（2）蚂蚁爬行的最短路线长.
17. 如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，是线段上的一个动点．
（1）求的长；
（2）求的取值范围．
18. 如图，在中，，，且. 、为线段上两个动点（在的右侧），且.
（1）若时，求的周长；
（2）若的面积是的面积的倍，求的大小；
（3）当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？
19. 正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，又称为柏拉图多面体，因为柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名．自然界中有许多的柏拉图多面体，如甲烷、金刚石分子结构模型都是正四面体，氯化钠的分子结构模型是正六面体，萤石的结晶体有时是正八面体，硫化体的结晶体有时会接近正十二面体的形状……柏拉图多面体满足性质：（其中V，F和E分别表示多面体的顶点数，面数和棱数）．
（1）正十二面体共有几条棱，几个顶点？
（2）如图所示的正方体中，点为正方体六个面的中心，假设几何体的体积为，正方体的体积为，求的值；
（3）判断柏拉图多面体有多少种？并说明理由．
1.D
2.B
3.C
4.B
5.A
6.B
7.D
8.D
9.BC
10.ABD
11.AD
12.4
13.##
14.
15.（1）为纯虚数，，
且，，，
；
（2）法一：把代入：，
，
化简得：，
即，
解得：，.
法二：的一根为，则另一根为：，
则，
解得：，.
16.（1）因为，
所以，即，
又，VB、VC在面VBC内，得面，
，
（2）如下图：连接，线段的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，
△中，，
由余弦定理可得：，
即.
17.（1）因为、分别为、的中点，
则，
所以，，
故，
，
由，则，
则，
可得，解得.
（2）设，其中，
由图可得，
，
则
，
由，可得，则，则.
18.（1）由，，， 得，
又，则，，所以，
在中，由余弦定理可得
，则，
因为，所以，
∵，∴，
∴，∴的周长为.
（2）设，
因为的面积是的面积的倍，
所以，即，
在中，，
由，得，
从而，即，而，
由，得，所以，即
（3）设，由（2）知，
又在中，由，得，
所以
，
所以当且仅当，
即时，的面积取最小值为.
19.（1）
根据柏拉图多面体满足性质：，
正十二面体有个面，即，则，
设正十二面体每一个面都是正边形，每一个顶点处有条棱，
因为多边形至少有条边，而再每个顶点处至少有条棱，
则，
由于每条棱都出现在相邻的两个面中，每条棱连接两个顶点，
则有，即，
所以，所以，
所以，即，
由，得，
当，即时，，符合题意，
当，即时，（舍去），
当，即时，（舍去），
当，即时，（舍去），
综上所述，，，
此时，
即正十二面体共有条棱，个顶点；
（2）设正方体的棱长为，则，
几何体所有棱长为，是正八面体，
所以，
所以；
（3）假多面体每一个面都是正边形，每一个顶点处有条棱，
因为多边形至少有条边，而再每个顶点处至少有条棱，
则，
由于每条棱都出现在相邻的两个面中，每条棱连接两个顶点，
则有，
代入可得，即，
当时，，
这与矛盾，
所以中至少有一个等于，
若，则，
由于，则，
因此，则，对应，
所以存在正四面体，正八面体，正二十面体；
若，则，
由于，则，
因此，则，对应，
所以存在正四面体，正六面体，正十二面体
综上所述，柏拉图多面体只有种.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（ ）
A B.
C. D.
4. 如图，在直角，，，点，是边上两个三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知向量，向量在方向上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
6. 已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
8. 平面向量、、满足，，，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分．
9. 已知复数，，则下列命题正确的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，，则一定是等边三角形
B. 若，则一定是钝角三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，则一定是直角三角形
11. 如图，在长方形中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时， B. 当时，
C. 对任意，不成立 D. 若，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数z满足，则的最大值为________．
13. 已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为________．
14. 若为重心，，则的最小值为_______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数满足，且为纯虚数．
（1）求；
（2）若，，求实数，的值．
16. 如图，正三棱锥中，，点分别为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿三棱锥侧面爬行到点，求：
（1）该三棱锥体积与表面积；
（2）蚂蚁爬行的最短路线长.
17. 如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，是线段上的一个动点．
（1）求的长；
（2）求的取值范围．
18. 如图，在中，，，且. 、为线段上两个动点（在的右侧），且.
（1）若时，求的周长；
（2）若的面积是的面积的倍，求的大小；
（3）当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？
19. 正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，又称为柏拉图多面体，因为柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名．自然界中有许多的柏拉图多面体，如甲烷、金刚石分子结构模型都是正四面体，氯化钠的分子结构模型是正六面体，萤石的结晶体有时是正八面体，硫化体的结晶体有时会接近正十二面体的形状……柏拉图多面体满足性质：（其中V，F和E分别表示多面体的顶点数，面数和棱数）．
（1）正十二面体共有几条棱，几个顶点？
（2）如图所示的正方体中，点为正方体六个面的中心，假设几何体的体积为，正方体的体积为，求的值；
（3）判断柏拉图多面体有多少种？并说明理由．
1.D
2.B
3.C
4.B
5.A
6.B
7.D
8.D
9.BC
10.ABD
11.AD
12.4
13.##
14.
15.（1）为纯虚数，，
且，，，
；
（2）法一：把代入：，
，
化简得：，
即，
解得：，.
法二：的一根为，则另一根为：，
则，
解得：，.
16.（1）因为，
所以，即，
又，VB、VC在面VBC内，得面，
，
（2）如下图：连接，线段的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，
△中，，
由余弦定理可得：，
即.
17.（1）因为、分别为、的中点，
则，
所以，，
故，
，
由，则，
则，
可得，解得.
（2）设，其中，
由图可得，
，
则
，
由，可得，则，则.
18.（1）由，，， 得，
又，则，，所以，
在中，由余弦定理可得
，则，
因为，所以，
∵，∴，
∴，∴的周长为.
（2）设，
因为的面积是的面积的倍，
所以，即，
在中，，
由，得，
从而，即，而，
由，得，所以，即
（3）设，由（2）知，
又在中，由，得，
所以
，
所以当且仅当，
即时，的面积取最小值为.
19.（1）
根据柏拉图多面体满足性质：，
正十二面体有个面，即，则，
设正十二面体每一个面都是正边形，每一个顶点处有条棱，
因为多边形至少有条边，而再每个顶点处至少有条棱，
则，
由于每条棱都出现在相邻的两个面中，每条棱连接两个顶点，
则有，即，
所以，所以，
所以，即，
由，得，
当，即时，，符合题意，
当，即时，（舍去），
当，即时，（舍去），
当，即时，（舍去），
综上所述，，，
此时，
即正十二面体共有条棱，个顶点；
（2）设正方体的棱长为，则，
几何体所有棱长为，是正八面体，
所以，
所以；
（3）假多面体每一个面都是正边形，每一个顶点处有条棱，
因为多边形至少有条边，而再每个顶点处至少有条棱，
则，
由于每条棱都出现在相邻的两个面中，每条棱连接两个顶点，
则有，
代入可得，即，
当时，，
这与矛盾，
所以中至少有一个等于，
若，则，
由于，则，
因此，则，对应，
所以存在正四面体，正八面体，正二十面体；
若，则，
由于，则，
因此，则，对应，
所以存在正四面体，正六面体，正十二面体
综上所述，柏拉图多面体只有种.
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