压轴专题09 定角定高模型
知识考点与解题策略 定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。
例题1 （24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
例题2 如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．
1、如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．
2、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ．
3、问题提出：（1）如图①，已知在边长为10的等边△ABC中，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，则△ACD的面积为 ；
问题探究：（2）如图②，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面积；
问题解决：（3）如图③是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与B、C、D重合），且∠EAF＝45°，为了减少对该路段的拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
4．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ．
5．（1）如图1，在中，，为边上的高，若，求面积的最小值；（2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一部分来培育新品种郁金香．如图2，是这片鲜花培育基地的平面示意图，，点是边上一点，连接，，且，点为上一点，，为了更有效的利用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育基地面积的最小值．
6．（2023·江苏淮安·二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域的面积最小值是多少？
(1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设，，构造的外接圆，可得，即的最小值为4，又，故得的最小值为__________，通过计算可得的面积最小值为__________．
(2)当时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整：解：作的外接圆，作于H，设
(3)请你写出原题中的结论：光照区域的面积最小值是__________________________．（用含的式子表示）
(4)如图3，探照灯A到地平线l距离米，到垂直于地面的墙壁n的距离米，探照灯的照射角度，且，光照区域为四边形，点M、N分别在射线上，设的面积为，的面积为，求的最大值．
7．（2020春 和平区期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，∠EAF＝45°，△AEF面积的最小值 ．
8、（2024九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究
(1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形；
(2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
9、已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°。则△ABO的面积最小值为 ．
10．在直角中，，，点D是外一点，连接，以为边作等边．
(1)如图1，当点F在线段上，交于点M，且平分，若，求的面积；
(2)如图2，连接并延长至点E，使得，连接、、，证明：；
(3)如图3，旋转使得落在的角平分线上，M、N分别是射线、上的动点，且始终满足，连接，若，请直接写出的面积最小值．
11．【场景发现】小明晚上经过河边时，发现探照灯的照射光线都不是垂直于河边，而是有一个角度，为了寻找原因，小明将这一场景进行数学抽象化如图所示，
【模型迁移】在一个矩形院子安装一个摄像头，摄像头的监控角度为，若将摄像头安装在墙的处，，是摄像头与墙壁的交点，如图图所示，阴影部分为摄像头的盲区．
(1)假设探照灯的有效照射角度为，河宽米， 米的时候照射的面积最小，最小值为 ；
(2)若米，米，在线段是否存在点，当摄像头在点转动时，摄像头的盲区不变，若存在，等于多少，摄像头的盲区面积为多少？
(3)在南北走向的马路上，工作人员要安装一个摄像角度为的摄像头，正好可以监控到整面墙面，以墙面的中点为为原点建立如图所示的坐标系，，马路距离墙面的最小距离为，请写出符合条件的摄像头的坐标．
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知识考点与解题策略 定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。
例题1 （24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。
法2：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首先证明当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论．
【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道：当△OAB是等腰三角形（OA=OB）时，AB的长最小；
设三角形△OAB的高为h，其外接圆半径为r，根据定角定高（探照灯）模型易得：r+rcos∠AOB≥h，
当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin∠AOB；
∵O到直线l的距离是4，且cos∠AOB=，∴r≥，sin∠AOB=，∴BC≥4。
例题2 如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据圆周角定理可得，则，设的半径为，则，，根据得出，求得半径的范围，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，
，，，，
设的半径为，则，，，
，，解得：，，
，的面积的最小值为，故答案为：.
1、如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。法2：作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，则周长，当点D与点M重合时，周长，且为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】法1：设三角形△ABC的高为AD=h=4，其外接圆半径为r，
根据定角定高（探照灯）模型知：r+rcos≥h，即，
当取等号时r有最小值（即AB=AC时）；r的最小值为：，BC的最小值为：，
此时△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC的周长有最小值：.
法2：如图所示，作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，
∵垂直平分，∴，
∴周长
∵在中，，∴，当点D与点M重合时，，
∴周长，∴周长的最小值，
∵，∴为等边三角形，∵为边上的高，，
∴，∴周长的最小值，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，确定当周长最小时的情况．
2、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ．
【答案】4
【解答】解：将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，
由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABM+∠ABC＝180°，
∴M、B、E共线，
∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，
∠EAF＝60°，AE＝AE，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴∠MEA＝∠FEA，
过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，
∴AH＝AK＝AB sin60°＝2，
作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，
过O作ON⊥EF于N，
∵∠EAF＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∴∠NOF＝60°，
设EF＝2x，则NF＝x，
Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，
∴ON+OA＝OF+ON＝x，
∵OA+ON≥AK，
∴x≥2，
∴x≥2，
∴S△AEF＝EF AK＝＝2x≥4，
∴△AEF面积的最小值是4．
3、问题提出：（1）如图①，已知在边长为10的等边△ABC中，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，则△ACD的面积为 ；
问题探究：（2）如图②，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面积；
问题解决：（3）如图③是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与B、C、D重合），且∠EAF＝45°，为了减少对该路段的拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）15；（3）存在，．
【分析】（1）过点A作AH⊥BC，根据等边三角形的性质、正弦的定义求出AH，根据三角形的面积公式计算，得到答案；（2）将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH，根据三角形的面积公式计算即可；（3）把△ADF绕点A顺时针旋转90°并缩小为，得到△ABG，根据角平分线的性质、三角形的面积公式得到＝，设△AGE的外接圆圆心为O，连接OA、OG、OE，过得O作OH⊥GE于H，则∠GOE＝2∠EAG＝90°，设△AGE的外接圆的半径为R，则GE＝R，OH＝R，由题意得，OA+OH≥AB，即R+R≥4，解得R的范围，故△AGE的面积≥××（8﹣4）×4＝16﹣16，得△AGE的面积的最小值为16﹣16，进而可得△AEF的面积的最小值为24﹣24．
【详解】（1）如图①，过点A作AH⊥BC于H，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，
∴△ACD的面积＝×CD×AH＝×4×10 sin60°＝10，故答案为：10；
（2）如图②，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠EAH＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEH中，AF=AH, ∠EAH＝∠EAF，AE=AE，
∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EH＝EF＝5，∴S△AEF＝S△AEH＝×5×6＝15；
（3）把△ADF绕点A顺时针旋转90°并缩小为，得到△ABG，
则AG＝ AF，∠EAG＝∠EAF＝45°，过点E作EM⊥AG于M，EN⊥AF于N，
∵∠EAG＝∠EAF，EM⊥AG，EN⊥AF，∴EM＝EN，∴＝，
设△AGE的外接圆圆心为O，连接OA、OG、OE，过得O作OH⊥GE于H，
则∠GOE＝2∠EAG＝90°，设△AGE的外接圆的半径为R，则GE＝R，OH＝R，
由题意得，OA+OH≥AB，即R+R≥4，解得，R≥8﹣4，
∴△AGE的面积≥××（8﹣4）×4＝16﹣16，
∴△AGE的面积的最小值为16﹣16，∴△AEF的面积的最小值为24﹣24．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，圆周角定理，图形的旋转等，较为综合，根据图形作出合适的辅助线是解题的关键．
4．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】法1：根据定角定高（探照灯）模型求解。
法2：延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，过点O作于点J，交于点T．求出的最小值，可得结论．
【详解】法1：根据定角定高（探照灯）模型知道：
当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC有最小值。
再结合，边上的高，∴BC=12，AB=AC=。
∴的周长的最小值为，故答案为：．
法2：如图，延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T．
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，∵，∴，∴，
设，则，，∵，
∴最小时，的周长最小，∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴的周长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
5．（1）如图1，在中，，为边上的高，若，求面积的最小值；（2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一部分来培育新品种郁金香．如图2，是这片鲜花培育基地的平面示意图，，点是边上一点，连接，，且，点为上一点，，为了更有效的利用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育基地面积的最小值．
【答案】（1）；（2）平方米
【分析】（1）作的外接圆，连接、、，过点作于点，根据等腰三角形的性质得出，设，则，，根据，得，求出，，然后求出结果即可；
（2）过点作于点，于点，根据角平分线的性质得出，证明，得出，，，求出，在上截取，连接，证明，得出，根据，得出要使四边形的面积最小，只需的面积最小，求出，的外接圆圆心为，连接，，，作于点，根据，得出，求出，得出，最后求出结果即可．
【详解】解：（1）如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点，
，，，
设，则，∴，
∵，∴，由，得，即，
，，面积的最小值为；
（2）如图，过点作于点，于点，
，平分，，又，，
，，，
，均为等腰直角三角形，且，
，如图，在上截取，连接，
，，，，
，，
要使四边形的面积最小，只需的面积最小，
，，，
，.
如图，的外接圆圆心为，连接，，，作于点，
，，，，
由题意得，即，，
，，
，
新品种郁金香培育基地面积的最小值为平方米.
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
6．（2023·江苏淮安·二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域的面积最小值是多少？
(1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设，，构造的外接圆，可得，即的最小值为4，又，故得的最小值为__________，通过计算可得的面积最小值为__________．
(2)当时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整：解：作的外接圆，作于H，设
(3)请你写出原题中的结论：光照区域的面积最小值是__________________________．（用含的式子表示）
(4)如图3，探照灯A到地平线l距离米，到垂直于地面的墙壁n的距离米，探照灯的照射角度，且，光照区域为四边形，点M、N分别在射线上，设的面积为，的面积为，求的最大值．
【答案】(1)8，16(2)(3)(4)
【分析】（1）当和点重合时，，此时最小为4，从而得出；
（2）作的外接圆，作于，设，依次表示出，，，，根据列出，从而得出的最小值，进一步得出结果；
（3）同（2）步骤相同：作的外接圆，作于，设圆的半径为，依次表示出，，，根据列出方程，从而得出的最小值，进一步得出结果；
（4）作，交于，可证得，从而得出，可证得，从而得出由（3）结论知：的最小值，进而变形得出的最小值，可得出，进一步得出结果．
【详解】（1）解：，，当和点重合时，，此时最小为4，
，最小，故答案为：8，16；
（2）解：如图1，作的外接圆，作于，设，，
，，，
，，，
当点在上时，，此时最小，；
（3）解：如图2，作的外接圆，作于，设，，
，，，，，
，，，
当点在上时，，此时，，故答案为：；
（4）解：如图3，作，交于，
，，，
，，，，
，由（2）知：，，
，，，，，
同理，，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等有关知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
7．（2020春 和平区期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，∠EAF＝45°，△AEF面积的最小值 ．
【答案】
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EH⊥AF于H，AN⊥CD，交CD的延长线于N，
∵∠B＝60°，AM⊥BC，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝3，AM＝3，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADN＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴DN＝AD＝，AN＝，
∵∠BAD＝135°，∠EAF＝45°，∠BAM＝30°，
∴∠MAE+∠DAF＝60°，
又∵∠ADN＝∠DAF+∠DFA＝60°，
∴∠MAE＝∠AFD，
又∵∠AME＝∠N＝90°，
∴△AFN∽△EAM，
∴，
设ME＝x，则AE＝＝，
∴AF＝＝，
∵∠EAF＝45°，HE⊥AF，
∴HE＝AE＝×，
∴△AEF面积＝×AF×HE＝×（）＝×（），
∵当a，b为正数时，（a﹣b）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，
∴△AEF面积＝×（）≥×2×，
∴△AEF面积的最小值为，
故答案为．
8、（2024九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究
(1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形；
(2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在，
(3)存在，144
【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角是直角解决问题即可．
（2）如图2中，作的外接圆，连接，，，作于．设．求出的最小值即可解决问题．
（3）如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大．
【详解】（1）解：如图①中，即为所求．
（2）存在，理由如下，
如图②中，作的外接圆，连接，，，作于．设．
，，，
，，
，，
，
，
，
的最小值为，
，
的最小值为．
（3）存在，理由如下，
如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大，
设，则，
，
，
，
四边形的面积的最大值．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
9、已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°。则△ABO的面积最小值为 ．
【详解】法1：设三角形△ABO的高为h=4，其外接圆半径为r，∠AOB＝＝30°
根据定角定高（探照灯）模型知道：当△ABO是等腰三角形（AO=BO）时。
∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值；
∴，当取等号时EF有最小值；
∴64﹣16，当取等号时△ABC有最小值；
法2：如图，过点O作直线l′∥直线l，则直线l与直线l′之间的距离为4，作点B关于直线l′的对称点B′，连接OB′，AB′，AB′交直线l′于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．
在Rt△ABB′中，AB＝，∴AB′的值最小时，AB的值最小，
∵OA+OB＝OA+OB′≥AB′，∴当A，O，B′共线时，AB′的值最小，此时AB的值最小，
∵直线l垂直平分线段BB′，∴TB＝TB′，∴∠TBB′＝∠TB′B，
∵∠TBA+∠TBB′＝90°，∠TAB+∠TB′B＝90°，∴∠TAB＝∠TBA，∴TA＝TB，
∵cos∠AOB＝cos∠ATB＝，∴，∴可以假设TH＝k，AT＝TB＝2k，
∴BH＝TB﹣TH＝（2﹣）k，∴AH＝k，∴AB＝＝2k，
∵S△TAB＝ AB TW＝ TB AH，∴×2k×4＝×2k×k，解得k＝4，
∴△ABO的面积最小值为＝∴×2×4×4＝64﹣16，故答案为：64﹣16．
10．在直角中，，，点D是外一点，连接，以为边作等边．
(1)如图1，当点F在线段上，交于点M，且平分，若，求的面积；
(2)如图2，连接并延长至点E，使得，连接、、，证明：；
(3)如图3，旋转使得落在的角平分线上，M、N分别是射线、上的动点，且始终满足，连接，若，请直接写出的面积最小值．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）过点M作交于点N，设，则，，解得，从而求得；
（2）延长至M，使得，连接，，证，，则，，从而证得；
（3）过点D作于点H，过点D作于点G，过点D作交延长线于点K，证，运用定角定高模型进行分析．
【详解】（1）解：如图1，过点M作交于点N，
∴是等边三角形，，
∴．
∵在直角中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
设，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故．
（2）证明：如图2，延长至M，使得，连接，，
在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
即．
在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图3，过点D作于点H，过点D作于点G，过点D作交延长线于点K，
∵，平分，，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴．
在中，
∵，，，
∴，
∵，，，
过点A作于点Q，
∴，，
∴，．
对于，，
∵，
∵，
∴当有最小值时，即最小，
∵，
∴最小，也即最小．
∵，，
∴当过外接圆圆心时，有最小值，即有最小值，也即有最小值，此时，
∵，，
∴，
即当是等边三角形时，的面积最小，为．
此时，由图形对称性可得，，
故的面积最小值为．
【点睛】本题是图形综合题，考查了锐角的三角函数值，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，定角定高模型，综合运用以上几何性质是解题关键．
11．【场景发现】小明晚上经过河边时，发现探照灯的照射光线都不是垂直于河边，而是有一个角度，为了寻找原因，小明将这一场景进行数学抽象化如图所示，
【模型迁移】在一个矩形院子安装一个摄像头，摄像头的监控角度为，若将摄像头安装在墙的处，，是摄像头与墙壁的交点，如图图所示，阴影部分为摄像头的盲区．
(1)假设探照灯的有效照射角度为，河宽米， 米的时候照射的面积最小，最小值为 ；
(2)若米，米，在线段是否存在点，当摄像头在点转动时，摄像头的盲区不变，若存在，等于多少，摄像头的盲区面积为多少？
(3)在南北走向的马路上，工作人员要安装一个摄像角度为的摄像头，正好可以监控到整面墙面，以墙面的中点为为原点建立如图所示的坐标系，，马路距离墙面的最小距离为，请写出符合条件的摄像头的坐标．
【答案】(1)，；(2)，盲区的面积不会变化，为；(3)，．
【分析】（）作的外接圆，连接，，， 过点作于点，由不变, 要使面积最小则最小，当、、 共线时最小，的面积最小；
（）设，则有盲区面积为，当摄像头转动的角度为时，盲区减少的面积为，增加的面积为，当盲区增加的面积与减少的面积相等时即可求解；
（）以为直径以为圆心做圆, 交公路与点，，求出坐标即可．
【详解】（1）作的外接圆，连接，，， 过点作于点，
的面积，不变, 要使面积最小则最小，设圆的半径为，不变，
∴不变，，当最小时，最小， ，
∴当、、 共线时最小，的面积最小，此时，，，
故答案为：，；
（2）设，当摄像头如图所示，盲区面积为，
当摄像头转动的角度为时，盲区减少的面积为，增加的面积为，
当盲区增加的面积与减少的面积相等时，，
盲区的面积不会变化，此时，面积为初始面积等于，故，盲区的面积不会变化，为；
（3）以为直径以为圆心做圆, 交公路与点，, ∴坐标为，．
【点睛】此题考查了圆的有关性质和垂线段最短，熟练掌握圆的有关概念和性质是解题的关键．
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