压轴专题08 中点问题的探究
知识考点与解题策略 模型一：倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 如图①,AD是△ABC的中线,延长AD至点E使DE=AD,易证:ADC≌ΔEDB(SAS)； 如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD，易证:△FDB≌△EDC(SAS)； 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移. 模型二：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一” 等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到:“边等、角等、三线合一”. 模型三：已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理 在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理:DE//BC，且DE=BC来解题，中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题. 模型四：已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 模型分析 在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形:△ACD和△ABCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型4.与垂径定理相关的中点模型 图1 图2 图3 1）条件：如图1，已知点P是中点，连接OP，结论：OP⊥AB； 2）条件：如图2，已知点P是中点，过点P作MN∥AB，结论：MN是圆O的切线； 3）条件：如图3，点P是中点，连接BP、AP，若∠BPN=∠A，结论：MN是圆O切线。 模型5：与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 1）条件：如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，结论：∠PCA=∠PCB． 2）条件：如图2，已知点P是半圆中点，结论：∠PCA=∠PCB=45°． 3）条件：如图3，已知点P是中点，结论：∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB；△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC；△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB。 模型6.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 条件：如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，连结PB交AC于点F。 结论：AD=PD=FD，PQ=AC，AP2=AD×AC=AH×AB=PF×PB．
例题1 （24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、，以点B为圆心、3为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在y轴负半轴上取，连接，．证明是的中位线得，可得当取得最小值时，的值最小，当点P在线段上时，的值最小，即的值最小，求出，可得以的最小值是．
【详解】解：在y轴负半轴上取，连接，．
∵点C为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当取得最小值时，的值最小，当点P在线段上时，的值最小，即的值最小．
∵、，
∴，
∴．
∵的半径为3，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、圆的性质、三角形中位线，确定出OC最小时点P的位置是解题关键， 也是本题的难点．
例题2（24-25九年级上·江苏镇江·期中）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多…
【问题提出】
（1）如图①，是的角平分线，求证：．
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作交于点D，作交于点E，利用“等面积法”．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明；
【尝试应用】
（2）如图②，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，使点A恰好落在边的中点E处．若，求的长；
【拓展提高】
（3）如图③，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点F，连接，当时，的长为________．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）6
【分析】（1）小明的思路：过点作，根据平行线的性质可证，根据对顶角相等可得，所以可证，根据相似三角形对应边成比例可证结论成立；
小红的思路：过点作，过点作，过点作，根据高相等的两个三角形的面积比等于它们的底边之比可得：，，从而可证结论成立；
（2）根据（1）中的结论可得，根据折叠的性质可知：，，从而得到，设，则有，在中利用勾股定理可以求出的长度；
（3）根据垂直平分线的性质可证，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，从图中可以看出，所以可证，再根据，可证，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：（1）小明的思路：
过点作，如下图所示，
平分，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
；
选择小红的思路：
过点作，过点作，过点作，如图所示，
平分，
，
，
，，
，
又，，
，
；
（2）如下图所示，
由（1）可知，
根据折叠的性质可知：，，
点为的中点，
，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
的长为；
（3）解：如下图所示，
为的角平分线，
由（1）可知，
，，，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，，
，
又，
，
，
，，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线、中垂线、等腰三角形的性质及勾股定理，解决本题的关键是根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质找出图中相等的角，从而得到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例解决问题．
例题3
14．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）问题提出
如图①，、是的两条弦，，是的中点，，垂足为，求证：．
小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：
如图②，延长至，使，连接、、、、．
（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）
推广运用
如图③，等边内接于，，是上一点，，，垂足为，则的周长是 ．
拓展研究
如图④，若将“问题提出”中“是的中点”改成“是的中点”，其余条件不变，“”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出、、三者之间存在的关系并说明理由．
【答案】问题提出：见解析；推广运用：；拓展研究：不成立，、、三者之间的关系为：，见解析
【分析】问题提出：首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；
推广运用：首先证明，进而得出，以及，进而求出的长即可得出答案；
拓展研究：连接，，，交于，根据已知条件得到，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的判定得到，于是得到结论．
【详解】问题提出：证明：如图2，延长至，使，连接、、、、，
是的中点，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
，
；
推广运用：解：如图3，截取，连接，，，
由题意可得：，，
在和中
，
，
，
，
，则，
，
，
则的周长是，
故答案为：；
拓展研究：不成立，、、三者之间的关系：，
证明：延长交于点，连接，，，交于，
是的中点，
，
在和中，，
，，
，，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．
1、如图，已知E，F分别为正方形的边的中点，与交于点M，O为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，证明，得出，通过导角证明，可判断①；根据可判断②；证明，根据对应边成比例可判断③；过点M作于点N，证明，结合勾股定理可判断④．
【详解】解：在正方形中，，，
E，F分别为边的中点，
．
在和中，，
，
．
，
，
故①正确；
是的中线，
，
，
故②错误；
设正方形的边长为，则，
在中，．
，，
，
，即，
解得，，
，
，
故③正确；
如图，过点M作于点N，
，，
，
，即，
解得，，
．
根据勾股定理，得，
，，
．
故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④共3个，
故选B．
2、（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，M是边的中点，，交直线于点N，连接，则下列结论中：①；②； ③；④．正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【分析】通过证明，可得，可证；过作交于，可证四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得；由平行线性质可得，，可证；通过证明，可得，可求，即可得，则可求解．
【详解】解：在矩形中，
，
，
，
是边的中点，
，
，
，故①正确；
如图，过作交于，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，且，
是的垂直平分线，
，故②正确；
四边形是矩形，
，，，
，，
，故④正确；
，
，
，
，且，，
，且，
，
，
，
，
，
∴，即：，故③正确．
故选：A．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，斜边上的中线，中垂线的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
3、如图，是的直径，，点C是上半圆的中点，点D是下半圆上一点，点E是的中点，连接交于点F．当点D从点A运动到点B的过程中，点F运动的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键．连接，圆周角定理，推出，进而得到点只在上运动，求解即可．
【详解】解：连接，
∵是的直径，点C是上半圆的中点，
∴，，
∴，
∴，
设，则：，，，
∴的度数为，，
∵点E是的中点，
∴的度数为，
∴的度数为，
∴，
∴，
∴，
∴
∴点在以点为圆心，以长为半径的圆上，且只在的上运动，
∴点的轨迹为的长．
故选B．
4、如图，正方形边长为4，点G是以为直径的半圆上的一个动点，点F是边上的一个动点，点E是的中点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了轴对称－最短距离问题，圆的有关性质，勾股定理等知识；解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．作点E关于的对称点H，连接，此时，最小，最小值为的长，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：作点E关于的对称点H，设的中点为O，连接，交于点F，交圆O于点G，如图：
则，此时，最小，最小值为的长；
∵正方形边长为4，点E是的中点，
∴，则，
∵点G是以为直径的半圆上的一个动点，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
5．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的外接圆，点D是半圆弧的中点，交延长线于点E，连结，．若与的面积比为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，解一元二次方程，过作于，交直线于，连接，先由点D是半圆弧的中点，得到，，即可证明四边形是正方形，设，，则，再证明，得，由与的面积比为，得到，解得，最后根据，得到，代入整理得，解得，最后代入，计算即可．
【详解】解：过作于，交直线于，连接，则，
∵点D是半圆弧的中点，
∴，，
∴平分，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
设，，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵与的面积比为，
∴，即，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
6．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，是的高，，则 ；若以点C为圆心，半径为2作，点E是上一动点，连接，点F是的中点，则线段的最小值是 ．
【答案】 5
【分析】由等腰三角形的性质得，，由勾股定理即可求得长度；连接，则，当最小时，最小，此时E点在线段上时，最小，从而，最后求得最小值即可．
【详解】解：∵是的高，
∴，，
由勾股定理得：；
如图，连接，
∵点F是的中点，点D是中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当最小时，最小，
当E、C、B三点共线，且E点在线段上时，最小，从而最小，
而，
∴最小值为．
故答案为：5；．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，圆外一点与圆上点的最值等知识，构造辅助线，运用中位线定理是解题的关键．
7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，点E，F分别为，上的动点，且，与交于点O，点P为的中点．
（1）若，则的长为 ；
（2）在整个运动过程中，长的最小值为 ．
【答案】
【分析】（1）根据正方形的性质得，，再根据勾股定理即可求得答案；
（2）先证明，得到，然后根据直角三角形的性质证明，设，根据勾股定理求得，最后根据二次函数的性质，即得答案．
【详解】（1）四边形是正方形，
，，
，，
，
；
故答案为：．
（2）由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
，
点P为的中点，
，
设，则，
，
当时，取最小值，
长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的最值，根据全等三角形的判定和性质得到，是解题的关键．
8．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】
（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程．
【尝试应用】
（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹）
【拓展延伸】
（3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论；
（2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出；
（3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出．
【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、，
∵，
∴，
∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上．
（2）如图，；
（3）∵在正方形中，，，
∴，，，
，
∴，
∵，
∴，
又∵是直角三角形，，
∴，
∴
又∵，
∴即
∴．
【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．
9．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，，，点D，E 分别在，边上，，连接，将沿翻折得到，连接，．
(1)若点E 是的中点，求的长；
(2)若的面积是面积的2倍，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由勾股定理求得，从而求得，过点E作于，求得，，从而得到是等腰直角三角形，得出，则，再由折叠可得：，，得到，最后在中，由勾股定理求解即可．
（2）设，，根据折叠性质得，，过作于，设与相交于，证明，得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形，得到，可得，证明，得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解的值即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵点E 是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点E作于，如图，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
∵
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
由折叠可得：，，
，
在中，由勾股定理，得．
（2）解：，
设，，
沿翻折，得到，
，，
过作于，设与相交于，
则，
又，
，
，
，，，
，
，，则，
是等腰直角三角形，
，则，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
的面积是的面积的2倍，
，
则，
解得，（舍去），
则．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
10．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图1，的顶点在上，点E，F分别为边，的中点．
(1)求证：点A，E，O，F在同一个圆上，并在图中画出该圆的圆心；
(2)如图2，的直径，点A固定，点B在半圆弧上运动．在点B从点M运动到点N的过程中，求点E的运动路径的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查轨迹、点与圆的位置关系、作图复杂作图等知识．
（1）如图，连接，，，取的中点，连接，．利用垂径定理证明，由，推出即可解决问题；
（2）如图，连接．由，推出，推出点的运动轨迹是以为直径的半圆，由此即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接，，，取的中点，连接，，
∵点E、F分别为边的中点，
，，
，，
，
，
，
点，，，在同一个圆上，圆心是图中中点；
（2）解：如图，连接，，，取的中点，取的中点，取的中点，
∴是中位线，是中位线，
∴，，，，
∴，，三点共线，且，
，
，
在点B从点M运动到点N的过程中，点的运动轨迹是以为直径的半圆，
∵的直径，
∴，
点的运动路径的长．
11．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”
如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点．
【应用】
(1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，则______；______；
(2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，在中，于点．
①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母）
②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长．
【答案】(1)1，
(2)，证明见解析
(3)①见解析；②或
【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得；
（2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案；
（3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接；
②根据①中的三种情况讨论：
第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得；
第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得；
第三种情况无交点，不符合题意．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵为的中点，
∴，
故答案为：1；；
（2）解：，理由如下：
根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点，
，；
又，
，
；
设，则，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：①第一种情况：
作的平行线，使，连接，
则四边形为平行四边形；
延长交于点，
，
，
，
，，
，即，
为的中点；
故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：
第二种情况：
作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接，
故为的中点；
同理可证明：，
则，
则四边形是平行四边形；
故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：
第三种情况：
作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接，
则为的中点，
同理可证明，从而，
故四边形是平行四边形；
故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：
②若按照图1作图，
由题意可知，，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰三角形；
过P作于H，则，
，，
，，
，
；
，，
，
，即
∴
若按照图2作图，
延长、交于点，
同理可得：是等腰三角形，
连接，
，
，
，
，
；
同理，，
，，，
，即，
，
若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意）
故答案为：或．
【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键．
12、（24-25·江苏苏州·模拟预测）【问题初探】如图1，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：．
【拓展研究】如图2，已知内接，，点M是的中点，过点M作，垂足为点D．求证：．
【解决问题】如图3，已知等腰三角形内接于，，D为上一点，连接、，，的周长为，，求的长．
【答案】问题初探：见解析；拓展研究：见解析；解决问题：
【分析】问题初探：利用圆周角定理得到，利用圆内接四边形性质得到，再进行等量代换即可解题；
拓展研究：在上取点，使得，连接、、、，利用圆周角定理证明，得到，利用等腰三角形性质得到，再进行等量代换即可解题；
解决问题：过点A作于点H，由（2）可得，根据的周长得到，再结合得到，最后利用勾股定理求解，即可解题．
【详解】问题初探
证明：，
，
，
，，
，
；
拓展研究
证明：在上取点，使得，连接、、、，如图2，
是的中点，
，则，
，
，
又，，
，
，
，
，
；
解决问题
解：过点A作于点H，如图3，
，
为的中点，
由（2）可得，
的周长为，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
13．（2024·江苏扬州·三模）（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长．
【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）
【分析】（1）根据正方形和正方形，得到继而得到；设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据题意，得；结合H是中点，得到，继而得到
．
（2）结论仍然成立．理由如下，延长到点P，使得，连接，根据正方形的性质，证明，延长二线交于点Q，根据三角形中位线定理，得到，得到，结合，证明即可．
（3）延长到点Q，使得，连接，根据三角形中位线定理，得到，根据矩形的性质，证明，得，结合，得到，取的中点O，连接，结合是中点，得到，根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上，其周长为．
【详解】（1），且．理由如下：
∵正方形和正方形，
∴
∴；
设正方形的边长为a，正方形的边长为b，
根据题意，得；
∵H是中点，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）结论仍然成立．理由如下，
延长到点P，使得，连接，延长二线交于点Q，
∵H是中点，
∴，，
∴，
∵正方形和正方形，
∴，，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，，
∴，，
故．
（3）如图，延长到点Q，使得，连接，
根据三角形中位线定理，得到，
∵矩形和矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
取的中点O，
连接，
∵是中点，
∴，
根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上，
∴其周长为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，圆的定义，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，圆的定义是解题的关键．
14、给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．
(1)如图①，和互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），，，，连接，则________（填“<”或“=”或“>”），________°；
(2)如图②，和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，，M、N分别是底边的中点，请探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）
【答案】(1)=；120
(2)；理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理和等腰三角形的性质：
（1）先判断出，进而判断出，得出，，即可得出答案；
（2）在上截取，使，连接，先判断出，进而判断出，最后利用等边三角形性质求解，即可得出答案；
（3）方法同（2）可得解
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴和是等边三角形，
∴
∴；
故答案为：=；120；
（2）解：；理由如下：如图，
在上截取，使，连接，
∵点M是的中点，
∴，
∴，
∵点N是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵
∴，
∵，，，
∴
由（1）知，，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴；
（3）解：；理由如下：如图，
在上截取，使，连接交于K，
∵点M是的中点，
∴，
∴，
∵点N是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵
∴，
∵，，，
∴
由（1）知，，
∴，
∴
∴
又
∴
∴
15．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）在矩形中，点E，F 分别在边，上，将矩形沿折叠．
(1)若点A的对应点P 落在边上，点B 的对应点为点G，交于点H．
①如图1，当P 为的中点，且，时，则的长为 ；
②如图2，连接，当P，H 分别为，的中点时，求的值．
(2)若点A的对应点P 落在边上，如图3，点B 的对应点为点G．当，时，则的最小值为 ，的 最 大 值 为 ．
【答案】(1)①；②
(2)2；
【分析】（1）①设，则，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，求出，再求出答案即可；
②延长，交于一点M，连接，设，得出，证明，得出，，求出，根据勾股定理求出，，证明，得出，求出，求出结果即可；
（2）根据折叠可知：，根据点P在上，点E在上，得出当时，最小，求出最小值即可；连接，根据点A的对应点P 落在边上，得出，根据折叠得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据当时，随增大而增大，随增大而减小，得出当时，x随的增大而增大，说明当时，最大，求出最大值即可．
【详解】（1）解：①∵四边形为矩形，
∴，，，
∵点P为的中点，
∴，
根据折叠可知：，，，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴；
②延长，交于一点M，连接，如图所示：
根据折叠可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵P为的中点，
∴设，
∴，
∵点H为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，，，，
根据折叠可知：，
∵点P在上，点E在上，
∴当时，最小，
∵此时，
∴此时四边形为矩形，
∴，
∴最小值为2，即的最小值为2；
连接，如图所示：
∵点A的对应点P 落在边上，
∴，
根据折叠可知：，
设，则，
根据勾股定理可得：，
∴，
整理得：，
∵当时，随增大而增大，随增大而减小，
∴当时，x随的增大而增大，
∴当时，最大，且最大值为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
16、请阅读下列材料，并完成相应的任务：
三角形中线定理
三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系．
阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家．
中线定理：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点D为BC的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，可得．下面是该定理的证明过程（部分）：
证明：过点A作于点E，如图2，在中，，
同理可得：，，
证明的方便，不妨设，，
…
任务：
(1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
(2)如图3，在中，点为的中点，，，，则的长为______；
(3)如图4，已知平行四边形中，和相交于点，设，，请直接用含，的代数式表示的值；
(4)如图5，已知平行四边形内接于，点为内一点，若，，，，请直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性质；
（1）用线段的和差关系以及等量代换即可证明．
（2）直接利用阿波罗尼奥斯定理，即可求解．
（3）根据平行四边形的性质以及阿波罗尼奥斯定理，即可求解；
（4）根据题意得出是矩形，进而根据阿波罗尼奥斯定理，即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：∵在中，点为的中点，，，，
∴，
根据“阿波罗尼奥斯”，可得
∴
解得：；
（3）∵四边形是平行四边形，
∴
∵，，
∴
在中，是中线，
根据“阿波罗尼奥斯”，可得
∴
∴；
（4）∵平行四边形内接于，是直径，
∴
∴四边形是矩形，，
∴
∴
在中，根据“阿波罗尼奥斯”，可得
∴,
解得：．
17、已知：为圆的直径，点为弦上一点，连接并延长交圆于点，连接，交于点，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，点为中点，射线交圆于点，为上一点，连接，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，在上取一点，连接，，使，，连接，若，，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设，则，，再由三角形外角的性质得到，根据等边对等角得到，再由可推出，由此即可证明结论；
（2）如图所示，连接，由圆周角定理得到，则，由平行线的性质得到，再由直角三角形斜边上的中线的性质得到，进而推出，再由圆内接四边形对角互补得到，，即可证明；
（3）如图所示，延长交延长线于R，过点N作于Q，连接，先导角推出，进而证明得到；证明是的中位线，求出；证明，求出，则；证明四边形是矩形，得到，，则；设，则，导角推出，得到；在中，由勾股定理得，则．
【详解】（1）证明：∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵H为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，延长交延长线于R，过点N作于Q，连接，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
由（2）得，
∵，
∴，
∴；
∵O为的中点，D为的中点，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴；
∵，
∴可设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，圆内接四边形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
18、已知为斜边上的高，以为直径的圆交于点，交于点，为的中点．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连DE、OE，利用圆周角定理可得∠CED=∠BED=90°，因为G为BD的中点，由直角三角形的性质可得GE=GD,再由OE=OD，易得∠OED=∠ODE,可得∠GEO=∠GDO,由CD⊥AB，可得∠GEO=∠GDO=90°，可得结论；
(2) 首先由垂直的定义易得∠B=∠ACD，利用锐角三角函数可得tanB=可知CD=GD=DE=BD，根据tanB=tan∠ACD，列比例式即可求得答案．
【详解】解：（1）证明：连，
∵为的直径，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵， EG= DG= BG= CD=BD
∴
∴
【点睛】本题考查切线的判定、锐角三角函数．知道证过圆上的一点的直线是切线时一般过这点作半径，再证半径垂直于这条直线；知道锐角三角函数值求线段长，一般构造直角三角形．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴专题08 中点问题的探究
知识考点与解题策略 模型一：倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 如图①,AD是△ABC的中线,延长AD至点E使DE=AD,易证:ADC≌ΔEDB(SAS)； 如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD，易证:△FDB≌△EDC(SAS)； 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移. 模型二：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一” 等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到:“边等、角等、三线合一”. 模型三：已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理 在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理:DE//BC，且DE=BC来解题，中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题. 模型四：已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 模型分析 在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形:△ACD和△ABCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型4.与垂径定理相关的中点模型 图1 图2 图3 1）条件：如图1，已知点P是中点，连接OP，结论：OP⊥AB； 2）条件：如图2，已知点P是中点，过点P作MN∥AB，结论：MN是圆O的切线； 3）条件：如图3，点P是中点，连接BP、AP，若∠BPN=∠A，结论：MN是圆O切线。 模型5：与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 1）条件：如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，结论：∠PCA=∠PCB． 2）条件：如图2，已知点P是半圆中点，结论：∠PCA=∠PCB=45°． 3）条件：如图3，已知点P是中点，结论：∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB；△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC；△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB。 模型6.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 条件：如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，连结PB交AC于点F。 结论：AD=PD=FD，PQ=AC，AP2=AD×AC=AH×AB=PF×PB．
例题1 （24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、，以点B为圆心、3为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题2（24-25九年级上·江苏镇江·期中）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多…
【问题提出】
（1）如图①，是的角平分线，求证：．
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作，交的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作交于点D，作交于点E，利用“等面积法”．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明；
【尝试应用】
（2）如图②，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，使点A恰好落在边的中点E处．若，求的长；
【拓展提高】
（3）如图③，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点F，连接，当时，的长为________．
例题3
14．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）问题提出
如图①，、是的两条弦，，是的中点，，垂足为，求证：．
小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：
如图②，延长至，使，连接、、、、．
（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）
推广运用
如图③，等边内接于，，是上一点，，，垂足为，则的周长是 ．
拓展研究
如图④，若将“问题提出”中“是的中点”改成“是的中点”，其余条件不变，“”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出、、三者之间存在的关系并说明理由．
1、如图，已知E，F分别为正方形的边的中点，与交于点M，O为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2、（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，M是边的中点，，交直线于点N，连接，则下列结论中：①；②； ③；④．正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
3、如图，是的直径，，点C是上半圆的中点，点D是下半圆上一点，点E是的中点，连接交于点F．当点D从点A运动到点B的过程中，点F运动的路径长是（ ）
A． B． C． D．
4、如图，正方形边长为4，点G是以为直径的半圆上的一个动点，点F是边上的一个动点，点E是的中点，则的最小值为 ．
5．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的外接圆，点D是半圆弧的中点，交延长线于点E，连结，．若与的面积比为，则 ．
6．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，是的高，，则 ；若以点C为圆心，半径为2作，点E是上一动点，连接，点F是的中点，则线段的最小值是 ．
7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，点E，F分别为，上的动点，且，与交于点O，点P为的中点．
（1）若，则的长为 ；
（2）在整个运动过程中，长的最小值为 ．
8．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】
（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程．
【尝试应用】
（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹）
【拓展延伸】
（3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长．
9．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，，，点D，E 分别在，边上，，连接，将沿翻折得到，连接，．
(1)若点E 是的中点，求的长；
(2)若的面积是面积的2倍，求的长．
10．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图1，的顶点在上，点E，F分别为边，的中点．
(1)求证：点A，E，O，F在同一个圆上，并在图中画出该圆的圆心；
(2)如图2，的直径，点A固定，点B在半圆弧上运动．在点B从点M运动到点N的过程中，求点E的运动路径的长．
11．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”
如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点．
【应用】
(1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，则______；______；
(2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，在中，于点．
①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母）
②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长．
12、（24-25·江苏苏州·模拟预测）【问题初探】如图1，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：．
【拓展研究】如图2，已知内接，，点M是的中点，过点M作，垂足为点D．求证：．
【解决问题】如图3，已知等腰三角形内接于，，D为上一点，连接、，，的周长为，，求的长．
13．（2024·江苏扬州·三模）（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长．
14、给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．
(1)如图①，和互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），，，，连接，则________（填“<”或“=”或“>”），________°；
(2)如图②，和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，，M、N分别是底边的中点，请探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）
15．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）在矩形中，点E，F 分别在边，上，将矩形沿折叠．
(1)若点A的对应点P 落在边上，点B 的对应点为点G，交于点H．
①如图1，当P 为的中点，且，时，则的长为 ；
②如图2，连接，当P，H 分别为，的中点时，求的值．
(2)若点A的对应点P 落在边上，如图3，点B 的对应点为点G．当，时，则的最小值为 ，的 最 大 值 为 ．
16、请阅读下列材料，并完成相应的任务：
三角形中线定理
三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系．
阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家．
中线定理：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点D为BC的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，可得．下面是该定理的证明过程（部分）：
证明：过点A作于点E，如图2，在中，，
同理可得：，，
证明的方便，不妨设，，
…
任务：
(1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
(2)如图3，在中，点为的中点，，，，则的长为______；
(3)如图4，已知平行四边形中，和相交于点，设，，请直接用含，的代数式表示的值；
(4)如图5，已知平行四边形内接于，点为内一点，若，，，，请直接写出的长．
17、已知：为圆的直径，点为弦上一点，连接并延长交圆于点，连接，交于点，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，点为中点，射线交圆于点，为上一点，连接，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，在上取一点，连接，，使，，连接，若，，，求线段的长．
18、已知为斜边上的高，以为直径的圆交于点，交于点，为的中点．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求的长．
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