压轴专题15 几何动点与函数图像
知识考点与解题策略 （1）面积问题： ①函数类型：与面积相关的量如果有一个变化的量为一次函数，如果有两个变化的量为二次函数； ②节点、自变量取值范围及函数值； ③函数的增减性等 （2）线段长度问题：①根据相似性质对应边成比例或面积公式等确定函数关系式； ②节点、自变量取值范围及函数值； ③函数的增减性等
例题1如图，四边形中，．点从出发，沿着折线运动，到达点停止运动．设点运动速度为2，时间为，连接，记的面积为，请解答下列问题：
(1)直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合图象，当的面积不大于四边形面积的时，直接写出的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过）
例题2如图①，为等边三角形，动点从点出发，以的速度沿边运动至点；动点从点出发，以的速度沿边运动至点．若，两点同时出发，设点的运动时间为，的面积为，运动过程中，关于的函数图象如图②所示．
(1)的边长为 ， ， ；
(2)当时，求的长；
(3)当时，求关于的函数解析式，并求出的最大值．
1．如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江苏常州·一模）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B，设点P运动的路程为x，，如图2所示为点P运动时y随x变化的函数关系图象，则等边三角形的边长是（ ）
A． B．4 C．6 D．
4．如图，在中，，，，点E在边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作垂直交直角边于F．设，面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，中，，，．点，同时从点出发，点以的速度沿向点运动，点以的速度沿向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．作，设运动时间为，与重合部分的面积为，则下列图象中能大致反映与的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线运动，过点作对角线的垂线，交折线于．设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．如图1，点E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发以的速度运动，其中，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止．设点P出发时，的面积为，y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则当时，y的值为（ ）
A．9 B． C． D．8
8．如图1，为矩形边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C时停止，点Q从点B出发沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数图像如图2，则下列结论错误的是（ ）
A．当时， B．
C．当时， D．当时，
9．如图，四边形中，，垂足分别为E，F，且，．动点P，Q均以的速度同时从点A出发，其中点P沿折线运动到点B停止，点Q沿运动到点B停止，设运动时间为，的面积为，则y与t对应关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图1，已知E为矩形ABCD的边AD上的一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止；点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．设P，Q同时出发，t(s)时，△BPQ的面积为y()．已知y与t的函数关系图象如图2(曲线OM为抛物线的一部分)，有下列结论：①AD＝BE＝5cm；②；③当时，；④当时，△ABE∽△QBP其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
11．如图（1），在中，点为其中心，，，动点从点出发，沿匀速运动到点，再从点沿直线运动到上的点．设点运动的路程为，的面积为，则与的函数关系的图象如图（2）所示，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图（1），为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②当点在上时，；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是( )
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
13．如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法：
①点N的运动速度是；
②的长度为；③a的值为7；
④当时，t的值为．
其中正确的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（ ）
点的运动速度为；
点的坐标为；
线段段的函数解析式为；
曲线段的函数解析式为；
若的面积是四边形的面积的，则时间．
A． B． C． D．
15．如图①，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，以v1的速度沿折线A B C向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发，以v2的速度沿DC向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为CD的中点，连接PE，PQ，记△EPQ的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图像为折线MN NF和曲线FG（图②），已知，ON=3，NH=1，点G的坐标为(6，0)．
(1)点P与点Q的速度之比的值为______；的值为______；
(2)如果 OM=2．
①求线段NF所在直线的函数表达式；
②是否存在某个时刻t，使得若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
16．如图（1），四边形ABCD的顶点A、D、C分别在x、y轴的正半轴上，AD∥BC，OC＝4cm．动点E从点C出发，沿C→D→A→B→C匀速运动，动点F以每秒1cm的速度从C出发沿线段CB向点B来回运动，当E点运动到点C点时，两点同时停止运动．若点E、F同时出发运动t秒后，如图（2）是△OEC的面积S（cm2）与t（秒）的函数关系图象，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．
（1）填空：点E的运动速度是 ，B点坐标为 ．
（2）当0≤t＜4秒时，
①t为何值时，以O、C、E为顶点的三角形与△BFG相似？
②是否存在这样的时刻t，使点G正好落在线段AB上，若存在，求此时的t，若不存在，请说明理由．
17．如图①，中，，．动点在的边上按的路线匀速移动，当点到达点时停止移动；动点以的速度在的边上按的路线匀速移动，当点到达点时停止移动．已知点、点同时开始移动，同时停止移动(即同时到达各自的终止位置)．设动点移动的时间为，的面积为，与的函数关系如图②所示．
(1)图①中 ，图②中 ；
(2)求与的函数表达式；
(3)当为何值时，为等腰三角形．
18．如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t(s)，△PDQ的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示．
（1）AB＝ cm，点Q的运动速度为 cm/s；
（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止．
①当点O在QD上时，求t的值；
②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围．
19．综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动，如图1，在正方形中，分别是上一点，且．点从点出发，沿正方形的边顺时针运动；点同时从点出发，沿正方形的边逆时针运动．若两动点的运动速度相同，都为每秒1个单位长度，相遇时两点都停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为，探究与的关系．
初步感知
根据运动的变化，绘制了如图2所示的图象，按不同的函数解析式，图象可分为四段，还有最后一段未画出．
（1）的长为______，的长为______．
（2）的值为______，的最大值为______．
延伸探究
（3）请求出图2中未画出的最后一段图象对应的函数解析式，并将图象补充完整．
（4）求的值，并求出当时，的取值范围．
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知识考点与解题策略 判断函数图像 （1）面积问题： ①函数类型：与面积相关的量如果有一个变化的量为一次函数，如果有两个变化的量为二次函数； ②节点、自变量取值范围及函数值； ③函数的增减性等 （2）线段长度问题：①根据相似性质对应边成比例或面积公式等确定函数关系式； ②节点、自变量取值范围及函数值； ③函数的增减性等
例题1如图，四边形中，．点从出发，沿着折线运动，到达点停止运动．设点运动速度为2，时间为，连接，记的面积为，请解答下列问题：
(1)直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合图象，当的面积不大于四边形面积的时，直接写出的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过）
【答案】(1)
(2)图见详解，在，y随x的增大而增大（有理即可）
(3)当的面积不大于四边形面积的时，的取值范围为或．
【分析】（1）当点P在上时，，当点P在上时，，进而可求解；
（2）根据（1）中表达式画函数图象即可，在，y随x的增大而增大（有理即可）．
（3），当点P在上时，，当点P在上时，，进而可解答；
【详解】（1）解：当点P在上时，，
当点P在上时，，
即，
∴．
（2）根据（1）中表达式画函数图象如下：
在，y随x的增大而增大．
（3），
当点P在上时，，即，
∴，
当点P在上时，，即，
∴，
∴当的面积不大于四边形面积的时，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，正确写出函数关系式是解本题的关键．
例题2如图①，为等边三角形，动点从点出发，以的速度沿边运动至点；动点从点出发，以的速度沿边运动至点．若，两点同时出发，设点的运动时间为，的面积为，运动过程中，关于的函数图象如图②所示．
(1)的边长为 ， ， ；
(2)当时，求的长；
(3)当时，求关于的函数解析式，并求出的最大值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)，有最大值为
【分析】本题主要考查了函数的动点问题，三角函数、勾股定理等知识，根据动点的位置进行分类讨论是解决问题的关键．
（1）由图可知当时，，即、都运动到点，此时，求出，即可求出的边长；根据题意可求出当运动到点时的时间是，求出时关于的函数解析式，结合图形即可求出，将代入函数解析式可求出；
（2）过点作于点，当时，，，结合等边三角形的性质，利用三角函数求出，，进而求出，最后根据勾股定理即可求解；
（3）过点作于点，则，利用三角函数求出，根据得到与的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由图可知当时，，即、都运动到点，
，
，
当时，，
为等边三角形，
，即的边长为；
动点从点出发，以的速度沿边运动至点，，
当运动到点时的时间是，
当时，，，，
如图，过点作于点，
为等边三角形，
，
，
，
结合图像可知，当时，关于的函数是一次函数，
；
当时，，
；
故答案为：，，；
（2）如图，过点作于点，
则，
当时，，，
在中，，，
，，
，
在中，；
（3）如图，过点作于点，则，
当，即时，，，
在中，，，
，
又，
随的增大而减小，
当时，有最大值为．
1．如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图②得：当时，在减小，当时，先变小后变大，可得应从出发沿运动到，再运动到，或应从出发沿运动到，再运动到，设应从出发沿运动到，再运动到，如图，连接交于，再进一步解答即可；
【详解】解：由图②得：当时，在减小，
当时，先变小后变大，
∴应从出发沿运动到，再运动到，
或应从出发沿运动到，再运动到，
设应从出发沿运动到，再运动到，
如图，连接交于，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴当在处时，，即，
∴，
当在处时，，即，
当位于处时，，即，
∴，
∵，
∴，
解得：（不符合题意的根舍去），
∴，
∴菱形的周长为；
故选C
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键.
2．如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值．
【详解】解：过点E作于点H，如下图：
∵，，，
∴，
∵是边上的高．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴当时， ，
当时，．
故选：A．
3．（2024·江苏常州·一模）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B，设点P运动的路程为x，，如图2所示为点P运动时y随x变化的函数关系图象，则等边三角形的边长是（ ）
A． B．4 C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等边三角形的性质等知识点，如图，点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在上运动时，，，易知，当点P在上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知，过点O作，解直角三角形可得，进而得出等边三角形的边长，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
【详解】如图，点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
结合图象可知，当点P在上运动时，，
∴，
又∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
当点P在上运动时，可知点P到达点B时的路程为4，
∴，即，
∴，
过点O作，垂足为D，
∴，则，
∴，
即等边三角形的边长为．
故选：A．
4．如图，在中，，，，点E在边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作垂直交直角边于F．设，面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】过点作于点，利用勾股定理以及面积法求得的长，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可；
【详解】解：过点作于点，
，
，
，
，
当，
，
，
，
，即，
，
，开口向上的一段抛物线；
当，
同理可证，
，即，
，
，开口向下的一段抛物线；
综上，符合题意的函数关系的图象是D；
故选：D．
【点睛】本题考查了动点函数图象问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数的图象，在图象中应注意自变量的取值范围．
5．如图，中，，，．点，同时从点出发，点以的速度沿向点运动，点以的速度沿向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．作，设运动时间为，与重合部分的面积为，则下列图象中能大致反映与的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据勾股定理求出,由题意可得，，，且，由平行线分线段成比例可知，先求出在的内部时的取值范围，当点在线段上时，易得四边形为矩形，根据可列出方程，求得，再分两种情况讨论：当时，在的内部，此时；当时，交于点，交于点，易得四边为平行四边形，，于是，由平行线分线段成比例可得，以此算出，，此时；最后根据得出的函数关系即可判断．
【详解】解：在中，，，．
∴，
∴，，
如图，连接，
由题意可得，，，且，
则，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
当点在线段上时，如图，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，且，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
解得：，
∴当时，在的内部，
此时；
当时，如图，交于点，交于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴四边为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，，
∴
，
∴；
综上，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象、解直角三角形、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理，理解题意，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键．
6．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线运动，过点作对角线的垂线，交折线于．设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分、、三段范围，根据证明分别表示出的面积，得到函数解析式，再判断其图象即可．
【详解】解：如图，当时，点在边上，点在边上，
，
，
，
，
，
，即，
，
,
图象是开口向上的抛物线，
如图，当时，点在边上，点在边上，
，
则中，边上的高为2，
，
图象是一次函数，且随着的增大而增大，
时，图象是线段，
如图，当时，点在边上，点在边上，
，
在矩形中，，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
当时，图象是开口向下的抛物线，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象，解题的关键是根据动点运动的情况表示出的面积．
7．如图1，点E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发以的速度运动，其中，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止．设点P出发时，的面积为，y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则当时，y的值为（ ）
A．9 B． C． D．8
【答案】C
【分析】由图2可知：当点P、Q运动5s时，此时点P运动到点E点Q运动到点C，Q点停止运动．可得cm；当t=7时，P点运动了7cm，此时面积仍为；当t=8时，cm，进而可求当时，y的值为．
【详解】解：如图所示：过点作，垂足为．
由题意可知：由图2可知当时，点P在BE上，
当点P、Q运动5s时，的面积ｙ达到最大，最大值为．
此时点P运动到点E点Q运动到点C，Q点停止运动．
可得PC=3cm．
∵点P、Q的运动速度都为，
∴当t=5时，cm．
∵＝10，
∴cm．
当时，点P在线段ED上，此时cm，而当t=7时，P点运动了7cm．
∴此时．
面积不变 对应线段MN的图像．
当时，点P在线段DC上．
当t=8时，cm，
∴
∴cm
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了动点函数图像的分析，解题的关键是分清横、纵坐标的含义；分清每一段图像的含义．
8．如图1，为矩形边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C时停止，点Q从点B出发沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数图像如图2，则下列结论错误的是（ ）
A．当时， B．
C．当时， D．当时，
【答案】D
【分析】根据图像可以得到时，，从而可以判断A；根据图像可以得到和的长度，从而可以判断B；根据函数图像可以求得在时，求得底边上的高，从而可以得到的面积，从而可以判断C；根据题意可以求得在时，点Q与点C重合，点P运动到边上，与D点相距，在中利用三角函数定义求解，从而判断D．
【详解】解：A、由图2可知，当时，，故A正确；
B、由图像可知，，故B正确；
C、作于点F，作于点M，如下图所示，
由图像可知，三角形的最大面积为40，
∴，
解得，
当时，，
∴，即，
解得，
∴的面积，
即，故C正确；
D、当时，点Q与点C重合，
由图像可知，，
所以点P运动到边上，且，如下图所示，
在中，，
∴，
∴，
∴，故D错误；
故选D．
【点睛】本题考查动点问题的函数图像，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形函数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．
9．如图，四边形中，，垂足分别为E，F，且，．动点P，Q均以的速度同时从点A出发，其中点P沿折线运动到点B停止，点Q沿运动到点B停止，设运动时间为，的面积为，则y与t对应关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分四段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，③点P在DC上运动，且点Q到达端点B，④点P在BC上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象．
【详解】解：在Rt△ADE中AD=(cm)，
在Rt△CFB中，BC=(cm)，
AB=AE+EF+FB=15(cm)，
①点P在AD上运动，AP=t，AQ= t，即0，
如图，过点P作PG⊥AB于点G，
，则PG=(0)，
此时y=AQPG=(0)，图象是一段经过原点且开口向上的抛物线；
②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，即13，
此时y=AQDE=(13)，图象是一段线段；
③点P在DC上运动，且点Q到达端点B，即15，
此时y=ABDE=(15)，图象是一段平行于x轴的水平线段；
④点P在BC上运动，PB=31-t，即18，
如图，过点P作PH⊥AB于点H，
，则PH=，
此时y=ABPH=(18)，图象是一段线段；
综上，只有D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，
10．如图1，已知E为矩形ABCD的边AD上的一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止；点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．设P，Q同时出发，t(s)时，△BPQ的面积为y()．已知y与t的函数关系图象如图2(曲线OM为抛物线的一部分)，有下列结论：①AD＝BE＝5cm；②；③当时，；④当时，△ABE∽△QBP其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】利用数形结合思想，看出运动分成了三段即0＜t≤5，此时点P到达E，点Q到达C，并停止运动，此时BE=BC=5=AD，5＜t≤7，运动了两秒即ED=2，根据，计算可得AB=4，于是；根据三角形的面积公式可得；7＜t时，点P沿着DC运动，此时QP=4-(t-7)=11-t，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断即可．
【详解】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
根据图像2，得，
∴AB=4，
∴，故②小题错误；
当0＜t≤5时，
故，故③小题正确；
7＜t时，点P沿着DC运动，此时QP=4-(t-7)=11-t，
∴当时，QP=4-(t-7)=11-t＝，
∴QP：QB=：5=3：4=AE：AB，
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选C．
【点睛】本题考查了矩形中的动点问题，三角形的相似，锐角三角函数，熟练运用数形结合思想，读懂图像，从中获得正确的解题信息是解题的关键．
11．如图（1），在中，点为其中心，，，动点从点出发，沿匀速运动到点，再从点沿直线运动到上的点．设点运动的路程为，的面积为，则与的函数关系的图象如图（2）所示，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】如图，连接，过作于，结合题意可得三点共线，由函数图象可得：当时， 可得，当时，动点从点沿直线运动到上的点，此时的面积不变，可得，，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接，过作于，结合题意可得三点共线，
由函数图象可得：当时，动点从点出发，沿匀速运动到点，
∴，
当时，动点从点沿直线运动到上的点，
此时的面积不变，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选B
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，动点问题的函数图象，特殊角的三角函数值的应用，中位线的性质，平行线分线段成比例的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
12．如图（1），为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②当点在上时，；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是( )
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
【答案】C
【分析】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各结论分析解答即可．
【详解】解：如图所示：
根据图（1）（2）可得，当点到达点时，点到达点，
点、的运动的速度都是秒，
，
，故①正确；
动点，同时从点出发，运动速度都是秒，设、同时出发秒时，
当点在上时，，即是等腰三角形，则，
过点作于点，如图所示：
，
从到的变化是2，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
设，
在中，由勾股定理可得，则，解得，
，
当点在上时，，故②错误；
，
当时，，故③正确；
当秒时，点在上，此时，，
，
，，
，
又，
，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，涉及从函数图象中获取信息、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，根据图（1）（2）判断出点到达点时点到达点是解题的关键，也是本题的突破口．
13．如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法：
①点N的运动速度是；
②的长度为；③a的值为7；
④当时，t的值为．
其中正确的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，由点的速度和路程可知，时，点和点重合，过点作于点，求出的长，进而求出的长，得出点的速度；由图2可得当时，点和点重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键．
【详解】解：，点的速度为，
当点从点到点，用时，
当时，过点作于点，
，
，
在中，，
，，
，
点的运动速度是；故①正确；
点从到，用时，
由图2可知，点从到用时，
，故②正确；
，故③正确；
当点未到点时，过点作于点，
，
解得，负值舍去；
当点在上时，过点作交延长线于点，
此时，
，
，
解得，
当时，的值为或9．故④错误；
故选：C．
14．如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（ ）
点的运动速度为；
点的坐标为；
线段段的函数解析式为；
曲线段的函数解析式为；
若的面积是四边形的面积的，则时间．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形，面积求法和待定系数法求函数解析式，结合函数图象得出当秒时，，此时的面积为，进而求出为即可得出点的速度，进而求出的长即可，进而判断，当点在上时，如图，于点，根据三角形的面积公式可表达此时的，进而判断；过点作于点，画出图形可得出，，，则，求出即可面积可判断；首先得出的面积，分两种情形分别列出方程即可解决问题进而判断；熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】由题意可得出：当时间为秒时，的面积的函数关系式改变，则在上运动秒，
当时间为秒时，，此时的面积为，
∴为，
∴点的运动速度为：，故正确；
当运动到秒时，函数关系式改变，则，
过作于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，，
由，则，
∴，
∴，故错误；
当点在上时，如图，于点，
∴，故正确；
如图，，，过点作于点，
由得，
则，
∴，
即曲线段的函数解析式为：，故正确；
∵，
∴，
当 时，，时，或（舍去），
当 时，，解得或 （舍去），
∴或，的面积是四边形的面积的，故错误，
综上可知，
故选：．
15．如图①，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，以v1的速度沿折线A B C向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发，以v2的速度沿DC向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为CD的中点，连接PE，PQ，记△EPQ的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图像为折线MN NF和曲线FG（图②），已知，ON=3，NH=1，点G的坐标为(6，0)．
(1)点P与点Q的速度之比的值为______；的值为______；
(2)如果 OM=2．
①求线段NF所在直线的函数表达式；
②是否存在某个时刻t，使得若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，2
(2)①直线NF的解析式为S=x-2(3＜x≤4)；②x的取值范围是0≤x≤2或4≤x≤5．
【分析】（1）由图象可知：t=3时，Q与E重合，t=4时，P与B重合，t=6时，P与C重合，据此求解即可；
（2）①t=0时，P与A重合，Q与D重合，求得AD=BC=DE=2，AB=CD=2AD=4，当t=4时，DQ=，求得F(4，)，利用待定系数法即可求解；
②分情况讨论，当Q在DE上，P在AB上时，当Q在CE上，P在AB上时，当Q在CE上，P在BC上时，分别求解即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ON=3，HN=1，G(6，0)，
∴N(3，0)，H(4，0)，
由图象可知：t=3时，Q与E重合，t=4时，P与B重合，t=6时，P与C重合；
∴Q的速度v2=，P的速度v1=；
四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵E为CD的中点，
∴DE=CD=AB，
∴，
∵P从A到B用了4秒，从B到C用了2秒，
∴AB=4 v1，BC=2 v1，
∴AB=2BC，
∴AB：AD=2；
故答案为：，2；
（2）解：①∵OM=2，
∴M(0，2)，
由题知：t=0时，P与A重合，Q与D重合，
∴S△EPQ=AD·DE=2，
∵AB：AD=2，
∴AD=DE=AB，
∴AD2=2，
∴AD=BC=DE=2，AB=CD=2AD=4，
∴v2=，
当t=4时，DQ=v2t=×4=，
∴QE=DQ-DE=，此时P与B重合，
∴S△EPQ=EQ·BC=××2=，
∴F(4，)；
设直线NF的解析式为S=kx+b(k≠0)，
将N(3，0)和F(4，)代入，得 ，
解得，
∴直线NF的解析式为S=x-2(3＜x≤4)；
②存在，分情况讨论如下：
当Q在DE上，P在AB上时，
∵直线MN经过M(0，2)和N(3，0)，
同理求得直线MN的解析式为S=x+2(0≤x≤3)；
当S=时，x+2=2，
∴x=2，
∵S随x的增大而减小，
∴当0≤x≤2时，S≥；
当Q在CE上，P在AB上时，
直线NF的解析式为S=x-2(3＜x≤4)，
由F(4，)知：当x=4时，S=；
当Q在CE上，P在BC上时，
S△EPQ=EQ·CP，
∵DQ= v2t=t，
∴EQ=DQ-DE=t-2，
∵v1===1，
∴AB+BP= v1t=t，
∵AB+BC=4+2=6，
∴CP=6-t，
∴S=(t-2)(6-t)=-t2+3t-6(4＜x≤6) ，
当S=时，-t2+3t-6=，
∴t1=4，t2=5，
由图象知：当4＜x≤5时，S≥；
综上所述，S≥时，x的取值范围是0≤x≤2或4≤x≤5．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16．如图（1），四边形ABCD的顶点A、D、C分别在x、y轴的正半轴上，AD∥BC，OC＝4cm．动点E从点C出发，沿C→D→A→B→C匀速运动，动点F以每秒1cm的速度从C出发沿线段CB向点B来回运动，当E点运动到点C点时，两点同时停止运动．若点E、F同时出发运动t秒后，如图（2）是△OEC的面积S（cm2）与t（秒）的函数关系图象，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．
（1）填空：点E的运动速度是 ，B点坐标为 ．
（2）当0≤t＜4秒时，
①t为何值时，以O、C、E为顶点的三角形与△BFG相似？
②是否存在这样的时刻t，使点G正好落在线段AB上，若存在，求此时的t，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）cm/s，（4，4）；（2）①2或22；②存在，
【分析】（1）根据△OCD的面积求出OD的长，利用勾股定理求出CD，根据速度＝可得结论，观察图2可知，AD＝2，AB＝2，根点B作BH⊥OA于H．利用勾股定理求出AH＝2，推出点H与D重合可得点B坐标．
（2）当0≤t＜4时，点E在线段CD上．①由题意，∠BFG＝∠ECO＝45°，当时，△ECO∽△GFB，当时，△ECO∽△BFG，分别构建方程求解即可．
②存在．如图1﹣2中，由题意G（t，4﹣t）．求出直线AB的解析式，把G点坐标代入即可．
【详解】解：（1）由题意，S△OCD＝8，
∴ OD OC＝8，
∵OC＝4，
∴OD＝4，
，
由图象可知，E点从C点运动到D点用了4秒，
∴点E的运动速度cm/s，
观察图2可知，AD＝2，AB＝2，过点B作BH⊥OA于H．
∴四边形CBHO是矩形，
∴BH＝OC＝4，
∴AH，
∴AH＝AD，
∴点H与点D重合，
∴B（4，4）．
故答案为cm/s，（4，4）．
（2）当0≤t＜4时，点E在线段CD上．
根据题意可知：EC=,OC=4，CF=FE=t，BF=4-t，
∵等腰直角△EFG的斜边是EF，
∴FG==．
①由题意，∠BFG＝∠ECO＝45°，
当时，△ECO∽△GFB，
∴，
解得t＝2．
当时，△ECO∽△BFG，
∴，
解得t＝2-2或﹣2-2（舍去），
综上所述，满足条件的t的值为2或22．
②存在．如图1﹣2中，过点G作GM⊥EF，由△FGE是等腰直角三角形可知，GM=FM=，G点坐标为：G（t，4-t）．
∵B（4，4），A（6，0），
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，
把G（t，4-t）代入y＝﹣2x+12，
得到4-t＝﹣2×t+12，
解得t=．
点G正好落在线段AB上时t的值为．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了一次函数的应用，速度，时间，路程之间的关系，相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数解决问题，属于中考压轴题．
17．如图①，中，，．动点在的边上按的路线匀速移动，当点到达点时停止移动；动点以的速度在的边上按的路线匀速移动，当点到达点时停止移动．已知点、点同时开始移动，同时停止移动(即同时到达各自的终止位置)．设动点移动的时间为，的面积为，与的函数关系如图②所示．
(1)图①中 ，图②中 ；
(2)求与的函数表达式；
(3)当为何值时，为等腰三角形．
【答案】（1）10，15；（2）见详解；（3）见详解
【分析】，根据，，得到，进而得到动点P的速度为：，即可得到；
（2）当时，过点作，垂足为，根据，得到，，进而得到，；当时，；
（3）当时，点在上，根据，，，若为等腰三角形，则，根据，，得到，根据即可求解；当时，点在上，根据，若为等腰三角形，则，得到，即可求解．
【详解】解：（1）
∵，
∴
∴动点P的速度为：
∴
故答案为：10，15．
（2）当时，过点作，垂足为，
∵
∴
∴
∴
∴
∴；
当时，；
（3）当时，点在上.
，，，
若为等腰三角形，则.
，，.
，；
当时，点在上.
,若为等腰三角形，则.
，.
【点睛】此题主要考查根据函数图象信息解决实际问题、根据实际问题列函数解析式及函数与几何综合，正确理解函数图象信息是解题关键．
18．如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t(s)，△PDQ的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示．
（1）AB＝ cm，点Q的运动速度为 cm/s；
（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止．
①当点O在QD上时，求t的值；
②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围．
【答案】（1）30，6；（2）①；②≤t≤．
【分析】（1）设点Q的运动速度为a，则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，可列出关于a的方程，即可求出点Q的速度，进一步求出AB的长；
（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，用含t的代数式分别表示出OF，QC的长，由OF＝QC可求出t的值；
②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，证△QHP是等腰直角三角形，分别用含t的代数式表示CG，QM，PM，再表示出QP，由QP＝QH可求出t的值；同理，如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，可求出t的值，即可写出t的取值范围．
【详解】（1）设点Q的运动速度为a，
则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，
∵AP＝6t，
∴S△PDQ＝(60﹣6×5)×5a＝450，
∴a＝6，
∴AB＝5a＝30，
故答案为：30，6；
（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，
QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，
∵OF∥QC且点F是DC的中点，
∴OF＝QC，
即4t＝ (90﹣6t)，
解得，t＝；
②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，
如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，
∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，
∴HP＝QH＝AB＝30，
∴△QHP是等腰直角三角形，
∵CG＝DN＝OF＝4t，
∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，
∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，
∵QP＝QH，
∴150﹣20t＝30，
∴t＝；
如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，
∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，
∴HP＝QH＝AB＝30，
∴△QHP是等腰直角三角形，
∵CG＝DN＝OF＝4t，
∴QM＝QG＝4t﹣(90﹣6t)＝10t﹣90，
PM＝PN＝4t﹣(60﹣6t)＝10t﹣60，
∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，
∵QP＝QH，
∴20t﹣150＝30，
∴t＝，
综上所述，当PQ与⊙O有公共点时，t的取值范围为：≤t≤．
【点睛】本题考查了圆和一元一次方程的综合问题，掌握圆切线的性质、解一元一次方程的方法、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
19．综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动，如图1，在正方形中，分别是上一点，且．点从点出发，沿正方形的边顺时针运动；点同时从点出发，沿正方形的边逆时针运动．若两动点的运动速度相同，都为每秒1个单位长度，相遇时两点都停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为，探究与的关系．
初步感知
根据运动的变化，绘制了如图2所示的图象，按不同的函数解析式，图象可分为四段，还有最后一段未画出．
（1）的长为______，的长为______．
（2）的值为______，的最大值为______．
延伸探究
（3）请求出图2中未画出的最后一段图象对应的函数解析式，并将图象补充完整．
（4）求的值，并求出当时，的取值范围．
【答案】（1）；；（2）；；（3），画图见解析；（4），当时，．
【分析】（1）当时，，可得，由当时，运动到，可得；
（2）由图象可得：当时，与重合，如图，此时，的面积最大，可得，当时，与重合，如图，此时的运动时间为，可得；
（3）当时，再运动，两点相遇，停止运动，可得函数图象过，且函数图象过，说明是的一次函数，设，再利用待定系数法求解解析式即可；
（4）当时，如图，可得，解方程可得答案，当时，如图，图象在的上方，此时第三段图象上存在，如图，此时，可得，再解方程可得答案．
【详解】解：（1）由函数图象可得：当时，，
∴，而，
∴，
∴；
∴，
由函数图象可得：当时，运动到，
∴，
（2）由图象可得：当时，与重合，如图，
此时，的面积最大，
∴，
当时，与重合，如图，
此时的运动时间为，
∴，，，
∴；
（3）∵时，
∴再运动，两点相遇，停止运动，
∴函数图象过，
而当时，，
∴函数图象过，
由此时三角形的高不变，
∴是的一次函数，设，
∴，
解得：，
∴；
画图如下：
（4）当时，如图，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或（舍去），
当时，如图，图象在的上方，
此时第三段图象上存在，如图，此时，
∴，，，，
∴，
整理得：，
解得：或（舍去），
结合图象可得：当时，．
【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，一元二次方程的解法，正方形的性质，利用图象法解二次不等式，二次函数的图象与性质，理解图象的含义是解本题的关键．
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