压轴专题14 几何作图题
知识考点与解题策略 网格作图： 以网格为背景 通常以网格为背景,关键是把握网格特征(各格点之间线段的位置及大小关系),酝酿与构建相关点、线、特殊图形的形状、位置及大小关系.
例题1（2024·江苏南京·模拟预测）已知和线段l，线段h．使用直尺和圆规作出满足下列条件的三角形（写出作法，保留作图痕迹）．
(1)求作，使得，周长等于线段l；
(2)求作，使得，一边上的高等于线段h，周长等于线段l．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，过已知点作已知直线的垂线等基本作图．
（1）作，在射线上取点，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，即为所求；
（2）作，过作，在上截取，过作交射线于，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，即为所求．
【详解】（1）解：作，在射线上取点，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，如图：
即为所求；
理由：由作图可知，，，
是的垂直平分线，
，
，
，
的周长等于线段，
，
满足条件；
（2）解：作，过作，在上截取，过作交射线于，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，如图：
即为所求．
理由：由作图可知，，
到的距离等于，
同（1）可知的周长等于线段，，
满足条件．
例题2（24-25 九年级上·江苏泰州·期末）如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．
(1)在图1中的线段上找一个点E，使；
(2)在图2中作一个格点，使与相似，且面积比为．
【答案】(1)图形见解析
(2)图形见解析
【分析】本题考查作图-相似变换、三角形的面积．
（1）取格点M，N，使，且，连接，交于点E，则点E即为所求．
（2）结合相似三角形的判定与性质，取格点D，E，使，，连接即可．
【详解】（1）解：如图1，取格点M，N，使，且，连接，交于点E，
则，
，
，
，即，
则点E即为所求；
（2）解：由如图2可得，
，，
，
，
与相似，且面积比为，
的面积为8，
取格点D，E，连接,
∵，,
∴，
∴是直角三角形，，
∵,
∴，
∴，
则即为所求．
1．（2024·江苏无锡·一模）如图，已知中，．
(1)请在图1中用圆规和无刻度的直尺作，使得经过点，同时圆心落在边上，且与边相切于．
(2)在（1）的条件下，若，，为的内心，则的半径长为______，______．
【答案】(1)作图见解析
(2)，
【分析】（1）过点作的垂线交于，作的角平分线交于，过作垂线交于，以为圆心、为半径作圆即可得到答案；
（2）由（1）知，，设半径为，由勾股定理及相似三角形的判定与性质得到，代值求解即可得到答案；是的内切圆，设其半径为，由求解，再根据，利用相似比代值求解得到，在中，由勾股定理求解即可得到．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：由（1）知，，
，
，
，
，
是等腰底边上的中线，即，
，，
在中，，则，
设半径为，则，解得；
如图所示：
为的内心，
是的内切圆，
设其半径为，则，即，解得，
，
，即，解得，则，
在中，；
故答案为：，．
【点睛】本题考查几何综合，涉及尺规作图-作垂线、作角平分线、作圆、勾股定理、相似三角形的判定与性质、内切圆性质等知识，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键．
2．（2024·江苏泰州·二模）
素材1：平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形称为四边形，其中作出一条边所在的直线，其余各边均在其同侧的四边形称为凸四边形，其余各边中有不在同侧的四边形称为凹四边形，换句话说就是，凸四边形的每个内角都小于，凹四边形中有内角大于． 素材2：我们把一组对角相等且只有一组对边相等的凸四边形称为F 四边形．小亮按下列步骤操作得到的四边形ABDE就是F 四边形： 第1步：画，，； 第2步：在边上取一异于B，C的点D，； 第3步；以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点； 第4步：连结、．
活动一：素材反思
思考1：素材2中操作的第2步中为什么要说明“”？ 任务1：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．判断四边形是否为F 四边形，并说明理由；
思考2：素材2中操作的第1步中为什么要说明“”？ 任务2：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．若四边形为F 四边形，求的取值范围；
活动二：图形应用
如图，四边形为F 四边形，，，且． 任务3：记的面积为S，直接写出S的取值范围．
【答案】任务1：四边形不是F 四边形，理由见解析；任务2：，且；任务3：且
【分析】任务1：当时，根据作图可得，，再根据F 四边形的定义，即可判断答案；
任务2：设，列不等式及求解，即得答案；
任务3：以点M为圆心长为半径画弧，交的延长线于点G，连结，过点M作于点H，先证明，得到，再根据变化过程中的临界位置可知，分别对两个临界位置求面积，并注意的情况，即可得到答案．
【详解】任务1：
四边形不是F 四边形；
理由：当时，根据作图可得，，，
∴四边形是平行四边形，此时有两组对边相等，与题中只有一组对边相等不符，
所以不是F 四边形；
任务2：
当时，易得，
，
，
设，
，
又作图可得，，
又，
，
，，
凸四边形的每一个内角都小于，
，
，
，
，
，
综上，且；
任务3：
且．
理由如下：
以点M为圆心长为半径画弧，交的延长线于点G，连结，过点M作于点H，
则，
，
，
，
P，G，Q，M四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
四边形为F 四边形，
，，
由图a和图b中的位置可知，
在图a中，
，
，
，
，
，
，
在图b中，
，
，
当点P在的中点时，，
此时，不符合题意，
S的取值范围是且．
【点睛】本题考查了动态几何问题，圆周角、弧、弦之间的关系，平行四边形的判定与性质，一元一次不等式的应用，全等三角形的判定与性质，几何最值问题等知识，应用一元一次不等式解题及添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．（2024·江苏南京·二模）用矩形纸片可以折叠出等边三角形，但折叠会损耗矩形纸片的面积．能否将整张矩形纸片无损耗地剪拼成一个等边三角形呢？
(1)有些矩形纸片很容易剪拼成等边三角形．如图两个矩形纸片只需剪1~2刀就可以拼成等边三角形，请画出分割线，并做必要标注．
(2)任意矩形要剪拼成等边三角形很难想到，不妨倒过来考虑，即研究将等边三角形纸片剪拼成矩形，图③是一种可行的分割方案：
①求证：；
②将图③中甲、乙、丙三部分进行平移或旋转可以拼出矩形，在原图中画出拼接矩形的示意图．
(3)如何将一张纸（如图④，，）剪拼成等边三角形？在图中画出分割线（标注必要的长度或角度，写出必要的文字说明）．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
(3)见解析
【分析】（1）图①沿一条对角线分割即可；②作角，点在边上，沿着进行裁剪即可；
（2）①连接，三角形的中位线定理，得到，，证明，即可得出结论；②根据题意，拼接成矩形即可；
（3）取边的中点E，F，在边上分别取点G，H，使；在上取点I，使，连接，则即为满足题意的分割线．
【详解】（1）解：如图①，即为满足题意的分割线；
如图②，即为满足题意的分割线．
图①中，，则，
∴，，
∴是两个全等的含30度角的直角三角形，
故可以组成一个等边三角形；
图②可组成如图所示的等边三角形；
（2）①证明：连接．
∵ D，E分别为的中点，
∴为的中位线．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
②如图所示，矩形即为所求．
（3）如图，取边的中点E，F，在边上分别取点G，H，使；在上取点I，使，连接，则即为满足题意的分割线．
【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，对学生的空间想象能力要求高，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
4．（2024·江苏镇江·二模）数学的思考
如图①，在平面直角坐标系中，已知点，，试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得最大，并求出此时点P的坐标．
数学的眼光
(1)如图①，请说明
数学的表达
(2)如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程；
(3)如图③，延长线段交x轴于点D，连接、，当与相切时，通过求的长可得到点P的坐标，请直接写出P的坐标；
(4)如图④，已知线段，用尺规在射线上作出点P，使得最大（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
(4)见解析
【分析】（1）利用圆周角定理的推论以及三角形外角定理即可求解；
（2）设点，即可求得，，进行计算即可；
（3）连接并延长，交于点E，连接，根据，，，即可推出，即，得到，计算代入求解即可；
（4）由（3）得，构造直径长为的半圆，得出c，然后在图中作图即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∴
∵是的外角，
∴，
∴，
∴．
（2）直线l的表达式为，
∵点C在直线l上，
设点，
∴，，
∵，
∴
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴P点坐标为．
（3）连接并延长，交于点E，连接，如图，
∵是直径，
∴，
∴，
∵与x轴相切于点P，
∴轴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
即可得到直线的解析式为，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴P点的坐标为．
（4）令，，根据第（3）问得，构造直径长为的半圆，得到c，即在图中截取即可，如图所示，此时即为所求．
【点睛】本题考查圆的综合运用，主要考查了垂径定理，相似三角形的性质与判定，圆周角定理的推论，三角形外角定理、作图，熟练掌握相似三角形的性质与判定以及圆周角定理的推论是解题的关键．
5、【问题提出】如图1，用“圆规和无刻度的直尺”，作两条以为圆心的圆弧将已知扇形的面积三等分．
【问题联思】如图2，已知线段，请你用“圆规和无刻度的直尺”作一个以为底边，底角为的等腰三角形，并写出与的数量关系；
【问题再现】如图3，已知扇形，请你用“圆规和无刻度的直尺”作两条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被两条圆弧三等分．（友情提醒：保留作图痕迹，并用黑笔描线加深）
【答案】[问题联思]：，图见解析；[问题再现]：图见解析
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，画等腰三角形，垂直平分线的性质，画垂直平分线，扇形面积公式，熟练掌握基本作图以及扇形面积公式是解题的关键．
【问题联思】如图所示，分别以，为圆心，为半径作圆，交于点，则三角形为等边三角形，然后作的垂直平分线，的垂直平分线，交于点，则即为所求；
【问题再现】分别作出半径为，，的弧，即可求解．
【详解】解：【问题联思】如图所示，分别以，为圆心，为半径作圆，交于点，则三角形为等边三角形，然后作的垂直平分线，的垂直平分线，交于点，则即为所求；
∴．
【问题再现】同上方法作以为底边，底角为的等腰三角形，则，延长交于点，则，
设，则，
以为圆心，为半径，作弧，则，
连接，则，
以为圆心，为半径，作弧，则，
设，
扇形的面积为，
扇形的面积为，
扇形的面积为，
∴弧，，即为所求．
6．（2024·江苏盐城·三模）【阅读理解】
在平面直角坐标系中，把点P沿纵轴或横轴方向到达点Q的最短路径长记为．
例如：如图1，点，点，则．
图1
(1)①已知点和点，则______．
②点E是平面直角坐标系中的一点，且，则所有满足条件的点E组成的图形是（ ）
A．一条线段 B．一个等边三角形 C．一个正方形 D．一个圆
【新知运用】
(2)已知点，点Q在线段上；
①如图2，已知点和点，则的最大值是；
图2
②如图3，已知点和点，求的最小值．
图3
(3)如图4，已知点，点，以点G为圆心，5为半径作，点Q在上，则的取值范围是．
图4
【尺规作图】
(4)如图5，请用无刻度直尺和圆规在直线l上找一点K，使得．
图5
【答案】(1)①6，②C
(2)①4，②
(3)
(4)见解析
【分析】（1）①根据定义分别计算横坐标差的绝对值，纵坐标差的绝对值，求和即可；
②设点，根据，得到，分类去绝对值，画图即可；
（2）①设，则，当x取最大值时，有最大值，计算即可；
②由直线的解析式，设由讨论得的最小值为；
（3）过上任意一点点Q作轴于点B，过点Q作直线，交x轴于点C，使，求出，得出当最大时，最大，当最小时，最小，过圆上一点作的平行线，与x轴的交于一点，该点与P点间的距离最大时，最大，该点与P点间的距离最小时，最小，作，使与相切于点D，交轴于点E，此时最大，当点Q运动到点D时，最大，过点P作轴，交于M、N两点，过点M作，交x轴于点J，此时最小，当点Q运动到点M时，最小，分别求出最大值和最小值即可；
（4）连接，作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心，为半径作圆M，与的垂直平分线交于点N，过点N作x轴的平行线，该直线与直线l的交点即为所求点K．
【详解】（1）解：①∵点和点，
∴，
故答案为：6．
②设点，
∵，
∴，
去绝对值，得到，，，，画图如下：
∴所有满足条件的点E组成的图形是正方形，故C正确．
故选：C．
（2）解：①设，则，当x取最大值时，有最大值，当时，取最大值，且为，
故答案为：4．
②设直线为，将和点代入，解得，
设，
根据题意，得，
∵点Q在线段上，
∴，
当时，，
根据随x的增大而减小，
当时，有最小值，此时的最小值为；
当时，，
根据随x的增大而增大，
故，
故的最小值为．
（3）解：过上任意一点Q作轴于点B，过点Q作直线，交x轴于点C，使，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，当最小时，最小，
即过圆上一点作的平行线，与x轴的交于一点，该点与P点间的距离最大时，最大，该点与P点间的距离最小时，最小，
∴作，使与相切于点D，交轴于点E，此时最大，
∴当点Q运动到点D时，最大，
过点D作轴于点F，连接，过点G作于点H，轴于点K，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∴的最大值为；
过点P作轴，交于M、N两点，过点M作，交x轴于点J，此时最小，
∴当点Q运动到点M时，最小，
过点G作于点L，连接，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴最小值为；
综上分析可知，．
（4）解：如图，连接，作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心，为半径作圆M，与的垂直平分线交于点N，过点N作x轴的平行线，该直线与直线l的交点即为所求点K．
连接、，过点E作于点A，作于点B，
则，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，切线的性质定理，垂直平分线定理，尺规作一个角等于已知角，尺规作线段的垂直平分线，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，新定义运算，矩形的判定和性质，绝对值的意义，解题的关键是作出辅助线，画出相应的图形，注意运用数形结合的思想．
7．在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，点C在第一象限内．
(1)如图1，．
①若是以AC为斜边的直角三角形，且．请在图（1）中利用圆规、无刻度直尺作出点C的位置（不写作法，保留作图痕迹），写出点C的坐标________；
②若是等边三角形．求点C的坐标；
(2)如图2，是等边三角形，点C在以为圆心，半径为r的圆上．若存在两个满足条件，求r的取值范围．
【答案】(1)①作图见解析，；②；
(2)．
【分析】（1）①是以AC为斜边的直角三角形，点C在第一象限内，得，如图，过点B作的垂线，在第一象限内截取，连接即可；依题意得，过点C作轴于D，可得，有即可求解；
②如图，取中点E，连接并延长交于F，，作轴于D，由题意可知垂直平分，由股股定理和等边三角形性质依次求得，，，由，解得：，，易证，可解得，，由，求得，再求得即，从而求解；
（2）如图，取中点E，连接并延长交于F，作轴于D，轴于G，设，，利用等边三角形的性质和勾股定理可证点C在直线上，当时，，可知点不在直线上，点B在x轴正半轴上，当点B与点O重合时,如图，等边三角形边长为2，可求得：从而求得，当与相切时，如图，作直线分别与x，y轴相交于H，I，过P作分别与x，y轴相交于J，K，过O作于 L，交于M，则四边形为矩形，，设解析式为，将代入求得即，求得，，从而求得，由可求得及，即可求解．
【详解】（1）解：是以AC为斜边的直角三角形，点C在第一象限内，
，
如图，过点B作的垂线，
，
在第一象限内截取，连接即可；
，
即，
过点C作轴于D，
，
，
，，
，
；
②如图，取中点E，连接并延长交于F，作轴于D，
由题意可知垂直平分，
，
，
，
，
，
，
解得：，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，取中点E，连接并延长交于F，作轴于D，轴于G，
设，，
，
，
，
解得：，，
则，，
由题意可知垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
点C在第一象限内，
，
即点C在直线上，
，
当时，，
不在直线上，
点B在x轴正半轴上，
当点B与点O重合时,如图，
等边三角形边长为2，
可求得：
当与相切时，
如图，作直线分别与x，y轴相交于H，I，过P作分别与x，y轴相交于J，K，过O作于 L，交于M，
则四边形为矩形，
，
令求得，
令求得，
，，
设解析式为，将代入求得，
，
令求得，
令求得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的应用及坐标与图形；解题的关键是通过等积法构造等量关系得到．
8．（1）如图，锐角△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°．在△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且∠BDC+∠BAC＝180°，请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，不需写出作法）；求出线段AD的长；
（2）如图2，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．点P是线段AC上的动点，当AP+PB最短时，请你在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明）
【答案】（1）作图见解析，；（2）见解析；
【分析】（1）由∠BAC+∠BDC=180°，得到A、B、C、D四点共圆，作∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，点D即为所求；过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N．利用全等三角形的性质证明AM=AN=5，可求解；
（2）如图3所示，取格点D、E、F，连接AE，DF，AE与DF交于K，连接BK交AC与P，点P即为所求；
【详解】（1）解：如图1所示，点D即为所求作．
如图2，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，∠DAB=∠DAC=30°，
又∵AD=AD
∴Rt△ADM≌Rt△ADN（HL），
∴AM=AN，
∵∠DAB=∠DAC，
∴ ，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM=CN，
∵AB+AC=AM+BM+AN-CN=2AN=10，
∴AN=5，
∴ ；
（2）如图3所示，取格点D、E、F，连接AE，DF，AE与DF交于K，连接BK交AC与P，点P即为所求；
证明如下：如图4所示，取格点M、N，连接MC，NE，MC与NE交于J，
∴,,，
∴，
∴△ACJ是直角三角形，∠ACJ=90°，
∴，
如图5所示，取格点Q、R、T，连接QT，RN，二者交于L，连接BL，KL，AK、IJ，
∴,，即KL=AJ，,
∴四边形AKIJ是平行四边形，
∴，
∵，
∴△BKL是直角三角形，即BK⊥KL，
∴BK⊥AJ，
设BK与AJ交于点O，则∠AOP=90°，
∴，
∵要使即使最小，即最小，
∴当B、P、O三点共线时，，即最小，
∴点P即为所求；
【点睛】本题考查了三角形外接圆，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，解直角三角形，垂径定理等等，综合性非常强，难度很大，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9、【问题提出】为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：
如图①，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口是一个矩形形状的联动装置，顶点P、Q只能在边框上滑动，顶点M、N可在其它边框上滑动，联动装置的四边都是长度可自动伸缩的金属杆，当金属杆上下移动时，其他金属杆也随之移动，图①、图②是通风口打开时的两种不同情况．试确定金属杆的位置，使通风口（矩形）面积最大．
设窗子的边框、分别为，，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为．
【初步探究】
（1）若，，（即点E到的距离为2），与之间的距离为，通风口的面积为．
①分别求出当和时y与x之间的函数表达式；
②金属杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【深入探究】
（2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①c需要满足的条件是_______________，通风口的最大面积是_______________（用含a、b、c的代数式表示）．
②用直尺和圆规在图③中作出通风口面积最大时金属杆所在的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）若将窗子的上部分边框改为以的中点O为圆心的圆弧（）形状（如图④所示），其他条件不变，金属杆移动到什么位置时，通风口面积最大（直接写出答案，不必说明理由）．
【答案】（1）①当时，；当时，；②金属杆移动到所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是；（2）①；；②见解析；（3）当（等同于）时，金属杆移动到所在位置时，通风口面积最大；当（等同于）时，金属杆移动到与相距时，通风口面积最大
【分析】（1）①过作，垂足为，分别与 、相交于点、，当时， ；当时，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，再证明 ，运用相似三角形性质即可得出结论．
②根据①的结论进行分析计算即可；
（2）①在中有内接矩形，易证当为中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为 面积的一半；延长、交直线于、，则 为的中位线时，矩形的面积最大；要想金属杆移动到高于 所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，只需与边平行的中位线在上方即可，作 于交于，证明，利用相似三角形性质即可得到结论；
②按要求尺规作图即可；
（3）画出图形，结合图形进行分析计算．
【详解】解：（1）①如图1，过作，垂足为，分别与、相交于点、，
当时，，
当时，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，
，
由题意可知，，，
，，
，
，
又、分别是、的对应高，
，即 ，
化简，得：．
．
②当时，，
因此，当时，最大，最大值是2．
当时，，
因此，当时，最大，最大值是2．
综上所述，当时，最大，最大值是2．
因此，金属杆移动到所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是．
（2）①如图2，已知在中有内接矩形，其中、在、边上，、在边上，
易证当为中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为面积的一半，
即：底高，
在图3中，延长、交直线于、，
则为的中位线时，矩形的面积最大，
所以要想金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，
只需与边平行的中位线在上方即可，
即，此时的最大，面积为的面积的一半．
作于交于，
，
，
，即 ，
，
矩形面积的最大值面积的一半 ．
故答案为：；．
②如图4，线段即为所求．
（3）当 （等同于）时，金属杆 移动到所在位置时，通风口面积最大；
当（等同于时，金属杆移动到与 相距时，通风口面积最大．
易知当在上时，随增大而增大，
当在上时，如图5，
，
则，
则当即时， 随增大而增大，
当时，随增大而减小
当，即时：当 时，随增大而增大；
当时，，
随增大而减小，
在中，当时，最大．
当，即时：当 时，随增大而增大：当时， 随增大而增大：当时， 随增大而减小，
在中，当时， 最大．
，
，
，
等同于， 等同于．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质，最值问题，勾股定理的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．
10、如图，在中，，点到两边的距离相等，且．
（1）先用尺规作出符合要求的点（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由；
（2）设，，试用、的代数式表示的周长和面积；
（3）设与交于点，试探索当边、的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．
【答案】(1)作图见解析；ΔABP是等腰直角三角形. 理由见解析；（2）； （3）.
【分析】（1）由题意作出∠ACB的角平分线和线段AB的垂直平分线可求出点P，然后证明Rt△APE≌Rt△BPF即可；
（2）由PA=PB，PA=m，可得出 ，由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，可得CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，在Rt△PCE中， PC=n，可知 ，即 ，最后求出周长和面积；
（3）由平行线分线段成比例定理得到 , 是解答本题的关键．
【详解】（1）依题意，点P既在∠ACB的平分线上，又在线段AB的垂直平分线上.
如图1，作∠ACB的平分线，作线段AB的垂直平分线，与的交点即为所求的P点．
是等腰直角三角形.
理由：过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB、，垂足为E、F如图2.
∵PC平分∠ACB，PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F，
∴PE=PF.
又∵ PA=PB，
∴Rt△APE≌Rt△BPF，
∴∠APE=∠BPF.
∵∠PEC=，∠PFC=，∠ECF=，
∴∠EPF=， 从而∠APB=，.
又∠PEC=，
∴是等腰直角三角形.
（2）如图2，在Rt△PCE中，∠PEC=，PA=PB，PA=m，
∴AB=.
由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，
可得AE=BF,CE=CF,
∴CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，.
在Rt△PCE中，∠PEC=，∠PCE=，PC=n,
∴,
∴.
所以△ABC的周长为：AB+BC+CA=.
因为△ABC的面积=△PAC的面积△PBC的面积△PAB的面积=
==
（3）过点D分别作DM⊥AC,DN⊥BC，垂足为M、N如图3.
∵.
由DN∥AC得 ①
由DM∥BC得 ②
①+②，得，即.
∴，
即
11、是一地铁皮，如何按要求从中剪一个面积最大的圆？
(1)【初步认识】
请用直尺和圆规在图①中作出面积最大的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)【继续探索】
若三角形铁皮上有一破损的孔点（孔径大小忽略不计），要求剪一个面积最大的圆且圆面无破损，请用直尺和圆规在图②中作出满足要求的圆（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
(3)【问题解决】
如图③，若，，、分别是、的中点，破损的孔点位于上（孔径大小忽略不计）．设为，剪出面积最大的圆（圆面无破损）的半径为，直接写出和的关系式以及相应的取值范围．
【答案】(1)作图见解析部分
(2)作图见解析部分
(3)当或时，；当时，；当时，
【分析】（1）作的角平分线，作的角平分线，交于点，过点作于点，以点为圆心，为半径作即可；
（2）作的角平分线，在在取一点，作与、均相切；连接交于点，连接，过作交于点；以点为圆心，为半径作即可；
（3）根据题意画出图形，分三种情况解答；
【详解】（1）解：如图，即为所作．
（2）①作的角平分线，在在取一点，作与、均相切；
②连接交于点，连接，过作交于点；
③以点为圆心，为半径作，则即为所作．
（3）情况一：如图，为的内切圆，与、、分别相切于点、，，与交于点、，连接、、、，则，连接交交于点，连接、，
∴平分，，，，
∵，
∴，
∴点、，三点共线，
∴，平分，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵、分别是、的中点，，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
当点在线段上，，
当点在线段上，，
∴当或时，；
情况二：如图，当只与、相切，且点在上，则点在右侧，点在左侧，过点作于，的反向延长线交于，交于，与相切于点，连接、，
∴，，
∴此时的取值范围是：，
由情况一可知，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，
由情况一可知，，，，，
∴，
，
∵，
∴在中，，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（舍去）；
∴当时，；
情况三：如图，当只与、相切，且点在上，则点在左侧，点在右侧，过点作于，的反向延长线交于，交于，与相切于点，连接、，
∴，，
∴此时的取值范围是：，
由情况一可知，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，
由情况一可知，，，，，
∴，
，
∵，
∴在中，，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（舍去）；
∴当时，．
综上所述，和的关系式以及相应的取值范围：当或时，；当时，；当时，
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了三角形的内切圆，垂径定理，等腰三角形的三线合一的性质，三角形的中位线，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的判定和性质，三角函数，一元二次方程等知识，运用了等积法，分类讨论的解题方法．解题的关键是理解三角形的内切圆的圆心是三角形角平分线的交点．
12、【问题提出】
(1)如图①，在中，点为边的中点，画出关于点的对称图形（点的对应点记为），此时四边形为形状为_________；
【问题探究】
(2)在（1）的条件下，若，，求四边形周长的最大值；
【问题解决】
(3)如图②，某风景区有一段笔直的河流，有一处自然喷泉（点）在这条河流上，风景区在现有资金条件下准备修建一条长米的直通道路，在道路的尽头处安装一个张角为的高清摄像头以观测游客的活动，要求喷泉恰好在摄像头观测到河流的边界点、的正中间，求摄像头能观测区域的最大面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)摄像头能观测区域的最大面积为平方米
【分析】（1）根据题意画图，平行四边形的判定可得；
（2）构建等腰三角形，求得；构建的外接圆，连接并延长交于点，连接，，根据圆周角定理和其推论，可得，；根据特殊角的三角函数值，求得半径，结合，即可求得的最大值为的长，即可求得；
（3）延长到点，使，构建平行四边形，可得，构建的外接圆，连接，，根据圆周角定理，可得，根据特殊角的三角函数值可得半径，连接，延长与圆交点为，根据垂径定理，可得，可得的值，当点与点重合时，面积最大，即可求得．
【详解】（1）图①即为所求：平行四边形．
（2）如图②，延长至点，使，则为等腰三角形．
∵
∴
设，，三点共圆．连接并延长与圆交于点，连接，，，
∵
∴．
∴
．
∴四边形的周长最大值为．
（3）如图③，延长到点，使米，连接，，
则四边形为平行四边形．
∴
∵
∴
设、、三点共圆．
连接，
∵米，
∴，米．
连接，则，延长交于点，当点与点重合时，面积最大，此时．
最大值为平方米
∴摄像头能观测区域的最大面积为平方米．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外接圆的性质，圆周角定理及其推论，特殊角的三角函数值，垂径定理等知识，涉及的知识点较多，综合性强，难度较大，熟练应用圆的相关定理是解题的关键．
13、[问题提出]
初中数学的学习中，我们学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识……常可利用它们来解决“最值问题”．
[简单运用]
(1)如图1，在△ABC中，AB＝6，∠A＝60°，∠B＝45°，在BC上取一点D，则AD的长的最小值是______．
[综合运用]
(2)如图1，在△ABC中，AB＝6，∠A＝60°，∠B＝45°，在BC、AB、AC．上分别取点D、E、F，使得△DEF的周长最小．画出图形确定D、E、F的位置，并直接写出△DEF的周长的最小值．
[拓展延伸]
(3)图2是由线段AB、线段AC、组成的图形，其中∠A＝60°，AB＝6，AC＝3，为60°，分别在BC、线段AB和线段AC．上取点D、E、F，使得△DEF的周长最小，画出图形确定D、E、F的位置，并直接写出△DEF的周长的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）如图，过A作AD⊥BC于D，则此时AD最短，再利用锐角三角函数求解即可；
（2）如图，过A作AD⊥BC于D，再作D关于AB的对称点，作D关于AC的对称点 连接 交AB，AC于E，F，则 此时三角形DEF的周长最短，再结合轴对称的性质与三角函数可得答案；
（3）如图，确定的圆心为O，作D关于AB的对称点M，作D关于AC的对称点N，连接MN交AB，AC于E，F，再连接AD，AO，同理：可得 所以当AD最短时，最短，所以当A，D，O三点共线时，AD最短，从而可得三角形的周长最短，再利用锐角三角函数与勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：如图，过A作AD⊥BC于D，则此时AD最短，
所以AD的最小值为：
故答案为：
（2）解：如图，过A作AD⊥BC于D，再作D关于AB的对称点，作D关于AC的对称点 连接 交AB，AC于E，F，
由（1）可得：
由对称的性质可得：
过作AG⊥ 垂足为G，
由
最短，则最短，此时最短，此时三角形DEF的周长最短，
所以的周长最小值为
（3）解：如图，确定的圆心为O，作D关于AB的对称点M，作D关于AC的对称点N，连接MN交AB，AC于E，F，再连接AD，AO，
同理：AD=AM=AN，
所以当AD最短时，最短，
所以当A，D，O三点共线时，AD最短，如图，
如图，取AB的中点Q，连接CQ，BC，
而
为等边三角形，
为
而
为等边三角形，
∴
即：△DEF的周长的最小值为
【点睛】本题考查的是垂线段的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，圆的基本性质，锐角三角函数的应用，综合程度较高，理解轴对称的性质与垂线段最短及一点与圆的最短距离是解本题的关键．
14、问题探究
（1）如图①，在正方形ABCD内，请画出使∠BPC＝90°的所有点P；
（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝9，BC＝10，在矩形ABCD内画出使∠BPC＝60°的所有点P，并求出△APD面积的最小值；
（3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活．某农业观光园的平面示意图如图3所示的四边形ABCD，其中∠A＝120°，∠B＝∠C＝90°，AB＝km，BC＝6km，观光园的设计者想在园中找一点P，使得点P与点A、B、C、D所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在△BPC的区域内∠BPC＝120°，且△APD的区域面积最小，试问在四边形ABCD内是否存在这样的点P，使得∠BPC＝120°，且△APD面积最小？若存在，请你在图中画出点P点的位置，并求出△APD的最小面积．若不存在，说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）图详见解析，45﹣25；（3）存在，图详见解析，9﹣12．．
【分析】（1）如图1中，以BC为直径作⊙O，点P的轨迹是（不包括B，C）．
（2）如图2中，以BC为边向上作等边三角形△BCP，作△BCP的外接圆，交AB于E，交CD于F，点P轨迹是（不包括E，F），当点P是的中点时，△ADP的面积最小．
（3）如图3中，以BC为边向下作等边三角形△BCE，作△BCE的外接圆，点P轨迹是（不包括B，C），作OJ⊥BC于J，交AD于K，作AT⊥OK于T．延长OP交AD于H，当OH⊥AD时，PH的值最小，此时△PAD的面积最小．
【详解】解：（1）如图1中，以BC为直径作⊙O，点P的轨迹是（不包括B，C）．
（2）如图2中，以BC为边向上作等边三角形△BCP，作△BCP的外接圆，交AB于E，交CD于F，点P轨迹是（不包括E，F），
当点P是的中点时，△ADP的面积最小．
此时S△APD＝×10×（9﹣5）＝45﹣25．
（3）如图3中，以BC为边向下作等边三角形△BCE，作△BCE的外接圆，点P轨迹是（不包括B，C），
作OJ⊥BC于J，交AD于K，作AT⊥OK于T．延长OP交AD于H，当OH⊥AD时，PH的值最小，此时△PAD的面积最小．
由题意BJ＝JC＝3，OJ＝，
∵四边形ABJT是矩形，
∴∠BAT＝90°，AT＝BJ＝3，AB＝TJ＝，
∵∠DAB＝120°，
∴∠KAT＝30°，
∴KT＝，AK＝2，
∴OK＝OJ+JT+TK＝3，
∵∠OKH＝60°，
∴OH＝OK sin60°＝，
∴PH＝OH﹣OP＝﹣2，
∵AB∥JK∥CD，BJ＝CJ，
∴AK＝KD＝2，
∴AD＝4，
∴△PAD的面积的最小值＝×（﹣2）＝9﹣12．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，三角形的外接圆，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
15、问题提出
（1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值；
问题解决
（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值 若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，72m2
【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角为直角解决问题即可．
（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，根据垂线段最短得到AO+OE≥AD，从而算出BC的最大值，即可得到结果；
（3）分别延长AB、DC交于点M，根据等腰直角三角形的性质求出四边形ABCD的面积，将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，得到A、D、E′三点共线，从而得到当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，设△CE′F的外接圆半径为rm，求出r的取值范围，得到当点O在CD上时，E′F最短，从而可以求出四边形AECF面积的最大值.
【详解】解：（1）如图，Rt△ACB即为所求．
（2）如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
则∠BOC=2∠BAC，OA=OB=OC，BE=CE=BC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，
设OA=OB=OC=r，
则OE=r，BC=2BE=r，
∵AO+OE≥AD，AD=3，
∴r+r≥3，
解得r≥2，
∴BC=r≥，
∴S△ABC=BC·AD≥××3=，
∴△ABC面积的最小值为．
（3）存在；如图，分别延长AB、DC交于点M，
则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形，
∵CB=CD=6m，
∴BM=6m，CM=m，AD=DM=（6+）m，
∴S四边形ABCD
=S△ADM-S△CBM
=DM2-BC2
=×（6+）2-×62
=（36+）m2．
将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，
则A、D、E′三点共线．
∴S四边形AECF=S四边形ABCD–（S△CBE+S△CDF）=S四边形ABCD–S△CE′F
∵S四边形ABCD为定值，
∴当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值．
∵∠E′CF=135°-90°=45°，
∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，
则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，
设△CE′F的外接圆半径为rm，
∴E′F=rm，
又∵OC+OD≥CD，
∴r+r≥6，
∴r≥12-，
当点O在CD上时，E′F最短，此时E′F=r=（-12）m，
∴S△CE′F最小=×（-12）×6=（-36）m2，
∴S四边形AECF最大=S四边形ABCD-S△CE’F最小=36+-（-36）=72m2．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
16．如图经过A、B、C三个格点，用无刻度直尺作图，用虚线表示．
(1)在图1中画的中点D；
(2)在图1中的上画一点E，连接，使；
(3)在图2中作平分线交于F．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取线段中点（也为格点）G，连接并延长，交于点D，则D点即为所作；
（2）取格点H，使，如图，由（1）可知，即得出．再根据直径所对圆周角为直角，即得出，从而得出；
（3）连接，取格点M，使，取格点N，使，连接并延长，交于点F，则F点即为所作．根据线段垂直平分线的判定定理可知垂直平分，则由垂径定理可知，再根据在同圆（或等圆）中同弧（或等弧）所对圆周角相等即得出．
【详解】（1）解：如图1，点D即为所作；
（2）解：如图1，点E和线段即为所作；
（3）解：如图，即为所作．
【点睛】本题考查格点作图，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，线段垂直平分线的判定等知识，利用数形结合的思想是解题关键．
17．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上.请用无刻度尺按要求作图：
(1)在图1中，作的高；
(2)在图2中作图：
①找一格点使，且；
②连接，在上画出一点，连，使将四边形的面积平分．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②见解析．
【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可；
（2）①结合勾股定理和网格图即可；②在上取格点，使，再取线段的中点，即可．
【详解】（1）如图1，线段为所求；
证明：取网格点M、N、P，连接PN、PB、AM，如图，
结合网格易得：△BNP≌△APM，即有∠PAM=∠PBN，
∵∠PAM+∠MPA=90°，
∴∠PBN+∠MPA=90°，
∴在△PBH中，∠PHB=90°，
即AH⊥BC，
AH符合要求；
（2）①如图2，点为所求；
②如图2，点为所求．
①证明：结合网格图和勾股定理，可得，，
即，，
即△ACD是直角三角形，∠CAD=90°，
即有：AC⊥AD，，即D点满足要求；
②证明：由割补法，可求得的面积为，
根据，则的面积，
∴与的面积相等，
根据网格作图可知，线段的中点为，
∴，
∴，
则线段平分四边形的面积．
【点睛】本题考查作图 应用与设计作图，三角形的高，中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18、如图，在的方格纸中，点A、B、C都在格点上，请用无刻度的直尺作图．
(1)在图1中的线段上找一个点D，使；
(2)在图2中作一个格点上的，使得，且的面积为的面积的五分之一；
(3)在图3中，点A、B、C均在上，点D是的中点．请仅用无刻度的直尺画出的平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取格点M，N，连接交于点D，则点D即为所求；
（2）取格点E，F，再根据相似三角形的判定，即可求解；
（3）连接，并延长交于点E，即可求解．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求；
理由：取格点M，N，连接交于点D，则，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，即为所求；
理由：根据题意得：，，，
，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：如图，即为所求．
理由：∵点D是的中点，为半径，
∴，
∴，
∴，
即平分．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了垂径定理和圆周角定理．
19、已知点A（1，3）、B（3，-1），利用图中的“格点”完成下列作图并解答：
（1）在第三象限内找“格点”C，使得CA=CB，则点C的坐标是 ；
（2）在（1）的基础上，标出“格点”D，使得△DCB≌△ABC，则点D的坐标是 ；
（3）点M是x轴上一点，且MA-MB的值最大，则点M的坐标是 ．
【答案】（1）（-2，-1）；（2）（0，3）；（3）（4,0）．
【分析】（1）点C在线段AB的垂直平分线上；（2）根据全等三角形的性质即可解决问题；（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，延长AB′交x轴于点M，点M即为所求，M（4，0）．
【详解】解：（1）∵CA=CB
∴点C在线段AB的垂直平分线上
∴格点C（-2，-1）如图所示．
（2）利用“SSS”定理作图确定，格点D（0，3）如图所示．
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，延长AB′交x轴于点M，点M即为所求，M（4，0）．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴专题14 几何作图题
知识考点与解题策略 网格作图： 以网格为背景 通常以网格为背景,关键是把握网格特征(各格点之间线段的位置及大小关系),酝酿与构建相关点、线、特殊图形的形状、位置及大小关系.
例题1（2024·江苏南京·模拟预测）已知和线段l，线段h．使用直尺和圆规作出满足下列条件的三角形（写出作法，保留作图痕迹）．
(1)求作，使得，周长等于线段l；
(2)求作，使得，一边上的高等于线段h，周长等于线段l．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，过已知点作已知直线的垂线等基本作图．
（1）作，在射线上取点，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，即为所求；
（2）作，过作，在上截取，过作交射线于，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，即为所求．
【详解】（1）解：作，在射线上取点，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，如图：
即为所求；
理由：由作图可知，，，
是的垂直平分线，
，
，
，
的周长等于线段，
，
满足条件；
（2）解：作，过作，在上截取，过作交射线于，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，如图：
即为所求．
理由：由作图可知，，
到的距离等于，
同（1）可知的周长等于线段，，
满足条件．
例题2（24-25 九年级上·江苏泰州·期末）如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．
(1)在图1中的线段上找一个点E，使；
(2)在图2中作一个格点，使与相似，且面积比为．
【答案】(1)图形见解析
(2)图形见解析
【分析】本题考查作图-相似变换、三角形的面积．
（1）取格点M，N，使，且，连接，交于点E，则点E即为所求．
（2）结合相似三角形的判定与性质，取格点D，E，使，，连接即可．
【详解】（1）解：如图1，取格点M，N，使，且，连接，交于点E，
则，
，
，
，即，
则点E即为所求；
（2）解：由如图2可得，
，，
，
，
与相似，且面积比为，
的面积为8，
取格点D，E，连接,
∵，,
∴，
∴是直角三角形，，
∵,
∴，
∴，
则即为所求．
1．（2024·江苏无锡·一模）如图，已知中，．
(1)请在图1中用圆规和无刻度的直尺作，使得经过点，同时圆心落在边上，且与边相切于．
(2)在（1）的条件下，若，，为的内心，则的半径长为______，______．
【答案】(1)作图见解析
(2)，
【分析】（1）过点作的垂线交于，作的角平分线交于，过作垂线交于，以为圆心、为半径作圆即可得到答案；
（2）由（1）知，，设半径为，由勾股定理及相似三角形的判定与性质得到，代值求解即可得到答案；是的内切圆，设其半径为，由求解，再根据，利用相似比代值求解得到，在中，由勾股定理求解即可得到．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：由（1）知，，
，
，
，
，
是等腰底边上的中线，即，
，，
在中，，则，
设半径为，则，解得；
如图所示：
为的内心，
是的内切圆，
设其半径为，则，即，解得，
，
，即，解得，则，
在中，；
故答案为：，．
【点睛】本题考查几何综合，涉及尺规作图-作垂线、作角平分线、作圆、勾股定理、相似三角形的判定与性质、内切圆性质等知识，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键．
2．（2024·江苏泰州·二模）
素材1：平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形称为四边形，其中作出一条边所在的直线，其余各边均在其同侧的四边形称为凸四边形，其余各边中有不在同侧的四边形称为凹四边形，换句话说就是，凸四边形的每个内角都小于，凹四边形中有内角大于． 素材2：我们把一组对角相等且只有一组对边相等的凸四边形称为F 四边形．小亮按下列步骤操作得到的四边形ABDE就是F 四边形： 第1步：画，，； 第2步：在边上取一异于B，C的点D，； 第3步；以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点； 第4步：连结、．
活动一：素材反思
思考1：素材2中操作的第2步中为什么要说明“”？ 任务1：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．判断四边形是否为F 四边形，并说明理由；
思考2：素材2中操作的第1步中为什么要说明“”？ 任务2：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．若四边形为F 四边形，求的取值范围；
活动二：图形应用
如图，四边形为F 四边形，，，且． 任务3：记的面积为S，直接写出S的取值范围．
【答案】任务1：四边形不是F 四边形，理由见解析；任务2：，且；任务3：且
【分析】任务1：当时，根据作图可得，，再根据F 四边形的定义，即可判断答案；
任务2：设，列不等式及求解，即得答案；
任务3：以点M为圆心长为半径画弧，交的延长线于点G，连结，过点M作于点H，先证明，得到，再根据变化过程中的临界位置可知，分别对两个临界位置求面积，并注意的情况，即可得到答案．
【详解】任务1：
四边形不是F 四边形；
理由：当时，根据作图可得，，，
∴四边形是平行四边形，此时有两组对边相等，与题中只有一组对边相等不符，
所以不是F 四边形；
任务2：
当时，易得，
，
，
设，
，
又作图可得，，
又，
，
，，
凸四边形的每一个内角都小于，
，
，
，
，
，
综上，且；
任务3：
且．
理由如下：
以点M为圆心长为半径画弧，交的延长线于点G，连结，过点M作于点H，
则，
，
，
，
P，G，Q，M四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
四边形为F 四边形，
，，
由图a和图b中的位置可知，
在图a中，
，
，
，
，
，
，
在图b中，
，
，
当点P在的中点时，，
此时，不符合题意，
S的取值范围是且．
【点睛】本题考查了动态几何问题，圆周角、弧、弦之间的关系，平行四边形的判定与性质，一元一次不等式的应用，全等三角形的判定与性质，几何最值问题等知识，应用一元一次不等式解题及添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．（2024·江苏南京·二模）用矩形纸片可以折叠出等边三角形，但折叠会损耗矩形纸片的面积．能否将整张矩形纸片无损耗地剪拼成一个等边三角形呢？
(1)有些矩形纸片很容易剪拼成等边三角形．如图两个矩形纸片只需剪1~2刀就可以拼成等边三角形，请画出分割线，并做必要标注．
(2)任意矩形要剪拼成等边三角形很难想到，不妨倒过来考虑，即研究将等边三角形纸片剪拼成矩形，图③是一种可行的分割方案：
①求证：；
②将图③中甲、乙、丙三部分进行平移或旋转可以拼出矩形，在原图中画出拼接矩形的示意图．
(3)如何将一张纸（如图④，，）剪拼成等边三角形？在图中画出分割线（标注必要的长度或角度，写出必要的文字说明）．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
(3)见解析
【分析】（1）图①沿一条对角线分割即可；②作角，点在边上，沿着进行裁剪即可；
（2）①连接，三角形的中位线定理，得到，，证明，即可得出结论；②根据题意，拼接成矩形即可；
（3）取边的中点E，F，在边上分别取点G，H，使；在上取点I，使，连接，则即为满足题意的分割线．
【详解】（1）解：如图①，即为满足题意的分割线；
如图②，即为满足题意的分割线．
图①中，，则，
∴，，
∴是两个全等的含30度角的直角三角形，
故可以组成一个等边三角形；
图②可组成如图所示的等边三角形；
（2）①证明：连接．
∵ D，E分别为的中点，
∴为的中位线．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
②如图所示，矩形即为所求．
（3）如图，取边的中点E，F，在边上分别取点G，H，使；在上取点I，使，连接，则即为满足题意的分割线．
【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，对学生的空间想象能力要求高，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
4．（2024·江苏镇江·二模）数学的思考
如图①，在平面直角坐标系中，已知点，，试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得最大，并求出此时点P的坐标．
数学的眼光
(1)如图①，请说明
数学的表达
(2)如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程；
(3)如图③，延长线段交x轴于点D，连接、，当与相切时，通过求的长可得到点P的坐标，请直接写出P的坐标；
(4)如图④，已知线段，用尺规在射线上作出点P，使得最大（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
(4)见解析
【分析】（1）利用圆周角定理的推论以及三角形外角定理即可求解；
（2）设点，即可求得，，进行计算即可；
（3）连接并延长，交于点E，连接，根据，，，即可推出，即，得到，计算代入求解即可；
（4）由（3）得，构造直径长为的半圆，得出c，然后在图中作图即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∴
∵是的外角，
∴，
∴，
∴．
（2）直线l的表达式为，
∵点C在直线l上，
设点，
∴，，
∵，
∴
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴P点坐标为．
（3）连接并延长，交于点E，连接，如图，
∵是直径，
∴，
∴，
∵与x轴相切于点P，
∴轴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
即可得到直线的解析式为，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴P点的坐标为．
（4）令，，根据第（3）问得，构造直径长为的半圆，得到c，即在图中截取即可，如图所示，此时即为所求．
【点睛】本题考查圆的综合运用，主要考查了垂径定理，相似三角形的性质与判定，圆周角定理的推论，三角形外角定理、作图，熟练掌握相似三角形的性质与判定以及圆周角定理的推论是解题的关键．
5、【问题提出】如图1，用“圆规和无刻度的直尺”，作两条以为圆心的圆弧将已知扇形的面积三等分．
【问题联思】如图2，已知线段，请你用“圆规和无刻度的直尺”作一个以为底边，底角为的等腰三角形，并写出与的数量关系；
【问题再现】如图3，已知扇形，请你用“圆规和无刻度的直尺”作两条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被两条圆弧三等分．（友情提醒：保留作图痕迹，并用黑笔描线加深）
【答案】[问题联思]：，图见解析；[问题再现]：图见解析
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，画等腰三角形，垂直平分线的性质，画垂直平分线，扇形面积公式，熟练掌握基本作图以及扇形面积公式是解题的关键．
【问题联思】如图所示，分别以，为圆心，为半径作圆，交于点，则三角形为等边三角形，然后作的垂直平分线，的垂直平分线，交于点，则即为所求；
【问题再现】分别作出半径为，，的弧，即可求解．
【详解】解：【问题联思】如图所示，分别以，为圆心，为半径作圆，交于点，则三角形为等边三角形，然后作的垂直平分线，的垂直平分线，交于点，则即为所求；
∴．
【问题再现】同上方法作以为底边，底角为的等腰三角形，则，延长交于点，则，
设，则，
以为圆心，为半径，作弧，则，
连接，则，
以为圆心，为半径，作弧，则，
设，
扇形的面积为，
扇形的面积为，
扇形的面积为，
∴弧，，即为所求．
6．（2024·江苏盐城·三模）【阅读理解】
在平面直角坐标系中，把点P沿纵轴或横轴方向到达点Q的最短路径长记为．
例如：如图1，点，点，则．
图1
(1)①已知点和点，则______．
②点E是平面直角坐标系中的一点，且，则所有满足条件的点E组成的图形是（ ）
A．一条线段 B．一个等边三角形 C．一个正方形 D．一个圆
【新知运用】
(2)已知点，点Q在线段上；
①如图2，已知点和点，则的最大值是；
图2
②如图3，已知点和点，求的最小值．
图3
(3)如图4，已知点，点，以点G为圆心，5为半径作，点Q在上，则的取值范围是．
图4
【尺规作图】
(4)如图5，请用无刻度直尺和圆规在直线l上找一点K，使得．
图5
【答案】(1)①6，②C
(2)①4，②
(3)
(4)见解析
【分析】（1）①根据定义分别计算横坐标差的绝对值，纵坐标差的绝对值，求和即可；
②设点，根据，得到，分类去绝对值，画图即可；
（2）①设，则，当x取最大值时，有最大值，计算即可；
②由直线的解析式，设由讨论得的最小值为；
（3）过上任意一点点Q作轴于点B，过点Q作直线，交x轴于点C，使，求出，得出当最大时，最大，当最小时，最小，过圆上一点作的平行线，与x轴的交于一点，该点与P点间的距离最大时，最大，该点与P点间的距离最小时，最小，作，使与相切于点D，交轴于点E，此时最大，当点Q运动到点D时，最大，过点P作轴，交于M、N两点，过点M作，交x轴于点J，此时最小，当点Q运动到点M时，最小，分别求出最大值和最小值即可；
（4）连接，作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心，为半径作圆M，与的垂直平分线交于点N，过点N作x轴的平行线，该直线与直线l的交点即为所求点K．
【详解】（1）解：①∵点和点，
∴，
故答案为：6．
②设点，
∵，
∴，
去绝对值，得到，，，，画图如下：
∴所有满足条件的点E组成的图形是正方形，故C正确．
故选：C．
（2）解：①设，则，当x取最大值时，有最大值，当时，取最大值，且为，
故答案为：4．
②设直线为，将和点代入，解得，
设，
根据题意，得，
∵点Q在线段上，
∴，
当时，，
根据随x的增大而减小，
当时，有最小值，此时的最小值为；
当时，，
根据随x的增大而增大，
故，
故的最小值为．
（3）解：过上任意一点Q作轴于点B，过点Q作直线，交x轴于点C，使，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，当最小时，最小，
即过圆上一点作的平行线，与x轴的交于一点，该点与P点间的距离最大时，最大，该点与P点间的距离最小时，最小，
∴作，使与相切于点D，交轴于点E，此时最大，
∴当点Q运动到点D时，最大，
过点D作轴于点F，连接，过点G作于点H，轴于点K，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，，
∴的最大值为；
过点P作轴，交于M、N两点，过点M作，交x轴于点J，此时最小，
∴当点Q运动到点M时，最小，
过点G作于点L，连接，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴最小值为；
综上分析可知，．
（4）解：如图，连接，作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心，为半径作圆M，与的垂直平分线交于点N，过点N作x轴的平行线，该直线与直线l的交点即为所求点K．
连接、，过点E作于点A，作于点B，
则，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，切线的性质定理，垂直平分线定理，尺规作一个角等于已知角，尺规作线段的垂直平分线，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，新定义运算，矩形的判定和性质，绝对值的意义，解题的关键是作出辅助线，画出相应的图形，注意运用数形结合的思想．
7．在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，点C在第一象限内．
(1)如图1，．
①若是以AC为斜边的直角三角形，且．请在图（1）中利用圆规、无刻度直尺作出点C的位置（不写作法，保留作图痕迹），写出点C的坐标________；
②若是等边三角形．求点C的坐标；
(2)如图2，是等边三角形，点C在以为圆心，半径为r的圆上．若存在两个满足条件，求r的取值范围．
【答案】(1)①作图见解析，；②；
(2)．
【分析】（1）①是以AC为斜边的直角三角形，点C在第一象限内，得，如图，过点B作的垂线，在第一象限内截取，连接即可；依题意得，过点C作轴于D，可得，有即可求解；
②如图，取中点E，连接并延长交于F，，作轴于D，由题意可知垂直平分，由股股定理和等边三角形性质依次求得，，，由，解得：，，易证，可解得，，由，求得，再求得即，从而求解；
（2）如图，取中点E，连接并延长交于F，作轴于D，轴于G，设，，利用等边三角形的性质和勾股定理可证点C在直线上，当时，，可知点不在直线上，点B在x轴正半轴上，当点B与点O重合时,如图，等边三角形边长为2，可求得：从而求得，当与相切时，如图，作直线分别与x，y轴相交于H，I，过P作分别与x，y轴相交于J，K，过O作于 L，交于M，则四边形为矩形，，设解析式为，将代入求得即，求得，，从而求得，由可求得及，即可求解．
【详解】（1）解：是以AC为斜边的直角三角形，点C在第一象限内，
，
如图，过点B作的垂线，
，
在第一象限内截取，连接即可；
，
即，
过点C作轴于D，
，
，
，，
，
；
②如图，取中点E，连接并延长交于F，作轴于D，
由题意可知垂直平分，
，
，
，
，
，
，
解得：，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，取中点E，连接并延长交于F，作轴于D，轴于G，
设，，
，
，
，
解得：，，
则，，
由题意可知垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
点C在第一象限内，
，
即点C在直线上，
，
当时，，
不在直线上，
点B在x轴正半轴上，
当点B与点O重合时,如图，
等边三角形边长为2，
可求得：
当与相切时，
如图，作直线分别与x，y轴相交于H，I，过P作分别与x，y轴相交于J，K，过O作于 L，交于M，
则四边形为矩形，
，
令求得，
令求得，
，，
设解析式为，将代入求得，
，
令求得，
令求得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的应用及坐标与图形；解题的关键是通过等积法构造等量关系得到．
8．（1）如图，锐角△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°．在△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且∠BDC+∠BAC＝180°，请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，不需写出作法）；求出线段AD的长；
（2）如图2，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．点P是线段AC上的动点，当AP+PB最短时，请你在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明）
【答案】（1）作图见解析，；（2）见解析；
【分析】（1）由∠BAC+∠BDC=180°，得到A、B、C、D四点共圆，作∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，点D即为所求；过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N．利用全等三角形的性质证明AM=AN=5，可求解；
（2）如图3所示，取格点D、E、F，连接AE，DF，AE与DF交于K，连接BK交AC与P，点P即为所求；
【详解】（1）解：如图1所示，点D即为所求作．
如图2，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，∠DAB=∠DAC=30°，
又∵AD=AD
∴Rt△ADM≌Rt△ADN（HL），
∴AM=AN，
∵∠DAB=∠DAC，
∴ ，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM=CN，
∵AB+AC=AM+BM+AN-CN=2AN=10，
∴AN=5，
∴ ；
（2）如图3所示，取格点D、E、F，连接AE，DF，AE与DF交于K，连接BK交AC与P，点P即为所求；
证明如下：如图4所示，取格点M、N，连接MC，NE，MC与NE交于J，
∴,,，
∴，
∴△ACJ是直角三角形，∠ACJ=90°，
∴，
如图5所示，取格点Q、R、T，连接QT，RN，二者交于L，连接BL，KL，AK、IJ，
∴,，即KL=AJ，,
∴四边形AKIJ是平行四边形，
∴，
∵，
∴△BKL是直角三角形，即BK⊥KL，
∴BK⊥AJ，
设BK与AJ交于点O，则∠AOP=90°，
∴，
∵要使即使最小，即最小，
∴当B、P、O三点共线时，，即最小，
∴点P即为所求；
【点睛】本题考查了三角形外接圆，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，解直角三角形，垂径定理等等，综合性非常强，难度很大，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9、【问题提出】为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：
如图①，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口是一个矩形形状的联动装置，顶点P、Q只能在边框上滑动，顶点M、N可在其它边框上滑动，联动装置的四边都是长度可自动伸缩的金属杆，当金属杆上下移动时，其他金属杆也随之移动，图①、图②是通风口打开时的两种不同情况．试确定金属杆的位置，使通风口（矩形）面积最大．
设窗子的边框、分别为，，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为．
【初步探究】
（1）若，，（即点E到的距离为2），与之间的距离为，通风口的面积为．
①分别求出当和时y与x之间的函数表达式；
②金属杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【深入探究】
（2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①c需要满足的条件是_______________，通风口的最大面积是_______________（用含a、b、c的代数式表示）．
②用直尺和圆规在图③中作出通风口面积最大时金属杆所在的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）若将窗子的上部分边框改为以的中点O为圆心的圆弧（）形状（如图④所示），其他条件不变，金属杆移动到什么位置时，通风口面积最大（直接写出答案，不必说明理由）．
【答案】（1）①当时，；当时，；②金属杆移动到所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是；（2）①；；②见解析；（3）当（等同于）时，金属杆移动到所在位置时，通风口面积最大；当（等同于）时，金属杆移动到与相距时，通风口面积最大
【分析】（1）①过作，垂足为，分别与 、相交于点、，当时， ；当时，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，再证明 ，运用相似三角形性质即可得出结论．
②根据①的结论进行分析计算即可；
（2）①在中有内接矩形，易证当为中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为 面积的一半；延长、交直线于、，则 为的中位线时，矩形的面积最大；要想金属杆移动到高于 所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，只需与边平行的中位线在上方即可，作 于交于，证明，利用相似三角形性质即可得到结论；
②按要求尺规作图即可；
（3）画出图形，结合图形进行分析计算．
【详解】解：（1）①如图1，过作，垂足为，分别与、相交于点、，
当时，，
当时，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，
，
由题意可知，，，
，，
，
，
又、分别是、的对应高，
，即 ，
化简，得：．
．
②当时，，
因此，当时，最大，最大值是2．
当时，，
因此，当时，最大，最大值是2．
综上所述，当时，最大，最大值是2．
因此，金属杆移动到所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是．
（2）①如图2，已知在中有内接矩形，其中、在、边上，、在边上，
易证当为中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为面积的一半，
即：底高，
在图3中，延长、交直线于、，
则为的中位线时，矩形的面积最大，
所以要想金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，
只需与边平行的中位线在上方即可，
即，此时的最大，面积为的面积的一半．
作于交于，
，
，
，即 ，
，
矩形面积的最大值面积的一半 ．
故答案为：；．
②如图4，线段即为所求．
（3）当 （等同于）时，金属杆 移动到所在位置时，通风口面积最大；
当（等同于时，金属杆移动到与 相距时，通风口面积最大．
易知当在上时，随增大而增大，
当在上时，如图5，
，
则，
则当即时， 随增大而增大，
当时，随增大而减小
当，即时：当 时，随增大而增大；
当时，，
随增大而减小，
在中，当时，最大．
当，即时：当 时，随增大而增大：当时， 随增大而增大：当时， 随增大而减小，
在中，当时， 最大．
，
，
，
等同于， 等同于．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质，最值问题，勾股定理的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．
10、如图，在中，，点到两边的距离相等，且．
（1）先用尺规作出符合要求的点（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由；
（2）设，，试用、的代数式表示的周长和面积；
（3）设与交于点，试探索当边、的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．
【答案】(1)作图见解析；ΔABP是等腰直角三角形. 理由见解析；（2）； （3）.
【分析】（1）由题意作出∠ACB的角平分线和线段AB的垂直平分线可求出点P，然后证明Rt△APE≌Rt△BPF即可；
（2）由PA=PB，PA=m，可得出 ，由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，可得CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，在Rt△PCE中， PC=n，可知 ，即 ，最后求出周长和面积；
（3）由平行线分线段成比例定理得到 , 是解答本题的关键．
【详解】（1）依题意，点P既在∠ACB的平分线上，又在线段AB的垂直平分线上.
如图1，作∠ACB的平分线，作线段AB的垂直平分线，与的交点即为所求的P点．
是等腰直角三角形.
理由：过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB、，垂足为E、F如图2.
∵PC平分∠ACB，PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F，
∴PE=PF.
又∵ PA=PB，
∴Rt△APE≌Rt△BPF，
∴∠APE=∠BPF.
∵∠PEC=，∠PFC=，∠ECF=，
∴∠EPF=， 从而∠APB=，.
又∠PEC=，
∴是等腰直角三角形.
（2）如图2，在Rt△PCE中，∠PEC=，PA=PB，PA=m，
∴AB=.
由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，
可得AE=BF,CE=CF,
∴CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，.
在Rt△PCE中，∠PEC=，∠PCE=，PC=n,
∴,
∴.
所以△ABC的周长为：AB+BC+CA=.
因为△ABC的面积=△PAC的面积△PBC的面积△PAB的面积=
==
（3）过点D分别作DM⊥AC,DN⊥BC，垂足为M、N如图3.
∵.
由DN∥AC得 ①
由DM∥BC得 ②
①+②，得，即.
∴，
即
11、是一地铁皮，如何按要求从中剪一个面积最大的圆？
(1)【初步认识】
请用直尺和圆规在图①中作出面积最大的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)【继续探索】
若三角形铁皮上有一破损的孔点（孔径大小忽略不计），要求剪一个面积最大的圆且圆面无破损，请用直尺和圆规在图②中作出满足要求的圆（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
(3)【问题解决】
如图③，若，，、分别是、的中点，破损的孔点位于上（孔径大小忽略不计）．设为，剪出面积最大的圆（圆面无破损）的半径为，直接写出和的关系式以及相应的取值范围．
【答案】(1)作图见解析部分
(2)作图见解析部分
(3)当或时，；当时，；当时，
【分析】（1）作的角平分线，作的角平分线，交于点，过点作于点，以点为圆心，为半径作即可；
（2）作的角平分线，在在取一点，作与、均相切；连接交于点，连接，过作交于点；以点为圆心，为半径作即可；
（3）根据题意画出图形，分三种情况解答；
【详解】（1）解：如图，即为所作．
（2）①作的角平分线，在在取一点，作与、均相切；
②连接交于点，连接，过作交于点；
③以点为圆心，为半径作，则即为所作．
（3）情况一：如图，为的内切圆，与、、分别相切于点、，，与交于点、，连接、、、，则，连接交交于点，连接、，
∴平分，，，，
∵，
∴，
∴点、，三点共线，
∴，平分，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵、分别是、的中点，，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
当点在线段上，，
当点在线段上，，
∴当或时，；
情况二：如图，当只与、相切，且点在上，则点在右侧，点在左侧，过点作于，的反向延长线交于，交于，与相切于点，连接、，
∴，，
∴此时的取值范围是：，
由情况一可知，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，
由情况一可知，，，，，
∴，
，
∵，
∴在中，，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（舍去）；
∴当时，；
情况三：如图，当只与、相切，且点在上，则点在左侧，点在右侧，过点作于，的反向延长线交于，交于，与相切于点，连接、，
∴，，
∴此时的取值范围是：，
由情况一可知，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，
由情况一可知，，，，，
∴，
，
∵，
∴在中，，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（舍去）；
∴当时，．
综上所述，和的关系式以及相应的取值范围：当或时，；当时，；当时，
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了三角形的内切圆，垂径定理，等腰三角形的三线合一的性质，三角形的中位线，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的判定和性质，三角函数，一元二次方程等知识，运用了等积法，分类讨论的解题方法．解题的关键是理解三角形的内切圆的圆心是三角形角平分线的交点．
12、【问题提出】
(1)如图①，在中，点为边的中点，画出关于点的对称图形（点的对应点记为），此时四边形为形状为_________；
【问题探究】
(2)在（1）的条件下，若，，求四边形周长的最大值；
【问题解决】
(3)如图②，某风景区有一段笔直的河流，有一处自然喷泉（点）在这条河流上，风景区在现有资金条件下准备修建一条长米的直通道路，在道路的尽头处安装一个张角为的高清摄像头以观测游客的活动，要求喷泉恰好在摄像头观测到河流的边界点、的正中间，求摄像头能观测区域的最大面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)摄像头能观测区域的最大面积为平方米
【分析】（1）根据题意画图，平行四边形的判定可得；
（2）构建等腰三角形，求得；构建的外接圆，连接并延长交于点，连接，，根据圆周角定理和其推论，可得，；根据特殊角的三角函数值，求得半径，结合，即可求得的最大值为的长，即可求得；
（3）延长到点，使，构建平行四边形，可得，构建的外接圆，连接，，根据圆周角定理，可得，根据特殊角的三角函数值可得半径，连接，延长与圆交点为，根据垂径定理，可得，可得的值，当点与点重合时，面积最大，即可求得．
【详解】（1）图①即为所求：平行四边形．
（2）如图②，延长至点，使，则为等腰三角形．
∵
∴
设，，三点共圆．连接并延长与圆交于点，连接，，，
∵
∴．
∴
．
∴四边形的周长最大值为．
（3）如图③，延长到点，使米，连接，，
则四边形为平行四边形．
∴
∵
∴
设、、三点共圆．
连接，
∵米，
∴，米．
连接，则，延长交于点，当点与点重合时，面积最大，此时．
最大值为平方米
∴摄像头能观测区域的最大面积为平方米．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外接圆的性质，圆周角定理及其推论，特殊角的三角函数值，垂径定理等知识，涉及的知识点较多，综合性强，难度较大，熟练应用圆的相关定理是解题的关键．
13、[问题提出]
初中数学的学习中，我们学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识……常可利用它们来解决“最值问题”．
[简单运用]
(1)如图1，在△ABC中，AB＝6，∠A＝60°，∠B＝45°，在BC上取一点D，则AD的长的最小值是______．
[综合运用]
(2)如图1，在△ABC中，AB＝6，∠A＝60°，∠B＝45°，在BC、AB、AC．上分别取点D、E、F，使得△DEF的周长最小．画出图形确定D、E、F的位置，并直接写出△DEF的周长的最小值．
[拓展延伸]
(3)图2是由线段AB、线段AC、组成的图形，其中∠A＝60°，AB＝6，AC＝3，为60°，分别在BC、线段AB和线段AC．上取点D、E、F，使得△DEF的周长最小，画出图形确定D、E、F的位置，并直接写出△DEF的周长的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）如图，过A作AD⊥BC于D，则此时AD最短，再利用锐角三角函数求解即可；
（2）如图，过A作AD⊥BC于D，再作D关于AB的对称点，作D关于AC的对称点 连接 交AB，AC于E，F，则 此时三角形DEF的周长最短，再结合轴对称的性质与三角函数可得答案；
（3）如图，确定的圆心为O，作D关于AB的对称点M，作D关于AC的对称点N，连接MN交AB，AC于E，F，再连接AD，AO，同理：可得 所以当AD最短时，最短，所以当A，D，O三点共线时，AD最短，从而可得三角形的周长最短，再利用锐角三角函数与勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：如图，过A作AD⊥BC于D，则此时AD最短，
所以AD的最小值为：
故答案为：
（2）解：如图，过A作AD⊥BC于D，再作D关于AB的对称点，作D关于AC的对称点 连接 交AB，AC于E，F，
由（1）可得：
由对称的性质可得：
过作AG⊥ 垂足为G，
由
最短，则最短，此时最短，此时三角形DEF的周长最短，
所以的周长最小值为
（3）解：如图，确定的圆心为O，作D关于AB的对称点M，作D关于AC的对称点N，连接MN交AB，AC于E，F，再连接AD，AO，
同理：AD=AM=AN，
所以当AD最短时，最短，
所以当A，D，O三点共线时，AD最短，如图，
如图，取AB的中点Q，连接CQ，BC，
而
为等边三角形，
为
而
为等边三角形，
∴
即：△DEF的周长的最小值为
【点睛】本题考查的是垂线段的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，圆的基本性质，锐角三角函数的应用，综合程度较高，理解轴对称的性质与垂线段最短及一点与圆的最短距离是解本题的关键．
14、问题探究
（1）如图①，在正方形ABCD内，请画出使∠BPC＝90°的所有点P；
（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝9，BC＝10，在矩形ABCD内画出使∠BPC＝60°的所有点P，并求出△APD面积的最小值；
（3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活．某农业观光园的平面示意图如图3所示的四边形ABCD，其中∠A＝120°，∠B＝∠C＝90°，AB＝km，BC＝6km，观光园的设计者想在园中找一点P，使得点P与点A、B、C、D所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在△BPC的区域内∠BPC＝120°，且△APD的区域面积最小，试问在四边形ABCD内是否存在这样的点P，使得∠BPC＝120°，且△APD面积最小？若存在，请你在图中画出点P点的位置，并求出△APD的最小面积．若不存在，说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）图详见解析，45﹣25；（3）存在，图详见解析，9﹣12．．
【分析】（1）如图1中，以BC为直径作⊙O，点P的轨迹是（不包括B，C）．
（2）如图2中，以BC为边向上作等边三角形△BCP，作△BCP的外接圆，交AB于E，交CD于F，点P轨迹是（不包括E，F），当点P是的中点时，△ADP的面积最小．
（3）如图3中，以BC为边向下作等边三角形△BCE，作△BCE的外接圆，点P轨迹是（不包括B，C），作OJ⊥BC于J，交AD于K，作AT⊥OK于T．延长OP交AD于H，当OH⊥AD时，PH的值最小，此时△PAD的面积最小．
【详解】解：（1）如图1中，以BC为直径作⊙O，点P的轨迹是（不包括B，C）．
（2）如图2中，以BC为边向上作等边三角形△BCP，作△BCP的外接圆，交AB于E，交CD于F，点P轨迹是（不包括E，F），
当点P是的中点时，△ADP的面积最小．
此时S△APD＝×10×（9﹣5）＝45﹣25．
（3）如图3中，以BC为边向下作等边三角形△BCE，作△BCE的外接圆，点P轨迹是（不包括B，C），
作OJ⊥BC于J，交AD于K，作AT⊥OK于T．延长OP交AD于H，当OH⊥AD时，PH的值最小，此时△PAD的面积最小．
由题意BJ＝JC＝3，OJ＝，
∵四边形ABJT是矩形，
∴∠BAT＝90°，AT＝BJ＝3，AB＝TJ＝，
∵∠DAB＝120°，
∴∠KAT＝30°，
∴KT＝，AK＝2，
∴OK＝OJ+JT+TK＝3，
∵∠OKH＝60°，
∴OH＝OK sin60°＝，
∴PH＝OH﹣OP＝﹣2，
∵AB∥JK∥CD，BJ＝CJ，
∴AK＝KD＝2，
∴AD＝4，
∴△PAD的面积的最小值＝×（﹣2）＝9﹣12．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，三角形的外接圆，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
15、问题提出
（1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值；
问题解决
（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值 若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，72m2
【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角为直角解决问题即可．
（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，根据垂线段最短得到AO+OE≥AD，从而算出BC的最大值，即可得到结果；
（3）分别延长AB、DC交于点M，根据等腰直角三角形的性质求出四边形ABCD的面积，将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，得到A、D、E′三点共线，从而得到当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，设△CE′F的外接圆半径为rm，求出r的取值范围，得到当点O在CD上时，E′F最短，从而可以求出四边形AECF面积的最大值.
【详解】解：（1）如图，Rt△ACB即为所求．
（2）如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
则∠BOC=2∠BAC，OA=OB=OC，BE=CE=BC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，
设OA=OB=OC=r，
则OE=r，BC=2BE=r，
∵AO+OE≥AD，AD=3，
∴r+r≥3，
解得r≥2，
∴BC=r≥，
∴S△ABC=BC·AD≥××3=，
∴△ABC面积的最小值为．
（3）存在；如图，分别延长AB、DC交于点M，
则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形，
∵CB=CD=6m，
∴BM=6m，CM=m，AD=DM=（6+）m，
∴S四边形ABCD
=S△ADM-S△CBM
=DM2-BC2
=×（6+）2-×62
=（36+）m2．
将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，
则A、D、E′三点共线．
∴S四边形AECF=S四边形ABCD–（S△CBE+S△CDF）=S四边形ABCD–S△CE′F
∵S四边形ABCD为定值，
∴当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值．
∵∠E′CF=135°-90°=45°，
∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，
则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，
设△CE′F的外接圆半径为rm，
∴E′F=rm，
又∵OC+OD≥CD，
∴r+r≥6，
∴r≥12-，
当点O在CD上时，E′F最短，此时E′F=r=（-12）m，
∴S△CE′F最小=×（-12）×6=（-36）m2，
∴S四边形AECF最大=S四边形ABCD-S△CE’F最小=36+-（-36）=72m2．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
16．如图经过A、B、C三个格点，用无刻度直尺作图，用虚线表示．
(1)在图1中画的中点D；
(2)在图1中的上画一点E，连接，使；
(3)在图2中作平分线交于F．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取线段中点（也为格点）G，连接并延长，交于点D，则D点即为所作；
（2）取格点H，使，如图，由（1）可知，即得出．再根据直径所对圆周角为直角，即得出，从而得出；
（3）连接，取格点M，使，取格点N，使，连接并延长，交于点F，则F点即为所作．根据线段垂直平分线的判定定理可知垂直平分，则由垂径定理可知，再根据在同圆（或等圆）中同弧（或等弧）所对圆周角相等即得出．
【详解】（1）解：如图1，点D即为所作；
（2）解：如图1，点E和线段即为所作；
（3）解：如图，即为所作．
【点睛】本题考查格点作图，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，线段垂直平分线的判定等知识，利用数形结合的思想是解题关键．
17．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上.请用无刻度尺按要求作图：
(1)在图1中，作的高；
(2)在图2中作图：
①找一格点使，且；
②连接，在上画出一点，连，使将四边形的面积平分．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；②见解析．
【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可；
（2）①结合勾股定理和网格图即可；②在上取格点，使，再取线段的中点，即可．
【详解】（1）如图1，线段为所求；
证明：取网格点M、N、P，连接PN、PB、AM，如图，
结合网格易得：△BNP≌△APM，即有∠PAM=∠PBN，
∵∠PAM+∠MPA=90°，
∴∠PBN+∠MPA=90°，
∴在△PBH中，∠PHB=90°，
即AH⊥BC，
AH符合要求；
（2）①如图2，点为所求；
②如图2，点为所求．
①证明：结合网格图和勾股定理，可得，，
即，，
即△ACD是直角三角形，∠CAD=90°，
即有：AC⊥AD，，即D点满足要求；
②证明：由割补法，可求得的面积为，
根据，则的面积，
∴与的面积相等，
根据网格作图可知，线段的中点为，
∴，
∴，
则线段平分四边形的面积．
【点睛】本题考查作图 应用与设计作图，三角形的高，中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18、如图，在的方格纸中，点A、B、C都在格点上，请用无刻度的直尺作图．
(1)在图1中的线段上找一个点D，使；
(2)在图2中作一个格点上的，使得，且的面积为的面积的五分之一；
(3)在图3中，点A、B、C均在上，点D是的中点．请仅用无刻度的直尺画出的平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取格点M，N，连接交于点D，则点D即为所求；
（2）取格点E，F，再根据相似三角形的判定，即可求解；
（3）连接，并延长交于点E，即可求解．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求；
理由：取格点M，N，连接交于点D，则，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，即为所求；
理由：根据题意得：，，，
，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：如图，即为所求．
理由：∵点D是的中点，为半径，
∴，
∴，
∴，
即平分．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了垂径定理和圆周角定理．
19、已知点A（1，3）、B（3，-1），利用图中的“格点”完成下列作图并解答：
（1）在第三象限内找“格点”C，使得CA=CB，则点C的坐标是 ；
（2）在（1）的基础上，标出“格点”D，使得△DCB≌△ABC，则点D的坐标是 ；
（3）点M是x轴上一点，且MA-MB的值最大，则点M的坐标是 ．
【答案】（1）（-2，-1）；（2）（0，3）；（3）（4,0）．
【分析】（1）点C在线段AB的垂直平分线上；（2）根据全等三角形的性质即可解决问题；（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，延长AB′交x轴于点M，点M即为所求，M（4，0）．
【详解】解：（1）∵CA=CB
∴点C在线段AB的垂直平分线上
∴格点C（-2，-1）如图所示．
（2）利用“SSS”定理作图确定，格点D（0，3）如图所示．
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，延长AB′交x轴于点M，点M即为所求，M（4，0）．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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