压轴专题02 二次函数（特殊四边形存在性问题）
知识考点与解题策略 平行四边形存在性问题解题策略 （1）代数法：利用中点坐标公式，建立方程求解.设点的坐标A（，），B（，），C（，），D（，）（一般用一个或两个字母即可设出四个点的坐标）. 例①以AB为边 ②以AB为对角线进行分类讨论 （2）几何法：利用平行四边形的性质构造全等，即图中点B到点A如何移动（水平、竖直方向），则点C到点D就如何移动. 菱形存在性问题解题策略 方法1：先平四，再菱形 设点坐标，根据平行四边形存在性要求列出“A＋C＝B＋D”（AC，BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组。 方法2：先等腰，再菱形 在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再根据菱形的对边平行且相等利用平移确定第4个点的坐标即可. 矩形存在性问题的解题策略 方法1：先平四，再矩形 设点坐标，根据平行四边形存在性要求列出“A＋C＝B＋D”（AC，BD为对角线），再结合对角线相等，得到方程组。 方法2：先直角，再矩形 矩形还可以看成是由两个全等的直角三角形组成的，在此基础上，要善于利用直角三角形的性质： ①两个锐角互余； ②三边平方的等量关系（勾股定理）； ③斜边上的中线等于斜边的一半. 正方形存在性问题的解题策略 方法1：从正方形判定入手 若已知菱形，则证明一个角是直角或者对角线相等； 若已知矩形，则证明一组邻边相等或对角线互相垂直； 若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件即可. 方法2：构造三垂直全等 若条件并未给出关于四边形对角线的特殊性，一般任取3个顶点必然是等腰直角三角形，如果已经知道了两个定点，那么可以通过构造三垂直全等来求出第3个点，然后再利用平移进一步求出第4个点.
例题1 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，试判断的形状，并说明理由；
(3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)存在，
【分析】（1）将三点坐标分别代入抛物线中即可求出的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）根据（1）中求出的抛物线解析式得出的坐标，通过两点间距离公式可求出的值，计算发现，根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形；
（3）利用平行四边形的性质：对角线互相平分，则对角线的中点为固定值进行分类讨论：两条对角线为时；两条对角线为，时；两条对角线为时，即可得出符合条件的的坐标．
【详解】（1）解：将代入抛物线中，
得，
可解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：应为直角三角形，
证明如下：
由（1）得：抛物线的解析式为，
且是抛物线的顶点，
，
又，
，
，
，
，
故根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形．
（3）解：存在，均可满足条件．
∵要使以为顶点的四边形为平行四边形，
且平行四边形中对角线互相平分，
∴对角线的中点为固定值．
∵在抛物线对称轴上，在抛物线上，
∴可设，
则可分为以下三种情况进行讨论：①两条对角线为时，
有，
解得，
即此时；
②两条对角线为时，
有，
解得，
即此时；
③两条对角线为时，
有，
解得，
即此时．
故满足条件的点有3个，分别为．
例题2如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，点M的坐标为或或．
【分析】（1）由一次函数求出B，C两点的坐标，代入二次函数中可求出b，c，从而可求出二次函数的解析式；
（2）当以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，讨论画出所有的情况，再利用菱形的四边相等，求解对应m的值，从而得到点M的坐标．
【详解】（1）解：将代入一次函数得：，
∴点C坐标，
将代入一次函数得：，
∴点B坐标，
将点B、C代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线．
（2）存在，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，需满足以下三种情况：
由（1）可得，点，，，
，
当时，，解得（舍去），（舍去），
此时点M的坐标为；
②当时，，解得或0（0舍去），
此时点M的坐标为；
③当时，，
解得（舍去），（舍去），此时点M的坐标为；
综合上述，存在，点M的坐标为或或．
1、如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形为正方形时，线段的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及正方形的性质是解题的关键．代入求得抛物线解析式为，设E点坐标为，进而表示出F、C点坐标，利用列出方程求解即可．
【详解】解：代入到抛物线，得，
解得：，
抛物线解析式为：，
设E点坐标为，由抛物线的对称性得F点坐标为，
轴，
点坐标为，
四边形为正方形，
，
即，
解得：（舍去），
，
．
故选：D．
2、如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用，坐标，即可得出点坐标，代入，即可得出的值
【详解】作轴于，于，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，，
设，
点、的坐标分别是、，
，解得，
，
在抛物线的图像上，
，
，
故答案为：．
3．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，当四边形是正方形时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，，过点作交线段于点，连接，，，记与面积分别为，，设，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题的关键；
（1）把，，代入，即可求得答案；
（2）设，根据四边形是正方形，可得，即，解方程即可得出答案；
（3运用待定系数法求出直线的解析式，由，则，可得，设，则，可得，再由，再运用二次函数的最值求得答案；
【详解】（1）解：把，，代入得，
，
解得：，，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设，
四边形是正方形，
，
即，
解得：，
，
，
∴当四边形是正方形时，点的坐标；
（3）解：如图，连接，过点作轴交于点．
设直线的解析式为．
把，代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
由题意，得，
当时，达到最大值为；
4．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且，点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在轴上，点，在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求解析式，矩形的性质，函数思想求最大值；
（1）先求出点的坐标，由，可推出点坐标，将点坐标代入可求出的值，即可写出抛物线的解析式；
（2）设点，用含的代数式表示出矩形的周长，用函数的思想求出取其最大值时的值，即求出点的坐标，进一步可求出矩形的面积；
解题关键是用含的代数式表示出矩形的周长并用函数的思想求最大值．
【详解】（1）解：在抛物线中，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
将代入，得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设，
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴点到对称轴的距离为，点到轴的距离为：，
由抛物线的对称性可得，
∴矩形的周长为：，
即，
∵，
∴当时，矩形周长存在最大值，
此时，
∴，，
∴，
∴矩形的面积为．
5．（24-25九年级上·江苏宿迁·模拟练习）如图所示，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．
(1)则点的坐标为 ；顶点的坐标为 ；
(2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)若直线（）分别交直线和抛物线于点，点为平面内任意一点，当点构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)最大值是，点的坐标为
(3)或或或
【分析】（）令可得点的坐标，将抛物线的解析式配方后可得点的坐标；
（）如图，连接，设点的坐标为，根据计算后配方即可解答；
（）先根据待定系数法可求得直线的解析式为，设，则，分三种情况：①如图，当时，；②当为对角线时，点与的中点在轴上；③如图，当时，分别列方程可解答即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴；
∵，
∴顶点的坐标为；
故答案为：；；
（2）解：如图，连接，
设点的坐标为，
令时，则，
解得，，
∴，
∴，
由（）知：，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值是，
此时点的坐标为；
（3）解：设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，，
分三种情况：
①如图，当时，，
∴或，
解得（不合，舍去），，，
∴点的坐标为或；
②当为对角线时，
∵，四边形是菱形，
∴的中点在轴上，
∴，
解得，（不合，舍去），
∴；
③如图，当时，则，
∴，
∴，
解得（不合，舍去），，
∴；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，菱形的性质等知识，本题综合性较强，掌握二次函数的图象和性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
6．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标；
(3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点E的坐标为；
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）根据直线解析式求得的坐标，代入求解即可；
（2）过点作轴的平行线，交于点，设，则，则，利用得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分为对角线和边两种情况，利用平行四边形的性质，求解即可．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
则，，
将，代入抛物线解析式可得：
，
解得，
即；
（2）解：过点作轴的平行线，交于点，如图，
设，则，
∴，
∴
，
∵，∴当时，有最小值，最小值为3；
此时点E的坐标为；
（3）解：存在，由抛物线可得对称轴为，即，
当为边时，点到点的水平距离是4，
∴点到点的水平距离也是4，
∴点的横坐标是5或，
代入抛物线解析式可得，，，
即点的坐标为或，
当为对角线时，点到点的水平距离是3，
∴点到点的水平距离也是4，
∴点的横坐标是3或（与前一种情况重复，舍去），
则，即点的坐标为，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数与平行四边形的性质，学会利用分类讨论的思想求解问题．
7．如图，已知二次函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点，抛物线的顶点A坐标为），连接．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点P在直线下方抛物线上的一个动点，过点P作交于点Q，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时点P的坐标为
(3)
【分析】（1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法可得直线的解析式为设，可表示出，利用等腰直角三角形性质可将表示的长，进而用点坐标将表示成函数，借助二次函数求最值的方法即可求得的最大值．
（3）菱形的存在性问题先转化为求以为边的等腰三角形的存在性问题，然后根据平行四边形存在性问题的处理方法写出第四点N即可．
【详解】（1）解：由题意得抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为
（2）解：在中，当时，解得或，
∴
设直线的解析式为，
则
解得：，
∴直线的解析式为，
设，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，点E的纵坐标与点P的纵坐标相同，
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为；
（3）解：依题意，抛物线沿射线平移个单位即抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位．
∴平移后抛物线解析式为：，
∴平移后的抛物线对称轴为直线．
故设点，
又∵，
∴，
，
，
由题意知，以为腰的等腰三角形有两种情况：
如图1，当时，
则，
解得：
由平行四边形对角线互相平分可知：
∴
②如图2，当时，
则
解得：
∴
∴
综上：使以BM为边的菱形的N点有：．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
8．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是 ；
(2)如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，求的面积；
(3)在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，菱形的性质，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．
（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上；
（2）根据“梦之点”的定义和二次函数的解析式，求得，的坐标；根据二次函数的顶点式，求出抛物线的顶点，点的坐标，抛物线的对称轴，根据，即可求得答案；
（3）设，由以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案．
【详解】（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴设矩形的“梦之点”为，满足，，
∴点，，中，是矩形“梦之点”为点，．
故答案为：，．
（2）∵，是抛物线上的“梦之点”
∴点，是直线上的点，
∴，
∴，，
∴，；
∵，
∴二次函数的顶点，二次函数的对称轴为，
设抛物线的对称轴交于，
∴，
∴
∴
．
（3）存在，理由如下：
设，
∵以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形，
∴，
∴，
解得：，
当，，
∴点；
当，，
∴点；
综上所述，点的坐标为：或者．
9．（24-25九年级上·江苏宿迁·模拟练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，顶点为点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标；
(2)当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
(3)如图2，在（2）的条件下，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点在点上方），连接、，当四边形周长取最小值时，求点的坐标；在此条件下，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；最大值为
(3)、、
【分析】（1）由待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）作交直线于点，作交直线于点，得：，得到，，待定系数法求出直线的表达式，点N的坐标是，求出，求的最大值，就是求的最大值，即的最大值，设，，得PQ＝，进而求出答案；
（3）先说明最小，就是最小；作，且，连接，如图4，则；作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，则点运动到点时，最小；待定系数法求出直线的表达式，得到，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，得出答案．
【详解】（1）解：由抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点得：
，
解得：，
∴；
对称轴：直线，
∴，
∴点G的坐标为．
（2）解：如图3，作交直线于点，作交直线于点，得：，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
∴，
解得，
即；
∵，
∴把x＝﹣2代入得y＝，
∴点N的坐标是，
∴；
∴求的最大值，就是求的最大值，即求的最大值；
设，，
∴
；
当时，最大值时3，，
∴的最大值的最大值；
（3）解：∵在中，，
∴；
∴，
∴最小，就是最小；
作，且，连接，如图4，
∴四边形是；
∴，
∴；
作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，则点运动到点时，最小；
设直线的表达式为，
∴，
解得，
即；
∴；
以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，
∴、、．
【点睛】此题是二次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图像和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，作出正确的辅助线是解题的关键．
10．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）求出点A的坐标和点D的横坐标；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A（﹣1，0），点D的横坐标为4；（2）a；（3）能，P（1，）或P（1，﹣4）
【分析】(1)令抛物线y=0，即可求出A点和B点坐标，再根据CD=4AC得到D点横坐标为A点横坐标的绝对值的4倍，由此求解；
(2) 过E作EF∥y轴交直线l于F，设E(x，ax2-2ax-3a)，得到F(x，ax+a)，求出EF=ax2-3ax-4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
(3)令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0，得到D(4，5a)，设P(1，m)，分类讨论：①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．
【详解】解：(1) 当y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3)=0时，得A(-1，0），B(3，0)，
∵直线l：y=kx+b过A(-1，0)，
∴0=-k+b，即k=b，
∴直线l：y=kx+k，
∵CD=4AC，
∴D点横坐标为A点横坐标的绝对值的4倍，
∴点D的横坐标为4，
故答案为：A(-1，0)，点D的横坐标为4；
(2)D的横坐标代入二次函数得到：D(4,5a)，
如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，
设E(x，ax2﹣2ax﹣3a)，
∵直线l：y=kx+b过A（-1，0），
∴0=-k+b，即k=b，
∴直线l：y=kx+k，
则F(x，ax+a)，EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF(ax2﹣3ax﹣4a)(x+1)(ax2﹣3ax﹣4a)x(ax2﹣3ax﹣4a)
，
∵E是直线l上方的抛物线上的动点，
∴时，△ACE的面积的最大值为时，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴，解得a，
故答案为：a；
(3)以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，理由如下：
D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴设P（1，m），
分类讨论：
情况一：如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，
∵A点横坐标在D点横坐标左边5个单位，
∴Q点横坐标在P点横坐标左边5个单位，即Q横坐标为：1-5=-4，
将x=-4代入二次函数解析式中求得Q纵坐标为21a，
∴Q(-4，21a)，
∴m=21a+5a=26a，则P(1，26a)，
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP=90°，
∴AD2+PD2=AP2，
∴52+(5a)2+32+(26a-5a)2=22+(26a)2，
解得a =，又a<0，
∴a=，此时P(1，)；
情况二：如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，
∵D点横坐标在P点横坐标右边3个单位，
∴Q点横坐标在A点横坐标右边3个单位，即Q点横坐标为-1+3=2，
将x=2代入抛物线中求得Q点纵坐标为-3a，
∴Q(2，-3a)，
∴m=5a-(-3a)=8a，则P(1，8a)，
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD=90°，
∴AP2+PD2=AD2，
∴(-1-1)2+(8a)2+(1-4)2+(8a-5a)2=52+(5a)2，
解得a =，又a<0，
∴a=，此时P(1，-4)，
综上所述，P点坐标存在，且P(1，)或P(1，﹣4) ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x轴的交点坐标，动点问题之三角形面积的最值问题，矩形的存在性问题等，题目较难，具有一定的综合性，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，且．
（1）求的值；
（2）在抛物线上求一点使得四边形是以为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点，使得四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出点的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）D；（3）存在，，这个菱形不是正方形．
【分析】（1）把A（0，-4）代入可求c，运用两根关系及x2-x1=5，对式子合理变形，求b；
（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；
（3）根据四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形．
【详解】解:（1）抛物线经过点
又由题意可知，是方程的两个根，
，
由已知得
又
解得，
当时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．
；
（2）∵四边形是以为对角线的菱形，根据菱形的性质，点必在抛物线的对称轴上，
又
拋物线的顶点即为所求的点；
（3）∵四边形是以为对角线的菱形，点的坐标为
根据菱形的性质，
点必是直线与抛物线的交点，
当时，
在抛物线上存在一点，使得四边形为菱形．
四边形不能成为正方形，
因为如果四边形为正方形，点的坐标只能是，但这一点不在抛物线上.
【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的方法．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，
①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；
②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．
【答案】（1）y=x2-x-，顶点坐标是（，）（2）①（，），（，-）或（，-）②≤t≤
【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），可以求得该函数的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；
（2）①根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法即可求得点M的坐标；
②根据题意，构造一个圆，然后根据圆周角与圆心角的关系和∠AMB不小于60°，即可求得t的取值范围．
【详解】（1）∵二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），
∴，得，
∴y=x2-x-=，
∴二次函数的表达式是y=x2-x-，顶点坐标是（，）；
（2）①点M的坐标为（，），（，-）或（，-）
理由：当AM1⊥AB时，如右图1所示，
∵点A（-1，0），点B（0，-），
∴OA=1，OB=，
∴tan∠BAO==，
∴∠BAO=60°，
∴∠OAM1=30°，
∴tan∠OAM1=，
解得，DM1=，
∴M1的坐标为（，）；
当BM3⊥AB时，
同理可得，，解得，DM3=，
∴M3的坐标为（，-）；
当点M2到线段AB的中点的距离等于线段AB的一半时，
∵点A（-1，0），点B（0，-），
∴线段AB中点的坐标为（-），线段AB的长度是2，
设点M2的坐标为（，m），
则=1，解得，m=，
即点M2的坐标为（，-）；
由上可得，点M的坐标为（，），（，-）或（，-）；
②如图2所示，作AB的垂直平分线，于y轴交于点F，
由题意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°，
∴以F为圆心，AF长为半径作圆交对称轴于点M和M′点，
则∠AMB=∠AM′B=∠AFB=60°，
∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1，
∴∠FAO=30°，AF==FM=FM′，OF=，
过点F作FG⊥MM′于点G，
∵FG=，
∴MG=M′G=，
又∵G（，-），
∴M（，），M′（，），
∴≤t≤．
【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用分类讨论和数形结合的思想解答．
13．（24-25九年级上·江苏连云港·模拟练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作轴交l于点D，轴交直线l于点E，求的最大值；
(3)设F为直线l上的点，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)或
【分析】（1）先确定出点B、C坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）设出点P的坐标，进而得出点D、E的坐标，进而表示出的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答；
（3）分为边和对角线两种情况，分别利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C，
∴、，
∵点B、C在抛物线解上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设，
∵点P在直线l下方的抛物线上，轴，轴，点D，E都在直线上，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的最大值是3．
（3）解；抛物线的解析式为，
令，解得：或，
∴，，
∴，
若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，
①当以为边时，则且，
设，则，
∴
∴，解得：或(与A重合，舍去)，
∴；
②当以为对角线时，设，则，
由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，
解得：或与（A重合，舍去），
∴．
综上所述，以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形，此时点F的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法、二次函数的最值、平行四边形的性质、中点坐标、两点间距离公式、平行四边形的判定等知识点，灵活运用分类讨论思想是解本题的关键．
14．（24-25九年级上·江苏南京·模拟练习）如图所示，抛物线与轴相交于，与y轴相交于点，点为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接、．求面积的最大值及此时点N的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出P点的坐标．
【答案】(1)，顶点坐标为：
(2)最大值为，的坐标为
(3)点坐标为，，，
【分析】（1）把点、点和点的坐标代入抛物线解析式，求出，b，即可得出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）由（1）可得到直线的解析式，设点，则，进而表达三角形的面积，利用二次函数的最值问题可得；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：把点和点，点，
代入抛物线，
则，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
∵，
∴；
（2）解：由（1）知抛物线的顶点为，
设直线的解析式为令，将代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为：，
设点，则
∴
∴面积，
∵，
∴当时，面积的最大值为．
此时；
（3）解：∵抛物线的对称轴为：直线，
设点坐标为，
∵，
∴，
，
，
①当时，即，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
②当时，即，
∴，
解得：，
∴点的坐标为，；
③当时，，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点坐标为，，，．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，勾股定理，二次函数的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论．
15．如图1，抛物线经过点、，，顶点为；
(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)如图2，若点在抛物线上，点是直线上方抛物线上一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)如图3，经过点、两点的直线与轴交于点，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，面积的最大值为
(3)存在，的坐标或或
【分析】本题考查了二次函数综合，主要涉及求二次函数解析式、二次函数与平行四边形综合、二次函数与面积综合等知识点．
（1）先由得，再将、代入，解方程即可得抛物线的解析式，再将抛物线的解析式变形为顶点式即可得顶点的坐标；
（2）过作轴交于，先求出直线解析式为，再设，则，最后利用铅锤法求面积，然后根据函数的性质即可确定该题的答案．
（3）过三个顶点分别作对边的平行线，交点即为，此时以、、、为顶点的四边形是平行四边形，再结合平移求的坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，即，
再将，代入得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：如图，过作轴交于，
设直线解析式为，
代入，得，解得，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∴
∴当时，的最大面积为，
此时；
（3）解：设直线的解析式为：，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴，，
∵，，
∴，
过三个顶点分别作对边的平行线，交点即为，
当，时，如图，此时四边形是平行四边形，，则；
当，时，如图，此时四边形是平行四边形，，则；
当，时，如图，此时四边形是平行四边形，
∵点向下3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，
∴点向下3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到；
综上所述，存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，的坐标或或．
16．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，并与直线交于B，C两点，其中C是直线与y轴的交点．
(1)求B，C两点的坐标以及抛物线的解析式；
(2)连接，求证：是直角三角形；
(3)在抛物线的对称轴上有一点P，当的周长最小时，求出点P的坐标；
(4)若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形 若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)点P的坐标为
(4)点N的坐标为或或．
【分析】（1）先由直线与x轴、y轴分别交于点B、点C求得B，C的坐标，再将其代入列方程组求出a、c的值，即可求解；
（2）先求得A的坐标，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形；
（3）因为的长为定值，所以当的值最小时，则的周长最小，当点P与点E重合时，的值最小，求出点E的坐标即可．
（4）分，和为的对角线三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：对于直线，
当时，则，
解得；
当时，，
∴．
∵抛物线经过点，，代入得：
，
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）证明：已知抛物线，
当时，则，
解得，
∴．
∵，，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为．
如图，设抛物线的对称轴与直线交于点E，
连接．
∵垂直平分，
∴，
∴．
∵，为定值，
∴当的值最小时，的周长最小．
∵，
∴当点P与点E重合时，，
∴此时最小．
∵直线，
当时，，
∴，
∴当的周长最小时，点P的坐标为．
（4）解：当为的对角线时，如图
∵，抛物线的对称轴为直线，
∴，
当为的对角线时，如图，
此时，，
当为对角线时，如图，
过点作轴于点，
∵，∴，，
∵，
∴，
∴，即点的纵坐标为2，
∴，
解得解得，，，
∴点N的坐标为或，
综上，点N的坐标为或或．
【点睛】本题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、勾股定理逆定理的应用、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方法，正确作出辅助线是解答本题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第四象限内抛物线上的一点，，求点的坐标；
(3)将抛物线向左平移单位，设为抛物线对称轴上的动点，为平移后的抛物线上的动点，点的坐标为，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】（1）先通过一次函数求出点，再将两点代入二次函数解析式即可；
（2）设，分别列出两个三角形面积，建立方程解方程即可；
（3）通过函数表示出两点坐标，再对平行四边形分情况讨论即可．
【详解】（1）解：直线的解析式为，
∴当时，，故，
抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）
∴，解得，
∴抛物线解析式为：．
（2）解：设，
∵抛物线与轴交于点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵点是第四象限内抛物线上的一点，
∴，，
故方程可变为：，
解得，负值已舍
当，，
∴点的坐标为
（3）解：存在，
抛物线，
∴对称轴为直线，
∵为抛物线对称轴上的动点，可设，
抛物线向左平移单位后得到的新抛物线为：，
∵为平移后的抛物线上的动点，可设，
∵，，
∴当以为顶点的四边形为平行四边形有如下三种情况：
①当为对角线时，可得到方程，解得，
∴此时点的坐标为；
②当为对角线时，可得到方程，解得，
∴此时点的坐标为；
③当为对角线时，可得到方程，解得，
∴此时点的坐标为，
∴综上存在以为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式和平行四边形的判定与性质以及平行四边形的顶点平移规律，注意熟练运用分类讨论的数学思想是解题关键．
18．定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．
(1)抛物线的顶点坐标为 ，其“同轴对称抛物线”的顶点坐标为 ；
(2)求抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式；
(3)如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，．依次连接点，，，．当四边形为正方形时，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．
（1）根据顶点式直接写出顶点坐标；
（2）根据顶点式的顶点坐标为；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；
（3）写出点B的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求a．
【详解】（1）解：由知顶点坐标为，由知顶点坐标为，
故答案为：，
（2）解：，
∴顶点为，
∵关于x轴的对称点为，
∴抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式为：；
（3）解：当时，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线L的对称轴为直线，
∴点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即，
解得：（舍）或．
∴．
19．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，它的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点P在第一象限时，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，若四边形是平行四边形，求m的值；
(3)过点P作轴于点 M，当点P与点M都不与点C重合时，以为边作矩形，设矩形的周长为l．
①求l与m的函数解析式；
②若对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应，写出l的取值范围．
【答案】(1)
(2)m的值为
(3)；②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出抛物线对称轴为，由，则，根据四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可；
（3）先求出，，分点P在y轴左侧，时，当点P在直线上方，时，当点P在y轴右侧下方，时，三种情况求出，利用矩形的性质得到，求和即可得到关系式；②由画出函数图象，利用图像法结合二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：将代入抛物线，则，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴为：，且点P是抛物线上一动点，横坐标为m，则，
点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，
，
四边形是平行四边形，，
，
解得：；
（3）解：当点P在y轴左侧
，轴，
，
令抛物线中，则，
，
如图，当点P在y轴左侧，时，
四边形是矩形，
，，
；
如图，当点P在直线上方，时，
同理得：，，
；
如图，当点P在y轴右侧下方，时，
同理得：，，
；
综上，，
②由知，
如图，
当的取值在函数的最大值与函数的最小值之间时，对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应，
，且，
当时，有最大值，
在时，随的增大而增大，
当时，有最小值，
时，对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质，矩形的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，交轴于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方的抛物线上的一点，连接、、，求的面积的最大值以及此时点的坐标；
(3)把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点，为新抛物线对称轴上一点，是坐标平面内一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标．
【答案】(1)；
(2)最大值为，；
(3)或或或或．
【分析】（）将，和代入即可求解；
（）先求直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，则，然后根据二次函数的性质即可求解；
（）分当时，当时，当时三种情况分析即可；
本题考查二次函数的性质，菱形的性质，两点之间的距离，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，并能分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
将，和代入，
得，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（）得：和，
设直线的解析式为，
∴，解得： ，
∴直线的解析式为，
过点作轴于点，交于点，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为，此时；
（3）解：由（）得，设，
∵，，
∴，
∵以点，，，为顶点的四边形是菱形，
∴如图，当时，
∴，解得：，
∴或；
如图，当时，
∴，解得：，
∴或；
如图，当时，
∴，解得：，
∴，
综上可知：的坐标为或或或或．
21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）经过点和点，点是抛物线上一动点，其横坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，分别作点关于轴的对称点，构造矩形．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当抛物线顶点落在矩形的边上时，求矩形的面积；
(3)当抛物线在矩形内部的图象随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)12或36
(3)或
【分析】（1）直接把、代入求得b、c的值即可；
（2）分抛物线顶点落在矩形的边和上两种情况，分别求得矩形的长和宽，然后求面积即可；
（3）画出动点P的几种情况图，利用数形结合求解即可
【详解】（1）解：把、代入得：
，解得：，
∴．
（2）解： ∵
∴抛物线顶点坐标为，
当抛物线顶点落在矩形的边上时，如图：
∵P、N是关于y轴的对称点，
∴轴，
∴点P纵坐标为，
∴点P与抛物线的顶点重合，即，
∴点，
∴，
∵过点P作x轴垂线交直线于点Q，
∴Q点横坐标为1，
当时，
∴，
∴，
∴矩形的面积；
当抛物线顶点落在矩形的边上时，如图，
同理可得点Q的纵坐标为，
当时，则，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴P点的横坐标为，
当时，则，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
综上，矩形的面积为12或36．
（3）解：由题意得，
如图：当点P在第二象限，点M恰好在抛物线上时，
则，
∴，解得：或（舍），
此时符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小，
当点P向右运动，此时时，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小，如图：
当点P继续向右运动与点Q重合时，此时矩形不存在，如图：
此时，，
解得：或（舍），
当点P向右运动，点P在点Q下方时，如图：
此时不符合题意，
∴当，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小；
当点P与点N重合时，矩形不存在，
如图，当点P继续向右运动，在第四象限时，此时，符合题意：
如图：当点P继续向右运动，均符合题意，
当点P与点Q重合时，矩形不存在，此时，
解得：或（舍），
如图：当点P继续向右运动，在点Q上方时，不符合题意 ，
，
∴当，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小．
综上所述，m的取值范围为：或．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象性质、矩形的性质、关于y轴对称点的坐标特征、一次函数图象上的点的坐标特征等知识点，熟练掌握二次函数的图象性质以及分类讨论思想是解题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点P为抛物线上（除抛物线与坐标轴的交点外）的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M、N，构造矩形，设点P的横坐标为m．
(1)点A的坐标为____________，点B的坐标为____________；
(2)当点N与点B重合时，点P的坐标为____________；
(3)当点P在x轴上方时，求矩形的周长l与m之间的函数关系式；
(4)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x增大而增大时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合思想的运用是解答本题的关键．
（1）分别令，，求出对应的y、x的值，即可求解；
（2）分点P在抛物线对称轴的左侧与右侧两种情况讨论即可；
（3）分，两种情况讨论即可；
（4）分和两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
令，则，
解得，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
①当点P在抛物线对称轴左侧时，
点N与点B重合时，点P与点B也重合，
∴此时点P的坐标为，不符合题意，舍去，
②当点P在抛物线对称轴右侧时，
当点P与点B关于直线对称时，点N与点B重合
∴此时点P的坐标为，
∴点P的坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点P的横坐标为m，
∴点P的纵坐标为
当时，
当时，
∴；
（4）解：由（2）知：抛物线的对称轴为直线，
∴关于直线的对称点为，
由（1）知：抛物线与x轴的另一个交点为，
当时，
①当时，
抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大；
②当时，
抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大；
③当时，
不存在抛物线在矩形内的部分，故舍去；
④当时，
抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，故舍去；
当时，
①当时，不存在抛物线在矩形内的部分，故舍去；
②当时，
抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，
∴抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，m的取值范围为或．
23．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)当四边形为正方形时，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．
（1）将点代入抛物线中求出解析式为；
（2）设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解．
【详解】（1）将点代入抛物线中，得
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）设、分别与轴交于点M和点N，
当四边形为正方形时，设，则，，
∴E点坐标为，代入抛物线中，
得到：，
解得，（负值舍去），
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴专题03 二次函数（特殊四边形存在性问题）
知识考点与解题策略 平行四边形存在性问题解题策略 （1）代数法：利用中点坐标公式，建立方程求解.设点的坐标A（，），B（，），C（，），D（，）（一般用一个或两个字母即可设出四个点的坐标）. 例①以AB为边 ②以AB为对角线进行分类讨论 （2）几何法：利用平行四边形的性质构造全等，即图中点B到点A如何移动（水平、竖直方向），则点C到点D就如何移动. 菱形存在性问题解题策略 方法1：先平四，再菱形 设点坐标，根据平行四边形存在性要求列出“A＋C＝B＋D”（AC，BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组。 方法2：先等腰，再菱形 在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再根据菱形的对边平行且相等利用平移确定第4个点的坐标即可. 矩形存在性问题的解题策略 方法1：先平四，再矩形 设点坐标，根据平行四边形存在性要求列出“A＋C＝B＋D”（AC，BD为对角线），再结合对角线相等，得到方程组。 方法2：先直角，再矩形 矩形还可以看成是由两个全等的直角三角形组成的，在此基础上，要善于利用直角三角形的性质： ①两个锐角互余； ②三边平方的等量关系（勾股定理）； ③斜边上的中线等于斜边的一半. 正方形存在性问题的解题策略 方法1：从正方形判定入手 若已知菱形，则证明一个角是直角或者对角线相等； 若已知矩形，则证明一组邻边相等或对角线互相垂直； 若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件即可. 方法2：构造三垂直全等 若条件并未给出关于四边形对角线的特殊性，一般任取3个顶点必然是等腰直角三角形，如果已经知道了两个定点，那么可以通过构造三垂直全等来求出第3个点，然后再利用平移进一步求出第4个点.
例题1 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，试判断的形状，并说明理由；
(3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例题2如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
1、如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形为正方形时，线段的长为（ ）
A．2 B． C． D．
2、如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ．
3．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，当四边形是正方形时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，，过点作交线段于点，连接，，，记与面积分别为，，设，求的最大值．
4．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且，点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在轴上，点，在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积．
5．（24-25九年级·江苏宿迁·模拟练习）如图所示，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．
(1)则点的坐标为 ；顶点的坐标为 ；
(2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)若直线（）分别交直线和抛物线于点，点为平面内任意一点，当点构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．
6．（24-25九年级·江苏苏州·期中）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标；
(3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知二次函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点，抛物线的顶点A坐标为），连接．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点P在直线下方抛物线上的一个动点，过点P作交于点Q，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
8．（24-25九年级·江苏盐城·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是 ；
(2)如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，求的面积；
(3)在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
9．（24-25九年级·江苏宿迁·模拟练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，顶点为点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标；
(2)当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
(3)如图2，在（2）的条件下，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点在点上方），连接、，当四边形周长取最小值时，求点的坐标；在此条件下，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标．
10．（24-25九年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）求出点A的坐标和点D的横坐标；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，且．
（1）求的值；
（2）在抛物线上求一点使得四边形是以为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点，使得四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出点的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，
①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；
②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．
13．（24-25九年级·江苏连云港·模拟练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作轴交l于点D，轴交直线l于点E，求的最大值；
(3)设F为直线l上的点，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．
14．（24-25九年级·江苏南京·模拟练习）如图所示，抛物线与轴相交于，与y轴相交于点，点为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接、．求面积的最大值及此时点N的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出P点的坐标．
15．如图1，抛物线经过点、，，顶点为；
(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)如图2，若点在抛物线上，点是直线上方抛物线上一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)如图3，经过点、两点的直线与轴交于点，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
．
16．（24-25九年级·江苏徐州·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，并与直线交于B，C两点，其中C是直线与y轴的交点．
(1)求B，C两点的坐标以及抛物线的解析式；
(2)连接，求证：是直角三角形；
(3)在抛物线的对称轴上有一点P，当的周长最小时，求出点P的坐标；
(4)若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形 若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是第四象限内抛物线上的一点，，求点的坐标；
(3)将抛物线向左平移单位，设为抛物线对称轴上的动点，为平移后的抛物线上的动点，点的坐标为，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．
(1)抛物线的顶点坐标为 ，其“同轴对称抛物线”的顶点坐标为 ；
(2)求抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式；
(3)如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，．依次连接点，，，．当四边形为正方形时，求的值．
19．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，它的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当点P在第一象限时，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，若四边形是平行四边形，求m的值；
(3)过点P作轴于点 M，当点P与点M都不与点C重合时，以为边作矩形，设矩形的周长为l．
①求l与m的函数解析式；
②若对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应，写出l的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，交轴于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方的抛物线上的一点，连接、、，求的面积的最大值以及此时点的坐标；
(3)把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点，为新抛物线对称轴上一点，是坐标平面内一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标．
21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）经过点和点，点是抛物线上一动点，其横坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，分别作点关于轴的对称点，构造矩形．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当抛物线顶点落在矩形的边上时，求矩形的面积；
(3)当抛物线在矩形内部的图象随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点P为抛物线上（除抛物线与坐标轴的交点外）的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M、N，构造矩形，设点P的横坐标为m．
(1)点A的坐标为____________，点B的坐标为____________；
(2)当点N与点B重合时，点P的坐标为____________；
(3)当点P在x轴上方时，求矩形的周长l与m之间的函数关系式；
(4)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x增大而增大时，直接写出m的取值范围．
23．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)当四边形为正方形时，求线段的长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
