压轴专题04 二次函数（相似三角形问题）
知识考点与解题策略 【解题思路】 相似三角形存在性问题解题的一般步骤： 1. 找等角：寻找两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角或内错角(同位角)，或通过互余(互补)进行转化等方法得到的等角. 2. 求点坐标：(1)根据两组边成比例列关系式； (2)根据另一组角相等求坐标.
例题1 （24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．
例题2如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x﹣h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求h、k的值；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
1．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)点G是直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值．
(3)将直线绕点C逆时针旋转，交抛物线于点Q，求Q点坐标．
2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点．
(1)填空：写出下列点的坐标______；______；______；
(2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，求的面积的最大值；
(3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B．
(1)求k的值及抛物线的解析式．
(2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标；
(3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
4．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）直线与轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，连接，点P为上方的抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，连接，交线段于点D，若，求此时点P的坐标；
(3)如图②，连接．过点P作轴，交线段于点E，若与相似，求出点P的横坐标及线段长．
5．（24-25九年级下·江苏·专题练习）如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；
(3)是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（24-25·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为轴正半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，与抛物线的对称轴交于点，连接．
①若与相似，求点的坐标；
②若点在轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时有一边与线段具有对称性，我们把这样的点称为“对称点”，请直接写出“对称点”的坐标．
7．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习） 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系内，点，点，点．连接．
(1)求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式；
(2)点D在x轴正半轴上，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标．
(3)在（1）的抛物线上找一点E，使得的值最小并求点E的坐标．
9．已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)在对称轴右侧的抛物线上有一点M，平面内是否存在一点N，使得C、G、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)连接、，将抛物线向下平移后，点D落在平面内一点E处，过B、E两点的直线与线段交于点，当与相似时，直接写出平移后抛物线的解析式．
10．抛物线交轴于，两点（在的左边），交轴于点．
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)如图1，作直线，分别交轴，线段，抛物线于，，三点，连接．若与相似，求的值；
(3)如图2，过的中点作动直线（异于直线）交抛物线于，两点，若直线与直线交于点．证明：点在一条定直线上运动．
11、（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）如图，已知抛物线经过和两点，直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若轴交于点，求的最大值；
(3)若以，，为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
12．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P．探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
13．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，经过、、三点的圆的圆心恰好在此抛物线的对称轴上， 的半径为，设与轴交于，抛物线的顶点为．
(1)求的值及抛物线的解析式；
(2)若在抛物线第四象限上，求使四边形的面积最大时的点的坐标；
(3)探究坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请指出点的位置，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在矩形中，，，沿直线折叠矩形的一边，使点落在边上的点处．分别以，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，抛物线经过，，三点．
(1)求的长及抛物线的解析式；
(2)一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？
15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D．
(1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标；
(2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标．
16．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)求的最小值以及此时点P的坐标；
(3)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标．
17．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标．
18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标．
19．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求a，b的值；
(2)点P是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点Q是直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点E，是否存在点Q．使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
20．如图，已知二次函数的图象过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)请你判断是什么三角形，并说明理由．
(3)若点在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点作垂直轴于点，试探究是否存在以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由．
21．如图，已知抛物线yax2bxc(a0)经过A(1,0)，B(4,0)，C(0,2)三点．
（1）求这条抛物线和直线BC的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由
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知识考点与解题策略 【解题思路】 相似三角形存在性问题解题的一般步骤： 1. 找等角：寻找两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角或内错角(同位角)，或通过互余(互补)进行转化等方法得到的等角. 2. 求点坐标：(1)根据两组边成比例列关系式； (2)根据另一组角相等求坐标.
例题1 （24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．
【答案】（1）；（2）9；（3）△AOB∽△DBE.理由见解析.
【分析】（1）易得c=3，故设抛物线解析式为y=ax2+bx+3，根据抛物线所过的三点的坐标，可得方程组，解可得a、b的值，即可得解析式；
（2）易由顶点坐标公式得顶点坐标，根据图形间的关系可得四边形ABDE的面积=，代入数值可得答案；
（3）根据题意，易得∠AOB=∠DBE=90°，且，即可判断出两三角形相似．
【详解】解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0）
根据题意，得，
解得．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）如图，设该抛物线对称轴是DF，连接DE、BD．过点B作BG⊥DF于点G．
由顶点坐标公式得顶点坐标为D（1，4）
设对称轴与x轴的交点为F
∴四边形ABDE的面积=
=AO BO+（BO+DF） OF+EF DF
=×1×3+×（3+4）×1+×2×4
=9；
（3）相似，如图，
BD=；
∴BE=
DE==
∴BD2+BE2=20，DE2=20
即：BD2+BE2=DE2，
所以△BDE是直角三角形
∴∠AOB=∠DBE=90°，且，
∴△AOB∽△DBE．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式及相似三角形的判定定理的应用.
例题2如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x﹣h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求h、k的值；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）h=﹣1，k=﹣4（2）△ACD是直角三角形；（3）见解析
【详解】试题分析：（1）根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可得到h、k的值；
（2）根据（1）题所得的抛物线的解析式，即可得到A、C、D的坐标，进而可求出AC、AD、CD的长，然后再判断△ACD的形状；
（3）易求得B点的坐标，即可得到AB、AC、OA的长；△AOM和△ABC中，已知的相等角是∠OAM=∠BAC，若两三角形相似，可考虑两种情况：
①∠AOM=∠ABC，此时OM∥BC，△AOM∽△ABC；②∠AOM=∠ACB，此时△AOM∽△ACB；
根据上述两种情况所得到的不同比例线段即可求出AM的长，进而可根据∠BAC的度数求出M点的横、纵坐标，即可得到M点的坐标．
解：（1）∵y=x2的顶点坐标为（0，0），
∴y=（x﹣h）2+k的顶点坐标D（﹣1，﹣4），
∴h=﹣1，k=﹣4 （3分）
（2）由（1）得y=（x+1）2﹣4
当y=0时，
（x+1）2﹣4=0
x1=﹣3，x2=1
∴A（﹣3，0），B（1，0）（1分）
当x=0时，y=（x+1）2﹣4=（0+1）2﹣4=﹣3
∴C点坐标为（0，﹣3）
又∵顶点坐标D（﹣1，﹣4）（1分）
作出抛物线的对称轴x=﹣1交x轴于点E
作DF⊥y轴于点F
在Rt△AED中，AD2=22+42=20
在Rt△AOC中，AC2=32+32=18
在Rt△CFD中，CD2=12+12=2
∵AC2+CD2=AD2
∴△ACD是直角三角形；
（3）存在．由（2）知，OA=3，OC=3，则△AOC为等腰直角三角形，∠BAC=45°；
连接OM，过M点作MG⊥AB于点G，
AC=
①若△AOM∽△ABC，则，
即，AM=
∵MG⊥AB
∴AG2+MG2=AM2
∴
OG=AO﹣AG=3﹣
∵M点在第三象限
∴M（）；
②若△AOM∽△ACB，则，
即，
∴AG=MG=
OG=AO﹣AG=3﹣2=1
∵M点在第三象限
∴M（﹣1，﹣2）．
综上①、②所述，存在点M使△AOM与△ABC相似，且这样的点有两个，其坐标分别为（），（﹣1，﹣2）．
1．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)点G是直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值．
(3)将直线绕点C逆时针旋转，交抛物线于点Q，求Q点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的关系式，函数最值问题，旋转问题相似三角形的判定与性质等知识．
（1）令，求出，得点，，由得，，
把代入，求出，故可求出；
（2）过点G作轴于点E，求出，设，得，，，根据得二次函数表达式，根据二次函数的图象与性质可得结论；
（3）证明，求出，得，运用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组并求解即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：对于，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入，得：
，
解得，，
∴二次函数解析式为：；
（2）解：对于，令，得，
解得，，
∴，
∴，
过点G作轴于点E，
设，则，，，
又
∴
∴，
∴面积有最大值，最大值为；
（3）解：设的延长线交轴于点，
根据题意得
又
∴
又
∴
∴
∴
∴
∴
设直线的解析式为，
把代入，得：
，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，
解得或
∵
∴．
2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点．
(1)填空：写出下列点的坐标______；______；______；
(2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，求的面积的最大值；
(3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】(1)，，；
(2)最大值为；
(3)点坐标为或．
【分析】（）当时，解出的值，即可知道点坐标； 当时，解出的值，即可知道点坐标；
（）过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点，设 ，求出长度，再转化的面积，得到 ，进而可求出面积最大值；
（）通过计算可得，进而可知只可能存在和 两种情况，利用相似三角形性质进行分情况讨论即可；
本题考查了二次函数综合问题、面积最值问题以及相似三角形性质，能够正确做出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）∵抛物线 与轴交于两点，且与轴交于点，
∴当时，，解得，，
当时，，
∴，，，
故答案为：，，；
（2）如图，过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点，
由题意得，
解得 或，
∴，
设，则，
∵在直线上，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴
∴当时，的面积的达到最大值，最大值为；
（3）如图，过点作 轴，垂足为点，
∵，，，，
∴，，，，
∴，，
又∵，
∴，，，
设，则，
∵，
∴只可能存在和 两种情况，
当时，
∴，即，
解得：；
当时，
∴，即，
解得，
综上点坐标为或．
3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B．
(1)求k的值及抛物线的解析式．
(2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标；
(3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；
（2）连接，过点作轴的对称点，角度推导得到，设直线表达式为：，代入得：，解得：，则，设直线表达式为：，求得直线表达式为： ，联立直线表达式和抛物线表达式，得：求解即可；
（3）根据题意需要分两种情况，当时，当时，一种是发现，另一种过点作轴于点，得到为等腰直角三角形，则，建立方程，分别求出的值即可．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，
，
，
直线的表达式为；
当时，，
点的坐标为，
将，点的坐标，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：连接，过点作轴的对称点，
对于，当，则，
解得：或，
∴，
则，
由对称得：，
当，，
∴，而由知，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴
∴，
∴，
设直线表达式为：，代入得：，
解得：，
∴,
∴设直线表达式为：，
代入得：，
解得：，
∴直线表达式为： ，
联立直线表达式和抛物线表达式，得：，
解得：或（舍），
∴；
（3）解：存在，理由如下：
由图形可知，
若与相似，则需要分两种情况，
当时，过点作轴于点，
由上知，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
则,
则，，
∴，
解得：或；
当时，则
令，
解得：或（舍）
即，
综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论．
4．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）直线与轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，连接，点P为上方的抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，连接，交线段于点D，若，求此时点P的坐标；
(3)如图②，连接．过点P作轴，交线段于点E，若与相似，求出点P的横坐标及线段长．
【答案】(1)
(2)或
(3)，或，
【分析】（1）先确定点的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）先求直线和的解析式，再联立求出交点的横坐标，证明，根据相似三角形对应边成比例建立方程求解即可；
（3）分两种情况：或，根据对应边成比例建立方程求解即可．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
令，则；令，则，
，
抛物线经过，两点，
将的坐标代入解析式可得
，
解得，
抛物线解析式为：；
（2）解：令抛物线，可得或，
，
，
设直线的解析式为：，
将代入直线，得
，
解得：，
直线的解析式为：，
设P点坐标为（,），
设直线的解析式为：，
将， ）代入解析式中，得
，
解得：，
直线的解析式为：，
联立直线与直线
，
解得，
如图过点P作轴于点H，作轴于点G
，
又
，
解得：或，
经检验，，都是方程的根，
当时，；
当时，
故点P的坐标为（，），（，）；
（3）解：设P点坐标为，
，
，，
，
轴，
，
又,
，
，
①当时，
，
即，
解得：或，
经检验不是方程的根，应舍去，
；
②当时，
，
即，
解得：或，
经检验不是方程的根，应舍去，
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
5．（24-25九年级下·江苏·专题练习）如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；
(3)是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在点，的坐标是，，，
【分析】（1）通过解方程求出的值，就可以求出点A、B的坐标，再根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（2）①当为边时，根据E在上，能求出D的横坐标，根据平行四边形性质求出D的坐标即可；②为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，求出D和C重合，进一步求出E的坐标；
（3）设，根据勾股定理的逆定理求出直角三角形，根据相似三角形的性质，得出比例式，代入求出即可．
【详解】（1）、是方程的两根，
解得原方程的两根分别是：，，
，，
设抛物线的解析式为，，则，
解得：，
抛物线的解析式是．
（2），
对称轴为：，
①当为边时，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，，
在对称轴上，
的横坐标是1或，
的坐标是或，此时的坐标是；
②当是对角线时，则和互相平分，有在对称轴上，且线段的中点横坐标是，
由对称性知，符号条件的点只有一个，即是顶点，此时，
综合上述，符合条件的点共由两个，分别是或．
（3）假设存在，设，
，，
，，，
，
是直角三角形，，，
以、、为顶点的三角形和相似，
又，
，或，
，
解得：或或或，
存在点，的坐标是，，，，，．
【点睛】本题综合考查了二次函数的综合，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用．
6．（24-25·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为轴正半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，与抛物线的对称轴交于点，连接．
①若与相似，求点的坐标；
②若点在轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时有一边与线段具有对称性，我们把这样的点称为“对称点”，请直接写出“对称点”的坐标．
【答案】(1)
(2)①M点的坐标为或 ；②M点的坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法去求抛物线解析式；
（2）①先求出抛物线的对称轴为，作直线于点D，作于E，根据相似三角形的判定和性质进行如下的分类讨论即可：（1）当时，（2）当时进行求解即可；
②先确定进行如下的分类讨论即可：（1）当时，（2）当时，（3）当时进行求解即可．
【详解】（1）将点，分别代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）①抛物线的对称轴为直线，
作直线于点D，作于E，
∵，
∴当，即，
∴，如图1，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
而，
∴，
此时M点的坐标为，
∴当，即，
∴，如图2，
同理可得，
∴，
而，
∴，
此时M点的坐标为，
综上所述，M点的坐标为或；
②∵，
∴，
当时，，此时点M的坐标为；
当时，点N与点P重合，则，
∴，此时M点的坐标为；
当时，在中，，
∵，
∴，即，
解得，此时点M的坐标为，
综上所述，M点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会灵活应用相似三角形的判定和性质进行几何计算；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
7．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习） 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)的坐标为或，
【分析】（1）先求出B、C的坐标，再代入抛物线解析式中，即可求解；
（2）先求出P、M、D的坐标，再判断出△AOC与△COB相似，得出，①当△PNC△AOC，得出，继而得出即可得出结论；②当△PNC△COA，得出，继而得出，即可得出结论；
【详解】（1）针对于直线，
令，则，
，
令，则，
，
，
将点，坐标代入抛物线中，得，
抛物线的解析式为；
（2）存在，
PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0），
，
由（1）知，抛物线的解析式为，
令，则，
或，
点，
，
，，
，，
，
，
△AOC△COB，
，
与相似，
①当，
，
，
，
点的纵坐标为，
，
（舍或，
；
②当时，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
或（舍，
，．
即满足条件的点的坐标为或，
【点睛】本题考查二次函数综合题，主要涉及到待定系数法，相似三角形的判定及其性质，中点坐标公式，利用方程的思想解本题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系内，点，点，点．连接．
(1)求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式；
(2)点D在x轴正半轴上，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标．
(3)在（1）的抛物线上找一点E，使得的值最小并求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）设抛物线的表达式为：，将代入得，，可求，进而可得抛物线的表达式；
（2）由题意知，，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解作答即可；
（3）由题意知，当的值最小时，，在的垂直平分线上，如图，由，可得的垂直平分线过原点，且平分第一、三象限，进而可得表达式为：，联立，计算求解，进而可得点E坐标．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
将代入得，，
解得，，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：由题意知，，
当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解；
当时，，即，
解得，，
∴；
当时，，即，
解得，，
∴；
综上所述，点D的坐标为或；
（3）解：由题意知，当的值最小时，，在的垂直平分线上，如图，
∵，
∴的垂直平分线过原点，并且平分第一、三象限，
∴表达式为：，
联立，
解得，，，
∴点E或．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与相似综合，垂直平分线的性质，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的解析式，二次函数与相似综合，垂直平分线的性质，一次函数解析式是解题的关键．
9．已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)在对称轴右侧的抛物线上有一点M，平面内是否存在一点N，使得C、G、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)连接、，将抛物线向下平移后，点D落在平面内一点E处，过B、E两点的直线与线段交于点，当与相似时，直接写出平移后抛物线的解析式．
【答案】(1)
(2)3
(3)存在，或
(4)或
【分析】（1）改设抛物线的解析式为交点式，代入点坐标，求得，进一步得出结果；
（2）可推出是直角三角形，进一步得出结果；
（3）只需是等腰三角形，分为当时，点是点关于抛物线的对称轴的对称点；当时，此时在的垂直平分线上，可求得的解析式，进一步得出结果；
（4）分为当点在轴的上方和在轴上两种情形：当点在轴上方时，作于，作于，根据得出，可求得的长，进而得出的长，可求得是等腰直角三角形，进而求得和，进而得出直线的解析式，进一步得出结果；当点在轴上时，进一步得出结果．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：当四边形是菱形时，此时，
由对称性可得，
，
，
如图1，
当四边形是菱形，，
作，
，
，，
的中点坐标为：，
由（1）知：，
，
，，
的解析式为：，
，
的解析式为：，
由得，
，（舍去），
，
，
，
综上所述：N点的坐标为或；
（4）解：如图2，
当点在轴上方时，
作于，作于，
，
，
，
，，，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
直线的解析式为：，
当时，，
，
平移后的抛物线的解析式为：，
当点在轴时，点和点重合，
此时与全等，
抛物线的解析式为：，
综上所述：当与相似时，平移后抛物线的解析式为：或．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
10．抛物线交轴于，两点（在的左边），交轴于点．
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)如图1，作直线，分别交轴，线段，抛物线于，，三点，连接．若与相似，求的值；
(3)如图2，过的中点作动直线（异于直线）交抛物线于，两点，若直线与直线交于点．证明：点在一条定直线上运动．
【答案】(1)，，
(2)或
(3)见详解
【分析】本题考查二次函数与一次函数综合、矩形的判定与性质、相似三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握待定系数法求函数解析式及相似三角形的性质是解题关键．
（1）分别令，解一元二次方程即可；
（2）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）可知的中点为，设，可求直线表达式为，代入点得：，同理可求直线，直线，联立直线表达式求得交点，设经过点P的直线为，代入得：，比较系数得：，解得：，故点P在直线上运动．
【详解】（1）解：对于，当时，得，
故，
当时，即，
解得：或，
故，，
（2）解：∵，，
∴，
而，
∴，
∵直线与轴垂直，
∴，
①当时，，如图：
此时轴，
由得到对称轴为直线，
∴，
∴；
当时，，如图：
过点作于点G，则可得，为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
而,
∴，
解得：或（舍），
综上所述：或；
（3）证明：∵，，
∴的中点为，
设，直线表达式为：，
将代入得：，
解得：，
∴直线表达式为，
代入点得：，
同理可求直线，
直线，
联立直线表达式得：，
解得，
∴，
设经过点P的直线为，
代入得：，
比较系数得：，
解得：，
∴当，无论为何值，该式子恒成立，
∴点P在直线上运动．
11、（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）如图，已知抛物线经过和两点，直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若轴交于点，求的最大值；
(3)若以，，为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)最大值为
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想进行分析．
（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点C的坐标为，然后证明，设点P的坐标为，其中，则点D的坐标为，分别表示出和，再由二次函数的最值性质，求出答案；
（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当时；当时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点，
∴
解得：，，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：∵，
设直线表达式为：，
则，
解得：，
∴直线表达式为，
∵直线与x轴交于点C，
令，则，
解得：，
∴点C的坐标为，
如图：
∵轴，轴，
∴,
∴，
∴，
∴，
则，
设点P的坐标为，其中，
则点D的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，且最大值为．
（3）解：当时，，
解得：，
点坐标为，
①当时，
轴，，
∴轴，
点纵坐标是3，横坐标，
即，解得，
点的坐标为；
轴，
点的横坐标为2，
点的纵坐标为：，
点的坐标为；
②当时，
此时，
过点作于点，
，
，
设点的坐标为，则点坐标为，
则，
解得：，
∴点坐标为，
综上，点的坐标为或点坐标为．
12．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P．探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或
【分析】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积的综合，相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，涉及分类讨论思想．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线解析式为，设点坐标为，可得，分两种情况考虑：；，利用等腰三角形的性质建立方程即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线过与点，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在，
设直线解析式为，
则有，解得：，
即直线解析式为；
设点坐标为，
轴，
点的坐标为，
；
当时；
如图，连接，
则，，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
解得：，（舍去），
此时；
当时，
则，，
则有，
；
过点作于，则，
，
，
解得：，（舍去），
此时；
综上，或．
13．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，经过、、三点的圆的圆心恰好在此抛物线的对称轴上， 的半径为，设与轴交于，抛物线的顶点为．
(1)求的值及抛物线的解析式；
(2)若在抛物线第四象限上，求使四边形的面积最大时的点的坐标；
(3)探究坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请指出点的位置，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)在坐标轴上存在三个点，，，使得以、、为顶点的三角形与相似
【分析】本题考查了二次函数综合题，利用勾股定理得出点坐标是解题关键；利用三角形的面积得出二次函数，正确运用二次函数的性质是解题关键；利用相似三角形的性质得出点坐标是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
（1）根据勾股定理，可得的长，可得点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据面积的和差，可得，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得点坐标．
【详解】（1）
解：如图1，
，
由题意可知，
在的垂直平分线上，即在二次函数的对称轴上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为（），
过作轴于，连结，则，
∴根据勾股定理得，，
于是．
即，
同理过作轴于，连结，则，
根据勾股定理得，，
可求得，
∴，
得，
∴抛物线的解析式为；
（2）
如图2，
设的解析式为
由，
得，
解得，
∴的解析式为，
过作垂直于轴的直线与交于点，
设，，
∴，
∵最大时，最大．
∴，
∴当时，，
∴，，
即；
（3）
当时，，
解得，，
即，，
∴，
即．
由勾股定理得，
，
，
①如图，过点作轴垂线，垂足是
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴
又∵，
∴，
此时点，
②过A作交y正半轴于，如图3，
在与中，，
∴，
由①知，
∴，得，
，即，
，
，
，
③过作交正半轴于，如图4，
在与中，，
∴，
由①知，
由，得
，即，．
，
∴，
故在坐标轴上存在三个点，，，使得以、、为顶点的三角形与相似．
14．如图，在矩形中，，，沿直线折叠矩形的一边，使点落在边上的点处．分别以，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，抛物线经过，，三点．
(1)求的长及抛物线的解析式；
(2)一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？
【答案】(1)3，
(2)或
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质及二次函数的综合应用，解题时注意：折叠的性质叠种对称变换，属于对称，折叠前后图形的形和小不变，位变化，对边和对应角相等．解题时注意分类思想的运用．
（1）根据折叠图形的轴对称性，、全等，首先在中求出的长，进而可得到的长；在中，、，利用勾股定理可求出的长．进一步能确定点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）由于，首先能确定的是，若以、、为顶点的三角形与相似，那么或，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的的值；
【详解】（1）解：四边形为矩形，
，，．
由题意，．
，，．
由勾股定理易得．
，
设，则，
由勾股定理，得，
解得，，
．
抛物线过点，，
，
解得
抛物线的解析式为：；
（2）解：，，
，
由（1）可得，，．
而，，
．
当，，
，
即，
解得：．
当，，
，
即，
解得：．
当或时，以、、为顶点的三角形与相似．
15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D．
(1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标；
(2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当时，则，即，即可求解；当时，同理可解．
【详解】（1）解：由题意得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵
∴顶点；
（2）解：由（1）知，，
又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D，
∴点，
∵、，，，
∴、、、
，，
又∵与相似，
∴点O与点C对应，
当时，
则，即，
解得：，
即点；
当时，
则，即，
解得：，
则点；
综上，点的坐标为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知识，分类求解是解题的关键．
16．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)求的最小值以及此时点P的坐标；
(3)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)最小值为6，点P的坐标为
(3)Q点坐标为
【分析】（1）令，解一元二次方程即可求得抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标；令，则可求得抛物线与y轴的交点C的坐标；
（2）把点B向上平移1个单位到点D，连接，则四边形是平行四边形，从而有，故，当点P在线段上时，取得最小值，由勾股定理求得的长，即可求得最小值；再求出直线的解析式，即可求得点P的坐标；
（3）设，则得P点坐标；分两种情况考虑，利用相似三角形的性质建立方程即可求得t的值，从而求得点Q的坐标．
【详解】（1）解：令，解得：，
∴；
令，则，
∴；
（2）解：把点B向上平移1个单位到点D，连接，如图；
则，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当点P在线段上时，取得最小值，且最小值为；
由勾股定理得，
∴最小值为；
设直线的解析式为，把C、D坐标代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
即点P的坐标为；
（3）解：设，
∵抛物线对称轴为直线，，
∴，，
∴，；
∵轴，
∴，；
①当时，
则，即，
∴，
解得：，
此时，Q点坐标为；
②当时，
则，即，
∴，
整理得：，
，
则方程无解；
综上，Q点坐标为．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，求一次函数解析式，相似三角形的性质，平行四边形的判定，两点间线段最短等知识，注意分类讨论；熟练掌握这些知识是关键．
17．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质：
（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过点C作x轴的垂线交于点M，交x轴于点H，则轴，可知，由此可得，设，且，则，所以，当时，有最大值，即可求出点C的坐标．
【详解】（1）解：将，代入，
得
解得
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图，过点C作x轴的垂线交于点M，交x轴于点H，则轴，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
把，代入表达式得，
解得
∴直线的表达式为．
设，且，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∴的最大值为，此时点C的坐标为．
18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)，，；
(2)点Q的坐标是或或．
【分析】（1）分别令和，求解即可得出答案；
（2）求出抛物线的对称轴，设，则，，，再分两种情况：①当时，②当时，分别利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：在中，令得，即，
令，得，解得或，即，；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
设，则，，，
∵，，
∴，，，，
∵，
∴和相似只需或，
①当时，，
解得或，
∴或；
②当时，，
解得或（舍去），
∴，
综上所述，点的坐标是或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的图象和性质，、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
19．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求a，b的值；
(2)点P是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点Q是直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点E，是否存在点Q．使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点
(3)存在，点或
【分析】（1）把A、B两点坐标代入解析式，得出关于a、b的二元一次方程求解即可；
（2）先求出抛物线与y轴交点C的坐标，利用待定系数法求直线AC的解析式，由三角形的面积可知，平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大，设过点P的直线为，与抛物线的解析式联立，然后利用一元二次方程根的判别式列式求出n值，最后求三角形面积即可；
（3）设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为，，
分两种情况讨论，即①和是对应边时，，②和是对应边时，，分别根据相似三角形的性质列比例式，建立关于c的方程求解，即可求出结果．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于，两点，
∴，
解得：；
（2）解：令，则，
∴点，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
则，
解得：，
由三角形的面积可知，平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大．
此时设过点P的直线为，联立，
消掉y得，，
整理得，，
，
解得，
此时，，
∴点时，的面积最大；
（3）存在点或使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似，理由如下：
设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为，，
①和是对应边时，
∵，
∴，即，
整理得，，
解得，（舍去），
此时，，点；
②和是对应边时，
∵，
∴，即，
整理得，，解得，（舍去），
此时，，
∴点，
综上所述，存在点或使以点B、Q、E为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了一次函数图象与二次函数的图象的相交问题，待定系数求二次函数解析式、二次函数的最值问题以及相似三角形的性质．掌握分类讨论思想的应用是解答本题的关键．
20．如图，已知二次函数的图象过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)请你判断是什么三角形，并说明理由．
(3)若点在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点作垂直轴于点，试探究是否存在以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)直角三角形，理由见解析；
(3)存在，点P的坐标为（，）或（，），理由见解析．
【分析】（1）将点A及点B的坐标代入函数解析式，得出a、b的值，继而可得出函数解析式；
（2）根据二次函数解析式，求出点C的坐标，然后分别求出AC、AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形；
（3）分两种情况进行讨论，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标．
【详解】（1）解：由题意得，函数图象经过点A（﹣4，3），B（4，4），
故可得：，
解得：，
故二次函数关系式为： ．
故答案为：．
（2）解：是直角三角形，理由如下：
由（1）所求函数关系式，
当时， ，
解得，；
∴点C坐标为（﹣2，0），点D坐标为（，0），
又∵点A（﹣4，3），B（4，4），
∴，
，
，
∵满足，
∴是直角三角形．
（3）解：存在；
点P的坐标为（，）或（，）．
设点P坐标为（x，（x+2）（13x﹣20）），
则PH＝（x+2）（13x﹣20），HD＝﹣x+，
若△DHP∽△BCA，
则＝，
即＝，
解得：或（因为点P在第二象限，故舍去）；
代入可得，
即P1坐标为（，）；
若△PHD∽△BCA，则＝，
即＝，
解得：或 （因为点P在第二象限，故舍去）．
代入可得 ，
即P2坐标为：（，）．
综上所述，满足条件的点P有两个，即P1（，）或P2（，）．
【点睛】此题属于二次函数综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式，同时还让学生探究存在性问题，本题的第三问计算量比较大，同学们要注意细心求解．
21．如图，已知抛物线yax2bxc(a0)经过A(1,0)，B(4,0)，C(0,2)三点．
（1）求这条抛物线和直线BC的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）；；（2）点的坐标为或．
【分析】（1）设抛物线的解析式为，把点C的坐标代入求出a的值即可得出抛物线的解析式；然后利用待定系数法求直线BC的解析式；
（2）易得只能是以E为直角顶点的三角形，利用勾股定理的逆定理可证明，再证明，所以当点E在点C时满足条件，当E为点C在抛物线上的对称点时也满足条件，利用对称性写出点E的坐标即可．
【详解】解：（1）设抛物线解析式为，
把代入得，
解得：，
抛物线解析式为，
即；
设直线的解析式为，
把代入，
得，
解得，
直线的解析式为；
（2）存在．
由图象可得以或点为直角顶点的不存在，
只能是以点为直角顶点的三角形，
，
，
为直角三角形，，
，
当点在点时，以为顶点的三角形与相似；
点关于直线的对称点的坐标为，
点的坐标为时，以为顶点的三角形与相似，
综上所述，点的坐标为或．
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