压轴专题16 阿基米德折弦定理与婆罗摩笈多模型
知识考点与解题策略 模型1.阿基米德折弦模型 折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。 图1 图2 图3 图4 证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接，AC； ∵M是的中点，∴．∵，，∴． 又∵，∴，∴，．∵，， ∴．∴．∴． 法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD． 法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC， ∵M是的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA， ∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF， 在△MBF和△MBA中，， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC， 又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD； 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。 1）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理） 条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：． 证明：∵，，∴， ∴，， ∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． 在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理 条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD．结论：FE⊥BC． 证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC．
例题1（24-25九年级上·江苏无锡·期中）（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和，
是的中点，
∴，
∴①，
又∵②，
，
，
又，
，
，即，
根据证明过程，完成下列步骤：
① ，② ．
（2）【理解运用】如图1，是的两条弦，，
点是的中点，于点，则的长为_____．
（3）【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
（4）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，是的直径，点圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
【答案】（1）相等的弧所对的弦相等，同弧所对的圆周角相等；（2）2；（3），见解析；（4）或
【分析】（1）根据圆的性质即可求解；
（2）由“问题”呈现结论即可求解；
（3）在上截取，连接、、、，证明可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论；
（4）分两种情况讨论，由（1）结论可求解．
【详解】（1）解：由证明过程可知，
（相等的弧所对的弦相等）；
（同弧所对的圆周角相等）；
故答案为：相等的弧所对的弦相等，同弧所对的圆周角相等；
（2）由题意得：，即，
，
，
，
故答案为：2；
（3），
证明：在上截取，连接、、、，如图3，
是弧的中点，
，，
又，
，
，
，
又，
，
，即；
（4）如图4，当点在下方时，过点作于点，
是圆的直径，
，
，圆的半径为10，
，
，
，
，
，
，
当点在上方时，，
同理得，
综上所述：的长为或．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是解本题的关键．
例题2（2021·江苏宿迁·二模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故；
【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为 （填“真命题”，“假命题”）；
【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点；
（2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长．
【答案】【思考】真命题；【探究】（1）证明见解析；（2）4．
【思考】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再利用等量代换计算．结论可得；
（1）过点作，交的延长线于点，利用同角的余角相等得出和，进而得到；再证明，结论可得；
（2）过点作，交的延长线于点，易证，得到，．再进一步说明，可得，结论可得．
【详解】解：【思考】“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．
理由如下：如下图，
∵，为的中点，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
即：．
∴命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题．
故答案为：真命题．
【探究】（1）如下图，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵为等腰直角三角形，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
即是的中点．
（2）如下图，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，利用中点添加平行线构造全等三角形是解题的关键．
1．阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为20，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查圆与勾股定理的综合应用；连接，，，根据圆周角定理，结合已知条件易证得为的直径，，则，再根据弧、弦、圆心角的关系及等腰直角三角形的性质可求得，然后根据同弧所对的圆周角相等及勾股定理可得，，设，，其中，利用勾股定理及矩形面积公式列得方程，解方程求得，的长度，再结合可证得，则，最后利用勾股定理列得方程，解方程求出或，再进一步分析即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，，，
四边形为矩形，
，
为的直径，，
的半径为4，
，
点为的中点，
，
，
，，
，，
设，，其中，
则，
解得：或 舍去，
即，，
，，
，
，
，
，
，
解得：或，
∴或，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
2．（23-24九年级下·江苏徐州·自主招生）已知圆的圆心在函数图象上，若圆与轴和直线都相切，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了切线长定理，勾股定理，反比例函数图象和性质，分当点在第二象限内和点在第四象限内两种情况，画出图形解答即可求解，正确画出图形是解题的关键．
【详解】解：如图，当点在第二象限内时，点为切点，连接，则轴，，
由切线长定理可得，，
∵直线解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵点在函数图象上，
∴，
解得，
∴；
当点在第四象限内时，同理可得；
综上，点的坐标为或．
3．阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是 ．
【答案】/
【分析】根据等边三角形的性质可得点是弧的中点，则可用阿基米德折弦定理得，，根据中，，于点，可得是等腰直角三角形，可求出的长，即的长，根据的周长的计算方法即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∴外接圆中，，即点是弧的中点，且于点，
∴根据阿基米德折弦定理得，，
∵中，，于点，且，
∴，，即是等腰直角三角形，则，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查定义新运算，等边三角形的性质，圆的基础知识，等腰直角三角形的性质，几何图形的周长的计算方法等知识，掌握以上知识是解题的关键．
4．（23-24九年级上·江苏常州·期中）小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现．如图，在中，是的中点，直线于点，则可以得到＝，请证明此结论．
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦．如图，古希腊数学家阿基米德发现，若、是的折弦，是的中点，于点．则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何来证明这个结论呢？小明的证明思路是∶在上截取，连接、、、…请你按照小明的思路完成证明过程．
(3)如图，已知等边三角形内接于，＝，点是上的一点，＝，于点，则的周长为_________．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）连接，，易证为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得．
（2）如图，在上截取＝，连接、、、，由是的中点，得，进而证明，根据全等三角形的性质及等腰三角形的三线合一即可得证；
（3）根据，从而证明，得出，然后判断出，进而求得．
【详解】（1）如图，连接，，
∵是劣弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴；
（2）证明：如图，在上截取＝，连接、、、，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵＝，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴由（）得，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴的周长为∶．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了垂径定理及其推论，等边三角形得性质，勾股定理，弧、弦、弦心距之间得关系，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，掌握并熟练运用等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
5．请阅读下面材料，并完成相应的任务．
阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），．M是的中点，则从点M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接．
∵M是的中点，
∴．
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边三角形内接于，D为上一点，．于点E，，连接，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证，推出，．再证，推出，等量代换可得；
（2）先利用等边三角形的性质证明，进而证明，，求出，再利用（1）中结论可得，通过等量代换可得．
【详解】（1）证明：如图，，
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如图，
∵是等边三角形，
∴，．
∵．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点C是的中点．
∴由（1）的结论得，，
∴的周长是．
【点睛】本题考查圆的基本性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等，解题的关键是熟练运用等量代换思想．
6．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】
我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点．
(1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则 ；
(2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点；
【变式探究】
(3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】
(4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则 ．
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)
(4)或
【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再由所给的定义求出的长即可；
（2）在上截取，连接、、、，可证明，得到，再由垂径定理得到，则有，即可证明是折弦的中点；
（3）仿照（2）的方法，在上截取，连接、、、，证明，可得到；
（4）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出；当点在上时，如图6，，过点作交于点，由，求出，再由勾股定理求出．
【详解】（1）解：是的切线，为切点，
，
，
，，
，
，
是折线段的中点，
，
故答案为：3；
（2）证明：在上截取，连接、、、，
点是的中点，
，
，
（SAS），
，
，
，
，
是折弦的中点；
（3）解：，理由如下：
如图，在上截取，连接、、、，
点是的中点，
，
，
（SAS），
，
，
，
，
；
（4）解：是的直径，
，
，，
，
当点在上时，如图，
，
，
过点作交于点，
，
，
；
当点在上时，如图，，
过点作交于点，
，
，
；
综上所述：的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键．
7．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴，
任务：
(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边内接于⊙O，，D为上一点，，于点E，请直接写出的周长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)的周长为
【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）首先证明，进而得出，以及 ，进而求出BE的长即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图2所示，在CB上截取，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图3，截取，连接AF，AD，CD．
则．
∵是等边三角形，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
∵，
∴，
则．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴的周长为：
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．
8．（九年级上·江苏盐城·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，阿基米德的折弦定理是其推导出来的重要定理之一．阿基米德折弦定理：如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC＞AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．
证明：如图，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是弧ABC的中点，
∴MA＝MC．
…
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
【答案】见解析.
【分析】首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案．
【详解】如图，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG，
∵M是的中点，
∴MA＝MC，
在△MBA和△MGC中，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝GD，
∴DC＝GC+GD＝AB+BD．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．
9．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子．
阿拉伯Al﹣Binmi的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ．
【答案】(1)详见解析；（2）2+2．
【详解】试题分析：（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；（2）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案．
试题解析：（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
在△MBA和△MGC中
∵，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；
（2）解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
在△ABF和△ACD中
∵，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE==，
则△BDC的周长是2+2．
考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．
10．综合运用：
【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和，
∵M是的中点，
∴，
∴（相等的弧所对的弦相等），
又∵（同弧所对的圆周角相等），
∴，∴，
又∵，∴，∴，即．
(1)【理解运用】如图1，是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则的长为________；
(2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明；
(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
【答案】(1)2
(2)，理由见解析
(3)的长为或．
【分析】（1）由“问题”呈现结论即可求解；
（2）在上截取，连接、、、，证明可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论；
（3）分两种情况讨论，由（1）结论可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，即，
，
，
，
故答案为：2；
（2）解：，
证明：在上截取，连接、、、，如图3，
是弧的中点，
，，
又，
，
，
，
又，
，
，即；
（3）解：如图4，当点在下方时，过点作于点，连接，
是圆的直径，
，
，圆的半径为10，
，
，
，
，
，
，
当点在上方时，，
同理得，
综上所述：的长为或．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是解本题的关键．
11．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
（1）证明：如图2，在上截取，连接和．
∵M是的中点，
∴
……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：
（2）如图3，已知内接于，，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 ．
（3）如图4，已知等腰内接于，，D为上一点，连接，，于点E，的周长为，，请求出的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）4
【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）直接根据阿基米德折弦定理得出结论；
（3）根据阿基米德折弦定理得出，进而求出，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接和．
∵M是的中点，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）根据阿基米德折弦定理得，，
答案为：；
（3）根据阿基米德折弦定理得，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，理解和应用阿基米德折弦定理解题关键．
12．（九年级上·江苏连云港·期末）【问题呈现】阿基米德折弦定理：
如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC①
又∵∠A＝∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB＝MG
又∵MD⊥BC
∴BD＝DG
∴AB+BD＝CG+DG
即CD＝DB+BA
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：
① ，
② ，
③ ；
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．
【答案】（问题呈现）相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；（理解运用）1；（变式探究）DB＝CD+BA；证明见解析；（实践应用）7或．
【分析】（问题呈现）根据圆的性质即可求解；
（理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，即可求解；
（变式探究）证明△MAB≌△MGB（SAS），则MA＝MG，MC＝MG，又DM⊥BC，则DC＝DG，即可求解；
（实践应用）已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+8）＝7．如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．
【详解】（问题呈现）
①相等的弧所对的弦相等
②同弧所对的圆周角相等
③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所定义的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；
（理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，
BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，
故答案为：1；
（变式探究）DB＝CD+BA．
证明：在DB上截去BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，
∵M是弧AC的中点，
∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．
又MB＝MB
∴△MAB≌△MGB（SAS）
∴MA＝MG
∴MC＝MG，
又DM⊥BC，
∴DC＝DG，
AB+DC＝BG+DG，
即DB＝CD+BA；
（实践应用）
如图，BC是圆的直径，所以∠BAC＝90°．
因为AB＝6，圆的半径为5，所以AC＝8．
已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，
则CG1′+AB＝AG1，
所以AG1＝（6+8）＝7．
所以AD1＝7．
如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．
所以AD的长为7或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定（SAS）与性质、等腰三角形的性质和圆心角、弦、弧，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SAS）与性质、等腰三角形的性质和圆心角、弦、弧.
13．阿基米德折弦定理：如图1， 和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．
下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和．
∵M是的中点，
∴
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边内接于，，D为上 一点, ，与点E,则的周长是 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）方法一、首先证明，进而得出，以及，进而求出的长即可得出答案．
方法二、先求出，再用（1）的结论得出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接和．
∵M是的中点，
∴
在和中
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：方法一、如图3，截取，连接，
由题意可得：，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
则的周长是．
故答案为．
方法二、∵是等边三角形，
∴，
∴由（1）的结论得，，
∵，
∴，
∴，
∴则的周长是．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．
14．【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和．
是的中点，
，
又，，
，
，
又，
，
即．
(1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ；
(2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
(3)【实践应用】如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则AD＝ ．
【答案】(1)1
(2)；证明见解析
(3)或
【分析】（1）由“问题呈现”结论可求解；
（2）在上截取，连接、、、，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论；
（3）分两种情况讨论，由“问题呈现”结论可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，即，
，
，
．
（2）解：．
证明：在上截取，连接、、、，
是弧的中点，
，，
又，
，
，
，
又，
，
，即．
（3）解：如图，当点在下方时，过点作于点，
是圆的直径，
，
，圆的半径为5，
，
，
，
，
．
当点在上方时，，同理易得．
综上所述：的长为或．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解题意是本题的关键．
15．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图：已知点A、B、C、D顺次在圆O上，，，垂足为M．证明：．（阿基米德折弦定理）
【答案】见解析
【分析】如图，将绕点B旋转到，使与重合，再证，可得,即可得出．
【详解】∵，
∴，又，
将绕点B旋转到，使与重合，如图，
∴，
∴，，，
∵，即，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质，通过旋转构建全等三角形，是解答的本题的关键．
16．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…
(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 _________；
(3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)8+8
【分析】（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；
（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，证明△DCF≌△DBA（SAS），得到DF=AD，根据等腰三角形三线合一的性质得到AE=EF，由此得到AE；
（3）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
又∵BA=GC，∠A=∠C，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；
（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，
∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，
∴△DCF≌△DBA（SAS），
∴DF=AD，
又∵DE⊥AC，
∴AE=EF，
∵CF=AB=4，AC=10，
∴AE=3；
（3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE=AB=4，
则△BDC的周长=2BE+BC=8+8．
故答案为：8+8．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．
17．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读材料并完成相应任务：
婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
下面对该定理进行证明．
已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点P，于点M，延长交于点N．
求证：．
证明：∵，，
∴，
∴．
……
任务：
(1)请完成该证明的剩余部分；
(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）先根据垂直的定义和三角形内角和定理证明，再由对顶角相等和圆周角定理证明，得到，同理可证，即可证明；
（2）根据圆内接四边形对角互补得到，即，再由平行线的性质得到，即可利用题中定理得到，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可证，
∴；
（2）解：∵四边形 为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，即点N为的中点，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，证明题中所给定理是解题的关键．
18．（24-25九年级·江苏·假期作业）阅读材料并完成相应任务：
婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
下面对该定理进行证明．
已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点，
于点，延长交于点．
求证：．
证明：，，
，，
．
……
任务：
(1)请完成该证明的剩余部分；
(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，，，，分别交于点，，连接，交于点．过点作，分别交，于点，．若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）应用圆周角定理，等腰三角形的判定，可证明；
（2）应用（1）的结论，圆内接四边形的性质，可求解．
【详解】（1）解：证明：，，
，，
，
，，
，
，
同理，，
；
（2）四边形是内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是能熟练应用圆的有关性质．
19、婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论：
①图1中S△ABC＝S△ADE；
②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；
③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．
（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；
（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．
【答案】（1）①证明见详解；②证明见详解；③证明见详解；（2）证明见详解．
【分析】（1）①取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，先证△GEF≌△ADF（AAS），得出S△EAD=S△GEA，再证△GEA≌△CAB（SAS）即可；
②取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，先证△GEF≌△ADF（AAS），得出∠BAC =∠GEA，再证△GEA≌△CAB（SAS），得出∠EAG=∠ABC，AC=AG，由AM是边BC上的中线，得出BM=CM=，三证△EAF≌△ABM（SAS）即可；
③过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O，先证∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD，证明△EAP≌△ABM（AAS），再证△CAM≌△ADO（AAS），三证△EPN≌△DON（AAS）即可．
（2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE绕点A逆时针旋转90°，得△ARD，由点F为BD中点，可得DF=BF，先证△DQF≌△BAF（SAS），DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA，可证DQ∥BA，根据△ACE绕点A逆时针旋转90°得△ARD，可得AR=AC=AB=QD，RD=CE，证明R、A、B三点共线，再证△DQA≌△ARD（SAS），即可．
【详解】（1）①图1中S△ABC＝S△ADE；
证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，
∵点F为DE中点，
∴EF=DF，
∵EG∥AD，
∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°，
在△GEF和△ADF中，
，
∴△GEF≌△ADF（AAS），
∴GE=AD，∠G=∠DAF，
∴S△GEF=S△ADF，
∴S△EAD=S△GEA，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180°
∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180°
∴∠BAC =∠GEA，
∴GE=AD=AC，
在△GEA和△CAB中，
，
∴△GEA≌△CAB（SAS），
∴S△ABC＝S△GEA=S△ADE；
②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；
证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，
∵点F为DE中点，
∴EF=DF，
∵EG∥AD，
∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°，
在△GEF和△ADF中，
，
∴△GEF≌△ADF（AAS），
∴GE=AD，GF=AF=
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180°
∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180°
∴∠BAC =∠GEA，
∴GE=AD=AC，
在△GEA和△CAB中，
，
∴△GEA≌△CAB（SAS），
∴∠EAG=∠ABC，AC=AG，
∵AM是边BC上的中线，
∴BM=CM=，
在△EAF和△ABM中，
，
∴△EAF≌△ABM（SAS），
∴EF=AM，
∵点F为DE中点，
∴DE=2EF=2AM，
③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．
证明：过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O，
∵∠BAE=90°，∠DAC=90°，
∴∠BAM+∠EAP=90°，∠MAC+∠DAO=90°，
∵AM⊥BC，
∴∠ABM+∠BAM=90°，∠MCA+∠MAC=90°
∴∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD，
∵EP⊥MN，
∴∠EPA=90°
在△EAP和△ABM中，
，
∴△EAP≌△ABM（AAS），
∴EP=AM，
∵DO⊥MN，
∴∠AOD=90°，
在△CAM和△ADO中，
，
∴△CAM≌△ADO（AAS）
∴AM=DO，
∴EP=DO=AM，
在△EPN和△DON中，
∴△EPN≌△DON（AAS），
∴EN=DN，
∴MA的延长线平分ED于点N．
（2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE绕点A逆时针旋转90°，得△ARD
∵点F为BD中点，
∴DF=BF，
在△DQF和△BAF中，
∴△DQF≌△BAF（SAS），
∴DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA，
∴DQ∥BA，
∵△ACE绕点A逆时针旋转90°得△ARD
∴△ACE≌△ARD，∠RAC=90°，
∴AR=AC=AB=QD，RD=CE，
∵∠CAB=90°，
∴∠RAB=∠RAC+∠CAB=90°+90°=180°，
∴R、A、B三点共线，
∵DQ∥BA，
∴∠QDA=∠RAD，
在△DQA和△ARD中，
∴△DQA≌△ARD（SAS），
∴AQ=DR，
∴2AF=AG=DR=CE，
∴2AF=CE．
【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，三角形面积，中线加倍，三角形中线性质，等腰直角三角形性质，图形旋转变换性质，三点共线，掌握以上知识，尤其是利用辅助线作出准确图形是解题关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴专题16 阿基米德折弦定理与婆罗摩笈多模型
知识考点与解题策略 模型1.阿基米德折弦模型 折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。 图1 图2 图3 图4 证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接，AC； ∵M是的中点，∴．∵，，∴． 又∵，∴，∴，．∵，， ∴．∴．∴． 法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC； ∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M是的中点，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC， ∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB， ∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD． 法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC， ∵M是的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA， ∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF， 在△MBF和△MBA中，， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC， 又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD； 模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。 1）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理） 条件：如图，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．结论：． 证明：∵，，∴， ∴，， ∴，∵，∴． 又∵，∴，∴． 在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD， 又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD 2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理 条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD．结论：FE⊥BC． 证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM， ∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°， ∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC．
例题1（24-25九年级上·江苏无锡·期中）（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和，
是的中点，
∴，
∴①，
又∵②，
，
，
又，
，
，即，
根据证明过程，完成下列步骤：
① ，② ．
（2）【理解运用】如图1，是的两条弦，，
点是的中点，于点，则的长为_____．
（3）【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
（4）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，是的直径，点圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
例题2（2021·江苏宿迁·二模）【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故；
【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为 （填“真命题”，“假命题”）；
【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点；
（2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长．
1．阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为20，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·江苏徐州·自主招生）已知圆的圆心在函数图象上，若圆与轴和直线都相切，则点的坐标为 ．
4．（23-24九年级上·江苏常州·期中）小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现．如图，在中，是的中点，直线于点，则可以得到＝，请证明此结论．
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦．如图，古希腊数学家阿基米德发现，若、是的折弦，是的中点，于点．则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何来证明这个结论呢？小明的证明思路是∶在上截取，连接、、、…请你按照小明的思路完成证明过程．
(3)如图，已知等边三角形内接于，＝，点是上的一点，＝，于点，则的周长为_________．
5．请阅读下面材料，并完成相应的任务．
阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），．M是的中点，则从点M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接．
∵M是的中点，
∴．
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边三角形内接于，D为上一点，．于点E，，连接，求的周长．
6．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）【了解概念】
我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点．
(1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则 ；
(2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点；
【变式探究】
(3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】
(4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则 ．
7．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴，
任务：
(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边内接于⊙O，，D为上一点，，于点E，请直接写出的周长．
8．（九年级上·江苏盐城·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，阿基米德的折弦定理是其推导出来的重要定理之一．阿基米德折弦定理：如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC＞AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．
证明：如图，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是弧ABC的中点，
∴MA＝MC．
…
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
9．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子．
阿拉伯Al﹣Binmi的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ．
10．综合运用：
【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和，
∵M是的中点，
∴，
∴（相等的弧所对的弦相等），
又∵（同弧所对的圆周角相等），
∴，∴，
又∵，∴，∴，即．
(1)【理解运用】如图1，是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则的长为________；
(2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明；
(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
11．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
（1）证明：如图2，在上截取，连接和．
∵M是的中点，
∴
……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：
（2）如图3，已知内接于，，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 ．
（3）如图4，已知等腰内接于，，D为上一点，连接，，于点E，的周长为，，请求出的长．
12．（九年级上·江苏连云港·期末）【问题呈现】阿基米德折弦定理：
如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC①
又∵∠A＝∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB＝MG
又∵MD⊥BC
∴BD＝DG
∴AB+BD＝CG+DG
即CD＝DB+BA
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：
① ，
② ，
③ ；
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．
13．阿基米德折弦定理：如图1， 和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．
下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和．
∵M是的中点，
∴
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边内接于，，D为上 一点, ，与点E,则的周长是 ．
14．【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和．
是的中点，
，
又，，
，
，
又，
，
即．
(1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ；
(2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
(3)【实践应用】如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则AD＝ ．
15．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图：已知点A、B、C、D顺次在圆O上，，，垂足为M．证明：．（阿基米德折弦定理）
16．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…
(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 _________；
(3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．
17．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读材料并完成相应任务：
婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
下面对该定理进行证明．
已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点P，于点M，延长交于点N．
求证：．
证明：∵，，
∴，
∴．
……
任务：
(1)请完成该证明的剩余部分；
(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长．
18．（24-25九年级·江苏·假期作业）阅读材料并完成相应任务：
婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
下面对该定理进行证明．
已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点，
于点，延长交于点．
求证：．
证明：，，
，，
．
……
任务：
(1)请完成该证明的剩余部分；
(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，，，，分别交于点，，连接，交于点．过点作，分别交，于点，．若，求的长．
19、婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论：
①图1中S△ABC＝S△ADE；
②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；
③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．
（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；
（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．
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