压轴专题05 二次函数（角度问题）
知识考点与解题策略 【解题思路】 二次函数与角有关问题包括等角、倍角、特殊角以及三角函数问题. 倍角问题，往往将其转化成等角问题. 对于等角问题，一般有以下解决路径： (1)将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决； (2)用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系； (3)利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建数量关系； (4)利用角平分线的相关性质定理.
例题1 （24-25 江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为．
(1)请直接写出、、三点坐标．
(2)如图，点是第四象限内抛物线上的一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求线段长度的最大值；
(3)如图，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；
例题2如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值；
(3)如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值．
例题3综合与探究
如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作交直线于点Q，连接、、，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．
1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接．若，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为 ．
3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接、、、，与相交于点Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
(3)抛物线上存在点P，满足，则点P的坐标为__________．
4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）与轴交于、两点，与轴交于点，若满足．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接、，
①求证：；
②在抛物线上找一点，使得，请求出点的坐标．
5、如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为该抛物线上一动点．
①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值；
②若，求点P的横坐标．
6．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使的值最小，求出此时点E的坐标，并求的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，二次函数的图象经过和，交y轴于点，连接．点D为第一象限抛物线上一动点，过点D分别作x轴和y轴的垂线，交于点E和点F．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求面积的最大值及此时点D的坐标：
(3)当面积最大时，在抛物线上是否存在一点M，使，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，连接．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)若点P是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接．
(1)填空：______ ，的坐标为______ ；
(2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式；
(3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标．
10．（24-25·江苏扬州·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______．
11．（24-25·江苏淮安·一模）如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为．
(1) ， ；
(2)若点在点的上方，且，求的值；
(3)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）．
①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足=？若存在，求出及相应的、的值；若不存在，请说明理由．
②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，直接写出点F的坐标．
12．（2024·江苏宿迁·三模）已知，如图，直线与轴、轴相交于点、点，点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过点．
(1) ， ， ， ；
(2)延长至点，作的平分线，两条角平分线相交于点，求的值；
(3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
13．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B（A在B左侧），与轴交于C，在函数图象上取一点D，点D和点C的纵坐标相同，，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在x轴上取点M（m，0），若二次函数图象上存在一点N，使得，且满足条件的点N有且只有3个，请求出m的值．
14．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点M，连接，，与y轴交于点D．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求四边形面积的最大值；
(3)当时，求直线的函数表达式及点P的坐标．
15．（2024·江苏无锡·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴交于点A，B，二次函数的图象G经过点A，点B，与x轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图2，点P在第一象限内二次函数图象上，分别过点P作直线，x轴的垂线，垂足是E，F，当取得最大值时，求点P的坐标；
(3)如图3，将二次函数的图象G沿射线的方向平移，平移后的二次函数图象恰好经过点B，点Q为图象上一点，直线与直线相交于点M，若，求点Q的横坐标．
16．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图2，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、（在左侧），与轴交于，一次函数的图象经过、两点．
(1)分别求出、的值；
(2)在二次函数图象上是否存在点，且满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点是二次函数图像上轴下方的一个动点，过点作轴交直线于点，连接，将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，请求出点的坐标；
(3)在二次函数的图象上，是否存在点，使得若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点出发，同时点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，当点与点重合时运动停止．设运动时间为秒．
(1)当时，______；
(2)当与相似时，求的值；
(3)当时，抛物线经过，两点，与轴交于另一点抛物线的顶点为，问该抛物线上是否存在点，使？若存在，求出所有满足条件的的坐标；若不存在，说明理由．
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知识考点与解题策略 【解题思路】 二次函数与角有关问题包括等角、倍角、特殊角以及三角函数问题. 倍角问题，往往将其转化成等角问题. 对于等角问题，一般有以下解决路径： (1)将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决； (2)用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系； (3)利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建数量关系； (4)利用角平分线的相关性质定理.
例题1 （24-25 江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为．
(1)请直接写出、、三点坐标．
(2)如图，点是第四象限内抛物线上的一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求线段长度的最大值；
(3)如图，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；
【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
(2)
(3)或
【分析】（1）由抛物线，分别令，，则可确定抛物线与坐标轴的交点坐标，根据顶点坐标可确定点的坐标；
（2）设轴于点，设，确定直线的解析式为，得到，继而得到，根据二次函数的最值可得结论；
（3）确定直线的解析式为，然后分两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，
当时，得，解得：或，
当时，得，
∴，，，
∵抛物线的顶点为，
∴，即，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
（2）设轴于点，设，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵过点作轴的垂线，交直线于点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，线段的长度取得最大值，此时最大值为；
（3）设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
①如图，
∵，
∴，
设直线的解析式为，过点，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点的坐标为；
②如图，设交于点，作射线交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴点是的中点，
∴点的坐标是，即，
设直线的解析式为，过点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线：与直线：交于点，
联立，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
∴解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，待定系数法确定函数解析式，平行线的判定，二次函数与一次函数的交点，等角对等边，中点坐标，垂直平分线的判定和性质等知识点．掌握二次函数的性质、确定二次函数与一次函数交点坐标的方法是解题的关键．
例题2如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值；
(3)如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值．
【答案】(1)
(2)1
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合：
（1）把抛物线设为顶点式即可得到答案；
（2）先求出，进而求出直线解析式为；如图所示，过点D作轴，交于E，设，则，可得；进而得到，据此可得答案；
（3）利用勾股定理得到，，，则，可得，利用三角形外角的性质证明，进而证明，得到，设，则，可得，则当时，有最大值，最大值为1，即点F的横坐标的最大值为．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，当时，解得或，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
如图所示，过点D作轴，交于E，
设，则，
∴；
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为1；
（3）解：∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为1，
∴点F的横坐标的最大值为．
例题3综合与探究
如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作交直线于点Q，连接、、，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，或
【分析】（1）待定系数法进行求解即可；
（2）根据四边形的面积等于的面积加上的面积，转化为二次函数求最值即可；
（3）取的中点，连接，作，勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据斜边上的中线和三角形的外角推出，进而求出，根据，得到，设，过点作于点，分点在的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）把，代入解析式，得：
，解得，
∴；
（2）∵，当时，，解得：，
∴，
设直线的解析式为，则：
，解得：，
∴，
∵点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作交直线于点Q，
∴，
∴，
设与交于点，
则：四边形的面积
，
∴当时，四边形的面积最大，为；此时；
（3）存在；
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，
取的中点，连接，过点O作于点F，
则：，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，过点作于点，则：，，
∴，
当在下方时：，
解得：（舍去）或，经检验是原方程的解；
∴；
当在上方时：，
解得：（舍去）或，经检验是原方程的解；
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，分割法求面积，二次函数求最值，斜边上的中线，解直角三角形等知识点，综合性强，属于压轴题，正确的求出解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接．若，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，先用的代数式表示出，，的坐标，再作的平分线交于点，过点作于点，根据全等和角平分线性质得到用的代数式表示的和的长，根据和的关系即可求出的值．
【详解】解：当时，，
解方程，得，，
点在点的左侧，且，
，，
当时，，
，
，
，
，
∵轴，
，
，
，
作的平分线交于点，过点作于点，如图，
，，
，
在和中，
，
∴，
，
，，
，，
，
，
即，
．
故选：B．
2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为 ．
【答案】/
【分析】先用的代数式表示出，，的坐标，再作的平分线交于点，过点作于点，根据全等和角平分线性质得到用的代数式表示的和的长，根据和的关系即可求出的值．
【详解】解：在中，当时，，
解方程，得，，
点在点的左侧，且，
，，
在中，当时，，
，
，
，
，
∵轴，
，
，
，
作的平分线交于点，过点作于点，则，如图，
，，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，，
∴是等腰直角三角形，
，
即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接、、、，与相交于点Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
(3)抛物线上存在点P，满足，则点P的坐标为__________．
【答案】(1)
(2)点P的坐标是或
(3)
【分析】（1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式；
（2）根据图形得到：，即．运用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点的横坐标即可；
（3）过点作轴于点，根据得到，可推出，由相似的性质进行即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴．
令，
则，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴．
设，
∴，
∴或，
∴或；
（3）解：存在，点的坐标是．
理由：过点作轴于点，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设点，
∴，，
∴，
整理得，
解得或（不符合题意），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用以及三角形面积公式，相似三角形的性质等知识点．
4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）与轴交于、两点，与轴交于点，若满足．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接、，
①求证：；
②在抛物线上找一点，使得，请求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）令，可求出A、B的坐标，然后求出C的坐标，最后把C的坐标代入函数解析式求解即可；
（2）①证明，然后根据相似三角形的性质即可得证；
②取中点G，过G作交于H，连接，设点E满足，则，根据等边对等角和三角形外角的性质可得出，结合已知可得出，则，根据平行线分线段可得出H是中点，则，待定系数法求出直线解析式为，直线解析式为，联立方程组，即可求出E的坐标．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
代入，得，
解得，
∴；
（2）①证明：∵，
∴，
又，
∴，
∴，即；
②如图，取中点G，过G作交于H，连接，设点E满足，
则，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴H是中点，
又，，
∴即，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
∵，
∴设直线解析式为，
把代入，得，
解得，
∴直线解析式为，
联立方程组，
解得或（舍去），
∴E的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形，待定系数法，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形，合理分类讨论是解题的关键．
5、如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为该抛物线上一动点．
①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值；
②若，求点P的横坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）①当时，，即，，，待定系数法求直线的解析式为；如图1，设，则，，由，可知当时，有最大值，由轴，轴，可得，，由勾股定理得，，进而可求的最大值；②如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于， 由轴对称的性质可知，，，则，，，由勾股定理得，，如图2，作于，由，即，可求，由勾股定理得，，则，由，即，可求，即，待定系数法求直线的解析式为，联立，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴；
（2）①解：当时，，即，
∴，，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为；
如图1，
设，则，，
∵，
∴当时，有最大值，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴的最大值为；
②解：如图2，作关于轴的对称点，连接，作，使，交轴于，
由轴对称的性质可知，，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
如图2，作于，
∴，即，
解得，，
由勾股定理得，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立，，
解得，或（舍去），
∴点P的横坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，正切等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，正切是解题的关键．
6．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使的值最小，求出此时点E的坐标，并求的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点，的最小值为
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
（1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小，即可求解；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解．
【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、，
将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：，
故函数的表达式为：，
令，则或3，故点；
（2）解：如图1中，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小，
函数顶点D坐标为，点，
设直线的解析式为，将、D的坐标代入得：
，解得，
直线的表达式为：，
当时，，
故点，
则的最小值为；
（3）解：①当点P在x轴上方时，如图中，
∵，则，，
过点B作于点H，则，
设，
则，
由勾股定理得：，即，
解得：，
则，
则；
②当点P在x轴下方时，
同理可得；
故点P的坐标为或．
7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，二次函数的图象经过和，交y轴于点，连接．点D为第一象限抛物线上一动点，过点D分别作x轴和y轴的垂线，交于点E和点F．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求面积的最大值及此时点D的坐标：
(3)当面积最大时，在抛物线上是否存在一点M，使，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当点D的坐标为时，的面积最大，最大值为4；
(3)M的坐标为或．
【分析】（1）将点A，B的坐标代入解析式，组成二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据题意作出图形，先证明，得到，可表达的面
积，设点D的横坐标为t，根据二次函数的性质可得出结论；
（3）由（2）的结论可知，是等腰三角形，过点C作于点G，证明，根据全等的性质可得，求出直线的解析式，联立即可得出结论．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，
二次函数的图象经过和，
，解得：，
此二次函数的解析式为：；
（2）解：如图：
轴，
，
，
，
，
当时，，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，即，
直线的解析式为，
设点D的横坐标为t，
，，
，
当时，最大，最大值为2，
，
当点D的坐标为时，的面积最大，最大值为4；
（3）解：由（2）可知，
，
，即，
如图，过点C作于点G，
平分，，，
，
设N为x轴上一点，且，
，，
，
，
或，
当点时，直线的解析式为，
令，
解得：（舍去）或，
，
当点时，点M与点A重合，综上所述符合题意的点M的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等，解题关键是运用数形结合思想，分类讨论思想，熟练运用二次函数的性质求最值，通过设点的坐标，建立图形和数据的联系．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，连接．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)若点P是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)或或或
(3)或
【分析】（1）当时，即，解方程可得图象与轴交于点，，当时，，从而得图象与轴交于点；
（2）先利用勾股定理求出，再分当，当时，当时，三种情况讨论求解即可；
（3）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：当时，即，
解得：．
∴图象与轴交于点，，
当时，，
∴图象与轴交于点；
（2）解：∵，，
∴，
当，则点P的坐标为或；
当时，∵，
∴，
∴点P的坐标为；
当时，设点P的坐标为，
∴，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或；
（3）解：当点在上方时，
∵，
∴，即轴，
∴点与点关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线；
∵，
∴；
当点在下方时，设交轴于点，
则，．
∵，
∴．
在中，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，得，
解得：舍去，，
∴．
综上所述，点的坐标为或；
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
9．如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接．
(1)填空：______ ，的坐标为______ ；
(2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式；
(3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点坐标为或
【分析】（1）求出，由可得，则，代入可得的值，令可得出的坐标；
（2）设，根据三角形的面积公式可得，则当最大时的值最大，可得为抛物线的顶点，然后得出点坐标，利用待定系数法即可得直线的表达式；
（3）抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为对称轴与轴的交点，连接，判定，即与重合，求此时的点坐标；过，，三点作，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为，则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标．
【详解】（1）解：二次函数，
，
，
，
，
，
代入得：，
，
二次函数，
令得，
解得：或，
的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：设，
，，
，
，
当最大时的值最大，
二次函数，
为抛物线的顶点时最大，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为：；
（3）解：，，
抛物线的对称轴为直线，
，，，
，
是直角三角形，且，
记为对称轴与轴的交点，如图，连接，
，
，
，
，
，
则①当与重合，即；
②过，，三点作，如图，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，
，，
圆心在直线上，设圆心坐标为，则，
，即，
解得：，
，即，
解得：，，
，
综上，点坐标为或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．（24-25·江苏扬州·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______．
【答案】(1)
(2)30
(3)
【分析】（1）设二次函数解析式为，将点A和B两点代入即可求得二次函数解析式；
（2）过D作于N，作于M，根据第一问可得点，结合矩形、三角形的面积公式即可求得答案；
（3）连接，过C作交于E，过E作于F，根据题意得为等腰直角三角形，得到，结合角度正切值求得，进一步得，判定是等腰直角三角形，即可求得点，利用待定系数法求得直线直线的解析式，联立即可求得点P．
【详解】（1）解：根据题意，设二次函数解析式为，
∵二次函数的图象与轴交于两点．
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：过D作于N，作于M，
根据，则顶点的坐标为，
；
（3）解：P是抛物线上的一点，且在第一象限，
当时，连接，过C作交于E，过E作于F，如图．
∵，则为等腰直角三角形，．
由勾股定理得：，
∵．
∴，即，
∴．
由，得，
∴．
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的坐标为，
则过B、E的直线的解析式为，
令，解得，或，
所以直线与抛物线的两个交点为，
即所求的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求函数解析式、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形和解方程组，解题的关键是熟悉二次函数的性质和解直角三角形．
11．（24-25·江苏淮安·一模）如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为．
(1) ， ；
(2)若点在点的上方，且，求的值；
(3)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）．
①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足=？若存在，求出及相应的、的值；若不存在，请说明理由．
②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，直接写出点F的坐标．
【答案】(1)1，
(2)m的值为1
(3)①当时，， ；当时，，；；②
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，三角函数的定义；
（1）把、代入即可得到答案；
（2）先求出直线的解析式，设点，可得 ，进而即可求解；
（3）①先求出的解析式，的解析式，再表示，
，结合=，列出方程，即可求解；②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，推出，即可求解；当旋转后点F在点C右侧时满足的点F不存在
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与直线交于、两点，
∴，解得：，
∴，
把代入，得，
故答案为：1，；
（2）∵直线过、两点．
∴直线的解析式是，
设点，
∴点M（m，）、N（m，），当点在点的上方时，则 ，
当时，，解得：；
∴m的值为1；
（3）①由题意得：的解析式为，
的解析式，
当时，，
∴点E（3，），
∴，，
∴，
，
∵=，
∴，解得：
∵点在直线的上方
∴令=，解得：
∴
∴存在，，满足=
当时，， ；
当时，，；
②当旋转后点F在点C左侧时
过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，如图3，
∵直线的解析式为，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴和是全等的两个等腰直角三角形，
∴，
∵M（m，），
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴点F的坐标是，
当旋转后点F在点C右侧时
满足的点F不存在；
综上所述，点F的坐标是．
12．（2024·江苏宿迁·三模）已知，如图，直线与轴、轴相交于点、点，点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过点．
(1) ， ， ， ；
(2)延长至点，作的平分线，两条角平分线相交于点，求的值；
(3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；；
(2)0.5
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）将代入直线即可得出的值，得出，再利用待定系数法即可得出的值；
（2）求出，，，由等边对等角得出，由角平分线的定义结合三角形内角和定理得出，最后根据正切的定义计算即可得出答案；
（3）求出抛物线的对称轴为直线，设，作于，求出，得到点在以为圆心，为半径的圆上，作的垂直平分线交的延长线于，交于，则，，，证明，解直角三角形结合勾股定理得出，求出，以为圆心，为半径作圆，交对称轴于，则即为所求，连接，由圆周角定理可得，再利用勾股定理计算两点间的距离列出方程求解即可；作点关于直线的对称点，连接、，证明，根据对称性求出，再同理即可得出答案．
【详解】（1）解：将代入直线得：，
解得：，
直线解析式为，
当时，，
，
将，，代入抛物线解析式可得：，
解得：；
（2）解：由（1）可得：，，，
，，，，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
；
（3）解：存在，
由（1）可得抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
设，
如图，作于，
，
由（2）可得：，，
，
，，
，
，
点在以为圆心，为半径的圆上，
作的垂直平分线交的延长线于，交于，则，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
解得：或（不符合题意，舍去），
，
，
以为圆心，为半径作圆，交对称轴于，则即为所求，连接，
由圆周角定理可得，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
；
作点关于直线的对称点，连接、，
由轴对称的性质可得：，，，
，
，，
，
，
，
以为圆心，为半径作圆，交抛物线对称轴于，则即为所求，连接，
由圆周角定理可得
，
解得：或（不符合题意，舍去），
；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定了、角平分线的定义、解直角三角形、圆周角定理、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
13．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B（A在B左侧），与轴交于C，在函数图象上取一点D，点D和点C的纵坐标相同，，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在x轴上取点M（m，0），若二次函数图象上存在一点N，使得，且满足条件的点N有且只有3个，请求出m的值．
【答案】(1)二次函数的表达式为；
(2)满足条件的点有且只有3个，的值为或．
【分析】（1）先求出二次函数的图象对称轴为直线，可得，根据，即可得，，再用待定系数法可得二次函数的表达式为；
（2）过作交抛物线于，，作关于轴的对称直线交抛物线于，，画出图形可知，此时满足条件的有，两个；求出直线解析式为，求得直线解析式为；移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，故有两个相等的实数解，有，解得；当移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，同理可得有两个相等的实数解，．
【详解】（1）解：点和点的纵坐标相同，
和关于抛物线的对称轴直线对称，
又二次函数的图象对称轴为直线，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得（负值已舍去），
，，
，，
把，代入得：
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）解：，
又，
，
过作交抛物线于，，作关于轴的对称直线交抛物线于，，如图：
由平行线性质知，
由对称性知，
，
此时满足条件的有，两个；
由，可得直线解析式为，
设直线解析式为，将代入得：
，
，
直线解析式为，
直线与直线关于轴对称，
直线解析式为，
当移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，如图：
此时有两个相等的实数解，即有两个相等的实数解，
△，
即，
解得；
当移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，如图：
同理可得有两个相等的实数解，
，
解得；
综上所述，满足条件的点有且只有3个，的值为或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象与系数的关系，直线与抛物线的位置关系等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
14．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点M，连接，，与y轴交于点D．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求四边形面积的最大值；
(3)当时，求直线的函数表达式及点P的坐标．
【答案】(1)
(2)6
(3)的解析式为，
【分析】（1）将，代入，即可求解；
（2）设P点坐标为，则，，然后根据二次函数的最值求解即可．
（3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式，联立方程组可求出点P的坐标
【详解】（1）解：将，代入，
，
解得：，
；
（2）解：设P点坐标为，则，
，
当时，四边形面积的最大值为6；
（3）解：，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
；
解方程组，
解得（舍）或，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，平行线的性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数解析式．
15．（2024·江苏无锡·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴交于点A，B，二次函数的图象G经过点A，点B，与x轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图2，点P在第一象限内二次函数图象上，分别过点P作直线，x轴的垂线，垂足是E，F，当取得最大值时，求点P的坐标；
(3)如图3，将二次函数的图象G沿射线的方向平移，平移后的二次函数图象恰好经过点B，点Q为图象上一点，直线与直线相交于点M，若，求点Q的横坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点的横坐标为1或或3．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，平行线的性质，函数图象平移的性质是解题的关键．
（1）设抛物线的解析式为，将点代入求出的值，即可求函数的解析式；
（2）设，延长与直线交于点，在中，，在中，，则，当时，有最大值，此时；
（3）设抛物线沿轴负方向平移个单位，则沿轴正方形平移个单位，求出平移后的函数解析式为，再确定，当点在轴下方时，，直线与抛物线的交点为；当点在轴上方时，直线轴，点横坐标为3．
【详解】（1）解：当时，，
，
当时，，
，
设抛物线的解析式为，
将点代入可得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设，
延长与直线交于点，
，
在中，，，
，
，
在中，，
，
当时，有最大值，此时；
（3）解：，，，
，，
设抛物线沿轴负方向平移个单位，则沿轴正方形平移个单位，
平移后的函数解析式为，
将点代入，可得（舍，，
平移后的函数解析式为，
，
，
①当点在轴下方时，，
设直线交轴于点，
∵，
∴点与点关于原点对称，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，
解得或，
点横坐标为1或；
②当点在轴上方时，
∵，即，
∴，
∴，
即直线轴，此时重合，
点横坐标为3；
综上所述：点横坐标为1或3或．
16．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图2，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)2或
【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）根据题意得到B、两点的坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）根据勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，取的中点E，，过作y轴的垂线，垂足为，交的延线于G，设，则，，最后，分为和两种情况列方程求解即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点，
点，点，
二次函数的图象经过B，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式；
（2）如图所示：过点作垂足为，交与点G，连接，
，，，
，，，
，
为直角三角形．
取的中点E，连接，则，
．
．
当时，则．
设则，，
解得：（舍去）或．
点的横坐标为2．
当时，设，．
，
，，
，
，
，
，
解得：（舍去）或．
点的横坐标为．
综上所述，当点的横坐标为2或．
17．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、（在左侧），与轴交于，一次函数的图象经过、两点．
(1)分别求出、的值；
(2)在二次函数图象上是否存在点，且满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)的坐标为或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当点在轴右侧时，利用解直角三角形的方法求出，得到，进而求解；当点在轴左侧时，同理求解即可．
【详解】（1）解：令，则或，
即点、的坐标分别为：、，
将点的坐标代入一次函数表达式得：，则，
则一次函数表达式为：，
将点的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
即，；
（2）解：存在，理由：
当点在轴右侧时，
设交于点，过点作于点，
则，
而，则，
设，则，
在中，，
则，
设直线解析式为，
由点、的坐标得，解得，
则直线的表达式为：，
设点，
则，
解得：或（不合题意，舍去），
则点，
由点的坐标得，同理可求直线的表达式为：，
联立直线和抛物线的表达式得：，
解得：或（不合题意，舍去），
则点的坐标为：．
当点在轴左侧时，同理可求直线的表达式为：，
联立直线和抛物线的表达式得：，
解得：或（不合题意，舍去），
则点的坐标为：，
则点的坐标为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、平行四边形的性质、解直角三角形等，有一定的综合性．
18．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点是二次函数图像上轴下方的一个动点，过点作轴交直线于点，连接，将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，请求出点的坐标；
(3)在二次函数的图象上，是否存在点，使得若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)这个二次函数的表达式为
(2)点的坐标为
(3)点坐标为或
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，折叠问题，正切的定义；
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用折叠的性质和平行线的性质证明，然后设元，求解即可；
（3）当在直线下方和直线上方，根据，得出，进而得出直线的解析式为，直线的解析式为，联立抛物线即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，，
∴，解得，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：令，则，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，，
∴或，
解得（舍去）或（舍去）；
解得（舍去）或；
当时，；
∴点的坐标为；
（3）解：∵
∴
∵
∴
当在下方时，如图所示，过点作轴的平行线，过点作，过点分别作的平行线交于点，
∵，
∴，
∴
又∵
∴是等腰直角三角形，
∵
∴
∴
∴
设直线的解析式为
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：，
∴点坐标为
当在直线上方时，如图所示，
同理可得是等腰直角三角形，
∴，
同理可得直线的解析式为
联立
解得：或
∴点坐标为，
综上所述，点坐标为或．
19．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点出发，同时点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，当点与点重合时运动停止．设运动时间为秒．
(1)当时，______；
(2)当与相似时，求的值；
(3)当时，抛物线经过，两点，与轴交于另一点抛物线的顶点为，问该抛物线上是否存在点，使？若存在，求出所有满足条件的的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)2
(2)的值为或
(3)抛物线上存在点，其坐标为或
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．
可用含的代数式分别表示出，，的长，再将代入，即可直接求出的面积；
分两种情况讨论，当∽时，当∽时，分别用相似三角形的性质可求出的值；
先求出抛物线的解析式，顶点坐标，点的坐标，如图，连接，，过点作轴于点，则，推出，当点在轴上方时，设与交于点，求出直线的解析式，求出其与抛物线交点即可；当点在轴下方时，作点关于轴的对称点，与抛物线交于点，求出直线的解析式，求出其与抛物线的解析式即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
，
当时，，，
，
故答案为：；
（2）由题意知，，
当∽时，
，
即，
解得，舍去，；
当∽时，
，
即，
解得，，（舍去），
综上所述，当与相似时，的值为或；
（3）当时，
，，
将代入，得，，
抛物线的解析式为，
顶点的坐标为，
，
由对称性知，，
如图，连接，，过点作轴于点，
则，，
，
当点在轴上方时，
则时，设与交于点，
又，
∽，
，
即，
解得，，
，
设直线的解析式为，
将，代入，
得，，
解得，，，
直线的解析式为，
联立，得，
解得，，，
；
当点在轴下方时，
作点关于轴的对称点，与抛物线交于点，
此时，
设直线的解析式为，
将，代入，
得，，
解得，，，
直线的解析式为，
联立，得，
解得，，，
，
综上所述，抛物线上存在点，其坐标为或
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