压轴专题07隐圆问题
知识考点与解题策略 考点一：定点定长作圆 已知平面内一定点A和一动点B，若AB长度固定，则动点B的轨迹是以A为圆心，AB长为半径的圆（如图）（依据：圆的定义，圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合）. 类型1: 如图① ,若OA＝OB＝OC,则点A，B，C均在⊙O上. 如图② ，若点B到点A的距离为定值，则点B在⊙A上. 类型2: 如图③ ，当涉及折叠时，在矩形ABCD中,点E是边AB上的定点，点F是边BC上一动点（不与点B重合），将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹是以点E为圆心，BE长为半径的一段圆弧（如图③ 虚线圆弧）. 类型3: 如图④ ，当涉及旋转时，点A为定点，将△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，则点B（C）的运动轨迹是以点A为圆心，AB（AC）长为半径的一段圆弧（如图④ 虚线圆弧）. 考点2：定弦对定角 模型引入：如图①，△ABC中，AB的长度为定值（定弦），顶点C为动点（定弦的同一侧），且∠C度数为定值（定角），根据其特征，我们把这样的模型称为定弦对定角模型. 在△ABC中，AB的长为定值， ∠C为定角度. （1）如图① ，当∠C＜90°时，点C的轨迹为优弧ACB（不与点A，B重合）; （2）如图② ，当∠C＝90°时，点C的轨迹为⊙O（不与点A，B重合）; （3）如图③ ，当∠C＞90°时，点C的轨迹为劣弧AB（不与点A，B重合）. 结论: 当AC＝BC时,点C到AB的距离最大，且此时△ABC的面积最大 考点3：四点共圆 类型一: 如图① ② ，在以A，B，C，D四点构成的四边形中，∠ACB＝ ∠ADB＝90°. 结论:点A，B，C，D在以AB为直径的圆上 依据:直径所对的圆周角为90° 类型二: 如图③ ，在四边形ABCD中， ∠ACB＝∠ADB＜90°. 结论:点A，B，C，D在同一个圆上 依据:同弧所对的圆周角相等
例题1 如图，是的直径，，点C为上一点，，点为上一动点，点是的中点，求的最小值．
【答案】．
【详解】解：如解图，连接、，
∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
取的中点为，以为圆心，长为半径作圆，则点在圆上．
连接，作于点，连接交于点，则为所求的最小值，
∵，，，
∴，，，
∵，∴，
∴由勾股定理得，
∴，即的最小值为．
例题2如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】D
【分析】先证明ON=CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解．
【详解】解：如下图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P，
∵直线y=x 3分别与x轴、y轴相交于点A、B，
∴点A（4，0），点B（0，-3），
∴OB=3，OA=4，
∴，
∵四边形ACDO是正方形，
∴OD//AC，AO=AC=OD=4，OC=4，∠COA=45°，
∴∠EDN=∠NAF，∠DEN=∠AFN，
又∵DE=AF，
∴△DEN≌△AFN（ASA），
∴DN=AN，EN=NF，
∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点，
∴ON=NC=2，
∵OH⊥EF，
∴∠OHN=90°，
∴点H在以ON直径的圆上运动，
∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，
∵点M是ON的中点，
∴OM=MN=，
∵MP⊥OP，∠COA=45°，
∴OP=MP=1，
∴AP=3，
∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ，
∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP，
又∵∠AOB=∠MPK=90°，
∴△MPK∽△AOB，
∴，
∴，
∴MK=，PK=，
∴AK=，
∵∠AKQ=∠ABO，∠OAB=∠KAQ，
∴△AKQ∽△ABO，
∴，
∴，
∴KQ=，
∴QM=KQ+MK=+=，
∴点H到AB的最大距离为+，
∴△HAB面积的最大值=×5×(+)=，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，圆等知识，解题的关键是求出MQ的长．
1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为O，
作正方形关于直线对称的正方形，
则点D的对应点是F，
连接交于P，交半圆O于E，
根据对称性有：，
则有：，
则线段的长即为的长度最小值，E
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故的长度最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键．
2．（24-25·江苏宿迁·阶段练习）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先证明，从而，再根据，可求，可知点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，从而可求BH最小值．
【详解】解：如图，取AD中点O，连接OG，以AO为斜边作等腰直角三角形AOM，
则，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴，
是直角三角形，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，
如图，连接BM，交圆M于，过点M作于点P，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴AP=MP==1，
∴BP=4-1=3，
在中，，
∴．
∴BH的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决．
3．（24-25 江苏徐州 阶段练习）如图，在等腰Rt ABC中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【详解】分析：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=8，则OC=AB=4，OP=AB=4，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=4，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．
详解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∴AB=BC=8，∴OC=AB=4，OP=AB=4．
∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=4，∴M点运动的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长= 4π=2π． 故选B．
点睛：本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．
4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知正方形边长为2，点是正方形边上的动点，点在边上，且，线段、相交于点，连接，则点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、点的运动轨迹问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线，得到点M的运动轨迹是解题的关键．先证明得到，进而证得，利用圆周角定理得到点M在以为直径的圆上运动，如图，设圆心为，连接、相交于O，连接，利用正方形的性质和圆周角定理得到点O在圆N上，根据图形结合已知得到在点从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，由线段扫过的面积求解即可．
【详解】解：如图，四边形是边长为2的正方形，
，，
在和中，
，
，
∴，
，即，
∴点M在以为直径的圆上运动，如图，设圆心为，连接、相交于O，连接，
则，，，
∴，即点O在圆N上，
∴，，
∵，，
∴当点E在点A处时，点F在点B处，这时点M在点A处，当点E在点B处时，点F在点C处，这时点M在点O处，
∴在点从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，
∴线段扫过的面积是，
故答案为：．
5．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ．
【答案】
【分析】由题意可知，，可得，可知点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧），设圆心为，连接，，，，，过点作，可知为等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，即可求得的最小值．
【详解】解：∵B、G关于对称，
∴，且
∵E为中点，则为的中位线，
∴，
∴，
∵，即，
∴点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧）
设圆心为，连接，，，，，过点作，
则，
∵，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
又∵为中点，
∴，，
又∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据得知点在以为弦，圆周角的圆上是解决问题的关键．
6．（24-25九年级·江苏苏州·阶段练习）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意可知：点C在半径为的⊙B上．在x轴上取OD=OA=6，连接CD，易证明OM是△ACD的中位线，即得出OM=CD，即当OM最大时，CD最大，由D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值．
【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，，
∴C在⊙B上，且半径为，
在x轴上取OD=OA=6，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=CD，
∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=6，∠BOD=90°，
∴BD=，
∴CD=，且C(2,8),
∴OM=CD，即OM的最大值为，
∵M是AC的中点，则M（4,4），
故答案为：（4,4）．
【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识．确定OM为最大值时点C的位置是解题关键，也是难点．
7．如图，⊙O的直径AB为2，C为⊙O上的一个定点，∠ABC＝30°，动点P从A出发，沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D，连接AD，则线段AD的最大值为 ．
【答案】/
【分析】由同弦等角可知点D在以BC为弦的⊙O′（红弧线）上运动，从而构造辅助圆，故当A、O′、D共线时，AD的值最大．求出此时AD的值即可解决问题．
【详解】解： ∵AB是直径，∠ABC＝30°，AB＝2，
∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠P＝60°，，，
∵在Rt△PCD中，∠PCD＝90°，∠P＝60°，
∴∠PDC＝30°，
∴点D在以BC为弦的⊙O′（红弧线）上运动，
∴当A、O′、D共线时，AD的值最大．
如图，连接CO′、BO′，
∵∠BO′C＝2∠CDB＝60°，O′C＝O′B，
∴△O′BC是等边三角形，
∴,∠CBO′＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABO′＝90°，
∴，
∴,
∴线段AD的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
8、如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】由与是等腰直角三角形，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得在以为直径的圆上，由的外心为，，得到，如图，当时，的值最小，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：与是等腰直角三角形，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
在以为直径的圆上，
的外心为，，
，
如图，当时，的值最小，
，
，
，，
．
则的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】先判断出四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ACD=∠ABD=30°，根据题意知点E在以FG为直径的⊙P上，连接PD交⊙P于点E，此时DE长度取得最小值，证明∠APD=90°，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ACD=∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，
∵AD=2，
∴BD=2AD=4，
分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG，
∵E是AC的中点，
∴EF∥BC，EG∥CD，
∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，
∴∠AEF+∠AEG =∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG =90°，
∴点E在以FG为直径的⊙P上，如图：
当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，
连接PA，
∵F、G分别是AB、AD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD=2，
∴∠ADB=∠AGF=60°，
∵PA=PG，
∴△APG是等边三角形，
∴∠APG=60°，
∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°，
∴∠GPD=∠GDP=30°，
∴∠APD=90°，
∴PD=，
∴DE长度的最小值为() ．
故答案为：()．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，得到点E在以FG为直径的⊙P上是解题的关键．
10、如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是 ．
【答案】
【分析】连接BD，取AD的中点E，连接BE，由题意先判断出点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出BE的长，利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出EH的长，由即可算出BH的长度．
【详解】解：连接BD，取AD的中点E，连接BE，如下图：
∵DH⊥AC
∴点H在以点E为圆心，AE为半径的圆上，当B、H、E三点共线时，BH取得最小值
∵AB是直径
∴
在中，AB=13，AD=5
由勾股定理得：
即：
∵
∴
∵E为AD的中点
∴
在中，，
由勾股定理得：
即：
∵
∴
又∵DH⊥AC，且点E为AD的中点
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理解三角形，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，隐圆问题的处理等相关知识点，能够判断出从动点的运动轨迹是解题的关键．
11、如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为 ．
【答案】
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是，如图所示：
连接OA、OC，作OD⊥AC于D，
则AD＝CDAC＝1，
∵所对的圆心角＝2∠APC＝240°，
∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAD＝30°，
∵OD⊥AC，
∴ODAD，OA＝2OD，
∴的长为π；
故答案为：π．
12、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为 ．
【答案】4
【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因为DE＝4，可得FG＝，推出点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC．
∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，
∴＝，
∵AB＝8，AG＝GB，
∴AG＝GB＝4，
∵AD＝12，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，
∴∠FAG＝∠EAD，
∴△FAG∽△EAD，
∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，
∵DE＝4，
∴FG＝，
∴点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，
∵GC＝，
∴FC≥GC FG，
∴FC≥4，
∴CF的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
13、（24-25·江苏南通·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB' F，连接B' D，则B' D的最小值是 ．
【答案】.
【分析】如图所示，点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B'、E共线时，B'D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B'E=BE=2，即可求出B'D．
【详解】如图所示点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B'、E共线时，B'D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB'F，∴∠B=∠EB'F，EB'=EB．
∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB'=2．
∵AD=6，∴DE2，∴B'D=22．
故答案为22．
【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；确定点B'在何位置时，B'D的值最小是解决问题的关键．
14．问题发现：
（1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是 ；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是 ．
问题解决：
如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2，点P是BC边上任意一点．
（2）当∠APD＝45°时，求BP的长度．
（3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．
【答案】（1）点P在⊙O上，点Q在⊙O外；（2）PB=2+或；（3）存在， 1
【分析】（1）如图①中，根据圆周角与圆心角的关系即可判断；
（2）如图2中，造等腰直角三角形△AOD，与O为圆心作⊙O交BC于P、P′，易知∠APD＝∠AP′D＝45°．求出BP′和BP的长即可解决问题；
（3）作线段AD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，点O在EF上，以OA为半径作⊙O，当⊙O与BC相切于点P时，∠APD最大，求出此时BP的值即可；
【详解】解：（1）如图①中，
∵∠APB＝∠AOB＝45°，
∴点P在⊙O上，
∵∠AQB＜45°，
∴点Q在⊙O外．
故答案为点P在⊙O上，点Q在⊙O外．
（2）如图2中，如图构造等腰直角三角形△AOD，与O为圆心，OA为半径作⊙O交BC于P、P′，易知∠APD＝∠AP′D＝45°．
延长DO交BC于H，
∵∠DAB＝135°，∠DAO＝45°，
∴∠OAB＝∠B＝90°，
∴OA∥BC，
∴∠DOA＝∠OHB＝90°，
∴四边形ABHO是矩形，
∴AB＝OH＝1，OA＝BH，
∵AD＝2，
∴OA＝OD＝OP＝OP′＝2，
在Rt△OPH和Rt△OP′H中，
易知HP＝HP′＝，
∴BH＝OA＝2，
∴BP′＝2 ，PB＝2＋．
（3）如图③中，存在．
作线段AD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，点O在EF上，以OA为半径作⊙O，当⊙O与BC相切于点P时，∠APD最大，理由：在BC上任意取一点M，连接MA、MD，MD交⊙O于N，连接AN．
∵∠AND＞∠AMD，∠APD＝∠AND，
∴∠APD＞∠AND，
连接OP，延长DA交CB的延长线于点G．
∵AB⊥BC，∠DAB＝135°，
∴∠G＝∠EFG＝45°，
∴△ABG，△EFG都是等腰直角三角形，
∵AB＝BG＝1，
∴AG＝，
∵AD＝2，OE⊥AD，
∴AE＝ED＝，
∴EG＝EF＝2，GF＝EG＝4，
设OP＝PF＝r，则OF＝r，OE＝EF OF＝2 r，
在Rt△AOE中，AE2＋OE2＝OA2，
∴，
解得r＝4 或4＋（舍弃），
∴BP＝GF GB PF＝4 1 r＝ 1．
【点睛】本题考查圆综合题、圆周角与圆心角的关系、点与圆的位置关系、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题．
15、问题发现
图（1），在和中，，，，连接，交于点M.
①的值为______；②的度数为_______．
（2）类比探究
图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．
①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长；
②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值．
【答案】（1）①1；②；（2），；（3）①的长为；②M点到直线距离的最大值为
【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解．
（2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数．
（3）深度理解题意，本质上问的就是当B，C，D，三点共线时，求的长，在利用，对应边成比例求的长，最值的求解，先找到点和点的轨迹，可以发现是在两个圆弧上运动，再利用最大时，则M点到直线距离的最大，直接求解即可．
【详解】（1）①∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②设与交于点F，
由①知，，
∴，
∵，
，
∴，
故答案为：；
（2）如下图，在和中，设与交于点；
∵∠，，
∴；
∵，
即，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，．
（3）①如下图所示，当直线经过点B且点C在线段上时；
在中，，；
过点O作的垂线，垂足为；
∴；
∵；
∴；
∴，；
在中，由勾股定理得；
；
∴；
∵；
∴；
即；
②如下图所示，∵，；
∴点M的轨迹是圆弧，即点M在圆P上运动，且；
要想求出点到直线的最大值，动点距离直线越远越好，
从下图可以看出，点的轨迹也是圆，点运动极限位置取决于的最大值；
∵，；
∴的最大值取得当且仅当时；
即在中；
；
∴；
过点作的垂线，垂足为；
∴；
即线段即为所求；
在中；
；
∵；
∴；
∵；
∴；
；
∴；
∴M点到直线距离的最大值为．
【点睛】本题主要考查等腰背景下全等三角形的判定和性质综合，特殊直角三角形为背景的相似三角形的判定和性质综合，利用特殊角的三角函数解三角形，圆轨迹动态下求线段的最值，熟练掌握手拉手模型证明三角形全等，数量掌握相似三角形的判定，特别是两边对应成比例，夹角相等类的，对于求点到直线最值类型要注意动点的轨迹寻找和影响最值的主要因素，进而综合判定求解是解题的关键．
16、如图①，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，．
(1)若，求的长度；
(2)若将绕点旋转到如图②所示的位置，请证明，；
(3)如图③，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）在等腰直角三角形中求出的长，在等腰直角三角形中求出，再利用勾股定理求出即可；
（2）延长至，使，连接，，，先证明≌，从而证得≌，进一步命题得证；
（3）取的中点，连接，，将逆时针旋转至，连接，可证得≌，进而得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接并延长交于，当在点时，最大，然后解和，进而求得结果．
【详解】（1）解：在等腰中，，，，
，，
点为的中点，
，
在等腰中，，，，
，
在中，，，，
；
（2）证明：如图，
延长至，使，连接，，，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，；
（3）如图，
取的中点，连接，，将逆时针旋转至，连接，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，，
≌，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接并延长交于，当在点时，最大，
作于，
在中，，，
，，
，
．
即的最大值．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，三角形中位线性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴专题07 隐圆问题
知识考点与解题策略 考点一：定点定长作圆 已知平面内一定点A和一动点B，若AB长度固定，则动点B的轨迹是以A为圆心，AB长为半径的圆（如图）（依据：圆的定义，圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合）. 类型1: 如图① ,若OA＝OB＝OC,则点A，B，C均在⊙O上. 如图② ，若点B到点A的距离为定值，则点B在⊙A上. 类型2: 如图③ ，当涉及折叠时，在矩形ABCD中,点E是边AB上的定点，点F是边BC上一动点（不与点B重合），将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹是以点E为圆心，BE长为半径的一段圆弧（如图③ 虚线圆弧）. 类型3: 如图④ ，当涉及旋转时，点A为定点，将△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，则点B（C）的运动轨迹是以点A为圆心，AB（AC）长为半径的一段圆弧（如图④ 虚线圆弧）. 考点2：定弦对定角 模型引入：如图①，△ABC中，AB的长度为定值（定弦），顶点C为动点（定弦的同一侧），且∠C度数为定值（定角），根据其特征，我们把这样的模型称为定弦对定角模型. 在△ABC中，AB的长为定值， ∠C为定角度. （1）如图① ，当∠C＜90°时，点C的轨迹为优弧ACB（不与点A，B重合）; （2）如图② ，当∠C＝90°时，点C的轨迹为⊙O（不与点A，B重合）; （3）如图③ ，当∠C＞90°时，点C的轨迹为劣弧AB（不与点A，B重合）. 结论: 当AC＝BC时,点C到AB的距离最大，且此时△ABC的面积最大 考点3：四点共圆 类型一: 如图① ② ，在以A，B，C，D四点构成的四边形中，∠ACB＝ ∠ADB＝90°. 结论:点A，B，C，D在以AB为直径的圆上 依据:直径所对的圆周角为90° 类型二: 如图③ ，在四边形ABCD中， ∠ACB＝∠ADB＜90°. 结论:点A，B，C，D在同一个圆上 依据:同弧所对的圆周角相等
例题1 如图，是的直径，，点C为上一点，，点为上一动点，点是的中点，求的最小值．
例题2如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（ ）
A． B．12 C． D．
1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25·江苏宿迁·阶段练习）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25 江苏徐州 阶段练习）如图，在等腰Rt ABC中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）
A． B．2 C． D．4
4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知正方形边长为2，点是正方形边上的动点，点在边上，且，线段、相交于点，连接，则点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积是 ．
5．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ．
6．（24-25九年级·江苏苏州·阶段练习）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为 ．
7．如图，⊙O的直径AB为2，C为⊙O上的一个定点，∠ABC＝30°，动点P从A出发，沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D，连接AD，则线段AD的最大值为 ．
8、如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是 ．
9、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 ．
10、如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是 ．
11、如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为 ．
12、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为 ．
13、（24-25·江苏南通·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB' F，连接B' D，则B' D的最小值是 ．
14．问题发现：
（1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是 ；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是 ．
问题解决：
如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2，点P是BC边上任意一点．
（2）当∠APD＝45°时，求BP的长度．
（3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．
15、问题发现
图（1），在和中，，，，连接，交于点M.
①的值为______；②的度数为_______．
（2）类比探究
图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．
①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长；
②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值．
16、如图①，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，．
(1)若，求的长度；
(2)若将绕点旋转到如图②所示的位置，请证明，；
(3)如图③，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值．
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