压轴专题05 二次函数（与圆结合问题）
知识考点与解题策略 策略一：相切求值等相关问题，需要结合相切的性质以及二次函数所给条件融合相似或三角函数知识点来完成。 策略二：涉及到最值模型的需要判断胡不归或阿氏圆模型 胡不归模型 条件：已知A，B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k PA+PB（k＜1）的最小值. 图示： 解题步骤： 作射线AM使sin∠PAM= k（k＜1），且点M与点B位于直线m的两侧. 2）过点P作PC⊥AM于点C，则PC=k PA，此时k PA+PB=PC+BP. 3）过点B作BD⊥AM于点D，该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的 解题大招：即当B，P，C三点共线时，k PA+PB取最小值，最小值为BD的长度. 模型总结：在求形如“k PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k PA相等的线段，将“k PA+PB”型问题转化为“PC+PB”型. 而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k PA的等线段 注意：若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可. 【模型拓展】 对形如a PA+b PB(a>b)的式子，可以先将式子变形为，再求出的最小值，此时只需要构造,作垂线即可求出最小值. 阿氏圆模型 使用场景已知两个定点A，B，动点P在定圆上，求PA+kPB的最小值类型点A，B均在圆外，r=kOB(k<1)点A，B均在圆内，r=kOB(k>1)图示解题策略第一步:在OB上取点D，使得OD=kr； 第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB,此时PA+kPB=PA+PD; 第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值.第一步:在OB的延长线上取点D，使得OD=kr; 第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB.此时PA+kPB=PA+PD; 第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值大招结论AD的长即为PA+kPB的最小值
【模型总结】 对于阿氏圆而言：当系数k＜1的时候，一般情况下，考虑向内构造. 当系数k＞1的时候，一般情况下，考虑向外构造. 【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解； 当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.
例题1 （2024·江苏·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点．
(1)求，的值；
(2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值．
【答案】(1)，.
(2)存在，
(3)
【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可；
（2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可；
（3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度．
【详解】解：（1），
点坐标为，
将，代入，
得，，
解得，
（2）设直线的表达式为，
由（1）可知抛物线的表达式为，
故点坐标为，
直线的表达式为
设点坐标为，
则，，
，
若，
则，
解得，
，
故，此时点坐标为；
（3）如图，取，连接，
，，，
又，
，
，
，
，
，
故的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键．
例题2如图，顶点在轴上的抛物线与直线相交于，两点，且点在轴上，点的横坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接．判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由；
(3)以点为圆心，为半径画，与相切于点．求直线的函数表达式．
【答案】(1)
(2)在圆上，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据题意以及一次函数的性质得出，，设抛物线的表达式为 ，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据，，，勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，根据直角所对的弦是直径，即可求解；
（3）设，将B代入得 ，则，证明，得出，，进而求得设，根据构造方程，解方程得出，进而待定系数法求解析式即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与直线相交于，两点，点在轴上，点的横坐标为．
令，解得：
∴，
∵点的横坐标为．
令，解得：
∴，
设抛物线的表达式为 ，将，，代入得
∴
∴抛物线的表达式为：，
（2）连接AM，
根据，，
∴
∴是直角三角形，且
∴点在以为直径的圆上；
（3）设
将B代入得
，
∴
连接，
，，
，
，
，
设，
将代入得 ，
，
，
设，
由 ，
∴，
解得 ，(舍去)，
∴，
∴，
∴，
设直线的表达式为：，
将，代入得，
，
解得 ，
∴设直线的表达式为
【点睛】本题考查了二次函数与圆综合，切线的性质，待定系数法求解析式，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值；
(3)如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，切线的性质、勾股定理、正方形、三角形面积的计算等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键；
（1）利用待定系数法即可得出答案；
（2）连接、，过点P作，交BC于点D，求直线的解析式，设点P坐标为，则，得出，根据，运用三角函数的性质可得结论；
（3）设点P坐标为，则
设的半径为r．根据切线的性质得，然后根据的长为边长的正方形的面积与的面积相等，列式计算即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，得，
∴，
∴；
（2）连接、，过点P作，交于点D．
由题意，可得点，设直线对应函数表达式为，则
∴，
∴
设点P坐标为，则，
则
当时，的最大值为8．
∴，
∴，
∴最大．
（3）设点P坐标为，则
设的半径为r．
∵与相切，切点为T．
∴
∵以的长为边长的正方形的面积与的面积相等
∴，
∴
∵，
∴，
∴的半径是常量．
2、对于平面直角坐标系中的点P和图形W，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．给出如下定义：若在图形W上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于，则称P为图形W的“伴随关联点”．
(1)如图1，图形W是半径为2的．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为 ；
②在点，，中，的“伴随关联点”是 ；
(2)如图2，图形W是中心在原点的正方形，点．若直线上存在正方形的“伴随关联点”，求t的取值范围；
(3)点为x轴上的动点，直线与x轴、y轴分别交于两点，点P为线段MN上的任意一点，均为半径为4的的“伴随关联点”，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)4，
(2)
(3)或
【分析】（1）①根据圆的特点，找出最大值即可；
②根据“伴随关联点”的定义，对每一个点进行判断即可；
（2）由题意可得，过点作垂直直线，交于点，
当或时，，则时，直线，上存在点，使点为正方形的“关联点”；
（3）分两种情况：①当点在轴负半轴上时；②点在轴正半轴上时，根据“伴随关联点”的定义，求出的临界值即可．
【详解】（1）解：①图形W是半径为2的，
图形W上任意两点间的距离的最大值为直径的长，
，
②到圆心的距离为，
的半径为2，
的最小值为，
是的“伴随关联点”，
到圆心的距离为，
的半径为2，
的最小值为，
不是的“伴随关联点”，
到圆心的距离为，
的半径为2，
的最小值为，
不是的“伴随关联点”，
在点，，中，的“伴随关联点”是．
（2）解：图形W是中心在原点的正方形，且，
正方形的边长为，
正方形中任意两点的距离最值为或的长，
，
过点作垂直直线，交于点，
① 如图，设直线与轴正半轴交于点
当时，，
，
，此时；
② 如图设直线与轴负半轴交于点，
当时，，
，
，此时，
若直线上存在正方形的“伴随关联点”，
则，
（3）解：的圆心为，半径为4，
，
直线与x轴、y轴分别交于两点，
令时，，令，
，
①当点在轴负半轴上时，
点为线段上离最远的点，如图所示，可以保证线段MN上的任意一点，均为半径为4的的“伴随关联点”
使点到的距离为，
则，
∴，
∴；
过点T作线段的垂线于点B，交于点A，则当垂直平分时，点A与线段MN上任一点的距离是最大的，则能保证线段MN上的任意一点，均为半径为4的的“伴随关联点”；
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴；
综上，当在x轴负半轴上时，；
②当点在轴正半轴上时，
如图，连接并延长交于F，设在点T左边交x轴于点E，
当时，则线段任一点P到的最小距离不大于2，即线段MN上的任意一点，均为半径为4的的“伴随关联点”；
∴，，
即；
当点为线段上离最远的点，如图，保证线段MN上的任意一点，均为半径为4的的“伴随关联点”；
点到的距离为，
∴，
，
；
综上，点在轴正半轴上时，；
综合上述两种情况，t的取值范围为或．
【点睛】本题考查了圆的综合应用，弄清定义，能够根据定义，结合正方形的性质，圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，数形结合是解题的关键．
在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴折叠得到点，再将点绕点R顺时针旋转得到，则称点是点P关于x轴-点R的折旋点．
例如：点关于x轴-点O的折旋点是点．
(1)如图1，点．
若点B是点A关于x轴-点的折旋点，则点B的坐标为___________；
若点是点A关于x轴-点E的折旋点，则点E的坐标为___________；
(2)如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，求b的取值范围；
(3)是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据折旋点定义求解即可；
根据折旋点定义求解即可；
（2）设M点坐标为，根据（1）可知的坐标为，当直线与圆相切时，与y轴交点最高或最低，即可确定b的取值范围；
（3）确定点F的折旋点，再根据与圆相切求取值范围．
【详解】（1）解：如图所示，点关于x轴对称点F的坐标为，绕顺时针旋转得到点B，易证,，，B点坐标为，
故答案为：，
如图所示，E点是以为斜边的等腰直角三角形的直角顶点，
因此，E点坐标为，
故答案为：；
（2）解：设M点坐标为，根据（1）可知的坐标为，
点在直线上，
,即，
∴点M在直线上，
当直线与圆相切时，与y轴交点最高或最低，
如图所示，当M在第二象限时，连接，
，，，
同理，当M在第四象限时，，
所以，；
（3）解：由可知，由（1）可知，关于x轴－点的折旋点N坐标为，
∴点N关于x轴－点的折旋点在以为圆心，半径为2的圆上，
当圆在直线左侧与直线相切时，如图所示，由可知，，易得，，，
由三角函数得，，，
，
，
当圆在直线右侧与直线相切时，如图所示，同理可得，，,
，
，
．
【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系和一次函数综合，涉及到了三角函数、全等三角形、旋转等知识，解题关键是充分理解题意，准确把握已知条件，发现折旋点坐标变化规律．
4、如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AC上一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径；
(3)直线与抛物线交于M，N两点，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)2或4
(3)8
【分析】（1）由题意及抛物线的对称性知：，即可求得m的值，从而用待定系数法可求得函数解析式；
（2）首先求出直线的解析式为，由轴及点Q在抛物线上，可得点Q的坐标，从而求得的长度，分两种情况讨论：当与x轴相切时；当与y轴相切时；分别利用圆心到切线的距离等于半径得到方程，解方程即可求得半径；
（3）由知，直线过点，则得轴，且；联立直线与抛物线的解析式，消去y得一元二次方程，可求得M与N的横坐标，再由，可得关于k的函数关系式，即可求得面积的最小值．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和点，对称轴为直线
、关于对称轴对称，
，
解得：，
即，，
把A、B两点坐标代入中，得，
解得：
则所求函数解析式为；
（2）解：对于，令，得，
，
设直线的解析式为，
则有，
解得：，
所以直线的解析式为，
设点，
轴，点Q在抛物线上，
Q的坐标为，
；
当与x轴相切时；
，
即，或，
解得：，或，
显然时点P、Q与点A重合，不合题意，则及，
当时，；当时，，
此时的半径分别为2或4；
当与y轴相切时；
，
即，或，
解得：，，或，，
显然时点P、Q与点C重合，不合题意，则及，
此时的半径分别为4或2；
综上，与坐标轴相切时，的半径分别为2或4；
（3）解：当时，，
直线过点，
，
轴，且；
联立直线与抛物线的解析式得：，
消去y得：，
，
，，
，
，
，
当时，有最小值16，从而的面积有最小值．
【点睛】本题是二次函数与一次函数、圆、三角形的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，圆的相切，三角形面积，解一元二次方程等知识，综合性强，灵活运用这些知识是关键．
5．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图1抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C顶点为D，对称轴交x轴于点Q，过C、D两点作直线CD．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，连接CQ、CB，点P是抛物线上一点，当∠DCP=∠BCQ时，求点P的坐标；
(3)若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)、
【分析】（1）将点A（-1，0）、B（3，0）代入二次函数解析式进行求解即可．
（2）连接，利用两点间距离公式以及勾股定理证明为直角三角形，得到，通过∠DCP=∠BCQ得到，求出直线解析式，利用斜率乘积为以及点坐标，求出直线解析式，最后联立直线解析式与二次函数解析式求出点坐标即可．
（3）设直线切⊙与点，连接、，作于点，利用圆与相切的性质得到，，利用边与角的关系，证明是等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，设，分别用点坐标表示出和的长，最后即可得到关于的方程，然后求解方程，得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知：点A（-1，0）、B（3，0）在抛物线y=-x2+bx+c上，
，解得：，
抛物线的函数解析式为：．
（2）解：连接，如下图所示：
由可知：对称轴为：直线，（0,3），（1,4），
由两点间距离公式可得：，，
在中，，
为直角三角形，且，
，且，
，即，
设直线解析式为：，直线解析式为：，
，解得： ，
直线解析式为：，
，
，即，
直线解析式为：，
将代入得：，故直线解析式为：，
联立与有：
解得： 或，
点P的坐标为．
（3）解：设直线切⊙与点，连接、，作于点，如下图所示：
由题意可知：，，
由可知：对称轴为：直线，（0,3），（1,4），
，，即，
是等腰直角三角形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，故，
在中，，
由勾股定理可知：，
，
解得：，
、．
【点睛】本题主要是考查了二次函数的几何综合问题，熟练掌握圆的性质以及垂直与直线斜率之间 的关系，是求解该问题的关键．
6、在平面直角坐标系xOy中，直线（）分别与x轴、y轴相交于A、B两点．⊙G经过A、B、O三点，C为⊙G在直线上方的弧上的一个动点．
(1)求⊙G的半径长（用含m的式子表示）；
(2)已知弧AC、弧BC的中点分别为点P、Q，连接OP，OQ．问：∠POQ的度数是否为定值？如果是，请求出它的度数；如果不是，请说明理由；
(3)在（2）条件下，连接AC，BC，OP分别交AB、AC于M、E点，OQ分别交AB、BC于N、F．连接EF．对于每一个确定的m的值，都有一个点C，使得S△ACB取最大值，对于此时的C，记以AM、MN、BN为三边的三角形的外接圆面积为S1，△CEF外接圆的面积为S2，求的最小值．
【答案】(1)
(2)是，45°
(3)
【分析】（1）根据解析式，可直接表示出A（0，m），B（m，0），即可求出AB长度，由此即可求出⊙G的半径；
（2）根据P、Q分别为弧AC弧BC的中点，可知，，即，可得POQ＝45°为定值；
（3）延长FE交y轴于H，取最大值时，C为上半圆AB的中点，易得四边形AOBC为正方形，G为它的对角线交点，可证得，即EF∥AB，可知，，，由（2）可知，把△AOM绕O点顺时针方向旋转90 ，易得，即：以BN、MN、AM为三边的三角形的外接圆面积为，△EFC外接圆的面积为，可知，代入即可求得结果．
【详解】（1）解：由题意可知A（0，m），B（m，0），
∵∠AOB=90°，
∴在中，有勾股定理得：，
∴，
即：⊙G的半径长为；
（2）POQ＝45°为定值．
证明：连接OC，
∵P、Q分别为弧AC弧BC的中点，
∴弧AP＝弧PC，弧CQ＝弧QB，
∴，．
∴
即POQ＝45°；
（3）延长FE交y轴于H，
∵取最大值时，C为上半圆AB的中点，
∴弧AC＝弧BC，AC＝BC
易得四边形AOBC为正方形，G为它的对角线交点．
又∵P、Q分别为弧AC弧BC的中点，
∴PO、QO分别为∠AOC、∠BOC的角平分线，
∴，．
即，
∴EF∥AB，
∴OC⊥AB，OC⊥EF，
∴，
∵OH＝OA＋AH＝OA＋AE，
∵，
∴，．
∵由（2）可知，，把△AOM绕O点顺时针方向旋转90 ，易得，
∴以BN、MN、AM为三边的三角形的外接圆面积为，
△EFC外接圆的面积为，
∴，
∴原式
所以的最小值为．
【点睛】本题主要考查的是圆与一次函数，与几何图形的综合，灵活运用所学知识是解题关键．
7、在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．
(1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；
(2)点M的坐标为，
①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．
【答案】(1)
(2)①或 ②
【分析】(1)直线与圆的交点分别为和，则，根据勾股定理计算即可．
(2) ① 根据圆的垂径定理，确定弦长为时，弦的位置，注意分类，确定直线的解析式，根据直线的增减性，确定k的范围．
②根据题意作出图形，然后利用等边三角形的性质及解三角形求解即可．
【详解】（1）解：如图1，∵，
∴直线的解析式为，
∴直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，
∵的半径为1，
∴圆O与y轴的正半轴交点为，与x轴的负半轴交点为，
∴直线关于该圆的“圆截距”为，
∵，
∴．
（2）①如图2，设直线与y轴正半轴交点为A，且
∵点M的坐标为，的半径为1，
∴圆与x轴正半轴交点为B(2，0)，
当时，直线的解析式为，
当直线经过点B时，，
解得；
过点M作，垂足为F，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
设直线与圆M的另一个交点为C，
则，
∵关于的“圆截距”小于，
∴k的取值范围是；
设直线与圆的一个交点为N，
∵点，点M的坐标为，
∴，
∴，
∴，
根据圆的对称性，直线和直线关于直线对称，此时，
∴，
∴，
∴D的坐标为，
∴，
解得，
直线的解析式为，
∵关于的“圆截距”小于，
∴k的取值范围是；
综上所述，k的取值范围是或．
②当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，
设直线与y轴交点为点，则过Q点的“圆截距”的最小值为2，
如图所示：，，
由题意得，为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴由对称性得．
【点睛】本题考查了了垂径定理，一次函数的解析式和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握圆的性质，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．
8、定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
(1)已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
(2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
【答案】(1)⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，理由见解析
(2)△POA周长的最小值为6
(3)
【分析】（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，为半径的圆上，即可作出判断．
（2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长=PO+PA+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．
（3）连接CD，PA，设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE=m，由∠CPD=120°，可得PA=PC=2m，CE=m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在Rt△PAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．
【详解】（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，
∴二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），
∵点P（2，2），
∴PA＝PB＝PC＝，
∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．
（2）如图1，连接PH，
∵二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，
∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），
∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，
∴△POA周长的最小值为6．
（3）如图2，连接CD，PA，
设二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，
由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，
∵AB＝，
∴AF＝BF＝，
∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），
∴∠PCD＝∠PDC＝30°，
设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，
∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l为，
∴，即，
在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，
∴，
即，
化简，得，解得，
∴．
【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，主要考查了二次函数的性质、圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理等知识以及方程的思想，添加辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
9、如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，过点C作轴交抛物线于点E，且顶点为D，连．已知P是抛物线上一动点，且点P的横坐标大于0小于4．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）直线交直线于点Q．．求点P的横坐标．
（3）过C，E，P三点作，过点P作，垂足为G，交于点F．在点P的运动过程中，线段的长是否变化，若有变化，求出的取值范围：若不变，求的长．
【答案】（1）；（2）1或3；（3）不变，
【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为，然后把点代入求解即可；
（2）由（1）可得：抛物线的解析式为；，则有点，，进而可得直线ED的解析式为，分别过点E、C作EF⊥x轴于点F，CH⊥AE于点H，设DE与x轴交于点M，则有，由题意可分①当点P在点A的右侧时，有，②当点P在点A的左侧时，有，③当点P与点A重合时，则点Q与点M重合，此时满足，最后分类求解即可；
（3）设点，则有：，进而根据相似三角形的判定和性质可进行求解．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点，，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得：抛物线的解析式为；，
∴化为顶点式为，
∴点，
∵轴，
∴，
∴，
根据两点距离公式可得：，，
设直线ED的解析式为，把点E、D的坐标代入可得：
，解得：，
∴直线ED的解析式为，
分别过点E、C作EF⊥x轴于点F，CH⊥AE于点H，设DE与x轴交于点M，如图所示：
∴，
∴，
∴△CHE是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
①当点P在点A的右侧时，有，如图所示：
∴，
由直线ED的解析式可令y=0时，则有，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点P与点B重合，
∴点P的横坐标为3；
②当点P在点A的左侧时，有，如图所示：
由①可得：，
∴，
∴，
设点，
∴根据两点距离公式可得：，由，故此情况不成立，
③当点P与点A重合时，则点Q与点M重合，此时满足，所以点P的横坐标为1；
综上所述：当时，点P的横坐标为1或3；
（3）的值不变，为1，理由如下：
设点，则有：
，
连接CP、EF，如图所示：
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质、二次函数与几何综合及三角函数，熟练掌握圆的基本性质、二次函数与几何综合及三角函数是解题的关键．
10、如图，抛物线y=ax2－2ax+c与x轴分别交于点A、B(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，连接BC，点(，a－3)在抛物线上．
（1）求c的值；
（2）已知点D与C关于原点O对称，作射线BD交抛物线于点E，若BD=DE，①求抛物线所对应的函数表达式 ；②过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，以的长为半径作⊙C，点T为⊙C上的一个动点，求TB+TF的最小值．
【答案】（1）；（2）①抛物线的解析式为；②
【分析】（1）将代入中即可求得c的值；
（2）①根据题意，设点，则点，将两点坐标代入中即可求得a的值，进而即可求得函数解析式；
②根据题意，令y=0求出，再由及勾股定理求得，接着由得到，再根据当点F，T，G三点共线时，的值最小，最小值为线段的长进而即可求得最小值．
【详解】解：（1）∵点在抛物线上
；
（2）①如图，由题意，得点
点与点关于原点对称
点
设点，则点
将，代入抛物线
得
解得
抛物线的解析式为；
②∵抛物线
抛物线的对称轴为直线
令，则
解得或
如图，设直线与轴的交点为，则
，
又
在中，，，由勾股定理得
在上截取，，取
，
又
，即
点为定点
当点F，T，G三点共线时，的值最小，最小值为线段的长
在中，，，由勾股定理得：．
【点睛】本题主要考查了二次函数及圆的几何综合，熟练掌握函数解析式的求解方法，三角形全等及相似的性质与判定，几何最值问题的求解方法等相关内容是解决本题的关键．
11、如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．
（1）请直接写出A，B，C三点的坐标，并求出过这三点的抛物线解析式；
（2）设（1）中抛物线解析式的顶点为E，
求证：直线EA与⊙M相切；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) ;(2)见解析;(3)存在， 点P的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．理由见解析.
【分析】（1）连接AM，MC，设ME交x轴于点D，由M点的坐标可求得MC、MD的长，可求得C点坐标，在Rt△ADM中可求得AD，则容易求得A、B坐标；
（2）由A点坐标可求得抛物线解析式，则可求得ME的长，由勾股定理的逆定理可判定△AME为直角三角形，则可证得结论；
（3）可设P点坐标为（5，t），则可表示出PB、CP、结合BC的长，当△PBC为等腰三角形时，则有PB=BC，CP=BC，PC=PB三种情况，分别求解即可；
【详解】解：（1）A，B，C的坐标分别是A（2 ，0 ），B（8 ，0 ），C（0 ，4 ）；
设抛物线解析式为，将（0,4）代入得即∴.
（2）证明：把化为y=（x﹣5）2，
∴E（5，﹣），
∴DE=，
∴ME=MD+DE=4+=，EA2=32+（）2=，
∵MA2+EA2=52+=，ME2=，
∴MA2+EA2=ME2，
∴∠MAE=90°，
即EA⊥MA，
∴EA与⊙M相切；
（3）解：存在；点P坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下：
由勾股定理得：BC===4，
分三种情况：
①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，
∴P（5，4）；
②当BP=BC=4时，如图2所示：
∵PD===，
∴P（5，）；
③当PC=BC=4时，连接MC，如图3所示：
则∠PMC=90°，
根据勾股定理得：PM===，
∴PD=4+，
∴P（5，4+）；
综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，
点P的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．
点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及切线的性质、垂径定理、待定系数法、勾股定理及其逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中确定出利用切线的性质容易求得C点坐标，利用垂径定理求得AD的长是解题的关键，在（2）中求得E点的坐标，求得ME、AE的长是解题的关键，在（3）中用P点的坐标表示出PB、PC的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
12．（24-25·江苏·中考模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与轴交于点C，过动点H（0, ）作平行于轴的直线，直线与二次函数的图像相交于点D，E．
(1)写出点A,点B的坐标；
(2)若，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与轴相切时，求的值；
(3)直线上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A（4，0）和B（－1，0）；
(2) ；
(3)存在，m=或或3或．
【分析】（1）A、B两点的纵坐标都为0，所以代入y=0，求解即可．
（2）由圆和抛物线性质易得圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，则Q的横坐标为，可推出D、E两点的坐标分别为：，因为D、E都在抛物线上，代入一点即可得m．
（3）使得△ACF是等腰直角三角形，重点的需要明白有几种情形，分别以三边为等腰三角形的两腰或者底，则共有3种情形；而三种情形中F点在AC的左下或右上方又各存在2种情形，故共有6种情形．求解时．利用全等三角形知识易得m的值．
【详解】（1）解：当y=0时，有，
解之得：，
∴ A、B两点的坐标分别为（4，0）和（－1，0）．
（2）解：∵ ⊙Q与轴相切，且与交于D、E两点，
∴ 圆心O位于直线与抛物线对称轴的交点处，且⊙Q的半径为H点的纵坐标（）．
∵ 抛物线的对称轴为，
∴ D、E两点的坐标分别为：且均在二次函数的图像上．
∵，
解得或（不合题意，舍去）．
∴
（3）解：存在．
①当∠ACF=90°，AC=FC时，如图1，
过点F作FG⊥y轴于G，
∴∠AOC=∠CGF=90°．
∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，
∴∠ACO=∠CFG．
∴ △ACO≌△∠CFG，
∴ CG=AO=4．
∵ CO=2，
∴或=OG=2+4=6．
②当∠CAF=90°，AC=AF时，如图2，
过点F作FP⊥x轴于P，
∴ ∠AOC=∠APF=90°．
∵ ∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，
∴ ∠ACO=∠FAP．
∴ △ACO≌△∠FAP，
∴ FP =AO=4．
∴ 或=FP =4．
③当∠AFC=90°，FA=FC时，如图3，
则F点一定在AC的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′，
分别过F，F′两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H．
∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，
∴∠DFC=∠EFA．
∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，
∴ △CDF≌△AEF．
∴CD=AE，DF=EF．
∴ 四边形OEFD为正方形．
∴ OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD．
∴ 4=2+2 CD．∴CD=1，
∴ m=OC+CD=2+1=3．
∵∠HF′C+∠CGF′=∠CGF′+∠GF′A，
∴ ∠HF′C=∠GF′A．
∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′．
∴ △HF′C≌△GF′A．
∴ HF′=GF′，CH=AG．
∴ 四边形OHF′G为正方形．
∴
．
∴ OH=1．
∴ m=．
∵，
∴ y的最大值为．
∵ 直线l与抛物线有两个交点，
∴ m＜
∴ m可取值为m=或或3或．
综上所述，m的值为m=或或3或．
【点睛】本题难度适中，考查的主要是二次函数、圆、等腰直角三角形及全等三角形性质，但是最后一问情形较多不易找全，非常锻炼学生的全面思考．
13．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，M是抛物线顶点，的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．
①求；
②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点P，使得与相似？如果存在，请求出点P的坐标；
(3)点Q是拋物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点Q纵坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②存在，或或或
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①法一：先求出，，进而利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明，则是外接圆的直径，设的中点为F，圆心，再根据对称性求出，得到，过E作于H，求出，，解直角三角形得到，，则；法二：设外接圆与x轴的另一交点为D，同理可得，证明，再由是直径，得到，则；②求出，，，，解直角三角形得到，由于为锐角，要使得与相似，情况1：，根据相似三角形的性质得到或，点P作轴于Q，解直角三角形得到，由勾股定理求出或，进而求出点P的坐标即可情况2：，同理求出或，同理可得或．
（3）得抛物线对称轴为直线，取点，证明当时，点Q在以K为圆心，为半径的圆上，此时，即可得到，同理可得当取时，是直角三角形，即，再根据锐角三角形的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：将A，B两点坐标直接代入解析式有，
解得，，
∴拋物线的解析式为．
（2）解：①法一：∵抛物线解析式为，
∴，
把代入，得，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴是外接圆的直径，
设的中点为F，
∴圆心，
∵，，
∴点F在垂直平分线上，即点F的纵坐标于中点的纵坐标相同
∴，
∴，
过E作于H，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴在中，；
法二：设外接圆与x轴的另一交点为D，
同法一：可得是外接圆的直径，，，
∴
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
②，，，，
在中，，
在中，
∴，
∴，
又∵点N在射线上，
∴为锐角，要使得与相似，
情况1：，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴：，
又∵与相似，
∴或
∴或，
∴或，
∴或，
过点P作轴于Q，
∴，即，
由勾股定理得，
∴或，
解得或，
当时，，则，
∴；
当时，，则，
∴；
情况2：，
∴，
∴，
又∵与相似，
∴或
∴或，
∴或
∴或，
同理可得或．……
综上所述，点P的坐标为或或或．
（3）解：由（2）得抛物线对称轴为直线，取点，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
∴当时，点Q在以K为圆心，为半径的圆上，
∴此时，
∴，
同理可得当取时，是直角三角形，即，
∵为锐角，且，
∴，
∴或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与圆综合，解直角三角形，勾股定理与勾股定理得逆定理，相似三角形的性质等等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
14、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，连接，点P在第二象限的抛物线上，连接、，线段交线段于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
(3)已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接，点H在x轴上，当时，
①求满足条件的所有点H的坐标
②当点H在线段上时，点Q是平面直角坐标系内一点，保持，连接，将线段绕着点Q顺时针旋转90°，得到线段，连接，请直接写出线段的取值范围．
【答案】(1)y=-x2-2x+3；
(2)点P的坐标是（-2，3）或（-1，4）；
(3)①点H的坐标是（-1，0）或（-9，0）；②2-≤MH≤2+．
【分析】（1）先把点A（1，0），点B（-3，0）代入抛物线y=ax2-2x+c中列方程组，解方程组可得a和c的值，从而得抛物线的表达式；
（2）先根据待定系数法求BC的解析式为：y=x+3，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得，证明△OEH∽△OPG，得，可设E（3m，3m+3），则P（5m，-25m2-10m+3），代入比例式可得方程，解出即可得结论；
（3）①由对称得：N（-2，3），有两种情况：如图2，i）当BN∥CH1时，∠H1CB=∠NBC，根据平移的性质可得点H1的坐标；ii）当∠H2CB=∠NBC，设H2（n，0），直线CH2与BN交于点M，确定BN和CH2的解析式，利用方程组的解可得M的坐标（-），根据两点的距离公式利用BM=CM，列方程可得结论；②如图3，当Q在x轴下方时，且MH⊥x轴时，MH最小，作辅助线，构建矩形MFGH是，证明△BGQ≌△QFM（AAS），得GQ=GH=FM，可得△QHG是等腰直角三角形，由斜边为1可得QG=GH=，利用全等三角形的性质与线段和与差可得结论；同理如图4，当Q在x轴上方时，且MH⊥x轴时，MH最大，同理可得最大值MH的长，从而得结论．
【详解】（1）把点A（1，0），点B（-3，0）代入抛物线y=ax2-2x+c中，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y=-x2-2x+3；
（2）如图1，过P作PG⊥y轴于G，过E作EH⊥y轴于H，
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
设BC的解析式为：y=kx+b，
则，解得，
∴BC的解析式为：y=x+3，
∵△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，且，
∴，
∵EH∥PG，
∴△OEH∽△OPG，
∴，
∴设E（3m，3m+3），则P（5m，-25m2-10m+3），
∴，
整理，得：25m2+15m+2=0，
解得，
当时，5m=-2，则P（-2，3），
当时，5m=-1，则P（-1，4），
综上，点P的坐标是（-2，3）或（-1，4）；
（3）①由对称得：N（-2，3），
∵∠HCB=∠NBC，
如图2，连接CN，有两种情况：
i）当BN∥CH1时，∠H1CB=∠NBC，
∵CN∥AB，
∴四边形CNBH1是平行四边形，
∴H1（-1，0）；
ii）当∠H2CB=∠NBC，
设H2（n，0），直线CH2与BN交于点M，
∴BM=CM，
∵B（-3，0），N（-2，3），
∴同理可得BN的解析式为：y=3x+9，
设CH2的解析式为：y=k1x+b1，
则，解得：，
∴设CH2的解析式为：，
∴，
∵BM=CM，
∴，
解得：n=-9或-1（舍），
∴H2（-9，0），
综上，点H的坐标是（-1，0）或（-9，0）；
②如图3，当Q在x轴下方时，且MH⊥x轴时，MH最小，过Q作QG⊥x轴，过M作MF⊥QG于F，则四边形MFGH是矩形，
∴FM=GH，FG=MH，
∵∠BQM=∠F=90°，
∴∠BQG+∠GQM=∠FMQ+∠GQM=90°，
∴∠BQG=∠FMQ，
∵BQ=QM，∠BGQ=∠F=90°，
∴△BGQ≌△QFM（AAS），
∴FM=GQ，BG=FQ，
∴GQ=FM=GH，
∵QH=1，
∴QG=GH=，
∴MH=FG=FQ-QG=BG-GH=2--=2-；
如图4，当Q在x轴上方时，且MH⊥x轴时，MH最大，过Q作QG⊥x轴，作QF⊥MH于F，则四边形QFHG是矩形，
∴FQ=GH，GQ=FH，
同理得△BGQ≌△MFQ（AAS），
∴QG=FQ=GH，BG=MF，
∵QH=1，
∴QG=GH=，
∴MH=FM+FH=BG+GH=2++=2+；
∴MH的取值范围是2-≤MH≤2+．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、三角形相似的性质和判定、三角形全等的性质和判定、旋转的性质、圆的性质、平行四边形和矩形的判定等，本题利用了函数的解析式表示点的坐标，再由点的坐标表示线段的长，注意图形与坐标特点，第三问有难度，分类讨论是关键．
15、我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．
(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；
(2)已知点E是“蛋圆”上的一点（不与点A，点B重合），点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；
(3)点P是“蛋圆”外一点，满足∠BPC＝60°，当BP最大时，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3（﹣1≤x≤3）；“蛋圆”的弦CD的长为3+
(2)E1（1+，1），E2（1+，1），E3（1+，-1），E4（1-，-1）
(3)点P的坐标为（1，2）
【分析】（1）求出A、B的坐标，运用待定系数法求出函数解析式，再依据已知条件证明△ACO∽△CBO，根据相似三角形的性质计算即可；
（2）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，EF与x轴交于点H，连接EM，由HM2+EH2＝EM2，点F在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，可得方程组，以及对称性可解；
（3）根据∠BPC＝60°保持不变，点P在一圆弧上运动和直径最大的弦进行解答即可．
【详解】（1）∵半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．
∴A（﹣1，0），B（3，0），
设抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3），
∵抛物线过D（0，﹣3），
∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
解得a＝1，y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3（﹣1≤x≤3）；
连接AC，BC，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CO⊥AB，
∴∠ACO+∠OCB＝∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠ACO＝∠OBC，
∴△ACO∽△CBO，
∴ ，
∴CO2＝AO BO＝3，
∴CO＝，
∴CD＝CO+OD＝3+ ；
（2）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，设E（m，n），则点F的坐标为（m，﹣n）．
EF与x轴交于点H，连接EM．
∴HM2+EH2＝EM2，
∴（m﹣1）2+n2＝4，…①；
∵点F在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，
∴m2﹣2m﹣3＝﹣n，…②；
解由①②组成的方程组得： ；．（n＝0舍去）
由对称性可得：；．
∴E1（1+，1），E2（1+，1），E3（1+，-1），E2（1-，-1）．
（3）如图4，∵∠BPC＝60°保持不变，
因此点P在一圆弧上运动．
此圆是以K为圆心（K在BC的垂直平分线上，且∠BKC＝120°），BK为半径．
当BP为直径时，BP最大．
在Rt△PCR中可求得PR＝1，RC＝．
所以点P的坐标为（1，2）．
【点睛】本题主要考查了圆与二次函数知识的综合运用，正确理解“蛋圆”的概念、掌握圆周角定理、相似三角形的判定和性质、对称的性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象及性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，注意辅助线的正确添加．
16、如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以C为圆心，1为半径作⊙C，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值．
【答案】(1)y＝x2+x+2
(2)存在，E（0，﹣2）
(3)DA+DB的最小值为
【分析】（1）直接把A、B 坐标代入解析式，求解即可；
（2）先作AE⊥AB交y轴于点E，连接CE，作BF⊥x轴于点F，再通过证明△BFC∽△AFB和△BCF≌△EAO得到对边平行且相等，结合已知条件，得到四边形ABCE是矩形即可得到结论；
（3）先作FL⊥BC于点L，连接AL、CD，再通过证明△FCL∽△BCF和△DCL∽△BCD得到各边之间的关系，当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+DB＝DA+LD＝AL最小，计算求解即可．
【详解】（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在．如图1，
作AE⊥AB交y轴于点E，连接CE；作BF⊥x轴于点F，则F（3，0）．
当y＝0时，由，得x1＝1，x2＝4，
∴C（4，0），
∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣（﹣1）＝4；
又∵BF＝2，
∴ ，
∵∠BFC＝∠AFB＝90°，
∴△BFC∽△AFB，
∴∠CBF＝∠BAF，
∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，
∴BC∥AE，
∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，
∴△BCF≌△EAO（ASA），
∴BC＝EA，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCE是矩形；
∵OE＝FB＝2，
∴E（0，﹣2）
（3）如图2，
作FL⊥BC于点L，连接AL、CD
由（2）得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，
∴CF＝CD，CB＝．
∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF（公共角），
∴△FCL∽△BCF，
∴，
∴，
∵∠DCL＝∠BCD（公共角），
∴△DCL∽△BCD，
∴，
∴LD＝ DB；
∵DA+LD≥AL，
∴当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+DB＝DA+LD＝AL最小．
∵CL＝CF＝，
∴BL＝ ＝，
∴BL2＝（）2＝，
又∵AB2＝22+42＝20，
∴AL＝ ＝ ＝ ，
DA+DB的最小值为．
【点睛】本题属于二次函数与四边形、圆的综合题目，考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，准确的添加辅助线及熟练掌握上述知识是解题的关键．
17、如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点的坐标；
②求FD长度的取值范围．
【答案】（1）；（2）当M运动到 时，线段MN的长度最大为；（3）①；②．
【分析】（1）先求得直线与坐标轴的交点坐标，然后代入到抛物线解析式即可求解；
（2）设设，则，则，整理可得，可求得当时，的最大值为，进而求得坐标；
（3）①由（1），（2）可求得，从而求得点坐标；②根据点的运动情况，来确定点的运动轨迹，是与点半径相等的圆，圆心为，作射线，与⊙交于，，从而确定的范围．
【详解】解：（1）∵直线与轴、轴分别交于，两点，
∴当时，，所以，
当时，，所以，
∵抛物线经过，两点，
∴，，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）令，
∴，
解得：，，
∴，
∴直线BC的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴当M运动到 时，线段MN的长度最大为．
（3）①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②连接，，
由①可得，又已知是等腰直角三角形，
，，
∴，
∴，
∴当点在⊙B上运动时，点在以为圆心，半径为的圆上，
∴作射线，与⊙交于，两点，
情况一：当交点为时，为最小值，
即，
已知，，，
∴,,
∴在中， ,
即，
∴；
情况二：当交点为时，为最大值，
即，
已知，，，
∴,,
∴在中， ,
即，
∴；
综上．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，待定系数法确定函数解析式，抛物线与线段最值问题，以及瓜豆原理在二次函数中的应用问题，其中利用点，确定点的运动轨迹是本题的解题关键．
18、（24-25 江苏盐城阶段练习）已知抛物线与轴交于点、（点在点的右侧），与轴交于点．
（1）如图1，点为抛物线顶点，以点为圆心，1为半径作⊙A，点为⊙A上的动点，连接、，求的最小值；
（2）如图2，若点是直线与抛物线对称轴的交点，以为圆心，以1为半径作⊙H，点是⊙H上一动点，求的最小值；
（3）如图3，点是抛物线上的点，且横坐标为2，过点作轴于点，点是以为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接、，求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先求出，，，将拋物线解析式化为顶点式为，得出，先证明，推出，当、、三点共线时，，即取得最小值，最小值为的长，根据，求出点坐标为，根据，，求出，即可得出的最小值；
（2）先求出由直线的解析式为，然后求出点坐标为（1，2），连接，与交于点，在上截取，过点作轴于点，设抛物线对称轴与轴交于点，连接交于点，先证明，得出，从而得出，要使最小，则取最小值．即点、、三点在一条直线上时，值最小，最小值为的长，易得直线的解析式为，设点横坐标为，则其纵坐标为，根据，求出，根据轴，轴，得出，求出，可得点坐标为，根据点的坐标为（3，0），即可求出AN，可得出答案；
（3）先证明四边形为矩形，在上取一点，使得，连接并延长交于点，连接，证明，得出，当点在的延长线上时，的值最大，最大值为的长，根据，，求出，，即可求出，即可得出答案．
【详解】解：（1）令，则，
解得，，
∴，，
∴，
将拋物线解析式化为顶点式为，
∴，
如图，在轴上截取，则，
设抛物线对称轴与轴交于点，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴当、、三点共线时，，
即取得最小值，最小值为的长，
∵，
∴，
∴点坐标为，
∴，，
∴，
∴的最小值为；
（2）由抛物线，
可得拋物线对称轴为直线，
设直线的解析式为，
将，代入，
易得直线的解析式为，
∵点为直线与抛物线对称轴的交点，
∴点坐标为（1，2），
如图，连接，与交于点，在上截取，
过点作轴于点，设抛物线对称轴与轴交于点，连接交于点，
∵，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
要使最小，则取最小值．即点、、三点在一条直线上时，值最小，最小值为的长，
易得直线的解析式为，
∵点在直线上，
∴设点横坐标为，则其纵坐标为，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
解得，
∴点坐标为，
∵点的坐标为（3，0），
∴，
∴的最小值为；
（3）∵点是抛物线上的点，且横坐标为2，
∴，
∵，
∴轴，
∵轴，
∴易证四边形为矩形，
∴，
如图，在上取一点，使得，连接并延长交于点，连接，
易得直线的解析式为，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
∴，
当点在的延长线上时，的值最大，最大值为的长，
∵，，
∴，，
∴，
∴的最大值为．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键
21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴专题05 二次函数（与圆结合问题）
知识考点与解题策略 策略一：相切求值等相关问题，需要结合相切的性质以及二次函数所给条件融合相似或三角函数知识点来完成。 策略二：涉及到最值模型的需要判断胡不归或阿氏圆模型 胡不归模型 条件：已知A，B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k PA+PB（k＜1）的最小值. 图示： 解题步骤： 作射线AM使sin∠PAM= k（k＜1），且点M与点B位于直线m的两侧. 2）过点P作PC⊥AM于点C，则PC=k PA，此时k PA+PB=PC+BP. 3）过点B作BD⊥AM于点D，该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的 解题大招：即当B，P，C三点共线时，k PA+PB取最小值，最小值为BD的长度. 模型总结：在求形如“k PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k PA相等的线段，将“k PA+PB”型问题转化为“PC+PB”型. 而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k PA的等线段 注意：若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可. 【模型拓展】 对形如a PA+b PB(a>b)的式子，可以先将式子变形为，再求出的最小值，此时只需要构造,作垂线即可求出最小值. 阿氏圆模型 使用场景已知两个定点A，B，动点P在定圆上，求PA+kPB的最小值类型点A，B均在圆外，r=kOB(k<1)点A，B均在圆内，r=kOB(k>1)图示解题策略第一步:在OB上取点D，使得OD=kr； 第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB,此时PA+kPB=PA+PD; 第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值.第一步:在OB的延长线上取点D，使得OD=kr; 第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB.此时PA+kPB=PA+PD; 第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值大招结论AD的长即为PA+kPB的最小值
【模型总结】 对于阿氏圆而言：当系数k＜1的时候，一般情况下，考虑向内构造. 当系数k＞1的时候，一般情况下，考虑向外构造. 【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解； 当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.
例题1 （2024·江苏·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点．
(1)求，的值；
(2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值．
例题2如图，顶点在轴上的抛物线与直线相交于，两点，且点在轴上，点的横坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接．判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由；
(3)以点为圆心，为半径画，与相切于点．求直线的函数表达式．
1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值；
(3)如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量．
2、对于平面直角坐标系中的点P和图形W，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．给出如下定义：若在图形W上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于，则称P为图形W的“伴随关联点”．
(1)如图1，图形W是半径为2的．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为 ；
②在点，，中，的“伴随关联点”是 ；
(2)如图2，图形W是中心在原点的正方形，点．若直线上存在正方形的“伴随关联点”，求t的取值范围；
(3)点为x轴上的动点，直线与x轴、y轴分别交于两点，点P为线段MN上的任意一点，均为半径为4的的“伴随关联点”，直接写出t的取值范围．
在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴折叠得到点，再将点绕点R顺时针旋转得到，则称点是点P关于x轴-点R的折旋点．
例如：点关于x轴-点O的折旋点是点．
(1)如图1，点．
若点B是点A关于x轴-点的折旋点，则点B的坐标为___________；
若点是点A关于x轴-点E的折旋点，则点E的坐标为___________；
(2)如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，求b的取值范围；
(3)是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N关于x轴-点的折旋点，且点在直线上，直接写出t的取值范围．
4、如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AC上一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径；
(3)直线与抛物线交于M，N两点，求面积的最小值．
5．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图1抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C顶点为D，对称轴交x轴于点Q，过C、D两点作直线CD．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，连接CQ、CB，点P是抛物线上一点，当∠DCP=∠BCQ时，求点P的坐标；
(3)若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点M的坐标．
6、在平面直角坐标系xOy中，直线（）分别与x轴、y轴相交于A、B两点．⊙G经过A、B、O三点，C为⊙G在直线上方的弧上的一个动点．
(1)求⊙G的半径长（用含m的式子表示）；
(2)已知弧AC、弧BC的中点分别为点P、Q，连接OP，OQ．问：∠POQ的度数是否为定值？如果是，请求出它的度数；如果不是，请说明理由；
(3)在（2）条件下，连接AC，BC，OP分别交AB、AC于M、E点，OQ分别交AB、BC于N、F．连接EF．对
于每一个确定的m的值，都有一个点C，使得S△ACB取最大值，对于此时的C，记以AM、MN、BN为三边的三角形的外接圆面积为S1，△CEF外接圆的面积为S2，求的最小值．
7、在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．
(1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；
(2)点M的坐标为，
①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．
8、定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
(1)已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
(2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
9、如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，过点C作轴交抛物线于点E，且顶点为D，连．已知P是抛物线上一动点，且点P的横坐标大于0小于4．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）直线交直线于点Q．．求点P的横坐标．
（3）过C，E，P三点作，过点P作，垂足为G，交于点F．在点P的运动过程中，线段的长是否变化，若有变化，求出的取值范围：若不变，求的长．
10、如图，抛物线y=ax2－2ax+c与x轴分别交于点A、B(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，连接BC，点(，a－3)在抛物线上．
（1）求c的值；
（2）已知点D与C关于原点O对称，作射线BD交抛物线于点E，若BD=DE，①求抛物线所对应的函数表达式 ；②过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，以的长为半径作⊙C，点T为⊙C上的一个动点，求TB+TF的最小值．
11、如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．
（1）请直接写出A，B，C三点的坐标，并求出过这三点的抛物线解析式；
（2）设（1）中抛物线解析式的顶点为E，
求证：直线EA与⊙M相切；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
12．（24-25·江苏·中考模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与轴交于点C，过动点H（0, ）作平行于轴的直线，直线与二次函数的图像相交于点D，E．
(1)写出点A,点B的坐标；
(2)若，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与轴相切时，求的值；
(3)直线上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
13．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，M是抛物线顶点，的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．
①求；
②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点P，使得与相似？如果存在，请求出点P的坐标；
(3)点Q是拋物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点Q纵坐标的取值范围．
14、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，连接，点P在第二象限的抛物线上，连接、，线段交线段于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
(3)已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接，点H在x轴上，当时，
①求满足条件的所有点H的坐标
②当点H在线段上时，点Q是平面直角坐标系内一点，保持，连接，将线段绕着点Q顺时针旋转90°，得到线段，连接，请直接写出线段的取值范围．
15、我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．
(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；
(2)已知点E是“蛋圆”上的一点（不与点A，点B重合），点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；
(3)点P是“蛋圆”外一点，满足∠BPC＝60°，当BP最大时，直接写出点P的坐标．
16、如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点的坐标；
②求FD长度的取值范围．
17、（24-25 江苏盐城阶段练习）已知抛物线与轴交于点、（点在点的右侧），与轴交于点．
（1）如图1，点为抛物线顶点，以点为圆心，1为半径作⊙A，点为⊙A上的动点，连接、，求的最小值；
（2）如图2，若点是直线与抛物线对称轴的交点，以为圆心，以1为半径作⊙H，点是⊙H上一动点，求的最小值；
（3）如图3，点是抛物线上的点，且横坐标为2，过点作轴于点，点是以为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接、，求的最大值．
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