专题08 反比例函数
课标要求 考点 考向
结合具体情景体会反比例函数的意义，归纳反比例函数的一般形式； 能由已知条件运用待定系数法确定反比例函数的表达式； 能利用描点法画出反比例函数的图象，根据反比例函数的图象和表法是探索并理解其性质； 能用反比例函数解决某些实际问题。 反比例函数 考向一 反比例函数增减性
考向二 反比例函数解析式
考向三 实际问题与反比例函数
考向四 反比例函数与几何结合
考点 反比例函数
考向一 反比例函数增减性
1．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．
3．（2024·江苏无锡·中考真题）某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ．
考向二 反比例函数解析式
1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
3．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
(1)反比例函数表达式；
(2)点C坐标．
考向三 实际问题与反比例函数
1．（2024·江苏南通·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 ．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ．
3．某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）．
考向四 反比例函数与几何结合
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．
(1)求m，k的值；
(2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
1．（2024·江苏扬州·三模）在中，有两点，则与的关系满足下列哪个选项（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏扬州·二模）某小组为了研究一组数据变化规律，将数据通过描点、连线得到相应的图象如图所示，若选择的函数模型是，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．（2024·江苏南通·一模）定义：在平面直角坐标系中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点的直线与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的面积为4，，反比例函数图像上，B的纵坐标为1，，则将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为 ．
5．（2024·江苏南通·三模）已知 为反比例函数上任意一点，过点 作轴，轴且 ，则四边形 的面积的最小值为 ．
6．（2024·江苏苏州·二模）如图，将一等腰直角三角形放置在平面直角坐标系的第一象限，其一锐角顶点与原点O重合，点A、点B 正好经过一双曲线，则直角边与x轴所成锐角的正切值为 ．
7．（2024·江苏无锡·三模）如图，在平面直角坐标系第二象限中作等腰直角三角形， 使得，，恰好经过双曲线上的A和B，求B点横坐标与纵坐标的比值为
8．（2024·江苏盐城·二模）如图，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，连接，将绕它的中点P顺时针旋转得线段，点恰好落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点．若，点Q是x轴上一动点，则点的最小值为 ．
9．（2024·江苏苏州·一模）如图直线与双曲线相交于点、，点在轴的负半轴上，且，点在双曲线上，线段的中点也在双曲线上，若平分，，则 ．
10．（2024·江苏镇江·模拟预测）（1）由“函数与方程关系”可知：方程(可化为)的解，可看作函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的两个解，可看作直线__________与双曲线交点的横坐标；
（2）若直线与双曲线()交于，，求不等式的解．
（3）若点A的坐标是，直线l：与y轴交于点B，点C是直线l上一动点，过点C作x轴的垂线，交双曲线于D，若A，B，C，D四点是一个平行四边形的四个顶点，求D的坐标．
11．（2024·江苏连云港·模拟预测）距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值．
12．（2024·江苏泰州·二模）如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且．
(1)当时，请比较与的大小关系，并说明理由；
(2)若，，求该函数的表达式．
13．（2024·江苏扬州·二模）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：
【结论探究】
（1）从“数”的角度证明：；
（2）从“形”的角度说明：当，时，；
【结论应用】
（3）若中，，．的两个顶点、在第一象限，在第三象限）都在反比例函数的图象上，经过原点．
①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的；
②请用探究的结论证明所作的周长最小．
14．（2024·江苏扬州·一模）如图1，已知点，，反比例函数与直线AB有唯一一个交点．
(1)当，时，求直线的解析式及k的值；
(2)当的面积为10时，求k的值；
(3)当，且k的最大值为9时，将此时的直线沿着x轴正半轴方向移动，交反比例函数于点C、D（如图2），若点C是线段的中点，求平移的距离．
15．（2024·江苏扬州·二模）【性质认识】
如图①、图②，在函数的图象上任取两点A，B向坐标轴作垂线，连接垂足C，D或E，F，直线与坐标轴交于点M，N，则一定有如下结论：，．
【数学理解】
（1）如图①，借助【性质认识】的结论，若，则系数______；
（2）如图②，若，点A的坐标为，那么点B的坐标为______．
（3）如图②，借助[性质认识]的结论，求证：．
【问题解决】
（4）如图③，函数的图象两个分支分别位于第一、三象限，点A，B是第一象限内分支上的两个动点（点A在点B的左侧），连接BA并延长交y轴于点C，请仅用无刻度直尺，在y轴上作点M，使得，请写出你的作法，并说明理由．
16．（2024·江苏镇江·二模）如图，矩形的对角线相交于点O，以A为坐标原点，、所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示平面直接坐标系，点C的坐标为，反比例函数的图像与矩形的边、分别交于点E、F，与对角线交于点G．
(1)若点G与点O重合，则 ；
(2)连接，求证：；
(3)当时，求的值．
17．（2024·江苏泰州·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点是y轴正半轴上一点，点B是反比例函数图像上的一个动点，连接，以为一边作正方形，使点D在第一象限．设点B的横坐标为m()．
(1)若，求点B和点D的坐标；
(2)若，点D落在反比例函数图像上，求m的值；
(3)若点D落在反比例函数图像上，设点D的横坐标为n()，试判断是否为定值？并说明理由．
18．（2024·江苏南通·一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息．
信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求该产品的生产成本；
(2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围．
19．（2024·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，过点作垂直于x轴的直线l，将函数图像位于直线l上的点及直线l右侧的部分（用M表示）沿l翻折，再向左平移个单位得到新的函数图像，我们称这种变换为轴移变换，记作：，由M与组成的新的图像对应的函数叫做“距美函数”，例如：图1是反比例函数的图像，经过得到的“距美函数”的图像如图2所示．
(1)填空：
①在图2的“距美函数”中，当函数值时，x的值为_________；
②直线经过得到的“距美函数”的表达式为：；
(2)抛物线经过得到“距美函数”，对于该“距美函数”，当时，，求t的值；
(3)如图3，点，在x轴上，以为一边在x轴上方画矩形，使，抛物线经过得到的“距美函数”的图像与矩形ABCD的边恰好有4个交点，直接写出k的取值范围______．
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课标要求 考点 考向
结合具体情景体会反比例函数的意义，归纳反比例函数的一般形式； 能由已知条件运用待定系数法确定反比例函数的表达式； 能利用描点法画出反比例函数的图象，根据反比例函数的图象和表法是探索并理解其性质； 能用反比例函数解决某些实际问题。 反比例函数 考向一 反比例函数增减性
考向二 反比例函数解析式
考向三 实际问题与反比例函数
考向四 反比例函数与几何结合
考点 反比例函数
考向一 反比例函数增减性
1．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
∵，
∴
∴，
故选：C．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可．
【详解】解：∵在反比例函数中，，
∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵、、，
∴A在第二象限，B，C在第四象限，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（2024·江苏无锡·中考真题）某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合已知条件解题即可．
【详解】解：根据题意有：，
故答案为：（答案不唯一）
考向二 反比例函数解析式
1．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解．
本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．
【详解】当时，，
∴与y轴的交点为；
由于是分式，且当时，，即，
∴与x轴没有交点．
∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个，
故选：B．
2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：设直线与轴交于点，
∵，
∴当时，，
∴，
∴的面积．
3．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
(1)反比例函数表达式；
(2)点C坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数：
（1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可；
（2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可．
【详解】（1）解：由图可知点A的坐标为，
设反比例函数表达式为，
将代入，得：，解得，
因此反比例函数表达式为；
（2）解：如图，作轴于点E，轴于点D，
由图可得，，
设点C的坐标为，则，，
，
矩形直尺对边平行，
，
，
，即，
解得或，
点C在第二象限，
，，
点C坐标为．
考向三 实际问题与反比例函数
1．（2024·江苏南通·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象求出反比例函数的解析式，进而求出时，电阻R的值，根据增减性，求出电阻R应控制的范围即可．
【详解】解：由图象，设，
把代入，得：，
∴，
当时，，
∵随着的增大而减小，
∴如果以此器电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A时，；
故答案为：．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
∴，即，
故答案为：．
3．某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 （V）．
【答案】64
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再把代入可得U的值．
【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为，
∵过，
∴（V），
故答案为：64．
考向四 反比例函数与几何结合
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可．
【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示：
∴，
∴，
∵点A在双曲线上，点B在，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴，
故选：C．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故选：A．
3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．
(1)求m，k的值；
(2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)最大值是，此时
【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；
（2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解： ，，
．
又，
．
，
点．
设直线的函数表达式为，
将，代入，得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将点代入，得．
．
将代入，得．
（2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．
，，
．
轴，
，．
，
，
，
．
设点P的坐标为，，则，．
．
．
当时，有最大值，此时．
1．（2024·江苏扬州·三模）在中，有两点，则与的关系满足下列哪个选项（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，函数图象上的点的坐标符合函数解析式．同时要熟悉反比例函数的增减性．由，，从而可得答案．
【详解】解：在中，有两点，
∴，，
∴，
故选C
2．（2024·江苏扬州·二模）某小组为了研究一组数据变化规律，将数据通过描点、连线得到相应的图象如图所示，若选择的函数模型是，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象．根据函数的增减性和图象上点的符号推断求解．
【详解】解：是有函数向上平移个单位得到的，
随的增大而增大，
，
时，，
，
故选：C．
3．（2024·江苏南通·一模）定义：在平面直角坐标系中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点的直线与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．先求出直线解析式，与反比例函数解析式联立方程组确定、的横坐标，利用平行线得到、的代数式，根据条件进行判断即可．
【详解】解：在图象上，
，
，
令，
，
△，
与有两个交点，
，
，
，
，
点的横坐标为，点的横坐标为，
作于点，作轴于点，则，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
，
故选：B．
4．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的面积为4，，反比例函数图像上，B的纵坐标为1，，则将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式与几何的综合，掌握数形集合思想成为解题的关键．
设反比例函数解析式为，则；根据已知条件可得、；然后根据可得①以及的面积为4可得②；①、②联立解得：，即；然后求出关于y轴对称的解析式即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为，则
∴，,
∴，
∵，
∴①，
如图：过A作轴，过B作轴，
∵的面积为4，
∴②，
①、②联立解得：，
经检验符合题意，
所以此函数图像的解析为，
所以将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为．
故答案为．
5．（2024·江苏南通·三模）已知 为反比例函数上任意一点，过点 作轴，轴且 ，则四边形 的面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，本题借用考查四边形面积的最小值来考查反比例函数图象的应用，综合能力较强.
先设再求出， 根据四边形的面积然后再用配方法解答即可.
【详解】解：设 则 ，
四边形的面积
，
，
，
当，即 时， 有最小值，
故答案为：.
6．（2024·江苏苏州·二模）如图，将一等腰直角三角形放置在平面直角坐标系的第一象限，其一锐角顶点与原点O重合，点A、点B 正好经过一双曲线，则直角边与x轴所成锐角的正切值为 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，反比例函数图象上点的特征，解直角三角形，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
过点B作轴于点C，过点A作轴于点D交于点E，得到，则有，，设直角边与x轴所成锐角的正切值为，设点B的横坐标为x，
则可得到，，然后根据点在双曲线上得到，解题即可．
【详解】解：过点B作轴于点C，过点A作轴于点D交于点E，
则是矩形，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
设直角边与x轴所成锐角的正切值为，设点B的横坐标为x，
则，，
∴，，
又∵点A、点B 正好经过一双曲线，
∴，
解得或（舍去）
故答案为：．
7．（2024·江苏无锡·三模）如图，在平面直角坐标系第二象限中作等腰直角三角形， 使得，，恰好经过双曲线上的A和B，求B点横坐标与纵坐标的比值为
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，三角形全等的判定和性质，过点B作轴于点C，过点A作于点D，证明，得出，，设点B的坐标为，，，得出点A的坐标为：，根据点A、B在反比例函数上，得出，求出或，得出即可．
【详解】解：过点B作轴于点C，过点A作于点D，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设点B的坐标为，，，
∴，，
∴点A的坐标为：，
∵点A、B在反比例函数上，
∴，
整理得：，
∴，
则或，
∵，，
∴舍去，
∴．
故答案为：．
8．（2024·江苏盐城·二模）如图，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，连接，将绕它的中点P顺时针旋转得线段，点恰好落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点．若，点Q是x轴上一动点，则点的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作轴于M，轴于N，通过证得得到 ， 设，则利用梯形的中位线定理得到即可得到作关于轴的对称点为交轴于D，连接， 交轴于Q，此时的值最小，最小值为由 利用勾股定理求得m的值，即可求得) ，得到利用勾股定理求得即可求得点的最小值，求得的坐标是解题的关键．
【详解】解：作轴于M， 轴于N，如图：
在和中，
，
设， 则
∵ P是的中点，
的横坐标为，
∵反比例函数的图象经过点，
作关于轴的对称点为交轴于D，连接， 交轴于Q， 此时的值最小，最小值为
在梯形中，是中位线，
即
解得
，
∴的最小值为，
故答案为：
9．（2024·江苏苏州·一模）如图直线与双曲线相交于点、，点在轴的负半轴上，且，点在双曲线上，线段的中点也在双曲线上，若平分，，则 ．
【答案】
【分析】先得出，结合角平分线的定义得出，因为以为底，平行线之间距离相等，即这两个三角形的高是相等的，得，再设，则，得证是的中位线，整理出，故 ，再代入化简得，即可作答．
【详解】解：如图：分别过点E，D作，连接
∵双曲线是中心对称图形且直线与双曲线相交于点、，
∴
∵
∴
∴
∵平分，
∴
∴
∴
∴（都是以为底，平行线之间距离相等，即这两个三角形的高是相等的）
设点，
即，
∵点是线段的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵点，点E在双曲线上，
∴，，
∴点E的横坐标为，
∴，
即，
∴，
即，
∴，
即，
∴，
∵D在第二象限内，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、几何综合，平行线性质，中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
10．（2024·江苏镇江·模拟预测）（1）由“函数与方程关系”可知：方程(可化为)的解，可看作函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的两个解，可看作直线__________与双曲线交点的横坐标；
（2）若直线与双曲线()交于，，求不等式的解．
（3）若点A的坐标是，直线l：与y轴交于点B，点C是直线l上一动点，过点C作x轴的垂线，交双曲线于D，若A，B，C，D四点是一个平行四边形的四个顶点，求D的坐标．
【答案】（1）；（2） 或；（3）或
【分析】本题考查了反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题．
（1）把方程变形为，即可求解．
（2）根据已知条件画出两函数的大致图象，即可求出不等式的解集．
（3）由与y轴交于点B，得设，则，，分以对角线为、，对角线为、，对角线为、三种情况进行讨论，列出方程组，即可求解．
【详解】（1）解：由左右同时除以x得，，
所以，，
所以，方程的两个解，可看作直线与曲线交点的横坐标．
故答案是：．
（2）解：直线与双曲线交于，，画出大致图形如下：
由图可知，直线在双曲线上方时或
∴不等式的解集为：或；
（3）解：∵与y轴交于点B，
∴，
根据题意，设，则，
而，
①若平行四边形对角线为、则的中点即是中点，
∴，方程组无解；
②若平行四边形对角线为、，则的中点即是中点，
∴，化简整理得，无解；
③若平行四边形对角线为、，则的中点即是中点，如图：
∴，
解得或，
∴或．
综上所述，的坐标为：或．
11．（2024·江苏连云港·模拟预测）距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值．
【答案】(1)
(2)当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为114万元
【分析】本题考查反比例函数与二次函数的综合应用，反比例函数与一次函数的综合应用，理解题意，运用分类思想以及数形结合思想确定出函数解析式是解题的关键．
（1）依据待定系数法，分情况即可求出（万件）与（元件）之间的函数关系式；
（2）分、两种情况，分别求出的最大值，进而求解．
【详解】（1）解：当时，设，
将代入得，
与之间的函数关系式为；
当时，设，
将，代入得，
解得，
与之间的函数关系式为，
综上所述，；
（2）解：当时，
，
，
随的增大而增大，
故当时，取得最大值为80；
当时，
，
，故函数有最大值，
当时，，
，
当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为114万元．
12．（2024·江苏泰州·二模）如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且．
(1)当时，请比较与的大小关系，并说明理由；
(2)若，，求该函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的几何综合以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先因为，所以，，，再代入，得出，再比较与的大小关系，即可作答．
（2）先表示，再结合，，解方程组，即，得出，再代入，即可作答．
【详解】（1）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上，且
∴，，
则
则，
∵
∴
（2）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上
∴
∵，，
∴
整理得，
∴
解得，（舍去）
经检验：是原分式方程的解，
∴．
∴
13．（2024·江苏扬州·二模）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：
【结论探究】
（1）从“数”的角度证明：；
（2）从“形”的角度说明：当，时，；
【结论应用】
（3）若中，，．的两个顶点、在第一象限，在第三象限）都在反比例函数的图象上，经过原点．
①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的；
②请用探究的结论证明所作的周长最小．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②见解析
【分析】（1）运用完全平方公式和非负数的性质即可；
（2）由完全平方公式的几何背景进行解答即可；
（3）①按要求作图即可；
②由题意得：，即，利用勾股定理可得，故的周长，运用（1）的结论即可．
【详解】（1）证明：，
，
；
（2）从“形”的角度说明：如图，在中，，于，为的中线，且，，则；
证明：，为中线，
，
，
，
又，
，
，
，
根据垂线段最短，可得，
，即，
；
（3）①作直线，交反比例函数图象于、两点，过点作，使，连接，
如图所示，即为所求；
②中，，，
，
，
，
的周长，
设，则，
，
当且仅当，即时，取得最小值，
此时，的周长最小值为，即、均在直线上，故①中所作周长最小．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，尺规作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的图象上点的坐标特征等，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
14．（2024·江苏扬州·一模）如图1，已知点，，反比例函数与直线AB有唯一一个交点．
(1)当，时，求直线的解析式及k的值；
(2)当的面积为10时，求k的值；
(3)当，且k的最大值为9时，将此时的直线沿着x轴正半轴方向移动，交反比例函数于点C、D（如图2），若点C是线段的中点，求平移的距离．
【答案】(1)；
(2)
(3)平移的距离为
【分析】（1）运用待定系数法即可求得直线的解析式，再联立方程组后运用根的判别式即可求得的值；
（2）由的面积为10，可得出，运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组整理得，运用根的判别式可得，即；
（3）根据和反比例函数k值几何意义得出，从而得出当时，取最大值，解出，平移前点，得出．平移后，如图，过点分别作轴，轴，轴，设点，则，根据，得出，．证明，得出，点，得出，解得，从而得出平移后点，即可求出平移的距离．
【详解】（1）解：当时，，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得：，
∵反比例函数与直线有唯一一个交点，
∴，
∴；
（2）∵的面积为10，
，
，
设直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得：，
∵反比例函数与直数有唯一一个交点，
，
．
（3）∵，
∴，
∴，
∴当时，取最大值，
∴，
∵，
∴．
∴，，
∴平移前点．
∴，
∴．
平移后，如图，过点分别作轴，轴，轴，
设点，则，
∵平移，所以，
∴，
∴．
∵点是中点，且，
∴，
∴，
∴，
∴点，
∴，解得．
∵，
∴．
∴平移后点，
∴平移的距离为．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的图象交点，相似三角形的性质和判定，平移的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数关系的应用等，熟练掌握反比例函数的图形和性质，一次函数的性质，平移的性质等知识是解题的关键．
15．（2024·江苏扬州·二模）【性质认识】
如图①、图②，在函数的图象上任取两点A，B向坐标轴作垂线，连接垂足C，D或E，F，直线与坐标轴交于点M，N，则一定有如下结论：，．
【数学理解】
（1）如图①，借助【性质认识】的结论，若，则系数______；
（2）如图②，若，点A的坐标为，那么点B的坐标为______．
（3）如图②，借助[性质认识]的结论，求证：．
【问题解决】
（4）如图③，函数的图象两个分支分别位于第一、三象限，点A，B是第一象限内分支上的两个动点（点A在点B的左侧），连接BA并延长交y轴于点C，请仅用无刻度直尺，在y轴上作点M，使得，请写出你的作法，并说明理由．
【答案】（1）2；（2）；（3）见解析；（4）见解析
【分析】（1）借助【性质认识】的结论，可以得到，可以证明四边形为平行四边形，所以，同理，四边形为平行四边形，所以，即，进而求出；
（2）仿（1），先证明四边形为平行四边形，所以，同理，可证四边形为平行四边形，所以，所以，进而求出，根据三角函数的定义求得，根据点，都在反比例函数的图象上，即可求出点的坐标；
（3）由（2）可知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，，得到，，代入，化简即可求得结论；
（4）要证，只需要证明，过作轴于，过作轴于，过作轴于，可得，，由题可得，，关于点成中心对称，所以，又，可证为等腰三角形，所以，因为，所以，因为，所以，所以．
【详解】（1）解：，理由如下：
轴，
∴，
由【性质认识】的结论可得，
四边形是平行四边形，
，
同理，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故答案为：2；
（2）解：轴，
∴，
由【性质认识】的结论可得，
四边形为平行四边形，
，
同理，四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
，
点的坐标为，
，
点的纵坐标为，
点，都在反比例函数的图象上，
点的横坐标为，
点的坐标为．
故答案为：；
（3）证明：由（2）可知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，，
，，
；
（4）证明：如图，作直线，交反比例函数图象的另一个分支于点，再连接，交轴于点，则点即为所求．
如图，过作轴于，过作轴于，过作轴于，
连接，．
函数 的图象与过原点的直线相交于、两点，
，两点关于成中心对称，
，
，
垂直平分，
，
，
∵，
，
∵，
，
．
【点睛】本题是一道反比例函数综合题，考查了学生探究应用的能力，能根据已给的结论去解决问题，对学生的知识迁移能力有一定要求．
16．（2024·江苏镇江·二模）如图，矩形的对角线相交于点O，以A为坐标原点，、所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示平面直接坐标系，点C的坐标为，反比例函数的图像与矩形的边、分别交于点E、F，与对角线交于点G．
(1)若点G与点O重合，则 ；
(2)连接，求证：；
(3)当时，求的值．
【答案】(1)6
(2)见解析
(3)
【分析】（1）当点G与点O重合时，则，再利用待定系数法求解即可；
（2）证明，而，可得，则，从而可得答案；
（3）过作于，过作于，可得，，，证明，利用相似三角形的性质进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴点G与点O重合时，，
∴，
∴反比例函数为：；
（2）由题意得、
∴CE=；CF=；
∴，
，
∴，而，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，当时，而
则，
过作于，过作于，
∴，，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求解反比例函数解析式，熟练的利用相似三角形的性质解题是关键．
17．（2024·江苏泰州·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点是y轴正半轴上一点，点B是反比例函数图像上的一个动点，连接，以为一边作正方形，使点D在第一象限．设点B的横坐标为m()．
(1)若，求点B和点D的坐标；
(2)若，点D落在反比例函数图像上，求m的值；
(3)若点D落在反比例函数图像上，设点D的横坐标为n()，试判断是否为定值？并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)是定值，见解析
【分析】本题考查了反比例函数，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关内容是解题的关键．
（1）将代入反比例函数为，求出点B的坐标，作轴于点E， 作轴于点 F，证明，利用，，即可求解；
（2）将代入中，得到点B的坐标，作轴于点E， 作轴于点 F，证明，利用，，得到点D的坐标，再根据点D 落在反比例函数图像上，代入反比例解析式即可求解；
（3）将代入中，得到点B的坐标，作轴于点E， 作轴于点 F，证明，利用，，得到点D的坐标，再点D落在反比例函数图像上，点D的横坐标为n，利用坐标相等即可求解；
【详解】（1）当时，反比例函数为，
若，则将代入中，得，
点B的坐标是，
作轴于点E， 作轴于点 F，如图所示，
四边形是正方形，
，，
，，
，
又，，
，
，，
，
点 D 的坐标是 ．
（2）当时，反比例函数为，
将代入中，得，
点B的坐标是，
作轴于点E， 作轴于点 F，如图所示，
四边形是正方形，
，，
，，
，
又，，
，
，，
，
点D的坐标是 ，
点D 落在反比例函数图像上，
，化简得，即
解得：
，
．
（3）是定值，理由如下：
将代入中，得,
点B的坐标是，
作轴于点E， 作轴于点 F，如图所示，
四边形是正方形，
，，
，，
，
又，，
，
，，
，
点D的坐标是 ，
点D落在反比例函数图像上，点D的横坐标为n，
点D的坐标是，
，，
，，
，
，
为定值.
18．（2024·江苏南通·一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息．
信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求该产品的生产成本；
(2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围．
【答案】(1)该产品的生产成本为38元/件
(2)4月份该产品销售单价的范围是
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
（1）根据题意得到．把代入解析式得到，设该产品的生产成本为元件，列方程即可得到结论；
（2）根据题意得到3月份利润为元．由题意得4月份成本为元件，列不等式即可得到结论．
【详解】（1）解：由图象得曲线解析式为．
令，则，
即3月份销售量为400件，
设该产品的生产成本为元件，则，
解得，
答：该产品的生产成本为38元件；
（2）解：3月份利润为：元．
由题意得4月份成本为元件，
则，
解得，
月份该产品销售单价的范围是．
19．（2024·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，过点作垂直于x轴的直线l，将函数图像位于直线l上的点及直线l右侧的部分（用M表示）沿l翻折，再向左平移个单位得到新的函数图像，我们称这种变换为轴移变换，记作：，由M与组成的新的图像对应的函数叫做“距美函数”，例如：图1是反比例函数的图像，经过得到的“距美函数”的图像如图2所示．
(1)填空：
①在图2的“距美函数”中，当函数值时，x的值为_________；
②直线经过得到的“距美函数”的表达式为：；
(2)抛物线经过得到“距美函数”，对于该“距美函数”，当时，，求t的值；
(3)如图3，点，在x轴上，以为一边在x轴上方画矩形，使，抛物线经过得到的“距美函数”的图像与矩形ABCD的边恰好有4个交点，直接写出k的取值范围______．
【答案】(1)①或；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）①根据“距美函数”的概念得到，当时，代入求解即可；②根据“距美函数”的概念得到，据此即可求解；
（2）根据“距美函数”的概念求得“距美函数”为，分当和，两种情况求解即可；
（3）根据“距美函数”的概念求得“距美函数”为，分顶点在上，顶点在上，经过点时，三种情况讨论，画出图形，据此求解即可．
【详解】（1）解：①∵反比例函数的图像，经过得到的“距美函数”的图像，
即反比例函数的图像关于直线对称，再向左平移2个单位，函数解析式为，
∴，
当时，或，
故答案为：或；
②直线关于直线对称，再向左平移1个单位，得到新的函数图像，
令，则；令，则，
即直线与的交点为，还经过点，
点关于对称点为，
设经过点和的函数解析式为，
则，解得，
此函数解析式为，再向左平移1个单位，得到新的函数的解析式，
即，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点为，对称轴为直线，
由题意得，新抛物线的顶点为，对称轴为直线，
∴“距美函数”为，
∵当时，，
∴，将代入得，
∴，
∴关于的对称点为，
当，则，解得（舍去）；
当，则当时，，
∴，解得（舍去）或；
综上；
（3）解：，
则顶点坐标为，顶点在的图象上，
则新抛物线的顶点坐标为，
∴“距美函数”为，
当顶点在上，
则，
∴，
∴，（舍去），
此时，有2个交点；当顶点在上，
则，
∴，∴，（舍去），
此时，有6个交点，
∴当时，恰好有4个交点；
当经过点时，
有6个交点，
∴，
解得，
∴当时，恰好有4个交点；
综上，k的取值范围为或．
【点睛】本题考查了与函数相关的变换，函数图像交点问题，二次函数图像与性质，一次函数图像与性质，反比例函数图像与性质，熟练掌二次函数图像与性质并采用分类讨论思想是解题关键．
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