专题10 几何图形初步、相交线与平行线
课标要求 考点 考向
通过实物和模型了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念； 掌握两个基本事实：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间线段最短；理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离； 认识同位角、内错角、同旁内角；理解平行线的概念； 掌握平行的性质与判定；平行线的传递性。 几何图形初步 考向一 正方体相对两面的字
考向二 几何体展开图的认识
考向三 两个基本原理
相交线与平行线 考向一 三角板中的平行
考向二 平行线的性质
考向三 平行线的判定
考点一 几何图形初步
考向一 正方体相对两面的字
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．自 B．立 C．科 D．技
2．（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．湿 B．地 C．之 D．都
3．将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．校 B．安 C．平 D．园
考向二 几何体展开图的认识
1．（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A．B．C． D．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
3．生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
考向三 两个基本原理
1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．
考点二 相交线与平行线
考向一 三角板中的平行
1．（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（ ）
A． B． C． D．
考向二 平行线的性质
1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，直线，直线分别与直线、交于点E、F，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考向三 平行线的判定
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ．
2．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证．
3．如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
1．如图是一个体积为8的正方体，、为它的两个外表面的对角线，若平移，使其端点C与的端点D重合，此时点的对应点为P，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
2．在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶按不同方式放置时，圆柱桶内的水平面不可能呈现出的几何形状是（ ）
A．圆面 B．矩形面 C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面
3．如图，将左图的正方形纸盒切去一角得到下图，下列选项中，不能作为纸盒剩余部分的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
4．在三张透明纸上，分别有、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有（ ）
①图1，的角平分线
②图2，过点P垂直于直线l的垂线
③图3，点M与点N的对称中心
A．① B．①② C．②③ D．①②③
5．如图，七巧板是我国民间流传最广的一种传统智力玩具，也被西方称为“东方魔板”，它是由正方形分割成七块板组成．若这个正方形的面积为16，则图中两块面积之和为5的是（ ）
A．①⑦ B．②④ C．①③ D．④⑥
6．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点坐标为，D点坐标为，过点分别作平行线，交x轴于两点，若，直线、之间距离的最大值为 ．
7．（2024·江苏泰州·二模）已知，如图，点C在上，，，，若，则 ．
8．（2023·江苏南京·二模）把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②．若剪开的三条棱中有两条是、，则剪开的另一条棱是 （写出所有正确的答案）．
9．（2023·江苏泰州·三模）已知、是两面互相垂直的平面镜，一束光线沿经、反射后沿射出，若，，则 °
10．（2023·江苏无锡·三模）下列命题中，真命题有 ．(请填写命题前的标号)
①有公共顶点的两个角是对顶角；②三角形中最大的内角是直角；③有一个角是直角的菱形是正方形；④两直线平行，同旁内角互补．
11．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这样的图形叫诺模图．
设有两只电阻，千欧，千欧，问并联后的总电阻值R是多少千欧？
我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的总电阻值R．
(1)①千欧，千欧，计算 千欧；
②如图1，已知，是的角平分线，，，．用你所学的几何知识说明：；
(2)如图2，已知，是的角平分线，，，．此时关系式可以写成，其中的常数，求m的值；
(3)如图3，若，（2）中其余条件不变，请探索，，R之间的关系．（用含的代数式表示）
12．（2024·江苏淮安·模拟预测）
【提出问题】如图1，和都是等腰直角三角形，，连接、，小明通过探究得到、，存在某种数量关系，具体探究过程如下：
【探究问题】小明将图1“特殊化”，如图2所示，当点在的延长上，请直接写出此时、数量的关系为__________；
【解决问题】小明在探索中发现，将绕点旋转过程中，、数量的关系始终不发生变化，请你利用图1帮助小明完成解答过程；
【扩展应用】如图3，和均为等腰直角三角形，，点在上，试问：是否存在有最小值？若没有，请说明理由；若有，请直接写出最小值．
13．（2024·江苏南京·三模）尺规作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(1)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得；
(2)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得．
14．（2024·江苏泰州·三模）如图．正方形顶点A，B在上．与交于点E，与相切于点P．
(1)用无刻度的直尺作出弦的中点，并证明你的结论（保留作图痕迹）；
(2)若正方形的边长为4，求长．
15．（2024·江苏镇江·二模）如图，矩形的对角线相交于点O，以A为坐标原点，、所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示平面直接坐标系，点C的坐标为，反比例函数的图像与矩形的边、分别交于点E、F，与对角线交于点G．
(1)若点G与点O重合，则 ；
(2)连接，求证：；
(3)当时，求的值．
16．（2024·江苏苏州·二模）已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是拋物线对称轴上一点，且点在轴上方，连接、，若，则点坐标是_______；（请直接在答题卷相应位置上写出答案）
(3)如图2，将抛物线向右平移个单位得到抛物线与线段交于点（点不与点重合），与线段交于点，连接是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17．（2024·江苏无锡·一模）如图1，在中，，且边上有一点D．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作的角平分线，交边点E；
②作，其中点F在边上；
(2)在（1）的条件下，若，，点D在边上运动，则面积的最小值为___________．
18．三角尺是几何学习中常用的学具．
【重温旧知】
(1)图①～③是课本上三角尺的3种摆放方式．借助图①中的和，课本定义了一种两个角的关系，这种关系叫做______；图②中，的度数是______°，三角尺的直角边和三角尺的直角边之间的数量关系是______；图③中确认弦是圆的直径的定理是______．
【探索研究】
(2)如图④，将图②中的一副三角尺和叠放在一起，使得点，分别在，边上，我们在同一平面内研究下面两个问题．
①当时，求的值；
②若的长为，直接写出顶点和的距离的最大值（用含的代数式表示）．
19．（1）已知：如图，四边形是平行四边形，点A、C在对角线所在的直线上， （填写序号）．求证：；（请在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面题目的横线上使之成为真命题，并解答出后面的问题．）
（2）连接，若平分，已知，．求四边形的面积．
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课标要求 考点 考向
通过实物和模型了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念； 掌握两个基本事实：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间线段最短；理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离； 认识同位角、内错角、同旁内角；理解平行线的概念； 掌握平行的性质与判定；平行线的传递性。 几何图形初步 考向一 正方体相对两面的字
考向二 几何体展开图的认识
考向三 两个基本原理
相交线与平行线 考向一 三角板中的平行
考向二 平行线的性质
考向三 平行线的判定
考点一 几何图形初步
考向一 正方体相对两面的字
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．自 B．立 C．科 D．技
【答案】C
【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，还原正方体是正确解答的关键．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：将“自”作为底面，则折起来“强”在前面，“立”在右面，“科”在后面，
∴与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”，
故选：C．
2．（2024·江苏盐城·中考真题）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．湿 B．地 C．之 D．都
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由此可解．
【详解】解：由正方体表面展开图的特征可得：
“盐”的对面是“之”，
“地”的对面是“都”，
“湿”的对面是“城”，
故选C．
3．（2024·四川广安·中考真题）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．校 B．安 C．平 D．园
【答案】A
【分析】此题考查正方体相对面上的字．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答．
【详解】解：与“共”字所在面相对面上的汉字是“校”，
故选：A．
考向二 几何体展开图的认识
1．（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．根据棱锥的侧面展开图的特征即可得到答案．
【详解】
解：棱锥的侧面是三角形，故四棱锥的侧面展开图的是
故选：B．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
【答案】C
【分析】本题考查了常见几何体的展开图，掌握常见几何体展开图的特点是解题的关键．
根据平面图形的特点，结合立体图形的特点即可求解．
【详解】解：根据图示，上下是两个三角形，中间是长方形，
∴该几何体是三棱柱，
故选：C ．
3．（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了立体图形的侧面展开图．熟记常见立体图形的侧面展开图的特征是解决此类问题的关键．
由圆锥的侧面展开图的特征知它的侧面展开图为扇形．
【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形．
故选：D．
考向三 两个基本原理
1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题．
【详解】解：过点有，
，
即得到的力臂大于的力臂，
其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
2．（2022·广西柳州·中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据两点之间线段最短进行解答即可．
【详解】解：∵两点之间线段最短，
∴从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线中，最短的路线是②，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短．
3．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．
【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，
其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短
故答案为：两点之间，线段最短．
考点二 相交线与平行线
考向一 三角板中的平行
1．（2024·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出的度数.
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
故选：B
2．（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数．
【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m，
∵直线，
∴，
∴，，
由题意可得，
∴，
∴，
故选：D．
3．（2024·山东东营·中考真题）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
考向二 平行线的性质
1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，直线，直线分别与直线、交于点E、F，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先根据平行线的性质得出，再根据邻补角求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选：C．
3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B
考向三 平行线的判定
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了逆定理的改写，根据题意，将题设与结论交换位置即可．
【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行 ．
2．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得，即可证明，有成立，根据平行线的判定即可证明结论．
【详解】证明：∵点E为边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
【答案】①（或②）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可．
【详解】解：可选取①或②（只选一个即可），
证明：当选取①时，
在与中，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
证明：当选取②时，
在与中，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
；
故答案为：①（或②）
1．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图是一个体积为8的正方体，、为它的两个外表面的对角线，若平移，使其端点C与的端点D重合，此时点的对应点为P，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，认识立体图形，勾股定理等知识，连接，根据平移的性质可得出，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵平移，
∴，，
∵正方体的体积为8，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
2．（2023·江苏南京·三模）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶按不同方式放置时，圆柱桶内的水平面不可能呈现出的几何形状是（ ）
A．圆面 B．矩形面 C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面
【答案】C
【分析】对不同的放置情况分别判断，得出结论．
【详解】解：当圆柱桶竖直放置时，液面形状为圆形，故选项A不符合题意；
当圆柱桶水平放置时，液面为矩形，故选项B不符合题意；
无论圆柱桶怎样放置，圆柱桶内的水平面不可能呈现出梯形面，故选项C符合题意；
当圆柱桶倾斜放置时，若液面经过底面，则液面为椭圆的一部分，若液面不经过底面，则液面为椭圆，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆柱的结构特征．关键是理解用平面去截圆柱体，所得到截面.
3．（2023·江苏南京·二模）如图，将左图的正方形纸盒切去一角得到下图，下列选项中，不能作为纸盒剩余部分的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体展开图的特征，由条件结合图形验证是否能拼成正方体，逐项判断即可得出结论．
【详解】解：根据正方体的展开图的特征可知：
A.图形是中间四个连一行，两边随意摆的形式，符合正方体的展开图，所以A选项正确；
B.图形是二三相连错一个，三一相连随意的形式，符合正方体的展开图，所以B选项正确；
C.图形是三个两排一对齐，不符合正方体的展开图，无法拼成正方体，所以C选项不正确；
D.图形是两两相连各错一的形式，符合正方体的展开图，所以D选项正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方体展开图的特征，熟练掌握正方体展开图的各种形式，是解题的关键．
4．（2023·江苏盐城·一模）在三张透明纸上，分别有、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有（ ）
①图1，的角平分线
②图2，过点P垂直于直线l的垂线
③图3，点M与点N的对称中心
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由角平分线所在的直线是这个角的对称轴可判断①；根据垂直的性质可判断②；根据成中心对称的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分可判断③．
【详解】①经过点O进行折叠，使与重合，折痕纪委角平分线，故①能通过折叠透明纸实现；
②经过点P折叠，使折痕两边的直线l重合，折痕即为过点P垂直于直线l的垂线，故②能通过折叠透明纸实现；
③经过点N，M折叠，展开，展开，然后再折叠使点N，M重合，两次折痕的交点即为点N，M的对称中心，故③能通过折叠透明纸实现．
故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的对称性，垂线的性质，中心对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
5．（2023·江苏无锡·一模）如图，七巧板是我国民间流传最广的一种传统智力玩具，也被西方称为“东方魔板”，它是由正方形分割成七块板组成．若这个正方形的面积为16，则图中两块面积之和为5的是（ ）
A．①⑦ B．②④ C．①③ D．④⑥
【答案】C
【分析】分别求出各部分的面积即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积为16，
∴正方形的边长为．
∴对角线的长为，
∴①、②的直角边长为，
③、④、⑤、⑥在对角线上的边长为，
③的斜边为，
⑦的直角边长为2，
∴
，
，
，
∴面积之和为5的是①③，①⑤，②③，②⑤．
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，算术平方根的意义，以及勾股定理等知识，求出各部分的面积是解答本题的关键．
6．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点坐标为，D点坐标为，过点分别作平行线，交x轴于两点，若，直线、之间距离的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、三角形相似的判定和性质、求二次函数的最大值、平行线之间的距离等综合知识点，构造相似三角形与平行线间的距离是解题的关键．
如详解中的辅助线作图法，可证，并设，然后将相关线段都用m与t的代数式表示出来，再证得出比例式然后可得，可求得m的最大值，从而可求得的最大值为
【详解】如图，自C点作延长线的垂线，垂足为点M；自，垂足为点N．
设，由题意可知，，
∴，，
∵
∴，则，
∵，
∴，又
∴
∴
∴，
即
即的最大值为，
∴，
∴
即的最大值为
即直线之间距离的最大值为
故答案为：
7．（2024·江苏泰州·二模）已知，如图，点C在上，，，，若，则 ．
【答案】
【分析】作交的延长线于点N，先根据证明，得到，设，则，根据平行线的性质可证明，得到得到，解出，从而得出，进而得出结果即可．
【详解】解：如图，作交的延长线于点N，
，，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
或（小于零舍掉），
，即，
又，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，一元二次方程的应用，准确作出辅助线是解答本题的关键．
8．（2023·江苏南京·二模）把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②．若剪开的三条棱中有两条是、，则剪开的另一条棱是 （写出所有正确的答案）．
【答案】或
【分析】根据正三棱锥的展开图的特征可进行求解．
【详解】解：根据题意可知剪开的另一条棱是或；
故答案为或．
【点睛】本题主要考查几何体的展开图，解题的关键是熟知正三棱锥的展开图．
9．（2023·江苏泰州·三模）已知、是两面互相垂直的平面镜，一束光线沿经、反射后沿射出，若，，则 °
【答案】
【分析】根据入射角等于反射角得出，，由得出，得出，即可得答案．
【详解】解：∵入射角等于反射角，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是平行线的性质，熟知入射角等于反射角和掌握平行线的性质是解题的关键．
10．（2023·江苏无锡·三模）下列命题中，真命题有 ．(请填写命题前的标号)
①有公共顶点的两个角是对顶角；②三角形中最大的内角是直角；③有一个角是直角的菱形是正方形；④两直线平行，同旁内角互补．
【答案】③④/④③
【分析】根据对顶角定义，三角形分类，正方形判定，平行线性质逐项判断．
【详解】解：有公共顶点的两个角不一定是对顶角，故①是假命题；
三角形中最大的内角不一定是直角，故②是假命题；
有一个角是直角的菱形是正方形，故③是真命题；
两直线平行，同旁内角互补，故④是真命题；
∴真命题有：③④；
故答案为：③④．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
11．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这样的图形叫诺模图．
设有两只电阻，千欧，千欧，问并联后的总电阻值R是多少千欧？
我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的总电阻值R．
(1)①千欧，千欧，计算 千欧；
②如图1，已知，是的角平分线，，，．用你所学的几何知识说明：；
(2)如图2，已知，是的角平分线，，，．此时关系式可以写成，其中的常数，求m的值；
(3)如图3，若，（2）中其余条件不变，请探索，，R之间的关系．（用含的代数式表示）
【答案】(1)①；②见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，作出正确的辅助线是解题的关键．
（1）①根据并联电路电阻公式，即可解答；
②过点作的平行线，交于点，证明为等边三角形，利用相似三角形的性质，即可解答；
（2）过点作的平行线，交于点，得到与的关系，利用相似三角形的性质，即可解答；
（3）过点作的平行线，交于点，过点作，交于点，得到求得的长，利用相似三角形的性质，即可解答．
【详解】（1）解：①根据并联电路电阻公式可得，即千欧，
故答案为：
证明：②如图1，过点作的平行线，交于点，
，是的角平分线，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
即，
可得，
,
故；
（2）解：如图2，过点作的平行线，交于点，
同上述原理可得，，
，
可得，
即，
整理后可得，
即，
；
（3）解：过点作的平行线，交于点，过点作，交于点，
同上述原理可得，，
，
，
可得，
即，
整理后可得，
即．
12．（2024·江苏淮安·模拟预测）
【提出问题】如图1，和都是等腰直角三角形，，连接、，小明通过探究得到、，存在某种数量关系，具体探究过程如下：
【探究问题】小明将图1“特殊化”，如图2所示，当点在的延长上，请直接写出此时、数量的关系为__________；
【解决问题】小明在探索中发现，将绕点旋转过程中，、数量的关系始终不发生变化，请你利用图1帮助小明完成解答过程；
【扩展应用】如图3，和均为等腰直角三角形，，点在上，试问：是否存在有最小值？若没有，请说明理由；若有，请直接写出最小值．
【答案】[探究问题]；[解决问题]见解析；[扩展应用]
【分析】[探究问题] 先证明四边形是矩形，则，再根据等腰直角三角形的判定与性质证明是等腰直角三角形，进而得到即可求解；
[解决问题]先根据等腰直角三角形的性质得到，，进而证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可；
[扩展应用]先由特殊位置得到点M的运动轨迹：当P与C重合时，等腰直角为等腰直角，当点P与点A重合时，等腰直角为等腰直角，连接，利用等腰直角三角形的性质推导出点M在与直线成的线段上运动，由于，则延长至，使得，连接、，则，当、M、B共线时取等号，此时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求得即可．
【详解】解：[探究问题]
如图，过A作于F，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
则，
故答案为：；
[解决问题]
如图1，∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∴，则，
∴；
[扩展应用]
解：如图，当P与C重合时，等腰直角为等腰直角，当点P与点A重合时，等腰直角为等腰直角，连接，
∵和均为等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
则点B、C、共线，
∴，，
∴，
∴点M在与直线成的线段上运动，
∵，
故延长至，使得，连接、，则，当、M、B共线时取等号，此时，的值最小，最小值为的长，
∵，，
∴，
故的最小值为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的性质、最短路径问题、勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，利用相似三角形的性质寻找线段间的数量关系，找到点M的运动路线是解答的关键．
13．（2024·江苏南京·三模）尺规作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(1)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得；
(2)如图，已知直线同侧有两点，，在直线上确定一点，使得．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）根据轴对称的性质，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，即可获得答案；
（2）作点关于直线的对称点，连接交直线于，以点为圆心，以为半径作圆；连接，作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作圆，和交于点，连接，交于点，连接、，即可获得答案．
【详解】（1）解：如下图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，点即为所求；
∵点、关于直线对称，
∴，
又∵，
∴；
（2）如下图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，以点为圆心，以为半径作圆；连接，作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作圆，和交于点，连接，交于点，连接、，则点即为所求．
∵点、关于直线对称，
∴，，
∵为直径，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了作图—复杂作图、轴对称的性质、对顶角、全等三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
14．（2024·江苏泰州·三模）如图．正方形顶点A，B在上．与交于点E，与相切于点P．
(1)用无刻度的直尺作出弦的中点，并证明你的结论（保留作图痕迹）；
(2)若正方形的边长为4，求长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点作交于点，即为弦的中点，利用正方形性质、平行线性质、垂径定理即可证明为弦的中点；
（2）连接，，利用平行线分线段成比例得到，设，利用勾股定理表示出，，，再利用勾股定理建立方程求解，即可解题．
【详解】（1）解：过点作交于点，
即为弦的中点，
证明如下：
四边形为正方形，
，
，
，即，
，
即为弦的中点；
（2）解：连接，，
正方形的边长为4，
，，
与相切于点P．
，
，
，
，
，
设，
则，，，
为的直径，
，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了正方形性质、平行线性质、垂径定理、平行线分线段成比例、勾股定理、圆周角定理，熟练掌握相关性质并灵活运用是解题的关键．
15．（2024·江苏镇江·二模）如图，矩形的对角线相交于点O，以A为坐标原点，、所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示平面直接坐标系，点C的坐标为，反比例函数的图像与矩形的边、分别交于点E、F，与对角线交于点G．
(1)若点G与点O重合，则 ；
(2)连接，求证：；
(3)当时，求的值．
【答案】(1)6
(2)见解析
(3)
【分析】（1）当点G与点O重合时，则，再利用待定系数法求解即可；
（2）证明，而，可得，则，从而可得答案；
（3）过作于，过作于，可得，，，证明，利用相似三角形的性质进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形，
∴，
∵，
∴点G与点O重合时，，
∴，
∴反比例函数为：；
（2）由题意得、
∴CE=；CF=；
∴，
，
∴，而，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，当时，而
则，
过作于，过作于，
∴，，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求解反比例函数解析式，熟练的利用相似三角形的性质解题是关键．
16．（2024·江苏苏州·二模）已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是拋物线对称轴上一点，且点在轴上方，连接、，若，则点坐标是_______；（请直接在答题卷相应位置上写出答案）
(3)如图2，将抛物线向右平移个单位得到抛物线与线段交于点（点不与点重合），与线段交于点，连接是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，理由见解析．
【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线的表达式．
（2）通过设设与相交于点H，设过点A，B，C的圆的圆心为点M，，根据抛物线的解析式即可求出点根据点及正切函数的概念即可求出，即可得到，即可得出，即可判断出，即可得出，即可判断出点D在上，根据抛物线的对称轴垂直平分线段，即可判断出点M在抛物线的对称轴上，根据抛物线的解析式即可求出抛物线的对称轴为直线，通过设点，根据圆的半径相等即可建立关于m的方程，解方程，即可求出点，即可求出圆的半径，根据点D在直线上即可得出答案．
（3）由平移的性质得出的解析是为，由点A的平移得出，由待定系数法求出直线的解析式，设点，作交x轴于点，，由平行的性质得出，则，即
，代入得出，由点F在上，得出，代入即可得出m的一元二次方程，解方程并结合条件即可得出答案．
【详解】（1）解：把，代入，
得∶
解得∶，
∴抛物线的表达式为．
（2）如图，设与相交于点H，设过点A，B，C的圆的圆心为点M，
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点D在上，
∵抛物线的对称轴垂直平分线段，
∴点M在抛物线的对称轴上，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设点，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵点D在直线上，
∴点．
（3）∵向右平移个单位得到抛物线，
∴的解析是为，
∵，
∴，
设直线的解析式为：，
则．
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点，
作交x轴于点，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
整理得：
∴，
∵点F在上，
∴，
把代入得：，
整理得：，
解得：或，
∵
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定以及性质，平行线的性质，正切的定义，两点之间的距离公式，平移的性质等知识，掌握这些性质以及定义是解题的关键．
17．（2024·江苏无锡·一模）如图1，在中，，且边上有一点D．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作的角平分线，交边点E；
②作，其中点F在边上；
(2)在（1）的条件下，若，，点D在边上运动，则面积的最小值为___________．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查尺规基本作图，角平分线的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积．利用面积法求解是解题的关键．
（1）①利用尺规基本作图-作已知角的平分线，作出图形即可；
②利用尺规基本作图-经过直线上一点作已知直线的垂线，用出图形即可．
（2）根据，当时，值最小，此时，值也最小，所以此时面积的最小，利用解平分线性质得出，设，根据，即，求解得h值，再代入即可求解．
【详解】（1）解：①如图所示，就是所求；
②如图所示，就是所求．
（2）解：∵
∴当时，值最小，此时，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴值最小，
∴此时，面积，如图，
∵平分，
∴，
设，
∵
∴
即
解得：，
∴
∴面积的最小值为：．
18．（2023·江苏南京·二模）三角尺是几何学习中常用的学具．
【重温旧知】
(1)图①～③是课本上三角尺的3种摆放方式．借助图①中的和，课本定义了一种两个角的关系，这种关系叫做______；图②中，的度数是______°，三角尺的直角边和三角尺的直角边之间的数量关系是______；图③中确认弦是圆的直径的定理是______．
【探索研究】
(2)如图④，将图②中的一副三角尺和叠放在一起，使得点，分别在，边上，我们在同一平面内研究下面两个问题．
①当时，求的值；
②若的长为，直接写出顶点和的距离的最大值（用含的代数式表示）．
【答案】(1)互补，75，，直径所对的圆周角为直角
(2)①；②
【分析】（1）根据互补的定义，即可得出和的关系；根据三角板中各个角的度数，即可求出；根据，即可得出和之间的数量关系；根据直径所对的圆周角为直角，即可得出弦是圆的直径；
（2）①证明，即可根据相似三角形对应边成比例得出结论；②连接点C和中点M，连接点E和中点M，在中，，当点C、M、E在同一条直线上时，，此时最大．
【详解】（1）解：由图可知，三角板的两个直角顶点重合，
∴，则和互补；
由图可知：；
∵，，
∴，，
∵，
∴；
∵，
∴弦是圆的直径（直径所对的圆周角为直角），
故答案为：互补，75，，直径所对的圆周角为直角；
（2）解：①根据题意可得：，
由（1）可知，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②连接点C和中点M，连接点E和中点M，
∵，，
∴，
∵点M为中点，
∴，
根据勾股定理可得：，
在中，，
当点C、M、E在同一条直线上时，，此时最大，
∴顶点和的距离的最大值．
【点睛】本题主要考查了互补的定义，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握相加等于的两个角互补，相似三角形对应边成比例，三角形两边之和大于第三边．
19．（2023·江苏盐城·三模）（1）已知：如图，四边形是平行四边形，点A、C在对角线所在的直线上， （填写序号）．求证：；（请在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面题目的横线上使之成为真命题，并解答出后面的问题．）
（2）连接，若平分，已知，．求四边形的面积．
【答案】（1）①（或③），证明见解析；（2）96
【分析】（1）添加①，根据可证；添加②，满足，不能证明；添加③，根据可证；
（2）连接，连接交于点O，证明四边形是菱形，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．
【详解】解：（1）添加①，
证明：四边形是平行四边形，
且，
，
，
在和中，
，
；
添加③，
证明：四边形是平行四边形，
且，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）如图，连接，连接交于点O，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
四边形的面积为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，菱形的面积等，解题的关键是掌握菱形的判定方法及面积的求法．
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