专题13 图形的相似
课标要求 考点 考向
了解比例线段的有关概念及其性质，通过实例了解黄金分割，并会用比例的性质解决简单的问题； 了解相似多边形、相似三角形的概念，掌握其性质和判定，并会运用； 了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；能利用图形的相似解决一些实际问题；通过实例了解中心投影和平行投影，了解视点、视线及盲区的含义； 了解位似变换和位似图形的概念，掌握其性质。 图形的相似 考向一 相似三角形的性质
考向二 相似三角形的判定
考向三 相似三角形的应用
考点 图形的相似
考向一 相似三角形的性质
1．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ．
2．（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ．
3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ．
考向二 相似三角形的判定
1．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
2．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
3．在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当P为的中点，，时，求的长；
(3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
考向三 相似三角形的应用
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ）
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
2．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
3．小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为：
方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端．
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，）
1．（2024·江苏无锡·二模）在中，，将平行四边形沿对角线翻折，点落在同一平面内的点处，且点与点不重合，设点到边的距离分别为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏南京·一模）如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2024·江苏无锡·一模）如图，，为上一点（端点除外），分别以、为边长，在同侧作正方形和正方形，连接、，连接交于点．设，的面积为，则关于的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，人在路灯下沿直线行走，则其影子顶部所经过的路线为 ．（①直线②曲线，填序号）
5．（2024·江苏泰州·三模）为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为，当地图上比例尺由变为时，则地图上两个校区的路程增加了 ．
6．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知与中，，，，将绕着点旋转，连接、、，分别取，，的中点，，，连接，在旋转一周的过程中，面积的最大值是 ．
7．（2024·江苏常州·二模）如图，为的直径，C为上一点，平分，与过点A的的切线交于点D，与交于点F，与交于点E．记的面积为，的面积为，若，则 ．
8．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面内，将一个多边形先以点A为位似中心放大或缩小，使得放大或缩小的图形与原图形的线段比为k，再沿多边形一条边a平移x个单位长度，称这种变换为自位似平移变换，记作例：如图1，，以C为位似中心将原边长缩小为原图形的0.5倍，得到变换后的图形为，在沿着平移3个单位长度得到最终图形，记作；或沿着平移4个单位长度得到最终图形，记作．
(1)如图1，求证．
(2)如图2，当为直角三角形时，经过变换后得到，经过变换后得到，求证：四边形为菱形．
(3)如图3，为等腰直角三角形，，分别经过变换得到，J、L、N、R分别为的内心，O、P、Q分别为的中点，①求证：四边形为正方形；②求证：Z、W分别为的中点；③若，则__________．
(4)如图3，是否有可能使？如果能，请写出初始图形以及变换过程，如果不能，请说明理由．
9．（2024·江苏徐州·模拟预测）【问题情境】如图1，以点A为顶点，以射线为一边，作角．作法：在射线上任取一点C，过点C作，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，作射线，则，尺规作图可通过构造特殊图形，利用其边、角的性质完成作图．
【探究思考】如图2，以点A为顶点，以射线为一边，请利用无刻度的直尺和圆规作角（保留作图痕迹，不写作法）
【迁移应用】如图3，请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点P，使（保留作图痕迹，不写作法）．
10．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，分别在一个单位长度网格线上，皆不为中点；
(1)仅用直尺作出图一的中点；
(2)仅用直尺作出图二的中点．
11．（2024·江苏盐城·二模）【教材呈现】苏科版数学九年级下册课本P52第2题
如图1，点是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示以为长、为宽的矩形的面积，请根据教材内容，尝试解决以下两个问题：
（1）若，则 （结果保留根号）；
（2） （填“”、“ ”或“” ．
【初步探究】
（3）将图1补成矩形，如图2，小明猜想点在矩形的对角线上，请帮助小明判断其猜想是否正确，并说明理由．
【深入探究】
（4）如图3，已知线段为的弦，请利用无刻度直尺和圆规，在线段上作一点，在圆上作一点Q，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
12．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，．一次函数（k为常数，）的图像与线段交于点C．
(1)若点C与点B重合，求k的值．
(2)若，在图中只用直尺作出点C．
(3)若（m为常数，），直接写出k与m之间的关系式．
13．（2024·江苏南京·模拟预测）我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点．
（1）下面是某数学小组思考如何证明该命题的部分过程，填写其中的空格：
分析：设的高所在直线交于点H，直线交与点F，只要证明______，就可以证明三角形的三条高所在直线交于同一点． 思路：当时，如图①． 分别取的中点O，P， 易证， 所以点E在的外接圆O上． 同理，点E在的外接圆P上． 连接， 可得______ ______ ____________ ． ……．
我们把三角形的三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心．
（2）点H是的垂心，
①若，，则的度数是______°；
②若，，求的周长．
（3）如图②，M是内部一点，且，均垂直于，垂足分别为D，E，点H在上，且．求证：点H是的垂心．
14．（2024·江苏盐城·三模）已知：中，．
操作发现：
如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接、，设旋转角为，的面积为，的面积为，当 °时，与全等，此时与的数量关系是 ．
猜想论证：
当绕点顺时针旋转得到如图1所示的位置时，试猜想上述与的数量关系是否成立，若成立，请为加以证明；若不成立，请说明理由．
类比探究：
如图2，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，设的面积为，的面积为，试求与比值．
拓展提升：
如图3，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，，则的最大值为 ．
15．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践
如图，正方形的边长为4，将绕点B逆时针旋转，旋转角等于α（），连接，，，过点A作，垂足为点G，连接．
【知识回顾】
（1）①________（用α的代数式表示）
②求的度数；=_________；
【性质探索】
（2）当时，求证：点G是的外心 ；
（3）在旋转过程中，的值是否发生变化，若不发生变化，求出这个比值；若发生变化，说明理由．
【拓展延伸】
（4）①四边形面积的最大值．
②=________．
16．（2024·江苏南京·二模）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联……．
【模型认识】
（1）如图①，在四边形中，点E在边上，连接，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）与满足的数量关系为______；
【初步理解】
（2）如图②，在中，，，点D在外，，连接并延长到点E，，点N在上，交于点M，，求证：．
【问题解决】
（3）如图③，在中，，点D在外，D到A的距离等于，过点D作直线l，使l分别交于点，且平分的面积．（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
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课标要求 考点 考向
了解比例线段的有关概念及其性质，通过实例了解黄金分割，并会用比例的性质解决简单的问题； 了解相似多边形、相似三角形的概念，掌握其性质和判定，并会运用； 了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；能利用图形的相似解决一些实际问题；通过实例了解中心投影和平行投影，了解视点、视线及盲区的含义； 了解位似变换和位似图形的概念，掌握其性质。 图形的相似 考向一 相似三角形的性质
考向二 相似三角形的判定
考向三 相似三角形的应用
考点 图形的相似
考向一 相似三角形的性质
1．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ．
【答案】 2
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
易得，则，得出，代入数据即可求出；根据，得出，设，则，通过证明，得出，则，进而得出，结合，可得，代入各个数据，即可得出 关于的函数表达式．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
∵，
∴，即，
整理得：，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
∴，
∵，
∴，即，
整理得：，
故答案为：2，．
2．（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为，
∴它们的周长的比为，
故答案为：．
3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可；
【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F．
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
令，
，
解得或（舍去），
．
故答案为：．
考向二 相似三角形的判定
1．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键．
（1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出．
（2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
（2）连接，如下图：
∵为直径，
∴，
设，
∴，
由（1）知：
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
即，
解得：
2．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）连接，根据题意得，，利用等量代换确定，再由相似三角形的判定即可证明；
（2）先由勾股定理确定，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵是的切线，点C在以为直径的上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
由（1）得，
∴即，
∴，
∴的半径为．
3．在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当P为的中点，，时，求的长；
(3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）证明对应角相等，即可得到；
（2）根据，求得的长度，从而得出长度；
（3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系．
【详解】（1）证明：如图，
四边形是矩形，
，
，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
为中点，
，
设，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，即，
，
，
．
（3）解：如图，延长，交于一点，连接，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，直线，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
为中点，
设，
，
为中点，
，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，即．
【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键．
考向三 相似三角形的应用
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ）
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论．
【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，
根据题意得到，
，
，
，
，
，
米，
，
返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米，
故选：D．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【详解】由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
3．小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为：
方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端．
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，）
【答案】树的高度为8米
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题．
方案一：作，在中，解直角三角形即可求解；
方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可．
【详解】解：方案一：作，垂足为，
则四边形是矩形，
∴米，
在中，，
∴（米），
树的高度为米．
方案二：根据题意可得，
∵，
∴
∴，即
解得：米，
答：树的高度为8米．
1．（2024·江苏无锡·二模）在中，，将平行四边形沿对角线翻折，点落在同一平面内的点处，且点与点不重合，设点到边的距离分别为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，折叠的性质，三角形三边性质，相似三角形的判定和性质，过点作的延长线于点，交的延长线于点，则，连接，利用平行四边形的性质可得，，再结合折叠的性质可证，得到，进而得，由此可得，得到，推导出四边形为平行四边形，得到，，即可得，又由得，根据三角形三边性质得，，又证明，得，即得，当点在的延长线时，，得，即可得到，正确画出图形是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作的延长线于点，交的延长线于点，则，连接，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，，
∴，，
由折叠得，，，，，，
∴，，，，，
即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
当点在的延长线时，，
∴，
∴，
故选：．
2．（2024·江苏南京·一模）如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质、乘法公式等知识．由，，，，则，，所以，，则，所以，则，，由，得，所以，则，可判断①符合题意；由得，因为不一定等于，所以与不一定相等，可判断②不符合题意；由，且，得，可判断③符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，，，，，
∴，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故①符合题意；
由得，
与不一定相等，
不一定等于，
与不一定相等，
故②不符合题意；
，且，
，
故③符合题意，
故选：B．
3．（2024·江苏无锡·一模）如图，，为上一点（端点除外），分别以、为边长，在同侧作正方形和正方形，连接、，连接交于点．设，的面积为，则关于的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，过点作，设，证明，列出比例式，用含的式子表示，进而表示出的长，根据，列出函数关系式即可．
【详解】解：过点作，
∵正方形和正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即：
；
故选A．
4．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，人在路灯下沿直线行走，则其影子顶部所经过的路线为 ．（①直线②曲线，填序号）
【答案】①
【分析】本题考查了相似三角形的应用，设表示路灯，表示行人，表示光线，直线为人行走的路线，设，，，，点到路的距离，影子顶部到路的距离，由可得，即得，得到是定值，由得，即得也是定值，进而可得也为定值，即影子顶部到直线的距离不变，故得影子顶部的运动轨迹为平行于路的一条直线，即可求解，根据题意，正确画出图形是解题的关键．
【详解】解：如图所示，
设表示路灯，表示行人，表示光线，直线为人行走的路线，
设，，，，点到路的距离，影子顶部到路的距离，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵是定值，
∴也是定值，
∵，
∴，
∴，即，
∵是定值，
∴也是定值，
∵为定值，
∴也为定值，即影子顶部到直线的距离不变，
∴影子顶部的运动轨迹为平行于路的一条直线，
故答案为：①．
5．（2024·江苏泰州·三模）为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为，当地图上比例尺由变为时，则地图上两个校区的路程增加了 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法是解题的关键．
根据进行计算即可求解，计算时注意单位的换算，单位要统一．
【详解】解：实际路程为，
当比例尺为时，图示距离为，
当比例尺为时，图上距离为，
∴，
故答案为： ．
6．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知与中，，，，将绕着点旋转，连接、、，分别取，，的中点，，，连接，在旋转一周的过程中，面积的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了中位线的性质，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，先得出，进而得出，则，根据旋转的性质找到最大值，即可求解．
【详解】解：∵与中，，，，
∴，
∴
∴
∴,
设
∴，
∴
延长交于点，则
∵，，的中点，，，
∴，，
∴，
∴
又∵
∴
∴，
∴当最大时，即最大，的面积最大，
∵绕点旋转，
∴当时，取得最大值为，
∴
故答案为：．
7．（2024·江苏常州·二模）如图，为的直径，C为上一点，平分，与过点A的的切线交于点D，与交于点F，与交于点E．记的面积为，的面积为，若，则 ．
【答案】
【分析】方法一：根据得到，则，再证明，得到，设，则，即可得到；
方法二：如图所示，连接，根据得到，，再证明，得到，则；证明，得到；如图所示，过点E作于G，可得，由角平分线的性质得到，则，进而得到，，有勾股定理得到，则．
【详解】解：方法一：∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴；
方法二：如图所示，连接，
∵，
∴，，
∵为的直径，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，过点E作于G，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形，直角三角形是解题的关键．
8．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面内，将一个多边形先以点A为位似中心放大或缩小，使得放大或缩小的图形与原图形的线段比为k，再沿多边形一条边a平移x个单位长度，称这种变换为自位似平移变换，记作例：如图1，，以C为位似中心将原边长缩小为原图形的0.5倍，得到变换后的图形为，在沿着平移3个单位长度得到最终图形，记作；或沿着平移4个单位长度得到最终图形，记作．
(1)如图1，求证．
(2)如图2，当为直角三角形时，经过变换后得到，经过变换后得到，求证：四边形为菱形．
(3)如图3，为等腰直角三角形，，分别经过变换得到，J、L、N、R分别为的内心，O、P、Q分别为的中点，①求证：四边形为正方形；②求证：Z、W分别为的中点；③若，则__________．
(4)如图3，是否有可能使？如果能，请写出初始图形以及变换过程，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①见解析；②见解析；③4
(4)能，初始图形以及变换过程见解析
【分析】（1）根据位似变换证明，且位似比为，即与的相似比为，根据三角形相似比的性质可得，设，则，再根据平移的性质可得，由，即可证明结论；
（2）根据位似变换证明，且相似比为，得到，由平移的性质推出，进而得到，得到，从而得到，即，由，推出，证明四边形是平行四边形，再证明，得到，进而得到，即可证明四边形为菱形；
（3）①由平移的性质得：，得到，由，得到，由位似变换得到，推出，即可证明四边形是平行四边形，得到，；由是等腰直角三角形，得到是等腰直角三角形，即，推出，结合证明，得到，结合，得到，推出，由，求出，易证平行四边形是矩形，再根据，求出，得到是等腰直角三角形，推出，进而得到，即可证明矩形是正方形；②连接，设交于点X，交于点U，交于点Y，交于点M，证明四边形是矩形，根据是等腰直角三角形，点O是中点，可得，进而得到，由①知，即，进而得到，易证四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，得到，，根据，进而得到，由，推出，得到，同理得，推出，即可证明结论；③由②知，由，可得，在根据L、N、R分别为的内心，得到分别为的半径，即可求出结果；
（4）分别经过变换得到，此时点重合，点重合，点重合，连接，根据位似变换及平移的性质得到，且都是等腰直角三角形，根据J、L、N分别为的内心，可得点三点共线，点三点共线，且，再根据P、Q分别为的中点，得到，推出，易证四边形，四边形为平行四边形，得到，同理（3）②可证四边形是矩形，得到，再根据结合，得到，进而得到，即可证明，推出，由，得到，，即可证明结论．
【详解】（1）解：以C为位似中心将原边长缩小为原图形的0.5倍，得到变换后的图形为，
，且相似比为，
，
设，则，
由平移的性质可得，
，
；
（2）证明：根据题意得：，且相似比为，
，
由平移的性质得到，
，
，
，即，
，
，
四边形是平行四边形，
，为直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形为菱形；
（3）证明：①O、P、Q分别为的中点，
由平移的性质得：，
，
，
，
，
，
由位似变换得到，
，
，
四边形是平行四边形，
，；
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，即，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
矩形是正方形；
②如图，连接，设交于点X，交于点U，交于点Y，交于点M，
L、N分别为的内心，
，
，
，
四边形是矩形，
，
是等腰直角三角形，点O是中点，
，
，
由①知，即，
，
，
四边形是矩形，
同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，
，
，
，
，
，
点是的中点；
同理：，
，
点是的中点；
③由②知，
，
，
L、N、R分别为的内心，
分别为的半径，
；
（4）解：能，
如图，分别经过变换得到，此时点重合，点重合，点重合，连接，
由位似变换及平移的性质得到，且都是等腰直角三角形，
J、L、N分别为的内心，
点三点共线，点三点共线，且，
P、Q分别为的中点，
，
，
四边形，四边形为平行四边形，
，
同理（3）②可证四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了位似、平移的性质、相似三角形、等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内心的性质，四边形综合问题等知识，相似三角形对应边成比例是易错点．
9．（2024·江苏徐州·模拟预测）【问题情境】如图1，以点A为顶点，以射线为一边，作角．作法：在射线上任取一点C，过点C作，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，作射线，则，尺规作图可通过构造特殊图形，利用其边、角的性质完成作图．
【探究思考】如图2，以点A为顶点，以射线为一边，请利用无刻度的直尺和圆规作角（保留作图痕迹，不写作法）
【迁移应用】如图3，请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点P，使（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见详解
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图；
（1）在射线上取点E，以为直径作圆O，然后以E为圆心，长为半径作弧交圆O于点F，作射线，则即为所作；
（2）过点A作线段的垂线并在的上方截取，过点B作线段的垂线并在的下方截取，连接交于点P，则点P 即为所作．
【详解】探究思考：
迁移应用：
10．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，分别在一个单位长度网格线上，皆不为中点；
(1)仅用直尺作出图一的中点；
(2)仅用直尺作出图二的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（）根据平行线分线段成比例定理作图即可；
（）根据三角形的重心及中线可进行求解；
本题考查了尺规作图，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图，根据平行线分线段成比例定理
∴点即为所求；
（2）在格点上取一点C，连接，根据（1）所作方法取的中点H、G，连接，交于一点R，然后连接并延长，交于一点D，则点D即为所求，所作图形如图所示：
11．（2024·江苏盐城·二模）【教材呈现】苏科版数学九年级下册课本P52第2题
如图1，点是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示以为长、为宽的矩形的面积，请根据教材内容，尝试解决以下两个问题：
（1）若，则 （结果保留根号）；
（2） （填“”、“ ”或“” ．
【初步探究】
（3）将图1补成矩形，如图2，小明猜想点在矩形的对角线上，请帮助小明判断其猜想是否正确，并说明理由．
【深入探究】
（4）如图3，已知线段为的弦，请利用无刻度直尺和圆规，在线段上作一点，在圆上作一点Q，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）；（2）；（3）正确，理由见解析；（4）见解析
【分析】（1）利用黄金分割比解答即可；
（2）利用黄金分割的性质得到：设，则，，利用矩形的性质，正方形的性质和矩形的面积公式解答即可；
（3）连接，，过点作，交于点，交于点，利用黄金分割比的性质和相似三角形的判定与性质得到，再利用平角的定义解答即可；
（4）利用线段垂直平分线的性质，勾股定理解答即可得出线段的黄金分割点；再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】解：（1）点是线段的黄金分割点，且，
，
，
．
故答案为：；
（2）点是线段的黄金分割点，且，
．
设，则，．
，，
，
故答案为：；
（3）小明猜想点在矩形的对角线上，小明的猜想正确，理由：
连接，，过点作，交于点，交于点，如图，
则四边形，四边形，四边形，四边形为矩形，
，，，，，
四边形为正方形，
，
，
点是线段的黄金分割点，且，
，
，
，
，
．
，
，
，
点，，在同一直线上，
点在矩形的对角线上；
（4）①．过点作于点，
②．过点作的垂线，在此垂线上截取，
③．连接，以点为圆心，为半径画弧交于点，
④．以点为圆心，以为半径画弧，交于点，则点为的黄金分割点．
⑤．以点为圆心，以的长为半径画圆交圆于点，
⑥．连接，，则点为所求的点．如图：
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，线段的黄金分割，相似三角形的判定与性质，基本作图，矩形的判定与性质，熟练掌握黄金分割的性质是解题的关键．
12．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，．一次函数（k为常数，）的图像与线段交于点C．
(1)若点C与点B重合，求k的值．
(2)若，在图中只用直尺作出点C．
(3)若（m为常数，），直接写出k与m之间的关系式．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)．（或者．）
【分析】（1）若C与B重合，则，把代入中，求出k的值即可；
（2）构造相似三角形，则，则C点即为所求．
（3）过B点作轴，过A点作轴．、相交于D点，过C点作于E点，则可得，则可得．设，则可求出，．再将代入中即可求出k与m的关系式．
本题主要考查了用待定系数法求一次函数表达式以及相似三角形的判定和性质．正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：若C与B重合，则，
把代入得，
，
解得．
（2）解：如图所示，C点即为所求．
（3）解：如图，过B点作轴，过A点作轴．、相交于D点，过C点作于E点，
则，
又，
，
，
设，
则，
解得，，
，
把 代入中，
得，
解得，或．
∴k与m之间的关系式为（或）．
13．（2024·江苏南京·模拟预测）我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点．
（1）下面是某数学小组思考如何证明该命题的部分过程，填写其中的空格：
分析：设的高所在直线交于点H，直线交与点F，只要证明______，就可以证明三角形的三条高所在直线交于同一点． 思路：当时，如图①． 分别取的中点O，P， 易证， 所以点E在的外接圆O上． 同理，点E在的外接圆P上． 连接， 可得______ ______ ____________ ． ……．
我们把三角形的三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心．
（2）点H是的垂心，
①若，，则的度数是______°；
②若，，求的周长．
（3）如图②，M是内部一点，且，均垂直于，垂足分别为D，E，点H在上，且．求证：点H是的垂心．
【答案】（1），，，，；（2）①；②；（3）见解析
【分析】（1）根据圆的性质、四边形外接圆的性质等知识分析即可解得；
（2）①由圆周角定理可得，同理可得：，然后根据三角形内角和定理即可解答；②如图，H是的垂心，延长分别交于点D，E，F，先说明是的垂直平分线可得；设，则①；证明可得①，再证明可得②，①②联立解得（舍去），进而得到，最后根据三角形周长的定义即可解答；
（3）如图，以M为圆心，为半径作圆，由题意得点B，C在上，延长交
于点N，连接，延长交于点F.，先说明是的中位线可得，进而得到，再证明四边形是平行四边形可得，即是边上的高，进而证明结论．
【详解】解：（1）分析：设的高所在直线交于点H，直线交与点F，只要证明，就可以证明三角形的三条高所在直线交于同一点．
思路：当时，如图①．
分别取的中点O，P，
易证，
所以点E在的外接圆O上．
同理，点E在的外接圆P上．
如图：连接，
可得
．
故答案为：，，，，；
（2）①∵是的直径，
∴，
∵，
∴；
同理可得：，
∴；
故答案为：100；
②如图，H是的垂心，延长分别交于点D，E，F，
由题意得，
∵，
∴.，
∴是的垂直平分线，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：①，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，即②，
①②联立解得（舍去），
∴，
，
∴,
:∴的周长；
（3）如图，以M为圆心，为半径作圆，由题意得点B，C在上，延长交
于点N，连接，延长交于点F，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线.
∴，
∵，
∴,
∵是直径，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∴，
∴是边上的高.
∴点H是的垂心．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2024·江苏盐城·三模）已知：中，．
操作发现：
如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接、，设旋转角为，的面积为，的面积为，当 °时，与全等，此时与的数量关系是 ．
猜想论证：
当绕点顺时针旋转得到如图1所示的位置时，试猜想上述与的数量关系是否成立，若成立，请为加以证明；若不成立，请说明理由．
类比探究：
如图2，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，设的面积为，的面积为，试求与比值．
拓展提升：
如图3，若等腰直角三角形，， 将绕点旋转，连接、，若，，则的最大值为 ．
【答案】操作发现：，；猜想论证：成立，证明见解析；类比探究：；拓展提升：的最大值为．
【分析】操作发现：根据旋转的性质和三角形的判定与性质可得当时，，进而得到，，即可得到与的数量关系；
猜想论证：过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明，得到，可得，即可证明；
类比探究：过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明，得到，进而得到，最后根据三角函数求出的值即可；
拓展提升：在旋转过程中，当时，，，此时的值最大，，根据三角函数求出即可．
【详解】操作发现：如图，当时，又旋转可得：，，，
，
，
此时，，
，
即，
故答案为：，；
猜想论证：成立，证明如下：
如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
，
，
，
又，
，
，
，
；
类比探究：
如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
由论证猜想得，
又，，
，
，
，，
，
在中，，
；
拓展提升：在旋转过程中，当时，，，此时的值最大，
，
，
，，
，
的最大值为．
【点睛】本题考查了三角函数，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用这些知识并正确作出辅助线．
15．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践
如图，正方形的边长为4，将绕点B逆时针旋转，旋转角等于α（），连接，，，过点A作，垂足为点G，连接．
【知识回顾】
（1）①________（用α的代数式表示）
②求的度数；=_________；
【性质探索】
（2）当时，求证：点G是的外心 ；
（3）在旋转过程中，的值是否发生变化，若不发生变化，求出这个比值；若发生变化，说明理由．
【拓展延伸】
（4）①四边形面积的最大值．
②=________．
【答案】（1）①，②，，（2）见详解，（3）不变，，（4）①16
【分析】（1）①根据旋转，可得，，结合三角形内角和定理可得，问题可作答，②利用，再根据，可作答；
（2）结合（1）的结论，先求出，再证明，进而可得，则有，问题得证；
（3）证明，即可作答；
（4）①连接，交交于点O，根据，可得，则点G在以O为圆心，为半径的圆上，根据，可得当的面积最大时，的面积也就最大，显然当点G与点B重合，即旋转角时，的面积最大，问题随之得解；②过点B作于N点，根据点G在以O为圆心，为半径的圆上，且，可得，可得是等腰直角三角形，即有，再根据是等腰直角三角形，可得，即可得，根据，可得，问题即可得解．
【详解】解：（1）①∵正方形，
∴，，
∵旋转，
∴，，
∴，，
∴，
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，②，；
（2）在（1）中，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
根据旋转：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点G是的外心；
（3）不变，，理由如下：
如图，
在（1）中，已求出，
∵，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）①连接，交交于点O，如图，
∵，
∴，
在正方形中，，
即，
则点G在以O为圆心，为半径的圆上，如图，
∵，，
∴当的面积最大时，的面积也就最大，
显然当点G与点B重合，即旋转角时，的面积最大，
当点G与点B重合，则有，
∴，
∴的面积的最大值为16；
②过点B作于N点，如图，
∵点G在以O为圆心，为半径的圆上，且，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
根据旋转有：，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理以及旋转的性质等知识，难题的难点是确定题中的隐圆，判断出点G、点E的轨迹，是解答本题的关键．
16．（2024·江苏南京·二模）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联……．
【模型认识】
（1）如图①，在四边形中，点E在边上，连接，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）与满足的数量关系为______；
【初步理解】
（2）如图②，在中，，，点D在外，，连接并延长到点E，，点N在上，交于点M，，求证：．
【问题解决】
（3）如图③，在中，，点D在外，D到A的距离等于，过点D作直线l，使l分别交于点，且平分的面积．（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
【答案】（1）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）（Ⅰ）根据相似三角形的性质可得，即可得出结论；
（Ⅱ）根据相似三角形的性质可得，，从而可得，，再根据四边形的内角和可得，即可得出结论；
（2）证明，可得，即，再根据三角形面积公式及，即可得出结论；
（3）作的垂直平分线，交于点E，连接并延长作直线l，再以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D．
【详解】解：（1）（Ⅰ）∵，
∴，
∴；
（Ⅱ）∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，作的垂直平分线，交于点E，连接并延长作直线l，再以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D，
理由如下：∵点E是的中点，
∴，
∴，
又∵点D、B在上，
∴．
【点睛】本题考查尺规作图 垂直平分线及圆、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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