专题16 圆
课标要求 考点 考向
探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论； 了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线； 会计算圆的弧长、扇形的面积； 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 圆 考向一 圆锥侧面积
考向二 圆周角定理
考向三 正多边形与圆
考向四 切线的性质与判定
考向五 圆中的尺规作图
考点 圆
考向一 圆锥侧面积
1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长．
【详解】解：，
故选：B．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °．
【答案】
【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及扇形面积，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式．设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，根据“圆锥的侧面积扇形面积”建立等式求解，即可解题．
【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，
侧面展开扇形的面积为：，
解得，
故答案为：．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长．
根据题意得圆锥的母线长为，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径．
【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为，
∴圆锥的底面半径为，
故答案为：5．
考向二 圆周角定理
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
故答案为：10．
2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵是的直径，，，
∴，
∴；
故答案为：．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则 ．
【答案】90
【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．
【详解】∵是圆的直径，
∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为，
∵、、、所对的弧的和为半圆，
∴，
故答案为：90．
考向三 正多边形与圆
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据六边形是正六边形，根据正多边内角和等于，求出内角，再根据弧长公式即可得出答案．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留）
【答案】
【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
【详解】解：如图所示：过点C作，
∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∵圆心C恰好是的内心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为：，
∴花窗的周长为：，
故答案为：．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
【答案】（1）2（2）（3）（4）
【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；
（2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案；
（3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可；
（4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，由（2）可得：，当三点共线时，最短，再进一步解答即可.
【详解】解：如图，
∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形，
∴设，，
∴，，
∴，，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．
（2）如图，∵，
∴，，
，，
∴，
如图，
结合图形变换可得：；
（3）如图，∵将绕点逆时针旋转，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∵为圆外一个定点，
∴当与相切时，最大，
∴，
∴，
由（2）可得：，
∵，，
∴
，
∴；
（4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，
∴，，
再将沿方向平移，使与重合，如图，得，
由（2）可得：，
∴当三点共线时，最短，
∵，，
∴，，
∴；
∴的最小值为；
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
考向四 切线的性质与判定
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °．
【答案】35
【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接，构造直角三角形，利用，从而得出的度数．
【详解】解：连接，
与相切于点，
，
，
；
，
，
故答案为：35
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．
(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】与相切，理由见解析
【分析】连接，由等腰三角形的性质得，再由折叠的性质得，进而证明，则，因此，然后由切线的判定即可得出结论．
【详解】解：与相切．
证明：连接．
∵，
∴．
∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点落在边上，
∴．
∴．
∴．
∴由，得，即．
∴与相切．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键．
考向五 圆中的尺规作图
1．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．
(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”．
(2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）．
【答案】(1)证明见解析
(2)图见解析
(3)或
【分析】（1）证，根据“关联点”的定义即可得结论；
（2）以为直径作，过点作的垂线，交于，由圆周角定理可得，由（1）可得，以为圆心，为半径作圆，在直线右侧的上取点作即可得答案；
（3）分类讨论，①当时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当时，同①方法．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D是点C的“关联点”．
（2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，为半径作圆；
③过作交于点；
④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求，
证明：∵在以为直径的圆上运动，
∴，
由（1）可知：，
∵，
∴．
（3）①当时，
如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形，
此时，
∵，且，，
在中，，
在中，，
；
②当时，同理可得：；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点．
(1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)
【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；
（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；
（3）根据作图可得是直径，结合锐角三角函数的定义可得的值，根据勾股定理可求出的值，在直角中运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∴；
点O即为所求
（2）解：如图所示，
连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，
∵是直径，
∴，即，
根据作图可得，
∴，即，是点到的距离，
∵，
∴，
∴，
点即为所求点的位置；
（3）解：如图所示，
根据作图可得，，连接，
∴在中，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，，
解得，（负值舍去），
∴，
在中，．
【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
3．如图，在中，．
(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键．
（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；
（2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切．
【详解】（1）解：如图1，即为所作；
（2）证明：如图2，作于，
∵是的平分线，，，
∴，
∵是半径，，
∴与相切．
1．（2024·江苏南京·一模）小丽在半径为的圆形广场内（包含边界）散步，从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点B处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处时停止行走，则小丽行走的路程的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
根据题意可知：从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点处，则是直径，如图，根据题意确定运动轨迹为，进而求解即可．
【详解】解：根据题意图形如下：
设，
∵，
∴此时当最大时，才能取得最大值，
∵，
∴为直径时，，，
，
，
，
即，
，
即：，
，
为正数，
，
故选：C．
2．（2024·江苏南京·一模）如图，有一块三角形铁皮余料，，，．若从中剪一个面积最大的半圆，则半圆的圆心在（ ）
A．边上 B．边上 C．边上 D．内
【答案】A
【分析】本题主要考查了切线的性质，求三角形的面积，当圆心在边上，与另外两边相切时，半圆最大，再依次分析面积的值，可得答案．
【详解】当圆心在三角形的边上，圆与另外两边相切时，半圆最大．
圆心在上时，连接，，
∴，且，．
设半径是，
则；
同理设半径为，，
则，
，
∴，
∴，
∴面积最大的半圆的圆心在边上．
故选：A．
3．（2024·江苏常州·一模）如图，半圆的半径为于于，且是半圆上任意一点，则封闭图形面积的最大值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理，一点到圆上的距离的最值问题；要使封闭图形面积最大，就要使的面积最小，确定封闭图形面积的最大值是梯形的面积的面积，据此，进行解答．
【详解】如图所示，作矩形，连接，梯形的面积为定值，
要使封闭图形的面积最大，就要使的面积最小，
为定长，
到的距离就要最小，
连接，设交半圆于点，
，，
，过作于，则为矩形，
，，
，，
在半圆外，设在半圆上的任意一点到的距离为，则，
，
，
当点运动到半圆与的交点位置时，封闭图形面积最大．
，
，
封闭图形面积的最大值是梯形的面积的面积．
故答案为：．
4．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿过所在的直线折叠，使恰好经过点．若，，则半圆的直径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用弧、弦、圆心角的关系求解，结合半圆（或直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握知识点推理、正确计算是解题的关键．利用弧、弦、圆心角的关系，证明，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理列出一元二次方程求解，进而得出半圆的直径即可．
【详解】解：如图，点为圆心，过点作交于点，连接、、，
∵在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿过所在的直线折叠，使恰好经过点，
∴和是等圆中的圆弧，且所对的圆周角都等于，，
∴和所对的圆心角也相等，
∴，
∴，
又∵，，，
∴设，则，
，，
，
，
∵，
∴，
整理得：，
，
∴或，
解得：，（负值舍去），
∴半圆的直径，
故答案为：．
5．（2024·江苏扬州·一模）给树木涂白可以起到灭菌杀虫、防晒防冻的作用．现给一棵古树涂白，涂白部位是距地面米以下的树干(近似圆柱体)表面，已知树干的半径为米，如果每平方米树干表面需用涂白剂升，则共需要涂白剂 升（结果保留π）．
【答案】
【分析】本题考查了圆柱体的侧面积，根据地面的圆周长乘上高即为圆柱体的侧面积，即可作答．
【详解】解：∵涂白部位是距地面1．5米以下的树干(近似圆柱体)表面，已知树干的半径为0．4米，
∴（升）
∴则共需要涂白剂升
故答案为：
6．（2024·江苏无锡·一模）如图，滑轮圆心为，半径为，若在力作用下滑轮上一点绕点顺时针旋转，则图中物块上升 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查弧长的计算．根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可．
【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：．
7．（2024·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，米，米．点P以每秒5米的速度沿折线运动，总有，垂足为Q．当取得最小值时，点P运动了 秒．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．由，知点P在以为直径的上，当三点共线时，取得最小值，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴米，米，．
∵，∴，
∴点P在以为直径的上，
∴当三点共线时，取得最小值，如图，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴点P运动了米，
∴点P运动了秒．
故答案为：．
8．（2024·江苏无锡·二模）（1）在平面直角坐标系中，已知点，若过点A、B且和x轴正半轴上相切于点P，求出此时点P的坐标；
（2）如图，已知线段，用无刻度的直尺和圆规在射线上作出点P，使得最大（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）作线段的垂直平分线l，交线段于点E，过点B作轴于点M，则，点O在在直线l上，可得是等腰直角三角形，且点M在直线l上，求出直线l的解析式，过点A作于点D，则， 设点O的坐标为，则点，，在中，利用勾股定理可求出x的值，即可；
（2）延长交于C，延长至D使得，然后作线段的垂直平分线交于E，以点E为圆心，为半径作圆E，过点B作的垂线交圆E于H，作使得，点P为所求．
【详解】解：（1）如图，作线段的垂直平分线l，交线段于点E，过点B作轴于点M，则，点O在在直线l上，
∵，
∴点E的坐标为，，
∴，
∴是等腰直角三角形，且点M在直线l上，
设直线l的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线l的解析式为，
∵⊙O和x轴正半轴上相切于点P，
∴轴，
过点A作于点D，则，
设点O的坐标为，则点，，
在中，，
∴，
解得：或（舍去），
∴点P的坐标为；
（2）如图，点P即为所求．
理由：如图，连接，
由作法得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P在以为弦的圆上，此时的度数最大．
【点睛】本题考查学生的作图能力和转化能力，将所求的坐标转化为求边长，从而与勾股定理建立联系；常见的尺规作图有：作等线段，作等角，作角平分线，作垂直平分线，作垂线；本题难点在于把作切点切线性质的应用．
9．（2024·江苏南京·三模）解决几何问题时常常通过图形变换构造相似（全等）三角形等，从而快速获得解决问题的途径……
(1)如图①，在四边形中，，连接，写出、与之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图②，是四边形的对角线．，求的值．
(3)如图③，在等腰中，，点D，E分别在边上，，点P在内，连接，，若，则的最小值是 ．
【答案】(1)
(2)252
(3)
【分析】（1）作交延长线于点E，证明，则，即，而为等腰直角三角形，故；
（2）作，且，作，则，证明，则，可证明，故，即，角度推导得出，则解，得，，则，在中，由勾股定理得，即可得到，故；
（3）连接，过点C作，且，连接，作的外接圆，连接，先证明，则，故，因此的最小值为，而，故，由，知当点C、P、O三点共线时，取得最小值，可求，，故，因此，即的最小值为．
【详解】（1）解：作交延长线于点E，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，即；
（2）解：作，且，作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
∴；
（3）解：连接，过点C作，且，连接，作的外接圆，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点三点共线时，的最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值，
∵,，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，三角形三边关系求最值，圆周角定理，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形和相似三角形．
10．（2024·江苏泰州·三模）定理：直径所对的圆周角是直角．
(1)写出此定理的逆命题；
(2)判断此定理的逆命题是否为真命题，如果是真命题，请写出已知、求证并证明；如果不是真命题，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是真命题，见解析
【分析】（1）根据题意写逆命题即可；
（2）先判断逆命题的真假，然后写已知、求证，根据圆周角定理证明即可．
【详解】（1）解：由题意知，此定理的逆命题为圆周角所对的弦为直径；
（2）解：此定理的逆命题是真命题，
已知，如图，是的外接圆，，求证：是的直径．
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴三点共线，
∵是的外接圆，
∴是的直径．
【点睛】本题考查了逆命题，真命题，圆周角定理，圆周角所对的弦为直径等知识．熟练掌握逆命题，真命题，圆周角定理，圆周角所对的弦为直径是解题的关键．
11．（2024·江苏镇江·二模）如图1，点P为外一点．
(1)过点P作的一条切线（请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹）；
(2)如图2， 为的切线，连接，交于点E，作，交于点A，作直径，连接交于点F．
① 求证：；
② 若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、正切函数、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）先作的垂直平分线得到的中点E，再以为半径作交于B、Q，根据圆周角定理得到，连接即可．
（2）①先根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得，再根据切线的性质、圆周角定理以及同角的余角相等即可证明结论；②由圆周角定理、平行线的性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据勾股定理列方程求得,即；然后再根据①的结论运用正切函数列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图：线段即为所求；
（2）解：①∵,
∴，
∵，
∴,
∴，
∵是直径，
∴,
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴．
②∵是直径，
∴,
∵，
∴，
∵,,
∴,
∵，
∴,
∵,即,
∴,解得：,即,
∵，
∴，即,
∴,解得：．
12．（2024·江苏盐城·一模）今年五一黄金周，我市大纵湖旅游景区东晋水城吸引了众多游客．晓晓同学看见了一个圆形小池塘，她站在小池塘的外部思考一个问题，你能帮她解决吗？
(1)如图，已知是外一点．用两种不同的方法过点作一条直线与相交于、两点，使得．要求：（1）用无刻度的直尺和圆规作图；（2）保留作图痕迹．
(2)游览来到城墙边，晓晓看见有两个工人在交流施工方案，询问后才发现工人师傅遇到了一个困难，在城墙的同侧有，两个建筑物，施工单位在城墙边缘确定点，铺设两条直路与，要求这两条路的长度之和最短，因施工单位测量工具的限制只能在城墙的一侧规划线路与施工．你能帮工人师傅解决吗？请用无刻度的直尺和圆规画出点，并简要说明点的位置是如何找到的．
(3)路过一个正方形小菜园，晓晓突发奇想，只有一把无刻度的直尺，还能帮助我们解决问题吗？如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上，在如图所示的网格中，是边上任意一点，以为中心，取旋转角等于，把点顺时针旋转，点的对应点为，当最短时，请仅用无刻度的直尺，画出点，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定；圆周角定理，平行四边形的性质与判定，勾股定理与网格问题；
（1）方法一：作关于的对称点，以为圆心，以的直径为半径作弧交于点，连接交于点，则；方法二：如图所示， 以为圆心，的直径为半径作弧，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，则
（2）过点作的垂线，交于点，在上截取，连接交于点，以为半径作弧交于点，则点即为所求；
（3）延长至，延长至（小正方形的重心）构造得出，勾股定理求得，则点在直线上，当时，最短，取的中点，连接并延长交于点，则即为所求，
【详解】（1）解：方法一：如图所示，作关于的对称点，以为圆心，以的直径为半径作弧交于点，连接交于点，则
理由如下，延长交于点，连接，，
∵是的中点，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴
∵是直径，
∴
在中，
∴
∴
∴，
方法二：如图所示， 以为圆心，的直径为半径作弧，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，则
理由如下，如图所示，连接，
根据作图可得
∵是直径，
∴，
∴，
（2）解：如图所示，过点作的垂线，交于点，在上截取，连接交于点，以为半径作弧交于点，则点即为所求；
理由如下，如图所示，作交于点，连接，
根据作图可得，，，
∴，
∴，
∴
又∵垂直平分
∴
∵
∴，
又
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
∴
又在上，
∴的最小值为，
∴点即为所求；
（3）解：如图所示，延长至，延长至（小正方形的重心）
∵，
∴
又∵
∴
∴
又∵，
∴
依题意，则点在直线上，
∴当时，最短，
取的中点，连接并延长交于点，则即为所求，
∵
∴
∴是直角三角形，
∵是的中点，
∴
∴
∵
∴
即
∴即为所求
13．（2024·江苏镇江·二模）如图，以为直径的交的斜边于点D，连接．点E在上，．
(1)求作满足条件的点E（要求尺规作图，保留作图痕迹）
(2)延长交的延长线于点F，下列说法：①是的切线；②；③垂直平分；④是等边三角形．正确的序号是________；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)画图见解析
(2)①②③
(3)
【分析】（1）作线段的垂直平分线垂足为E，连接，利用直角三角形斜边的中线性质可得点E即为所求；
（2）①正确，利用全等三角形的性质证明即可；②正确，利用三角形中位线定理证明；③正确，根据线段的垂直平分线的判定判断即可；④错误，根据等边三角形的定义判断即可；
（3）过点D作于点H．首先证明，求出，，，再利用相似三角形的性质求解．
【详解】（1）解：如图，点E即为所求；
；
由作图可得：，
而为的直径，
∴，
∴．
（2）在和中，
，
∴，
∴，
∴是的切线，故①正确；
由作图可知，，
∴，故②正确；
∵，，
∴垂直平分线段，故③正确；
∵不一定是，
∴无法判断是等边三角形，故④错误．
故答案为：①②③；
（3）解：过点D作于点H．
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线性质、解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．（2024·江苏南京·二模）如图，在菱形中，点E 在上，连接交于点F，经过A、B、E，点F 恰好在上 ．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，则的长为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由平行得，由菱形性质得，即可证明；
（2）连接并延长交于H，连接，证明，得，根据圆的内接四边形性质得，证明出，再证，证明出，根据三线合一性质得，由平行即可证明出，即可解答；
（3）由求出，求出，再由，求出后即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接并延长交于H，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题目主要考查等腰三角形的判定与性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质等知识点，熟练应用圆的相关定理及三角形全等、三角形相似等知识点的应用是本题的解题关键．
15．（2024·江苏南京·二模）已知．设过点P所画的的两条切线分别为，，切点为A，B．尺规作图：用两种不同的方法作一点P，使．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查切线的性质和等腰三角形的性质，
方法①：作直径，，且；作半径平分；此时，过A，B分别作，的垂线，即，两条垂线的交点即为点P．
方法②：作半径，过A作直线，以点A为圆心为半径画弧交直线l于点C，此时，再以点C为圆心为半径画弧交直线l于点P，可知，再以点P为圆心为半径画弧交于点B，连接，即，点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所求．
方法①：作直径，，且；作半径平分；过A，B分别作，的垂线，两条垂线的交点即为点P．
方法②：作半径，过A作直线，以点A为圆心为半径画弧交直线l于点C，再以点C为圆心为半径画弧交直线l于点P，再以点P为圆心为半径画弧交于点B，连接，点P即为所求．
16．（2024·江苏连云港·二模）【问题探究】
（1）如图，某设计院欲规划一块三角形草坪，在如图所示的中，，，园林设计师乐乐要在该草坪上设计一条小路．请用尺规在边上找一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题解决】
（2）如图，有一块边长为的正方形花园，点、为花园的入口，且，连接．若在区域内设计一个亭子（亭子的大小忽略不计），满足，从入口到亭子铺设两条景观路和．
点运动路径的长是______m；
已知铺设小路所用的景观石材每米的造价是元，铺设小路所用的景观石材每米的造价是300元，是否存在点，使铺设小路和的总造价最低？若存在，求出最低总造价，并求出此时亭子到边的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①米；②存在点，使总造价最小，最小值为元，此时亭子到边的距离为米．
【分析】（1）作，或均可以得出，
（2）①由正方形性质易求，从而可得点运动路径是圆弧，其圆心是A，半径是AB，圆心角是，由此即可求出点运动路径的长；
②延长到G，使，构造相似三角形，可得，从而可得小路和的总造价为；将总造价最低转化为最小值求解，由此得出当、、三点共线时，取最小值，从而求解本题．
【详解】（1）如图，作，则，为所求，
（2）①∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴点运动路径是圆弧，其圆心是A，半径是AB，圆心角是，如图：
点运动路径的长是（米），
故答案为米．
②延长到G，使，
∵（米），（米），
∴（米），（米），（米），
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵已知铺设小路所用的景观石材每米的造价是元，铺设小路所用的景观石材每米的造价是300元，
总造价为（元），
∴使铺设小路和的总造价最低．即最小，有图可知：，
当、、三点共线时，最小，此时，
∵（米），
∴总造价最小值（元），
过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，
∴
∵，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∵，
∴，
∴，
∵
∴（米），
综上所述：存在点，使总造价最小，最小值为元，此时亭子到边的距离为米．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
17．（2024·江苏泰州·三模）AB是的切线，切点为B，交于点，若．
(1)如图1，用圆规和无刻度的直尺在上求作一点，使得为的切线．（圆规只限使用一次，并保留作图痕迹）
(2)如图2，在（1）的条件下，连接与相交于点，求线段、与弧围成的图形的面积．（结果保留根号和）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，扇形的面积等知识:
(1）以点为圆心，长为半径画圆交于点，作直线交于点，连接，交于点，作直线，则直线为的切线；
（2）证明，求出，根据阴影部分的面积的面积-扇形的面积计算即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
．
由（1）知，是的切线，
，
在和中，，
，
，
在中，，
，
，．
阴影部分的面积为．
18．（2024·江苏淮安·一模）如图，在方格纸中，A、B、C三点在圆上，且均为格点，点F是圆与格线的交点，仅用无刻度的直尺按要求完成做图．
(1)请在图①作出该圆的圆心O
(2)请在图②优弧上确定一点P，使
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查网格作图，圆周角定理推论，的圆周角所对弦是直径确定圆心；
（1）取格点N，连接并延长与圆交于点M，得到，连接得到为直径，与格线的交点的交点即为圆心；
（2）取圆与格线交点Q及格点R，连接并延长与圆交点即为所求点P，由得出．
【详解】（1）解：如图①所示的点O即为所求；
（2）解：如图②所示的点P即为所求．
19．（2024·江苏南京·一模）数学概念
若以四边形一边为直径的圆与这条边的对边相切，且切点在边上，我们把这样的圆叫做四边形的径切圆．如图①，以四边形的边为直径的与相切，切点在边上，因此是四边形的径切圆．
初步理解
（1）以下四边形：①对角互补的四边形；②对角线相等的四边形；③相邻两边长为的矩形，其中，一定存在径切圆的是 （填序号）．
性质初探
（2）在图①中，连接，，求证．
深入研究
（3）如图②，与均是四边形的径切圆，其切点分别为，，判断与的位置关系并说明理由．
（4）在（3）中，若点和点恰好重合，，，直接写出和的半径长（用含，的代数式表示）．
【答案】（1）③；（2）见解析；（3），理由见解析；（4）的半径长为，的半径长为
【分析】（1）利用圆的切线的判定与性质和矩形的性质以及径切圆定义解答即可；
（2）连接，利用圆的切线的性质定理，圆周角定理，直角三角形的性质解答即可；
（3）连接，，，，，，设与交于点，与交于点，与交于点，利用（2）的结论，圆周角定理，三角形的内角和定理得到，则，，进而得到四边形为矩形；再利用相似三角形的判定与性质和平行线的判定定理解答即可；
（4）利用（3）的结论和梯形的中位线的性质求得的半径长；利用圆的切线的性质定理，平行线的性质和相似三角形的判定与性质即可得出的半径长．
【详解】（1）解：相邻两边长为的矩形，一定存在径切圆．理由：
矩形的相邻两边长为，
矩形的长边的中点到对边的距离等于这边的一半，
以矩形的长边为直径的圆与对边相切，
相邻两边长为的矩形，一定存在径切圆．
而①②不一定存在径切圆．
故答案为：③；
（2）证明：连接，如图，
与相切，
，
，
，
为的直径，
，
．
，
，
，
；
（3）解：与的位置关系为：，理由：
连接，，，，，，设与交于点，与交于点，与交于点，如图，
由（2）知：，，
设，则．
同理可得：，
设，则．
与均是四边形的径切圆，其切点分别为，，
，，
，
，
，
，
，
，
∴，．
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，，．
，
，，
，
．
同理：，
，
，
，
，
．
，
，
，
∴．
（4）解：点和点恰好重合，如图，
由（3）知：．
点，分别为，的中点，
为梯形的中位线，
，
的半径长，
与相切于点，点和点恰好重合，
，
为梯形的中位线，
，，
．
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
的半径长为．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，梯形的中位线，等腰三角形的性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题16 圆
课标要求 考点 考向
探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论； 了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线； 会计算圆的弧长、扇形的面积； 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 圆 考向一 圆锥侧面积
考向二 圆周角定理
考向三 正多边形与圆
考向四 切线的性质与判定
考向五 圆中的尺规作图
考点 圆
考向一 圆锥侧面积
1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ．
考向二 圆周角定理
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．
2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则 ．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则 ．
考向三 正多边形与圆
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留）
3．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
考向四 切线的性质与判定
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．
(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由．
考向五 圆中的尺规作图
1．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．
(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”．
(2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点．
(1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长．
3．如图，在中，．
(1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切．
1．（2024·江苏南京·一模）小丽在半径为的圆形广场内（包含边界）散步，从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点B处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处时停止行走，则小丽行走的路程的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏南京·一模）如图，有一块三角形铁皮余料，，，．若从中剪一个面积最大的半圆，则半圆的圆心在（ ）
A．边上 B．边上 C．边上 D．内
3．（2024·江苏常州·一模）如图，半圆的半径为于于，且是半圆上任意一点，则封闭图形面积的最大值是 ．
4．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿过所在的直线折叠，使恰好经过点．若，，则半圆的直径为 ．
5．（2024·江苏扬州·一模）给树木涂白可以起到灭菌杀虫、防晒防冻的作用．现给一棵古树涂白，涂白部位是距地面米以下的树干(近似圆柱体)表面，已知树干的半径为米，如果每平方米树干表面需用涂白剂升，则共需要涂白剂 升（结果保留π）．
6．（2024·江苏无锡·一模）如图，滑轮圆心为，半径为，若在力作用下滑轮上一点绕点顺时针旋转，则图中物块上升 ．（结果保留）
（2024·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，米，米．点P以每秒5米的速度沿折线运动，总有，垂足为Q．当取得最小值时，点P运动了 秒．
8．（2024·江苏无锡·二模）（1）在平面直角坐标系中，已知点，若过点A、B且和x轴正半轴上相切于点P，求出此时点P的坐标；
（2）如图，已知线段，用无刻度的直尺和圆规在射线上作出点P，使得最大（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）．
9．（2024·江苏南京·三模）解决几何问题时常常通过图形变换构造相似（全等）三角形等，从而快速获得解决问题的途径……
(1)如图①，在四边形中，，连接，写出、与之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图②，是四边形的对角线．，求的值．
(3)如图③，在等腰中，，点D，E分别在边上，，点P在内，连接，，若，则的最小值是 ．
10．（2024·江苏泰州·三模）定理：直径所对的圆周角是直角．
(1)写出此定理的逆命题；
(2)判断此定理的逆命题是否为真命题，如果是真命题，请写出已知、求证并证明；如果不是真命题，请说明理由．
11．（2024·江苏镇江·二模）如图1，点P为外一点．
(1)过点P作的一条切线（请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹）；
(2)如图2， 为的切线，连接，交于点E，作，交于点A，作直径，连接交于点F．
① 求证：；
② 若，求的长．
12．（2024·江苏盐城·一模）今年五一黄金周，我市大纵湖旅游景区东晋水城吸引了众多游客．晓晓同学看见了一个圆形小池塘，她站在小池塘的外部思考一个问题，你能帮她解决吗？
(1)如图，已知是外一点．用两种不同的方法过点作一条直线与相交于、两点，使得．要求：（1）用无刻度的直尺和圆规作图；（2）保留作图痕迹．
(2)游览来到城墙边，晓晓看见有两个工人在交流施工方案，询问后才发现工人师傅遇到了一个困难，在城墙的同侧有，两个建筑物，施工单位在城墙边缘确定点，铺设两条直路与，要求这两条路的长度之和最短，因施工单位测量工具的限制只能在城墙的一侧规划线路与施工．你能帮工人师傅解决吗？请用无刻度的直尺和圆规画出点，并简要说明点的位置是如何找到的．
(3)路过一个正方形小菜园，晓晓突发奇想，只有一把无刻度的直尺，还能帮助我们解决问题吗？如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上，在如图所示的网格中，是边上任意一点，以为中心，取旋转角等于，把点顺时针旋转，点的对应点为，当最短时，请仅用无刻度的直尺，画出点，并说明理由．
13．（2024·江苏镇江·二模）如图，以为直径的交的斜边于点D，连接．点E在上，．
(1)求作满足条件的点E（要求尺规作图，保留作图痕迹）
(2)延长交的延长线于点F，下列说法：①是的切线；②；③垂直平分；④是等边三角形．正确的序号是________；
(3)若，，求的长．
14．（2024·江苏南京·二模）如图，在菱形中，点E 在上，连接交于点F，经过A、B、E，点F 恰好在上 ．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，则的长为______．
15．（2024·江苏南京·二模）已知．设过点P所画的的两条切线分别为，，切点为A，B．尺规作图：用两种不同的方法作一点P，使．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
16．（2024·江苏连云港·二模）【问题探究】
（1）如图，某设计院欲规划一块三角形草坪，在如图所示的中，，，园林设计师乐乐要在该草坪上设计一条小路．请用尺规在边上找一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题解决】
（2）如图，有一块边长为的正方形花园，点、为花园的入口，且，连接．若在区域内设计一个亭子（亭子的大小忽略不计），满足，从入口到亭子铺设两条景观路和．
点运动路径的长是______m；
已知铺设小路所用的景观石材每米的造价是元，铺设小路所用的景观石材每米的造价是300元，是否存在点，使铺设小路和的总造价最低？若存在，求出最低总造价，并求出此时亭子到边的距离；若不存在，请说明理由．
17．（2024·江苏泰州·三模）AB是的切线，切点为B，交于点，若．
(1)如图1，用圆规和无刻度的直尺在上求作一点，使得为的切线．（圆规只限使用一次，并保留作图痕迹）
(2)如图2，在（1）的条件下，连接与相交于点，求线段、与弧围成的图形的面积．（结果保留根号和）
18．（2024·江苏淮安·一模）如图，在方格纸中，A、B、C三点在圆上，且均为格点，点F是圆与格线的交点，仅用无刻度的直尺按要求完成做图．
(1)请在图①作出该圆的圆心O
(2)请在图②优弧上确定一点P，使
19．（2024·江苏南京·一模）数学概念
若以四边形一边为直径的圆与这条边的对边相切，且切点在边上，我们把这样的圆叫做四边形的径切圆．如图①，以四边形的边为直径的与相切，切点在边上，因此是四边形的径切圆．
初步理解
（1）以下四边形：①对角互补的四边形；②对角线相等的四边形；③相邻两边长为的矩形，其中，一定存在径切圆的是 （填序号）．
性质初探
（2）在图①中，连接，，求证．
深入研究
（3）如图②，与均是四边形的径切圆，其切点分别为，，判断与的位置关系并说明理由．
（4）在（3）中，若点和点恰好重合，，，直接写出和的半径长（用含，的代数式表示）．
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