专题14 锐角三角函数
课标要求 考点 考向
认识直角三角形的边角关系；掌握特殊角度的三角函数值； 在直角三角形中，若已知两边或一边一角，会运用解直角三角形的知识求其余的边和角； 会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题； 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决生活中的实际问题。 锐角三角函数 考向一 已知三角函数值求边长
考向二 求角的三角函数值
考向三 解直角三角形的计算
考向四 特殊角三角函数混合运算
考向五 解直角三角形的应用
考点 锐角三角函数
考向一 已知三角函数值求边长
1．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答．
【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
设，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可；
【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F．
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
令，
，
解得或（舍去），
．
故答案为：．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为 ．
【答案】
【分析】证明，得出，根据，得出，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，则点在上运动，说明当与相切时最大，得出，根据，利用，即可求出结果．
【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B，
∴点B为定点，的长度为定值，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点H在以为直径的圆上运动，
如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆，
则点在上运动，
∴当与相切时最大，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹．
考向二 求角的三角函数值
1．如图，在中，，以斜边为边向下方作正方形，连结，作于点F，于点E，于点N，交于点M，若正方形与四边形的面积比为，则的值为 ．
【答案】
【分析】证明四边形是矩形，证明，则，同理，可求，证明四边形是正方形，设，则，依题意得，，可得，由勾股定理得，，即，可求得，如图，记交点为，作于，则，，可得，则，设，则，证明，则，即，可求，证明，则，即，可求，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：正方形，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴四边形是正方形，
设，则，
依题意得，，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
如图，记交点为，作于，
∴，
∴，
解得，，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
整理得，，
解得，或（舍去），
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正切是解题的关键．
2．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是菱形的性质，锐角的正弦的含义，先画图，求解，过作于，结合可得答案．
【详解】解：如图，菱形的周长为，
∴，
过作于，而，
∴，
故答案为：
3．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】
如图，在四边形纸片中，，，，，．
折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点．
【解决问题】
(1)当点与点重合时，求的长；
(2)设直线与直线相交于点，当时，求的长．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的相关应用，结合题意画出图形是解题的关键．
（1）过点C作，则，，再求出，根据勾股定理求出，当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合，
则有，设，则，再利用勾股定理即可得出．
（2）分两种情况，当点F在上时和当点F在的延长线上时，设，，则 ，利用三个角的正切值相等表示出个线段的长度，最后利用线段的和差关系求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过点C作，
则，，
∴，
∴ ，
，
当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合，
则有，
设，则，
∵
∴在中，
解得：，
故
（2）如图2，当点F在上时，如下图：
由(1)可知，
∵
∴，
设，，则 ，
根据折叠的性质可得出：，．
∵，
∴，
∵
∴在中，，
则，
解得：，
如图3，当点F在的延长线上时，
同上，
在中，
设，，， ，
在中，
，
则
解得，
则，
综上：的值为：或．
考向三 解直角三角形的计算
1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是：
（1）直接利用证明即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解．
【详解】（1）证明：由作图知：．
在和中，
．
（2）解：，，
．
又，
，．
，
，
．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、．
【特殊化感知】
（1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示）
【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时，
【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解；
（2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，则
∵是的外接圆，
∴是的角平分线，则
∴
∵四边形是圆内接四边形，
∴
∴
设交于点，则，
设，则
在中，
∴
∴，
∵是直径，则，
在中，
∴
∴
（2）如图所示，在上截取，
∵
∴
∴是等边三角形，
∴，则
∴
∵四边形是圆内接四边形，
∴
∴；
∵，，
∴是等边三角形，则
∴，
又∵
∴
在中
∴
∴，
∴
即；
（3）解：①如图所示，当在上时，
在上截取，
∵
∴
又∵
∴，则
∴即
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
如图所示，作于点，
在中，，
∴
∴
∴，即
②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴
又∵
∴，则
∴即，
又∵
∴
∴
∴，
∵
同①可得
∴
∴
综上所述，当在上时，；当在上时，．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：_________；
（2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求的长．
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）；
（2）可推出四边形是平行四边形，从而，从而，进而得出，根据，得出，进一步得出结果；
（3）作于，解直角三角形求得和，进而表示出，在直角三角形中根据勾股定理列出方程，进而得出结果．
【详解】解：（1），
，
故答案为：；
（2）、、、均与所在直线平行，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（3）如图，
作于，
，
，，
，
设，则，，
，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，勾股定理，线段之间的数量关系，解决问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识．
考向四 特殊角三角函数混合运算
1．（2024·江苏镇江·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）1；（2）
【分析】本题考查了分式的混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的运算法则分别计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】此题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、特殊角三角函数值、绝对值计算即可．
【详解】
．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查分式的除法运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值可以解答本题；
（2）将除法转换为乘法，再根据分式的乘法法则化简即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
考向五 解直角三角形的应用
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角．
…
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度，
（参考数据：）
【答案】73.2米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．根据题意得到米，米，，，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：由题意得，米，米，，，
在中，，
，
在中，，
，
米，
，
解得，
（米，
答：塔的高度为73.2米．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，．
(1)如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）；
(2)如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）过点C作，垂足为E，判断四边形为矩形，可求出，，然后在中，根据勾股定理求出即可；
（2）过点D作，交的延长线于点F，交于点G．判断四边形为矩形，得出．在中，利用正切定义求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为E，
由题意可知，，
又，
四边形为矩形．
，，
，．
，
．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为；
（2）解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G．
由题意可知，四边形为矩形，
．
在中，，
．
，
，
，．
，，
，．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．
(1)__________，__________；
(2)求点到道路的距离；
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，）
【答案】(1)，
(2)2.0千米
(3)
【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质：
（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；
（2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可；
（3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：，
∴，；
故答案为：；
（2）过点作，垂足为．
在中，，，
．
在中，，
．
答：点到道路的距离为2.0千米．
（3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为．
正八边形的外角均为，
在中，．
．
又，，
．
∵，
∴，
，即，
，
．
答：小李离点不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
1．（2024·江苏常州·一模）某校化学实验小组利用白醋和小苏打自制火箭发射小实验，如图，一枚自制小火箭从发射点A处发射，身高1.8米的小明在离发射点A距离的B处，当小火箭到达C点时，小明测得此刻的仰角为，则这枚小火此时的高度是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点D作于点E，则，证明四边形是矩形，则，，由得到，即可得到答案.
【详解】解：过点D作于点E，则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴
∴
故选：A
2．（2024·江苏苏州·二模）圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，如图所示，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小．当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正余弦定理的应用，等腰三角形的性质，先根据题意得出顶角，再由等腰三角形性质可知，表示出，通过周长近似即可求解．
【详解】解：如图：圆内接正360边形被半径分成360个全等的等腰三角形，其顶角，过点O作，垂足为C，
设，
，
，
在中，，
，
∴由“割圆术”可得圆周率的近似值，
故选：D．
3．（2024·江苏南京·二模）小华参加植树活动，当太阳光线与地面成夹角时，直立的树苗在地面的影长为，由于培土不足，树苗栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗的影长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出，再确定当大树与光线垂直时，影长最大，然后根据直角三角形的性质得出答案．
【详解】由题意，得（米）．
当树与光线垂直，即时，影长最长，最大影长为，
在中，，
∴（米）．
故选：D．
4．（2024·江苏苏州·二模）如图，将一等腰直角三角形放置在平面直角坐标系的第一象限，其一锐角顶点与原点O重合，点A、点B 正好经过一双曲线，则直角边与x轴所成锐角的正切值为 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，反比例函数图象上点的特征，解直角三角形，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
过点B作轴于点C，过点A作轴于点D交于点E，得到，则有，，设直角边与x轴所成锐角的正切值为，设点B的横坐标为x，
则可得到，，然后根据点在双曲线上得到，解题即可．
【详解】解：过点B作轴于点C，过点A作轴于点D交于点E，
则是矩形，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
设直角边与x轴所成锐角的正切值为，设点B的横坐标为x，
则，，
∴，，
又∵点A、点B 正好经过一双曲线，
∴，
解得或（舍去）
故答案为：．
5．（2024·江苏南京·一模）物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦值之比叫做这种介质的折射率．如图，入射光线在点处斜射入某一高度为，折射率为的长方体介质（其中为入射角，为折射角，过点且垂直于介质的上表面），若，则折射光线在该介质中传播的距离（即的长度）约是 ．（参考数据：，，．
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点作于点，由折射率的定义得，，进而求出，设，在中，根据勾股定理即可作答．
【详解】解：过点作于点，
由折射率的定义得，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，
根据勾股定理，，
即，
解得，
故答案为：3.75．
6．（2024·江苏宿迁·二模）将图1所示的菱形沿两条对角线剪开后重新拼成图2、图3两种图案，其中图2得到的大正方形的面积为5，图3得到的图形的外轮廓的周长为，则图1中 ．
【答案】/0.8
【分析】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，根据菱形的性质，勾股定理，结合勾股定理去解直角三角形即可，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键．
【详解】由题意可知：图得到的大正方形的面积为，所以每一个直角三角形的斜边长为，在图中，
图形的外轮廓的周长为，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理可得：，
解得：， （舍去），
∴在图中，过点作 于点，，，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积，
即：，
解得：，
在 中，，
故答案为：．
7．（2024·江苏无锡·三模）如图所示，测量河对岸的塔高时可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高等于 m．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用——仰俯角的计算，等腰三角形的判定与性质，在中，过点B作，垂足为E，根据等角对等边得到，设，则，在中，，利用角的正切值求出x的值，在中，，利用正切值即可求出结果．
【详解】解：如图，在中，过点B作，垂足为E，
，，
，
，
设，
又，
，
在中，，
，
解得：，
在中，，
，
则塔高等于．
故答案为：．
8．（2024·江苏扬州·三模）已知矩形边，P是矩形边上一点，连接，过点B作且，垂足为E．
【初步探究】（1）如图1，当P为的中点时，求的值；
【深入探究】（2）如图2，连接，当长最小时，求的值；
【延伸探究】（3）连接并延长交于点F，平分．
①请在图3中用尺规作图作出符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
②直接写出此时的值．
【答案】（1）；（2）；（3）①见详解；②
【分析】（1）如图1，当P为的中点时，得出，根据四边形是矩形，得出，结合，证明，根据，即可求解；
（2）如图，取的中点O，以为半径作，根据，得出点E在上运动，根据三角形三边关系得出，从而得出当三点共线时，，此时长最小，此时，，根据勾股定理算出，得出，证明，结合（1）中，根据，即可求解；
（3）①以点D为圆心，为半径作交的延长线于点Q，即可作出；再分别以点C、Q为圆心，大于的一半为半径作圆交于两点，连接交于点R，直线即为线段的垂直平分线，点R即为中点；以点R为圆心，为半径画圆交于点E，连接并延长交于点F，则平分即为所求．
②如图，连接交于点H，证明，根据相似三角形的性质得出，解出，再根据同弧所对的圆周角相等得出，结合（1）中，得出，即可求解．
【详解】（1）如图1，当P为的中点时，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值为；
（2）如图，取的中点O，以为半径作，
∵，
即，
则点E在上运动，
∴，
当三点共线时，，此时长最小，
此时，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
故当长最小时，的值为；
（3）①以点D为圆心，为半径作交的延长线于点Q，即可作出；
再分别以点C、Q为圆心，大于的一半为半径作圆交于两点，连接交于点R，直线即为线段的垂直平分线，点R即为中点；
以点R为圆心，为半径画圆交于点E，连接并延长交于点F，则平分即为所求．
理由：由作图可得，，，
∴，
由作图可得，点在上，故四点共圆，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
即平分．
②如图，连接交于点H，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴，
由（1）知，
∴．
【点睛】该题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，尺规作图-复杂作图等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出图象．
9．（2024·江苏泰州·三模）如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中．研究表明，当手机（）与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度．
(1)如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数；
(2)在（1）的条件下求点D点到的距离（结果保留整数）．
（参考数据：）
【答案】(1)
(2)D到的距离约为
【分析】（1）过点D作于H，利用四边形内角和定理计算即可．
（2）过点D作于H，延长、交于点E，利用解直角三角形的知识，求得长度即可．
本题考查了四边形内角和定理，解直角三角形的相关计算，熟练掌握进行解直角三角形的计算是解题的关键．
【详解】（1）过点D作于H，
由题意得：
∴．
（2）过点D作于H，
延长、交于点E，
∵．
∴，
∵．
∴
答：D到的距离约为．
10．（2024·江苏盐城·三模）“做数学”可以帮助我们积累活动经验．小明在一次利用等宽的矩形纸片和矩形纸片重叠构建特殊平行四边形的实验中，产生了一些新的思考．
【发现】如图1，矩形和矩形中宽，两个矩形重叠，当，
请证明：四边形是正方形；
【思考】如图2，在图1的基础上，将矩形绕点A旋转，边与正方形的两边分别交于E、F两点，若矩形的宽为，试求的周长（用m的代数式表示）；
【探索】如图3，在图2的基础上，矩形边与正方形的边分别交于E、F两点，F为边上一点，， ，在内部作，与边都相切，点R为在上，为的切线，则的取值范围为 ．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】发现：先根据矩形的性质证明四边形是平行四边形，由，
易证四边形是菱形，再根据即可证明四边形是正方形；
思考：过点A作，垂足为I，连接，由矩形的性质证明，得到，同理易证，得到，从而得到的周长为；
探索：连接并延长交于点J，过点J作的垂线，垂足为，过点作，垂足分别为，连接，由，求出，利用勾股定理求出，根据题意可得，由思考中结论可得，即可求出，根据与边都相切，可得是的角平分线，，勾股定理求出，求出，设，利用勾股定理求出，设的半径为r，利用正切的定义得，从而得到，得到，证明四边形是矩形，推出，由勾股定理易得，根据为的切线，易得是直角三角形，由勾股定理易得，从而得到，再根据三角形内接圆的性质求出r的取值范费，利用二次函数的性质即可求出结果．
【详解】发现：证明：四边形和四边形都是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形；
思考：解：过点A作，垂足为I，连接，
四边形是矩形，四边形是正方形，，
，
，
，
同理：，
，
的周长为：；
探索：解：连接并延长交于点J，过点J作的垂线，垂足为，过点作，垂足分别为，连接，
，
，
，
，
由思考中结论可得，
，
，
与边都相切，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
设的半径为r，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
为的切线，
是直角三角形，且，
，
，即，
，
如图，当与相切时，有最大值，
此时，，即，
，即最大值为1，
，
当时，有最小值，为16，则的最小值为4，
当时，有最大值，为17，则的最大值为，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，三角形内接圆，切线的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，正确作出辅助线构造三角形全等及熟练掌握三角形内接圆的性质是解题的关键．
11．（2024·江苏盐城·三模）公共停车场和收费站都配备了车牌自动识别系统．如图是某停车场的出口直杆道闸，如图2，点O是直杆转动的支点，直杆平行于地面且距离地面的高度，其中直杆．当车辆经过时，直杆绕点O旋转到的位置，如图3，当时，
(1)求端点A所经过的路径长（结果保留）；
(2)求端点B距离地面的高度．（结果精确到，直杆宽度忽略不计，参考数据：，，．）
【答案】(1)端点A经过的路径长为m
(2)端点B距离地面的高度约为
【分析】本题考查了求弧长，解直角三角形的应用；
（1）根据弧长公式即可求解；
（2）过点B作，垂足为E，由正弦函数得，即可求解；
掌握弧长公式：及直角三角形的解法是解题的关键．
【详解】（1）解：绕点O旋转得到到，
端点A经过的路径长为
；
（2）解：如图，过点B作，垂足为E，
，
，
在中，，，
，
，
答：端点B距离地面的高度约为．
12．（2024·江苏扬州·二模）如图，在矩形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿向终点运动；点以每秒个单位长度沿对角线向终点运动．连接，，设运动时间为秒．
(1)利用图1证明：；
(2)将沿翻折到，当 时，；
(3)如图3，设点为的中点，连接，以为圆心，为半径作，当面积最小时，求．
【答案】(1)见解析
(2)或
(3)t的值为
【分析】（1）利用矩形的性质和勾股定理得到，由题意得到，，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用平行线的判定定理解答即可；
（2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当在的右侧时，求得，利用折叠的性质得到，再利用直角三角形的边角关系定理求得，列出关于的方程解答即可；②当在的右侧时，利用同样的方法解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，过点作于点，交于点，延长，交于点，利用矩形的判定与性质和勾股定理求得，利用圆的面积公式解答即可；②当时，过点作于点，交于点，利用同样的方法解答即可．
【详解】（1）证明：在矩形中，，，
，，
，
动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿向终点运动，点以每秒个单位长度沿对角线向终点运动，
，，
，，
，
，
，
，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①当在的右侧时，如图，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
将沿翻折到，
，
．
由（1）知：，
，
；
②当在的右侧时，如图，
由（1）知：，
，
，
，
，
将沿翻折到，
，
，
由（1）知：，
，
．
综上，将沿翻折到，当或时，．
故答案为：或；
（3）解：①当时，
过点作于点，交于点，延长，交于点，如图，
由（1）知：，，
．
四边形为矩形，
，
由（2）知：，
，
四边形为矩形，
，，，．
点为的中点，
，，
，．
．
，
当时，取得最小值，
以为圆心，为半径作，面积最小，
最小，
当面积最小时，的值为．
②当时，
过点作于点，交于点，如图，
由（1）知：，，
．
四边形为矩形，
，
由（2）知：，
，
四边形为矩形，
，，．
点为的中点，
，，
，．
．
，
当时，取得最小值1，
综上，当面积最小时，的值为．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，二次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的性质，分类讨论的思想方法，圆的面积，本题是动点问题，利用的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
13．（2024·江苏苏州·二模）如图1， 从第一象限内一点向坐标轴作垂线得到矩形， 在矩形边上取一动点， 连接， 以为边作等边，取边中点 ，已知点以每秒1个单位的速度向从点原点向终点移动，运动时间为
(1)求当点落在边上时的值；
(2)①点坐标为 ；（用的代数式表示）
②用的代数式表示点的坐标；
(3)如图2，当点向点移动的同时， 矩形边也以个单位每秒的速度向右平行移动，得到线段，连接，，求的面积．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】（1）由矩形的性质得出，，，结合等边三角形的性质得出，解直角三角形得出，即可得解；
（2）①由题意得，，再由中点坐标的求法计算即可得出答案；②连接，作轴于，轴于，于，证明四边形为矩形，，得出，，推出，由等边三角形的性质结合解直角三角形得出，证明，得出，，求出的长即可得解；
（3）由题意得点、的横坐标为，由平移的性质和矩形的性质可得：，求出点到的距离为，再根据三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：如图：
，
∵四边形为矩形，，
∴，，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由题意得：，
∴；
（2）解：①由题意得：，，
∵为的中点，
∴；
②如图，连接，作轴于，轴于，于，
，
则，
∴四边形为矩形，，
由①可得：，
∴，，
由题意得：，，
∴，
∵为等边三角形，为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：由题意得：点、的横坐标为，
由平移的性质和矩形的性质可得：，
由（2）可得：，
∴点到的距离为，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形、矩形的判定与性质、等边三角形的性、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、平移的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
14．（2024·江苏苏州·二模）【数学背景】
（）如图，点在上，点在外，则______（填“”、
“”或“”）
【生活现实】
（）图是人行道边警示牌的示意图，小星同学在正下方迎面走过去，眼睛与警示牌上边缘和下边缘形成，其右侧视图如图所示．若小星同学在行进过程中，眼睛（点）与地面高度始终保持在米的水平线上，在图中用尺规作出最大时点的位置；（保留作图痕迹，并写出必要的说明）
【解决问题】
（）当最大时，______．
【答案】（）；（）作图见解析；（）．
【分析】（）根据圆周角定理和三角形外角性质即可求解；
（）作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交的垂直平分线于点，以点为圆心，为半径画圆，与相切，当点位于切点时最大；
（）作直径，连接，则，，求出，进而可得，利用勾股定理求出，再根据余弦的定义即可求解；
本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，勾股定理，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：（）如图，连接，由圆周角定理可得，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（）如图，作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交的垂直平分线于点，以点为圆心，为半径画圆，与相切，当点位于切点时,由（）可知，即此时最大，点即为所求；
（）如图，作直径，连接，则，，
由图可得，米，米，
∴米，
∴的半径为米，
∴米，
∴米，
∴，
故答案为：．
15．（2024·江苏盐城·三模）【提出问题】
如图1，在中，，，求的最小值．
【分析问题】
下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设，表示出或者，利用函数知识
小红：从几何角度看，延长到点，使得，则，连接
【解决问题】
求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路)
【深入探究】
如图2，，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是 ．
【拓展提升】
如图3，，，点从点出发沿线段向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，当点到达点时，点停止运动，连接，点是线段上一点，且，连接，在、运动过程中，求线段的最小值．
【答案】【解决问题】的最小值为2；【深入探究】；【拓展提升】线段的最小值为1
【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，解直角三角形；
[解决问题] 小明：根据勾股定理表示出，根据二次函数的性质求最值，即可求解；
小红：延长至点，使得，则点在过点且与的夹角为的直线上运动，当于点时，最小，进而求得的最小值；
[深入探究] 设，则，勾股定理表示出，进而根据二次函数的性质求得的最小值，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出的最小值；
[拓展提升] 延长至点，使得，由题意得，证明，设，则，，延长至点，使得，得出点在过点且与的夹角为的直线上运动，当于点时，最小，进而即可求解．
【详解】[解决问题]小明：设，则，在中，，
，
当时，有最小值，
的最小值为；
小红：如图1，延长至点，使得，
此时，且为等腰直角三角形，
，
点在过点且与的夹角为的直线上运动，
当于点时，最小，
此时，
的最小值为
[深入探究]；
设，则，
∵，
∴
∴
∴当时，取得最小值，最小值为
∵是的中点，
∴
∴的最小值为
[拓展提升]如图2，延长至点，使得，由题意得，
，
，，
又，
，
，
设，则，，
如图3，延长至点，使得，
，
，
，
，
点在过点且与的夹角为的直线上运动，
当于点时，最小，此时，
，
线段的最小值为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题14 锐角三角函数
课标要求 考点 考向
认识直角三角形的边角关系；掌握特殊角度的三角函数值； 在直角三角形中，若已知两边或一边一角，会运用解直角三角形的知识求其余的边和角； 会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题； 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决生活中的实际问题。 锐角三角函数 考向一 已知三角函数值求边长
考向二 求角的三角函数值
考向三 解直角三角形的计算
考向四 特殊角三角函数混合运算
考向五 解直角三角形的应用
考点 锐角三角函数
考向一 已知三角函数值求边长
1．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为 ．
考向二 求角的三角函数值
1．如图，在中，，以斜边为边向下方作正方形，连结，作于点F，于点E，于点N，交于点M，若正方形与四边形的面积比为，则的值为 ．
2．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为 ．
3．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】
如图，在四边形纸片中，，，，，．
折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点．
【解决问题】
(1)当点与点重合时，求的长；
(2)设直线与直线相交于点，当时，求的长．
考向三 解直角三角形的计算
1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、．
【特殊化感知】
（1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示）
3．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在上，已知，，点D、F、G、J在上，、、、均与所在直线平行，，．点N在上，、的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时、重合，点、、、、、在上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：_________；
（2）如图4，_________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为_________；
【解决问题】
（3）求的长．
考向四 特殊角三角函数混合运算
1．（2024·江苏镇江·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）计算：．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
考向五 解直角三角形的应用
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角； ②沿着CA方向走到E处，用皮尺测得米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角．
…
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度，
（参考数据：）
2．（2024·江苏苏州·中考真题）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，．
(1)如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）；
(2)如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．
(1)__________，__________；
(2)求点到道路的距离；
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，）
1．（2024·江苏常州·一模）某校化学实验小组利用白醋和小苏打自制火箭发射小实验，如图，一枚自制小火箭从发射点A处发射，身高1.8米的小明在离发射点A距离的B处，当小火箭到达C点时，小明测得此刻的仰角为，则这枚小火此时的高度是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江苏苏州·二模）圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，如图所示，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小．当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏南京·二模）小华参加植树活动，当太阳光线与地面成夹角时，直立的树苗在地面的影长为，由于培土不足，树苗栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗的影长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏苏州·二模）如图，将一等腰直角三角形放置在平面直角坐标系的第一象限，其一锐角顶点与原点O重合，点A、点B 正好经过一双曲线，则直角边与x轴所成锐角的正切值为 ．
5．（2024·江苏南京·一模）物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦值之比叫做这种介质的折射率．如图，入射光线在点处斜射入某一高度为，折射率为的长方体介质（其中为入射角，为折射角，过点且垂直于介质的上表面），若，则折射光线在该介质中传播的距离（即的长度）约是 ．（参考数据：，，．
6．（2024·江苏宿迁·二模）将图1所示的菱形沿两条对角线剪开后重新拼成图2、图3两种图案，其中图2得到的大正方形的面积为5，图3得到的图形的外轮廓的周长为，则图1中 ．
7．（2024·江苏无锡·三模）如图所示，测量河对岸的塔高时可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高等于 m．
8．（2024·江苏扬州·三模）已知矩形边，P是矩形边上一点，连接，过点B作且，垂足为E．
【初步探究】（1）如图1，当P为的中点时，求的值；
【深入探究】（2）如图2，连接，当长最小时，求的值；
【延伸探究】（3）连接并延长交于点F，平分．
①请在图3中用尺规作图作出符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
②直接写出此时的值．
9．（2024·江苏泰州·三模）如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中．研究表明，当手机（）与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度．
(1)如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数；
(2)在（1）的条件下求点D点到的距离（结果保留整数）．
（参考数据：）
10．（2024·江苏盐城·三模）“做数学”可以帮助我们积累活动经验．小明在一次利用等宽的矩形纸片和矩形纸片重叠构建特殊平行四边形的实验中，产生了一些新的思考．
【发现】如图1，矩形和矩形中宽，两个矩形重叠，当，
请证明：四边形是正方形；
【思考】如图2，在图1的基础上，将矩形绕点A旋转，边与正方形的两边分别交于E、F两点，若矩形的宽为，试求的周长（用m的代数式表示）；
【探索】如图3，在图2的基础上，矩形边与正方形的边分别交于E、F两点，F为边上一点，， ，在内部作，与边都相切，点R为在上，为的切线，则的取值范围为 ．
11．（2024·江苏盐城·三模）公共停车场和收费站都配备了车牌自动识别系统．如图是某停车场的出口直杆道闸，如图2，点O是直杆转动的支点，直杆平行于地面且距离地面的高度，其中直杆．当车辆经过时，直杆绕点O旋转到的位置，如图3，当时，
(1)求端点A所经过的路径长（结果保留）；
(2)求端点B距离地面的高度．（结果精确到，直杆宽度忽略不计，参考数据：，，．）
12．（2024·江苏扬州·二模）如图，在矩形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿向终点运动；点以每秒个单位长度沿对角线向终点运动．连接，，设运动时间为秒．
(1)利用图1证明：；
(2)将沿翻折到，当 时，；
(3)如图3，设点为的中点，连接，以为圆心，为半径作，当面积最小时，求．
13．（2024·江苏苏州·二模）如图1， 从第一象限内一点向坐标轴作垂线得到矩形， 在矩形边上取一动点， 连接， 以为边作等边，取边中点 ，已知点以每秒1个单位的速度向从点原点向终点移动，运动时间为
(1)求当点落在边上时的值；
(2)①点坐标为 ；（用的代数式表示）
②用的代数式表示点的坐标；
(3)如图2，当点向点移动的同时， 矩形边也以个单位每秒的速度向右平行移动，得到线段，连接，，求的面积．
14．（2024·江苏苏州·二模）【数学背景】
（）如图，点在上，点在外，则______（填“”、
“”或“”）
【生活现实】
（）图是人行道边警示牌的示意图，小星同学在正下方迎面走过去，眼睛与警示牌上边缘和下边缘形成，其右侧视图如图所示．若小星同学在行进过程中，眼睛（点）与地面高度始终保持在米的水平线上，在图中用尺规作出最大时点的位置；（保留作图痕迹，并写出必要的说明）
【解决问题】
（）当最大时，______．
15．（2024·江苏盐城·三模）【提出问题】
如图1，在中，，，求的最小值．
【分析问题】
下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设，表示出或者，利用函数知识
小红：从几何角度看，延长到点，使得，则，连接
【解决问题】
求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路)
【深入探究】
如图2，，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是 ．
【拓展提升】
如图3，，，点从点出发沿线段向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，当点到达点时，点停止运动，连接，点是线段上一点，且，连接，在、运动过程中，求线段的最小值．
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