专题04 一次方程（组）
课标要求 考点 考向
能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义； 认识方程解的意义，经历估计方程解的过程； 掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形； 能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组； 能根据等式的解百纳性质解一元一次方程； 能解简单的三元一次方程组。 一元一次方程 考向一 一元一次方程中的古代问题
考向二 解一元一次方程应用
二元一次方程组 考向一 二元一次方程组求参
考向二 解二元一次方程组——加减消元法
考向三 二元一次方程组中的古代问题
考向四 解二元一次方程组应用
考点一 一元一次方程
考向一 一元一次方程中的古代问题
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键．
【详解】解：设绳长为x尺，列方程为，
故选A．
2．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程．
【详解】解：设经过天相遇，
可列方程为：，
故选：A．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，列出方程是解题的关键．
根据题意，设需要分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可．
【详解】解：根据题意，设分钟追上，
∴，
解得，，
∴速度快的人追上速度慢的人需要分钟，
故答案为： ．
考向二 解一元一次方程应用
1．（2024·江苏苏州·中考真题）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
(1)D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟；
(2)记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为．
①______；
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值．
【答案】(1)90，60
(2)①；②或125
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．
（1）直接根据表中数据解答即可；
（2）①分别求出D1001次列车、G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可；
②先求出， A与B站之间的路程，G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，然后分，，，讨论，根据题意列出关于t的方程求解即可．
【详解】（1）解：D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟，
故答案为：90，60；
（2）解：①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需分钟，
G1002次列车从A站到C站共需分钟，
∴，
∴，
故答案为：；
②（千米/分钟），，
（千米/分钟）．
，
A与B站之间的路程为360．
，
当时，G1002次列车经过B站．
由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车．
G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．
ⅰ．当时，，
，，（分钟）；
ⅱ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅲ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅳ．当时，，
，，（分钟）．
综上所述，当或125时，．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
【答案】两次邮购的折扇分别是40把和160把
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，首先判断出两次购买数量的范围，再设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把，根据“两次邮购折扇共花费1504元”列出一元一次方程，求解即可
【详解】解：若每次购买都是100把，则．
一次购买少于100把，另一次购买多于100把．
设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把．
由题意得：，
解得．
．
答：两次邮购的折扇分别是40把和160把．
3．某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中．
(1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
(2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为
(2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键．
（1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得；
（2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得．
【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，
由题意得：，
解得，
则，
答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为．
（2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为，
则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为，
∵，
∴，
∴，
∴，
所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高．
，
所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
考点二 二元一次方程组
考向一 二元一次方程组求参
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可．
【详解】解：把代入，得：，
∵，
∴，即：，
，得：，
∵方程组有解，
∴，
∴，
把代入①，得：，解得：；
∴方程组的解集为：；
故答案为：．
2．点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为 ．
【答案】
【分析】先分别解一元一次方程和二元一次方程组，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．
【详解】解：，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，，
∴点Q的横坐标为5，
∵，
由得，，解得：，
把代入①得，，解得：，
∴，
∴点Q的纵坐标为，
∴点Q的坐标为，
∴点Q关于y轴对称点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题的关键．
3．若实数，，满足，，则代数式的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，，
解得：
设
∴
∵
∴有最大值，最大值为
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
考向二 解二元一次方程组——加减消元法
1．（2024·江苏常州·中考真题）解方程组和不等式组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解方程组和一元一次不等式组：
（1）加减法解方程组即可；
（2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】（1）解：
，得：，解得：；
把代入①，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
（2）解：，
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：
得，，解得，．
将代入①得．
方程组的解是
3．（1）化简：
（2）解方程组：
【答案】（）；（）．
【分析】（）先计算分式除法，然后计算分式减法即可；
（）利用加减消元法求出解即可；
此题考查了分式的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握运算法则和解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键．
【详解】解：（）原式
；
（）
得：，
得：，解得：，
把代入得：，解得：，
∴二元一次方程组的解为：．
考向三 二元一次方程组中的古代问题
1．（2024·江苏盐城·中考真题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺．
【答案】15
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
设绳索长 尺，竿长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设绳索长 尺，竿长 尺，
根据题意得： ．
解得：
故答案为15．
2．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：A．
3．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键．
设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可．
【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得
，
解这个方程组，得．
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．
考向四 解二元一次方程组应用
1．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．
相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多
【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键．
（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多．
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，
∴，
∴，
∵每天分拣快递的件数，
∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
2．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
(1)求两种型号劳动用品的单价；
(2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元
(2)该校购买这40件劳动用品至少需要950元
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用．
（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可；
（2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答．
【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，
，
解得：，
答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元．
（2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，
根据题意可得：，
设购买这40件劳动用品需要W元，
，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，W取最小值，，
∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元．
3．近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
(1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
【答案】(1)修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元
(2)修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式．
（1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可；
（2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可．
【详解】（1）解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得，
解得
答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元．
（2）解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得，
解得，
，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时（万元），
答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．
1．（2024·江苏无锡·一模）地球、火星的运行轨道近似是同一平面内的以太阳为圆心的两个同心圆，“火星冲日”是指火星、地球和太阳近似在一条直线上且地球位于火星与太阳之间的现象（如图所示），已知火星绕太阳运行一周的时间近似是地球绕太阳运行一圈的时间的倍（地球绕太阳运行一圈需要一年），上一次火星冲日的时间为2022年12月8日，那么下次火星冲日的时间最为接近的是（ ）
A．2024年12月10日 B．2025年1月20日 C．2025年2月10日 D．2025年3月20日
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程的应用，一年按365天计算，地球绕太阳运行一圈每天旋转度，火星绕太阳运行一圈每天旋转度，下次火星冲日时，地球比火星多旋转一圈，即多旋转360度，由此列一元一次方程，即可求解．
【详解】解：设自2022年12月8日起，x天后火星再次冲日，
由题意得：，
，
在2年天后，即2025年1月22日左右，火星再次冲日，
B选项中的2025年1月20日最为接近，
故选B．
2．（2024·江苏镇江·一模）《九章算术》中有这样一个问题：今有垣（墙）高九尺（1尺10寸），瓜生其上，蔓向下日长七寸，瓠（葫芦）生其下，蔓向上日长一尺，问几日相逢？设x天后瓜与葫芦的蔓长在一起，根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据墙高瓜蔓生长速度时间葫芦蔓的生长速度生产时间，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】解：设x天后瓜与葫芦的蔓长在一起，
根据题意有：，
整理得：，
故选：B
3．（2024·江苏南通·一模）已知，则满足等式的的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次函数性质及方程的解、分式的运算，先化简等式用含a的式子表示b，设，得出二次函数表达式并求出最小值，即可判断．
【详解】解：，
，
当时，，，
则不合题意舍去；
当时，则，
设，
，
的最小值为，
故选：B．
4．（2024·江苏无锡·一模）已知、、满足等式，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质．根据题意得到，则，再逐一计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，则，
若，则，
∴，
若，则，
∴，
，
∵，
∴，∴，
，
∵，
∴，即，
∴，
观察四个选项，选项B符合题意，
故选：B．
5．（2024·江苏扬州·二模）《孙子算经》有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是驰名中外的“中国剩余定理”．该题翻译为：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，那么适合条件的最小正整数是 ．
【答案】23
【分析】本题考查带余除法，用字母表示数，三元一次方程组．设，可得，可知是21的倍数，可求时，即可
【详解】解：设，
，
∴，
∴是21的倍数，
∴n的最小正整数是4，
时，，，
这个数是．
答：适合条件的最小正整数是23．
故答案为：23．
6．（2024·江苏南京·二模）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是7×2＝14，右边“O”原子的个数也是．若己烷充分燃烧的化学方程式是（a，b，c为常数），则b的值是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了三元一次方程，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：由题意知：，
，
将，代入得，
，
解得：，
，
故答案为：12．
7．（2024·江苏泰州·一模）如表是某次校园足球比赛积分榜的部分数据，请探索其中的计分规则，算出A队的积分a为 ．
球队 胜 平 负 积分
A 6 1 1 a
B 5 0 3 15
C 2 3 3 9
D 1 0 7 3
… … … … …
【答案】19
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据B队和D队积分求得胜一场和负一场的得分，再结合C队即可求得平一场的得分，即可求得A队的积分．
【详解】解：设胜一场得x分，平一场的y分，负一场的z分，
由B队和D队可得，，解得，
代入C队即可得，，解得，
则A队的积分．
故答案为：19．
8．（2024·江苏泰州·二模）【背景知识】杠杆原理：杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂．
【知识应用】杆秤是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，传说木杆秤是鲁班发明的．由秤杆、秤锤、提纽、秤盘等组成．
如图1．已知秤锤质量为，秤盘与拎着的提纽间力臂长，当秤杆平衡时，秤锤与提纽间力臂长，求秤盘中物体的质量．
【拓展应用】天平也是利用杠杆原理来称物体质量的衡器，天平是一种等臂杠杆，当天平平衡时，物体质量砝码质量．
如图2所示的天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同．把一个物体放在该天平的一个托盘里，在另一个托盘里放砝码使天平平衡，称得物体质量为a；再作第二次测量，把物体换到天平的另一个托盘里，此时称得物体的质量为b．试用含a、b的代数式表示该物体的真实质量，并说明理由．
【答案】（1）（2），理由见解析；
【分析】本题考查了一元一次方程，算术平方根的实际应用，找到题中等量关系，列出方程是解题的关键．
（1）秤盘中物体的质量为，则根据杠杆原理可得，即可求解；
（2）设物体的真实质量为，天平的两臂长分别为，，则根据杠杆原理可得，消去，即可求解；
【详解】（1）设秤盘中物体的质量为，则根据杠杆原理可得，
，
解得．
答：秤盘中物体的质量为．
（2）设物体的真实质量为，天平的两臂长分别为，，则根据杠杆原理可得，
，
两式相乘得，
，
．
答：物体的真实质量为．
9．（2024·江苏南京·一模）新“龟兔赛跑”故事
兔子和乌龟从同一起点同时出发，匀速奔向终点．兔子的速度是乌龟速度的50倍，一段时间后，兔子到达途中某处，睡了，醒来后，它保持原速奔跑，恰好和乌龟同时到达终点．
(1)设乌龟的速度为，其奔跑的时间为，则由下面加点的文字可知兔子的速度是 ，由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为 ．
(2)求（1）中的值．
【答案】(1)，
(2)的值为
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式．
（1）由兔子的速度是乌龟速度的50倍，可得出兔子的速度是，利用兔子奔跑的时间=乌龟奔跑的时间，即可用含t的代数式表示出兔子奔跑的时间；
（2）利用路程=速度×时间，结合乌龟、兔子奔跑的路程相等，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设乌龟的速度为，其奔跑的时间为，则由虚线框内的文字可知兔子的速度是 ，
由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为．
故答案为：，；
（2）解：根据题意得：，
即，
解得：．
答：（1）中的值为．
10．（2024·江苏泰州·一模）某单位需要在规定时间内生产一批物资，通过调研，发现投标的工厂中有甲、乙两家资质合格，并获得如下信息：
信息1：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；
信息2：乙厂单独完成这项任务比规定时间多用5天；
信息3：甲、乙两厂的生产速度之比为；
根据以上信息解决下列问题：
(1)求规定时间；
(2)若甲乙两厂合作一些天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成．求甲乙两厂合作的时间．
【答案】(1)规定时间是20天；
(2)甲、乙两厂合作的时间是4天．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）设规定时间是天，则甲厂单独完成这项任务需要天，乙厂单独完成这项任务需要天，根据甲、乙两厂的生产速度之比为，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设甲、乙两厂合作的时间为天，利用甲厂完成的任务量乙厂完成的任务量总任务量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设规定时间是天，则甲厂单独完成这项任务需要天，乙厂单独完成这项任务需要天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：规定时间是20天；
（2）解：设甲、乙两厂合作的时间为天，
根据题意得：，
解得：．
答：甲、乙两厂合作的时间是4天．
11．（2024·江苏常州·一模）对于平面直角坐标系中的任意点，点，如果满足，那么我们称这样点P、Q是“互为关联点”，a是点P或点Q的“关联距”．如图，的顶点，，．的圆心，半径是1．
(1)点的“关联距”是__________；
(2)边上有一点D，若点D与点A是“互为关联点”，求点D的坐标；
(3)N是上一个动点，若点N与边上一点是“互为关联点”，求点N的“关联距”a的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）根据“关联距”的定义求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线解析式为，设，根据点D与点A是“互为关联点”，，得到，解方程即可得到答案；
（3）同理可得直线解析式为，设是线段上一点，则；设是线段上一点，则；设是线段上一点，则；如图所示，设直线与相切于T，过点M分别作x轴，y轴的平行线，交直线于P、Q，求出，证明，推出点T为中点，则点T的坐标为，再由，可得，解得或，设是上一点，则，据此可得．
【详解】（1）解：∵，
∴点的“关联距”是2，
故答案为：2；
（2）解：设直线解析式为，
把，代入中得，
∴，
∴直线解析式为，
设，
∵点D与点A是“互为关联点”，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：同理可得直线解析式为，
设是线段上一点，则；
设是线段上一点，则，
∵，
∴；
设是线段上一点，则，
∵，
∴；
如图所示，设直线与相切于T，过点M分别作x轴，y轴的平行线，交直线于P、Q，
∴，
∴，
∴，
由切线的性质可得，
∴点T为中点，
∴点T的坐标为，
∵的半径为1，即，
∴，
解得或，
设是上一点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，直线与圆的位置关系，坐标与图形，勾股定理，解题的关键是理解题意，图象法解决问题．
12．（2024·江苏苏州·二模）“今天立夏，过来吃碗三虾面．”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜．为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面．据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包．
(1)甲、乙两商户每天分别生产多少小时？
(2)由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包．求：甲商户增加的生产时间为多少小时？
【答案】(1)甲、乙两商户每天分别生产小时和小时
(2)甲商户增加的生产时间为3小时
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元二次方程的应用，正确的列出方程组和一元二次方程，是解题的关键：
（1）设甲、乙两商户每天分别生产小时和小时，根据甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包，列出方程组进行求解即可；
（2）设甲商户增加的生产时间为小时，根据两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两商户每天分别生产小时和小时，
则：，解得：；
答：甲、乙两商户每天分别生产小时和小时；
（2）设甲商户增加的生产时间为小时，则：乙商户增加的生产时间为小时，由题意，得：，
解得：或（不合题意，舍去）；
答：甲商户增加的生产时间为3小时．
13．（2024·江苏宿迁·三模）宿迁某生鲜超市购进一批黄瓜和蒜苔，进价都为2元/千克．
(1)当黄瓜售出300千克，蒜苔售出400千克时，两种蔬菜的总销售额为3200元；当黄瓜售出400千克，蒜苔售出600千克时，两种蔬菜的总销售额为4600元，求出两种蔬菜的售价各是多少？
(2)若以（1）中的售价销售两种蔬菜，黄瓜每天可卖出500千克，蒜苔每天可卖出800千克．经市场调查发现：黄瓜售价每降0.1元，每天可多卖出10千克，蒜苔售价每提高0.1元，可少卖出10千克．如果黄瓜售价减少的钱和蒜苔售价增加的钱相同，请求出一天的利润最大为多少元？
【答案】(1)黄瓜4元/千克，蒜苔5元/千克
(2)利润最大为3450元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二次函数的应用等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组和函数解析式成为解题的关键．
（1）设黄瓜的售价为x元/千克，蒜台的售价为y元/千克，再根据题意列出方程组求解即可；
（2）设黄瓜售价减少x元，则蒜苔售价增加x元，从而利润的函数关系式，最后利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：设黄瓜的售价为x元/千克，蒜台的售价为y元/千克，
则，解得：．
答：黄瓜的售价为4元/千克，蒜台的售价为5元/千克．
（2）解：设黄瓜售价减少x元，则蒜苔售价增加x元，
∴利润 ．
又∵，
∴当时，利润有最大值，最大值为3450元．
14．（2024·江苏徐州·一模）今冬徐州市出现强降雪天气．甲、乙两队共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两队合作3小时可完成扫雪工作；若甲队先单独扫雪4小时，再由乙队单独扫雪1小时可完成扫雪工作．若甲队先单独扫雪2小时，再由乙队单独扫雪，完成此项工作两队共需要多少小时？
【答案】完成此项工作两队共需要7小时
【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用问题，根据工作时间=工作总量÷工作效率，设甲、乙工作效率分别为，，根据题意由甲、乙两队合作3小时可完成扫雪工作；若甲队先单独扫雪4小时，再由乙队单独扫雪1小时可完成扫雪工作．可以列出两个等量关系对应的方程，由此解出甲、乙的工作效率，然后可算出甲单独扫雪2小时后剩余的工作量，剩余工作量除以乙的工作效率即可求出乙需要工作的时间，由此可求出总时间．
【详解】解：设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为y，
根据题意，得
解这个方程，得 .
甲单独扫雪2小时后剩下的工作量为：，
剩余工作乙需要时间为：小时，
完成此项工作两队共需要：小时．
答：完成此项工作两队共需要7小时
15．（2024·江苏无锡·一模）为迎接即将到来的“五一劳动节”，某日用品超市推出了两种优惠促销方式供顾客选择，并规定顾客只能选择其中一种促销方式进行结算付款.
促销方式一：按所购商品原价打85折；
促销方式二：按所购商品原价每满300减60.（如：所购商品原价为340元，则减60元，需付款280元；所购商品原价为630元，则减120元，需付款510元）
(1)若某商品原价为500元，该选择哪种促销方式更优惠？请说明理由；
(2)当商品原价为多少时，两种促销方式一样优惠；
(3)若某商品原价为元，请问当满足什么条件时，促销方式二比促销方式一更优惠，请说明理由.
【答案】(1)促销方式一更优惠，理由见解析
(2)当商品原价为400的整数倍时，两种促销方式一样优惠
(3)当或时，促销方式二更优惠
【分析】（1）分别求出当商品原价为500元时，选择两种促销方式需付款的金额，比较后即可得出结论；
（2）设商品原价为元，依题意，列出关于的两种方式一样优惠的一元一次方程，解出即可得出结论；
（3）分，及三种情况考虑，当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元，显然此时促销方式一比促销方式二更优惠；当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元，根据促销方式二比促销方式一更优惠，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合，可得出的取值范围；当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元，根据促销方式二比促销方式一更优惠，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合，可得出的取值范围．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据两种促销方式，求出选择两种促销方式需付款的金额；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【详解】（1）解：选择促销方式一更优惠，理由如下：
选择促销方式一需付款（元；
选择促销方式二需付款（元．
，
选择促销方式一更优惠；
（2）设商品原价为元，按促销方式二，可优惠元，且为正整数；
，
解得：；
答：当商品原价为400元的整数倍时，两种促销方式一样优惠；
（3）当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元，
此时促销方式一比促销方式二更优惠；
当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元，
根据题意得：，
解得：，
当时，促销方式二比促销方式一更优惠；
当时，选择促销方式一需付款元，选择促销方式二需付款元，
根据题意得：，
解得：，
当时，促销方式二比促销方式一更优惠．
答：当或时，促销方式二比促销方式一更优惠．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 一次方程（组）
课标要求 考点 考向
能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义； 认识方程解的意义，经历估计方程解的过程； 掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形； 能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组； 能根据等式的解百纳性质解一元一次方程； 能解简单的三元一次方程组。 一元一次方程 考向一 一元一次方程中的古代问题
考向二 解一元一次方程应用
二元一次方程组 考向一 二元一次方程组求参
考向二 解二元一次方程组——加减消元法
考向三 二元一次方程组中的古代问题
考向四 解二元一次方程组应用
考点一 一元一次方程
考向一 一元一次方程中的古代问题
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟．
考向二 解一元一次方程应用
1．（2024·江苏苏州·中考真题）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
(1)D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟；
(2)记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为．
①______；
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
3．某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中．
(1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
(2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
考点二 二元一次方程组
考向一 二元一次方程组求参
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ．
2．点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为 ．
3．若实数，，满足，，则代数式的值可以是（ ）
A． B． C． D．
考向二 解二元一次方程组——加减消元法
1．（2024·江苏常州·中考真题）解方程组和不等式组：
(1)
(2)
2．（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：．
3．（1）化简：
（2）解方程组：
考向三 二元一次方程组中的古代问题
1．（2024·江苏盐城·中考真题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺．
2．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
考向四 解二元一次方程组应用
1．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．
相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多
2．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
(1)求两种型号劳动用品的单价；
(2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
3．近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
(1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
1．（2024·江苏无锡·一模）地球、火星的运行轨道近似是同一平面内的以太阳为圆心的两个同心圆，“火星冲日”是指火星、地球和太阳近似在一条直线上且地球位于火星与太阳之间的现象（如图所示），已知火星绕太阳运行一周的时间近似是地球绕太阳运行一圈的时间的倍（地球绕太阳运行一圈需要一年），上一次火星冲日的时间为2022年12月8日，那么下次火星冲日的时间最为接近的是（ ）
A．2024年12月10日B．2025年1月20日C．2025年2月10日 D．2025年3月20日
2．（2024·江苏镇江·一模）《九章算术》中有这样一个问题：今有垣（墙）高九尺（1尺10寸），瓜生其上，蔓向下日长七寸，瓠（葫芦）生其下，蔓向上日长一尺，问几日相逢？设x天后瓜与葫芦的蔓长在一起，根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江苏南通·一模）已知，则满足等式的的值可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏无锡·一模）已知、、满足等式，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2024·江苏扬州·二模）《孙子算经》有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是驰名中外的“中国剩余定理”．该题翻译为：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，那么适合条件的最小正整数是 ．
6．（2024·江苏南京·二模）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是7×2＝14，右边“O”原子的个数也是．若己烷充分燃烧的化学方程式是（a，b，c为常数），则b的值是 ．
7．（2024·江苏泰州·一模）如表是某次校园足球比赛积分榜的部分数据，请探索其中的计分规则，算出A队的积分a为 ．
球队 胜 平 负 积分
A 6 1 1 a
B 5 0 3 15
C 2 3 3 9
D 1 0 7 3
… … … … …
8．（2024·江苏泰州·二模）【背景知识】杠杆原理：杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂．
【知识应用】杆秤是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，传说木杆秤是鲁班发明的．由秤杆、秤锤、提纽、秤盘等组成．
如图1．已知秤锤质量为，秤盘与拎着的提纽间力臂长，当秤杆平衡时，秤锤与提纽间力臂长，求秤盘中物体的质量．
【拓展应用】天平也是利用杠杆原理来称物体质量的衡器，天平是一种等臂杠杆，当天平平衡时，物体质量砝码质量．
如图2所示的天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同．把一个物体放在该天平的一个托盘里，在另一个托盘里放砝码使天平平衡，称得物体质量为a；再作第二次测量，把物体换到天平的另一个托盘里，此时称得物体的质量为b．试用含a、b的代数式表示该物体的真实质量，并说明理由．
9．（2024·江苏南京·一模）新“龟兔赛跑”故事
兔子和乌龟从同一起点同时出发，匀速奔向终点．兔子的速度是乌龟速度的50倍，一段时间后，兔子到达途中某处，睡了，醒来后，它保持原速奔跑，恰好和乌龟同时到达终点．
(1)设乌龟的速度为，其奔跑的时间为，则由下面加点的文字可知兔子的速度是 ，由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为 ．
(2)求（1）中的值．
10．（2024·江苏泰州·一模）某单位需要在规定时间内生产一批物资，通过调研，发现投标的工厂中有甲、乙两家资质合格，并获得如下信息：
信息1：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；
信息2：乙厂单独完成这项任务比规定时间多用5天；
信息3：甲、乙两厂的生产速度之比为；
根据以上信息解决下列问题：
(1)求规定时间；
(2)若甲乙两厂合作一些天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成．求甲乙两厂合作的时间．
11．（2024·江苏常州·一模）对于平面直角坐标系中的任意点，点，如果满足，那么我们称这样点P、Q是“互为关联点”，a是点P或点Q的“关联距”．如图，的顶点，，．的圆心，半径是1．
(1)点的“关联距”是__________；
(2)边上有一点D，若点D与点A是“互为关联点”，求点D的坐标；
(3)N是上一个动点，若点N与边上一点是“互为关联点”，求点N的“关联距”a的取值范围．
12．（2024·江苏苏州·二模）“今天立夏，过来吃碗三虾面．”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜．为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面．据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包．
(1)甲、乙两商户每天分别生产多少小时？
(2)由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包．求：甲商户增加的生产时间为多少小时？
13．（2024·江苏宿迁·三模）宿迁某生鲜超市购进一批黄瓜和蒜苔，进价都为2元/千克．
(1)当黄瓜售出300千克，蒜苔售出400千克时，两种蔬菜的总销售额为3200元；当黄瓜售出400千克，蒜苔售出600千克时，两种蔬菜的总销售额为4600元，求出两种蔬菜的售价各是多少？
(2)若以（1）中的售价销售两种蔬菜，黄瓜每天可卖出500千克，蒜苔每天可卖出800千克．经市场调查发现：黄瓜售价每降0.1元，每天可多卖出10千克，蒜苔售价每提高0.1元，可少卖出10千克．如果黄瓜售价减少的钱和蒜苔售价增加的钱相同，请求出一天的利润最大为多少元？
14．（2024·江苏徐州·一模）今冬徐州市出现强降雪天气．甲、乙两队共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两队合作3小时可完成扫雪工作；若甲队先单独扫雪4小时，再由乙队单独扫雪1小时可完成扫雪工作．若甲队先单独扫雪2小时，再由乙队单独扫雪，完成此项工作两队共需要多少小时？
15．（2024·江苏无锡·一模）为迎接即将到来的“五一劳动节”，某日用品超市推出了两种优惠促销方式供顾客选择，并规定顾客只能选择其中一种促销方式进行结算付款.
促销方式一：按所购商品原价打85折；
促销方式二：按所购商品原价每满300减60.（如：所购商品原价为340元，则减60元，需付款280元；所购商品原价为630元，则减120元，需付款510元）
(1)若某商品原价为500元，该选择哪种促销方式更优惠？请说明理由；
(2)当商品原价为多少时，两种促销方式一样优惠；
(3)若某商品原价为元，请问当满足什么条件时，促销方式二比促销方式一更优惠，请说明理由.
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