专题02 整式运算与因式分解
课标要求 考点 考向
了解整数指数幂的意义和基本性质，掌握用科学记数法表示数； 掌握整式的概念、合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法、减法、乘法运算； 能推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能利用公式进行灵活计算； 掌握提公因式法、公式法因式分解。 整式运算 考向一 同底数幂的运算
考向二 代数式中的数字规律
考向三 整式的混合运算
考向四 乘法公式的应用
因式分解 考向一 分解因式
考点一
考向一 同底数幂的运算
1．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
考向二 代数式中的数字规律
1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（ ）
A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
2．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
3．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
考向三 整式的混合运算
1．（2024·江苏南通·中考真题）（1）计算：；
（2）解方程．
2．（2024·江苏无锡·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
3．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
考向四 乘法公式的应用
1．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
2．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
3．如图，在正方形中，若面积，周长，则 ．
考点二
考向一 分解因式
1．（2024·江苏镇江·中考真题）分解因式： ．
2．因式分解： ．
3．分解因式: = ．
1．（2024·江苏盐城·二模）下列选项中计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏苏州·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏连云港·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏苏州·一模）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·江苏连云港·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·江苏徐州·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江苏·模拟预测）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）
A．15 B．17 C．19 D．24
8．（2024·江苏南京·模拟预测）计算的结果是 ．
9．（2024·江苏常州·模拟预测）已知点在双曲线上，则的最小值为 ．
10．（2024·江苏无锡·模拟预测）因式分解∶ ．
11．（2024·江苏扬州·模拟预测）分解因式： ．
12．（2024·江苏泰州·二模）已知，存在实数m使成立，则m的值为 ．
13．（2024·江苏苏州·一模）已知实数a，b，满足，，则的值为 ．
14．（2024·江苏泰州·一模）整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式： ．
15．（2024·江苏盐城·二模）先化简，再求值：，其中．
16．（2024·江苏扬州·三模）先化简，再求值：，其中．
17．（2024·江苏常州·模拟预测）计算：
(1)
(2)
18．（2024·江苏苏州·二模）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例∶设是一个四位数，若可以被9整除，则这个数可以被9整除．如何用代数式说明该规律？
证：，显然能被9整除，因此，如果能被9整除，那么就能被9整除．
模仿上述例子，任意写出三个个位数是5的两位数，观察它们的平方有什么规律？用代数式说明该规律？
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课标要求 考点 考向
了解整数指数幂的意义和基本性质，掌握用科学记数法表示数； 掌握整式的概念、合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法、减法、乘法运算； 能推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能利用公式进行灵活计算； 掌握提公因式法、公式法因式分解。 整式运算 考向一 同底数幂的运算
考向二 代数式中的数字规律
考向三 整式的混合运算
考向四 乘法公式的应用
因式分解 考向一 分解因式
考点一
考向一 同底数幂的运算
1．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（2024·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：、，故此选项符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
故选：．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可．
【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；
B. ，该选项正确，符合题意；
C. ，该选项错误，不符合题意；
D. ，该选项错误，不符合题意．
故选：B．
考向二 代数式中的数字规律
1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（ ）
A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可
【详解】解：∵，
，
，
∴第5个数为，
第6个数为，
第7个数为，
故选：D．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
【答案】D
【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答．
本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键．
【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于，
即前2024个数共有674组，且余2个数，
∴奇数有个．
故选：D
3．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
【答案】12
【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．
根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
…，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
由题知，解得，
又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
故答案为：12．
考向三 整式的混合运算
1．（2024·江苏南通·中考真题）（1）计算：；
（2）解方程．
【答案】（1）（2）
【分析】本题考查了单项式乘多项式，解分式方程，掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得到答案；
（2）根据解分式方程的步骤进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
，
∴
检验，当时，，
所以，原分式方程的解为
2．（2024·江苏无锡·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键．
（1）先将绝对值，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可；
（2）先根据去括号法则和完全平方公式将括号展开，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
考向四 乘法公式的应用
1．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为，
∴，即①，
∵，
∴②，
①②得，
∴大正方形的面积，
故选：B．
2．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为，
图1中大正方形的面积是24，
，
小正方形的面积是4，
，
，
图2中最大的正方形的面积；
故选：D．
3．如图，在正方形中，若面积，周长，则 ．
【答案】40
【分析】本题考查了正方形、矩形的性质，完全平方公式等知识，设正方形、的边长分别为a、b，先求出，然后根据求解即可．
【详解】解：设正方形、的边长分别为a、b，
根据题意，得，
∴，
∴
，
故答案为：40．
考点二
考向一 分解因式
1．（2024·江苏镇江·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．观察原式，发现公因式为；提出后，即可得出答案．
【详解】解：
．
故答案为：
2．因式分解： ．
【答案】
【分析】直接提出公因式，即可解答．
【详解】解： ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键．
3．分解因式: = ．
【答案】
【分析】把一个多项式分解成几个整式的积的形式,叫分解因式．
【详解】
1．（2024·江苏盐城·二模）下列选项中计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法运算法则计算判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
2．（2024·江苏苏州·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方等知识点，熟练掌握运算性质和运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，对各选项逐一分析判断即可．
【详解】解：A．，故选项不符合题意；
B．，故选项不符合题意；
C．，故选项不符合题意；
D．，故选项符合题意；
故选：．
3．（2024·江苏连云港·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故选项A正确；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
不是同类项，无法计算，故选项D错误；
故选A．
4．（2024·江苏苏州·一模）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查单项式乘单项式及整式的加减，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据合并同类项的运算法则及单项式乘单项式的运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A．和不是同类项不能合并，故本选项不符合题意；
B．和不是同类项不能合并，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（2024·江苏连云港·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了多项式合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项及完全平方公式的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A．，故A选项正确；
B．，故B选项错误；
C．，故C选项错误；
D．，故D选项错误．
故选：A．
6．（2024·江苏徐州·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘，合并同类项；字母和字母指数不变，只把系数相加减．根据相关运算法则逐个判断即可．
【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意；
故选：D．
7．（2024·江苏·模拟预测）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）
A．15 B．17 C．19 D．24
【答案】D
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出是解题的关键．由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形个，第③个图案有三角形个，第④个图案有三角形，…第n个图案有三角形个（时），由此得出规律解决问题．
【详解】解：∵第①个图案有三角形1个，
第②图案有三角形个，
第③个图案有三角形个，
…
∴第n个图案有三角形个（时），
则第⑦个图中三角形的个数是个，
故选：D．
8．（2024·江苏南京·模拟预测）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查积的乘方的逆用，利用积的乘方的逆用，进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：．
9．（2024·江苏常州·模拟预测）已知点在双曲线上，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先根据反比例函数的性质可得，再根据求解即可得．
【详解】解：∵点在双曲线上，
∴，
∵，
∴（当且仅当时，等号成立），
则的最小值为，
故答案为：．
10．（2024·江苏无锡·模拟预测）因式分解∶ ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
11．（2024·江苏扬州·模拟预测）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解．
先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解；完全平方公式：．
【详解】解：．
故答案为：．
12．（2024·江苏泰州·二模）已知，存在实数m使成立，则m的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，把代入，可得，再结合非负数的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：；
故答案为：
13．（2024·江苏苏州·一模）已知实数a，b，满足，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解的应用．先将原式变形为，再将，代入计算即可．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
14．（2024·江苏泰州·一模）整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．根据3个小正方形的面积加上3个小矩形的面积和等于大的矩形面积即可求解．
【详解】解： 图中3个小正方形的面积加上3个小矩形的面积和为：
，
大矩形的面积为：，
根据面积相等有：．
故答案为：．
15．（2024·江苏盐城·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，7
【分析】本题考查整式的混合运算与求值法则的应用，主要考查计算与化简能力．根据乘法公式与单项式乘多项式法则先去括号，后合并同类项化简，再代入求值即可求解．
【详解】解：
，
当时，原式．
16．（2024·江苏扬州·三模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】本题主要考查了整式的混合运算．先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去掉中括号内的小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
17．（2024·江苏常州·模拟预测）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊三角函数值．
（1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再从左往右依次计算即可得．
（2）利用提公因式计算即可；
【详解】（1）
；
（2）
．
18．（2024·江苏苏州·二模）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例∶设是一个四位数，若可以被9整除，则这个数可以被9整除．如何用代数式说明该规律？
证：，显然能被9整除，因此，如果能被9整除，那么就能被9整除．
模仿上述例子，任意写出三个个位数是5的两位数，观察它们的平方有什么规律？用代数式说明该规律？
【答案】，证明见解析
【分析】本题考查因式分解的应用，根据题意，写出三个个位数为5的两位数，求出它们的平方，找出规律，利用因式分解进行证明即可．
【详解】解：，，，，
∴，
证明：
．
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