专题05 一元二次方程
课标要求 考点 考向
能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系； 知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题； 能根据具体问题的实际意义检验方程的解是否合理，建立模型观念。 一元二次方程 考向一 一元二次方程根的情况
考向二 一元二次方程中的新定义
考向三 解一元二次方程
考向四 一元二次方程的应用
考向五 一元二次方程与几何结合
考向六 一元二次方程与函数结合
考点 一元二次方程
考向一 一元二次方程根的情况
1．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ．
2．（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
考向二 一元二次方程中的新定义
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
2．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
3．定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向三 解一元二次方程
1．（2024·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组．
2．（2024·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
3．(1)解方程：；
(2)解不等式组：．
考向四 一元二次方程的应用
1．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
3．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
考向五 一元二次方程与几何结合
1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ．
2．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 2 4 4
图② 1 2
图③ 1 ______ ______ ______
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？
3．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在x轴上，点A在第一象限，的长度是一元二次方程的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（），的面积为S．
(1)求点A的坐标；
(2)求S与t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，当时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
考向六 一元二次方程与函数结合
1．（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
x … 1 2 3 4 …
… 8 4 2 1 …
写出与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象；
(3)一次函数的图象与函数的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接，，．若的面积为15，求点P的坐标．
1．（2024·江苏泰州·三模）已知，，且，设，则的最小值为 ．
2．（2024·江苏泰州·二模）已知，如图，点C在上，，，，若，则 ．
3．（2024·江苏宿迁·二模）小明在一块画有的纸片上（其中，＜）进行了如下操作：第一步分别以、为边向外画正方形和正方形；第二步过点、分别作的垂线和的平行线，将纸片－分成②、③、④、⑤四块，如图；第三步将图中的正方形纸片、纸片及纸片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成图2．若则的值 ．
4．（2024·江苏扬州·一模）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（、是常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是 ．
5．（2024·江苏南京·一模）某产品原来成本是25元，按照固定的百分率降低成本，连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，可得方程 ．
6．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形空地上，修建2条平行于边、1条平行于边的小路，3条路等宽，其余部分铺草坪．已知长为，长为，铺草坪的单价是100元/，铺草坪的总价为432000元．求每条小路的宽度．
7．（2024·江苏南京·三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数的图像与函数的图像交点的横坐标可视为方程的根．
(1)函数的图像与函数的图像有两个不同交点，求取值范围．
(2)已知二次函数（为常数）．
①设直线与抛物线有两个不同交点，求取值范围．
②已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围．
8．（2024·江苏苏州·二模）“今天立夏，过来吃碗三虾面．”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜．为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面．据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包．
(1)甲、乙两商户每天分别生产多少小时？
(2)由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包．求：甲商户增加的生产时间为多少小时？
9．（2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系中，以A为顶点的抛物线与直线有两个公共点M，N，其中，点M在x轴上．直线与y轴交于点B，点B关于点A的对称点为C．
(1)用含k的式子分别表示点B，N的坐标为：B____________，N____________；
(2)如图，当时，连接，．求证：平分；
(3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象与线段恰有一个公共点时，请确定k的取值范围．
10．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，．
(1)的值为______；
(2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：；
(3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围．
11．（2024·江苏南京·二模）如图，将边长为的正方形扩大成面积为的矩形，若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽．
12．（2024·江苏南京·二模）千姿百态的桥
问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计．
“型”
（1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为 ；
“型”
（2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值；
“型”
（3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为 ．
13．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（为常数）的图像与轴的公共点为，．
(1)当时，求的值；
(2)当，且时，求的取值范围；
(3)线段长的最小值为 ．
14．（2024·江苏泰州·二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息：
信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩；
信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：乙种蔬菜每亩种植成本为50元．
根据以上信息完成下列问题：
(1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本；
(2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？
15．（2024·江苏镇江·一模）函数和函数的图像如图所示，点A是函数的图像在第一象限上的一点，它的横坐标为m，过点A分别作平行于x轴、平行于y轴，分别与函数的图像交于点B、D，以、为邻边作矩形．
(1)点D的纵坐标为 （用含m的代数式表示）；并求证：点C在函数的图像上；
(2)若点E在函数的图像上，，当m＝3时，直接写出点E的坐标为 ．
16．（2024·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，A、B两点在抛物线图象上，抛物线的对称轴为．
(1)________；
(2)若A、B两点都在直线上，且，求k；
(3)若抛物线的顶点D的纵坐标为9，线段AB与对称轴相交于点，如果，求的面积．
17．（2024·江苏泰州·一模）综合与实践
【研究素材】二次函数：的图像与y轴交于点C， 与x轴分别交于A， B两点．
小亮对素材进行了深入的研究，提出研究思路， 并布置了相关任务，请你根据小亮的研究完成下列任务．(为了方便研究，规定点 A 在点 B 的右边)
【探究1】确定【素材】中的度数 【任务1】证明∶ ；
【探究2】改变相交的对象研究 若二次函数的图像与y轴交于点 C， 与一次函数的图像分别交于A， B两点． 【任务2】若“°”成立， 求n的值；
【探究3】改变表达式的系数研究 若二次函数．的图像与y 轴交于点C，与一次函数的图 像分别交于A， B两点． 【任务3】若“”成立，当时， 求n与c之间的关系式；
【任务4】当时，若直线与x轴交于点 D，连结交y轴于点 E，试比较与的大小，并说明理由．
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课标要求 考点 考向
能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系； 知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题； 能根据具体问题的实际意义检验方程的解是否合理，建立模型观念。 一元二次方程 考向一 一元二次方程根的情况
考向二 一元二次方程中的新定义
考向三 解一元二次方程
考向四 一元二次方程的应用
考向五 一元二次方程与几何结合
考向六 一元二次方程与函数结合
考点 一元二次方程
考向一 一元二次方程根的情况
1．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
2．（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【详解】解∶∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：0（答案不唯一）．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：9．
考向二 一元二次方程中的新定义
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，即，
∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故选：D．
2．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】C
【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】解：∵[x2+1，x]※[5 2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
故选：C
【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
3．定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：C．
考向三 解一元二次方程
1．（2024·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组．
【答案】（1），
（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可求出不等式组的解集．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
∴，；
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是．
2．（2024·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1），（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组．
（1）先移项，再用直接开平方法即可求解；
（2）先分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可写出不等式组的解集．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得：．
（2）解：，
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集为．
3．(1)解方程：；
(2)解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【详解】本题考查了解一元二次方程，一元一次不等式组；
（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先分别解两个不等式得到和，然后利用同小取小得到不等式组的解集．
【解答】解：（1），
移项得，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2），
解不等式①得，
解不等式②得，
所以不等式组的解集为．
考向四 一元二次方程的应用
1．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产，
则2023年平均每公顷产，
根据题意有：，
故选：A．
2．列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率
(2)预计该商场七月份投入资金将达到万元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金．
【详解】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该商场投入资金的月平均增长率；
（2）解：（万元），
∴预计该商场七月份投入资金将达到万元．
3．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为
(2)购买的这种健身器材的套数为200套
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
考向五 一元二次方程与几何结合
1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可．
【详解】解：∵，
∴设，，
∵沿翻折，得到，
∴，，
过E作于H，设与相交于M，
则，又，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
，
∵的面积是面积的2倍，
∴，则，
解得，（舍去），
即，
故答案为：．
2．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 2 4 4
图② 1 2
图③ 1 ______ ______ ______
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？
【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论；
（2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得；
（3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点作于，于，过点作于，利用，即可求得答案．
【详解】解：（1）∵，是的角平分线，，
∴，
∴；
∴，；
图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 2 4 4
图② 1 2
图③ 1
如图，由（1）可得：，
∴，
∴，，
∴；
（2）猜想：，理由如下：
如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，
∵，平分，
∴为等边三角形，，，
设，，
∴，，而，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：，
∴；
，
∴；
（3）补全图形如图所示：
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
如图，过点作于，于，过点作于，
，
，
，，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
由是确定的，由作图可得为定长，而和为定值，
为定值，
即为定值．
【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在x轴上，点A在第一象限，的长度是一元二次方程的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（），的面积为S．
(1)求点A的坐标；
(2)求S与t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，当时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为
(2)
(3)存在，，，，
【分析】（1）运用因式分解法解方程求出的长，根据等边三角形的性质得出，过点A作轴，垂足为C，求出的长即可；
（2）分，和三种情况，运用三角形面积公式求解即可；
（3）当时求出，得，分为边和对角线两种情况可得点N的坐标；当和时不存在以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形
【详解】（1）解：，解得，
的长度是的根，
∵是等边三角形，
∴，
过点A作轴，垂足为C，
在中，
∴
，
∴
点A的坐标为
（2）解：当时．过P作轴，垂足为点D，
∴，，
∴
∴，
；
当时，过Q作，垂足为点E
∵
∴
又
∴，
又，
当时，过O作，垂足为F
∴，
同理可得，，
∴；
综上所述
（3）解：当时，解得，
∴，
过点P作轴于点G，则
∴
∴点P的坐标为；
当为边时，将沿轴向下平移4个单位得，此时，四边形是菱形；
将沿轴向上平移4个单位得，此时，四边形是菱形；如图，
作点P关于y轴的对称点，当时，四边形是菱形；
当为对角线时，设的中点为T，过点T作，交y轴于点M，延长到,使连接,过点作轴于点，则
∴
∴,即，
解得，,
∴，
∴；
当，解得，，不符合题意，此情况不存在；
当时，解得，，不符合题意，此情况不存在；
综上，点N的坐标为，，，
【点睛】本题主要考查运用因式分解法解一元二次方程，等边三角形的性质，勾股定理，角所对的直角边等于斜边的一半，三角形的面积，菱形的判定与性质，正确作出辅助线和分类讨论是解答本题的关键
考向六 一元二次方程与函数结合
1．（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ．
【答案】2或3
【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．
先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
设平移后点A、B的对应点分别为，
∴，
∵两点恰好都落在函数的图象上，
∴把代入得：，
解得：或．
故答案为：2或3．
2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答．
【详解】解：如图：连接
∵反比例函数的图象与交于两点，且
∴
设，则
∵
∴
则
∵点在第一象限
∴
把代入得
∴
经检验：都是原方程的解
∵
∴
故答案为：
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
x … 1 2 3 4 …
… 8 4 2 1 …
写出与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象；
(3)一次函数的图象与函数的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接，，．若的面积为15，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)点的坐标为
【分析】本题考查了求一次函数的解析式、画反比例函数的图象、一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可得；
（2）根据表格中的规律即可得函数表达式，再利用描点法画出函数图象即可；
（3）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，设点的坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点，则，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】（1）解：将点，代入得：，
解得，
则一次函数的解析式．
（2）解：由表格可知，，
画出函数图象如下：
．
（3）解：联立，解得或，
∵一次函数的图象与函数的图象相交于，两点（点在点的左侧），
∴，
∵点关于坐标原点的对称点为点，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，
如图，过点作轴的垂线，交直线于点，则，
∴，点到的距离与点到的距离之和为，
∵的面积为15，
∴，即，
解得或（不符合题意，舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
则，
所以点的坐标为．
1．（2024·江苏泰州·三模）已知，，且，设，则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了韦达定理，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点并能发现和是方程的两个根是解题的关键．因为可转化成，结合，可知和是方程的两个根，然后利用韦达定理，得到，再结合二次函数的性质，得出最值．
【详解】
又
可知和是方程的两个根
那么有
，
时，随的增大而增大
时，有最小值，最小值是
故答案为：6．
2．（2024·江苏泰州·二模）已知，如图，点C在上，，，，若，则 ．
【答案】
【分析】作交的延长线于点N，先根据证明，得到，设，则，根据平行线的性质可证明，得到得到，解出，从而得出，进而得出结果即可．
【详解】解：如图，作交的延长线于点N，
，，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
或（小于零舍掉），
，即，
又，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，一元二次方程的应用，准确作出辅助线是解答本题的关键．
3．（2024·江苏宿迁·二模）小明在一块画有的纸片上（其中，＜）进行了如下操作：第一步分别以、为边向外画正方形和正方形；第二步过点、分别作的垂线和的平行线，将纸片－分成②、③、④、⑤四块，如图；第三步将图中的正方形纸片、纸片及纸片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成图2．若则的值 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理；根据题意得出为正方形，设，设则，根据题意，根据勾股定理建立方程，得出，进而得出，则，即可求解．
【详解】解：根据图1可得，
由图1图2两个图形可得正方形与正方形的面积和即，四边形的面积为，
根据两个图形对应，，则对应图2中可得，
∴四边形为矩形，
又∵矩形的面积为，
∴，
∴四边形为正方形，
∵
设
∴
如图所示，
，
，，
设则
∴，
∵
∴
∴
整理得，
解得：或（舍去）
∴
∴
故答案为：．
4．（2024·江苏扬州·一模）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（、是常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了配方法的运用，二次函数的性质．根据题意得到，先将配方得到，由，进而得到，即可得到，再根据二次函数的性质，求最值即可．
【详解】解：是关于字母的二次三项式，
，
，
，
，
，
，
当时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
5．（2024·江苏南京·一模）某产品原来成本是25元，按照固定的百分率降低成本，连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，可得方程 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设降低的百分率为x，再表示出连续两次降低后的成本，一次降低后的成本，根据连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，列出方程即可．
【详解】解：设降低的百分率为x，根据题意得：
．
故答案为：．
6．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形空地上，修建2条平行于边、1条平行于边的小路，3条路等宽，其余部分铺草坪．已知长为，长为，铺草坪的单价是100元/，铺草坪的总价为432000元．求每条小路的宽度．
【答案】每条小路的宽度为
【分析】设小路的宽为，先求出草坪的总面积为，再根据长乘以宽等于草坪面积列一元二次方程求解即可．
本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，找出等量关系列方程是解题的关键．
【详解】解：设小路的宽为，
，
．
解得，．
因为，所以．
答：每条小路的宽度为．
7．（2024·江苏南京·三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数的图像与函数的图像交点的横坐标可视为方程的根．
(1)函数的图像与函数的图像有两个不同交点，求取值范围．
(2)已知二次函数（为常数）．
①设直线与抛物线有两个不同交点，求取值范围．
②已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)任意值
(2)①或；②或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题、一次函数与二次函数交点问题、二次函数的图像与性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
（1）联立函数解析式与函数解析式，可得关于的一元二次方程，结合一元二次方程的根的判别式，即可获得答案；
（2）①联立直线解析式与抛物线解析式，可得关于的一元二次方程，结合一元二次方程的根的判别式可得，然后根据函数的图像与性质，即可获得答案；
②联立抛物线解析式与，可得关于的一元二次方程，解该方程可得，，结合抛物线与线段只有一个公共点，易得或，求解即可获得答案．
【详解】（1）解：联立函数解析式与函数解析式，
可得，整理可得，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
即无论取何值，均有函数的图像与函数的图像有两个不同交点，
∴取值范围为任意值；
（2）①联立直线解析式与抛物线解析式，
可得，整理可得，
∵，
令，解得，，
对于函数，
∵，
∴该函数图像开口向上，
∴当或时，可有，
∴若直线与抛物线有两个不同交点，
则取值范围为或；
②联立抛物线解析式与，
可得，整理可得，
解得，，
∵抛物线与线段只有一个公共点，
∴可有或，
解得或．
8．（2024·江苏苏州·二模）“今天立夏，过来吃碗三虾面．”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜．为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面．据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包．
(1)甲、乙两商户每天分别生产多少小时？
(2)由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包．求：甲商户增加的生产时间为多少小时？
【答案】(1)甲、乙两商户每天分别生产小时和小时
(2)甲商户增加的生产时间为3小时
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元二次方程的应用，正确的列出方程组和一元二次方程，是解题的关键：
（1）设甲、乙两商户每天分别生产小时和小时，根据甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包，列出方程组进行求解即可；
（2）设甲商户增加的生产时间为小时，根据两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两商户每天分别生产小时和小时，
则：，解得：；
答：甲、乙两商户每天分别生产小时和小时；
（2）设甲商户增加的生产时间为小时，则：乙商户增加的生产时间为小时，由题意，得：，
解得：或（不合题意，舍去）；
答：甲商户增加的生产时间为3小时．
9．（2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系中，以A为顶点的抛物线与直线有两个公共点M，N，其中，点M在x轴上．直线与y轴交于点B，点B关于点A的对称点为C．
(1)用含k的式子分别表示点B，N的坐标为：B____________，N____________；
(2)如图，当时，连接，．求证：平分；
(3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象与线段恰有一个公共点时，请确定k的取值范围．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据直线与y轴交于点B，令，得即得，根据题意，得，解方程组解答即可．
（2）根据抛物线，得抛物线与x轴的交点为，得到，继而得到，求直线的解析式，确定点在直线上即可得证平分；
（3）根据对称性，先确定图象的解析式，分类讨论，计算求解即可．
【详解】（1）根据直线与y轴交于点B，令，得
∴点，
根据题意，得，
解得，
∴交点坐标分别为，
∵点M在x轴上．
∴点，
故答案为：，．
（2）∵抛物线，
∴，
解得，
∴ 抛物线与x轴的交点为，
∴ ，
∵，
∴ ，
根据(1)，得，，
∵点B关于点A的对称点为C，，
∴，
设直线的解析式为，
∴ ．
∴，
∵，
∴，
∴ ，
故直线的解析式为，
∴ 不论k为何值，直线过定点，
∴点在直线上．
∴平分；
（3）设图象上的任意一点，图象上的任意一点，根据题意，得，，解得，
∴即图象的解析式为，
当时，图象的解析式为经过点B时，图象，图象与线段有唯一交点，
∴满足解析式，
∴，
解得(舍去)，
经过点M时，图象，图象与线段有唯一交点，
∴满足解析式，
∴，
解得(舍去),
∴；
当时，
当时，图象，图象与线段没有交点，
当时，图象，图象与线段有M，B两个交点，不符合题意；
∴当时，图象与线段有两个交点，不符合题意；
∴时，图象与线段有一个交点，
∴，
故，
∴，
综上所述，符合题意的范围是或．
【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点，对称性，等腰三角形的三线合一性质，分类思想，一元二次方程与抛物线问题，判别式应用，熟练掌握交点坐标计算，对称性，分类思想是解题的关键．
10．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，．
(1)的值为______；
(2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：；
(3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围．
【答案】(1)1；
(2)见解析；
(3)或．
【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系；
（1）由图像过点，得，即可求解；
（2）可得，由到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，即可求解；
（3）由根的判别式和根于系数的关系得，，即可求解；
掌握二次函数的性质及一元二次方程根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系： 是解题的关键．
【详解】（1）解：图像过点，，
；
故答案：；
（2）解：由（1）得
，
，
，
，
到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
，
到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，
；
（3）解：由（1）得
，
整理得：，
方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根，
，
令，画出图象如图所示：
由图象得：或，
∵方程有一个正根和一个负根，
∴，
则有
同理由图象求得，
或，
综上：a的取值范围为：或．
11．（2024·江苏南京·二模）如图，将边长为的正方形扩大成面积为的矩形，若其一边增加的长度是另一边增加的长度的一半，求矩形的长和宽．
【答案】矩形的长与宽分别是，
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设一边增加的长度为，则另一边增加的长度为，依题意得．计算求出满足要求的解，然后作答即可．
【详解】解：设一边增加的长度为，则另一边增加的长度为，
依题意得．
解得，（不合题意，舍去）．
∴，．
答：矩形的长与宽分别是，．
12．（2024·江苏南京·二模）千姿百态的桥
问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计．
“型”
（1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为 ；
“型”
（2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值；
“型”
（3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为 ．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意得出，，即可得出结论；
（2）连接，过点作于点，根据度的圆周角所对的弦是直径及勾股定理得，继而得到，再根据，得到，即可得出结论；
（3）如图，过点作于点，延长交于点，连接，设，，得到，由垂径定理得，根据勾股定理得，即，由一元二次方程根的判别式得，继而得到，则，可得结论．
【详解】解：（1）∵点，，，在半径为的上，
∴，，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：；
（2）连接，过点作于点，
∵，的半径为，
∴，
∴，
∵，
即当时，的面积取得最大值，
∴，即，
∴，
∴的最大值为；
（3）如图，过点作于点，延长交于点，过点作于点，连接，，设，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，当点与点重合时，取“”，
∵，
，
∴，
∵，即，
整理，得：，
∴，
解得：，
∴，
∴
，
∴的最大值为
故答案为：．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了弦与直径的关系，度的圆周角所对的弦是直径，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键．
13．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（为常数）的图像与轴的公共点为，．
(1)当时，求的值；
(2)当，且时，求的取值范围；
(3)线段长的最小值为 ．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，利用数形结合是解决本题的关键．
（1）把代入得，可得，即可求解；
（2）把代入得，把代入得，分类讨论，利用数形结合思想即可解决；
（3）先表示出，再由一元二次方程根于系数的关系即可求解．
【详解】（1）解：把代入得，
∵ 图像与x轴的公共点为，，
∴．
∵，
∴；
（2）解：把代入得，
把代入得，
当时，则，
∴．
当时，则，
∴．
综上所述，m的范围是：或；
（3）解：把代入得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．（2024·江苏泰州·二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息：
信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩；
信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：乙种蔬菜每亩种植成本为50元．
根据以上信息完成下列问题：
(1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本；
(2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？
【答案】(1)3000元
(2)甲种蔬菜种植28亩，乙种蔬菜种植72亩
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出相应的方程和不等式．
（1）先将代入，得出，求出乙种蔬菜的种植面积，然后求出乙种蔬菜的种植成本即可；
（2）根据甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元，得出，求出x的值，根据甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩，求出，得出结果即可．
【详解】（1）解：令，
∴，
解得：，
∴乙种蔬菜种植面积为（亩），
（元）
答：乙种蔬菜总种植成本为3000元．
（2）解：由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∵且，
∴，
∴，此时乙种蔬菜种植（亩）
答：甲种蔬菜种植28亩，乙种蔬菜种植72亩．
15．（2024·江苏镇江·一模）函数和函数的图像如图所示，点A是函数的图像在第一象限上的一点，它的横坐标为m，过点A分别作平行于x轴、平行于y轴，分别与函数的图像交于点B、D，以、为邻边作矩形．
(1)点D的纵坐标为 （用含m的代数式表示）；并求证：点C在函数的图像上；
(2)若点E在函数的图像上，，当m＝3时，直接写出点E的坐标为 ．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
（1）根据题意先求出点坐标，根据矩形性质可得点坐标为，，依据图象上点的坐标特征证明即可；
（2）根据得到坐标为，待定系数法求出直线解析式后与反比例函数联立方程组求出交点坐标即可知道点坐标．
【详解】（1）解： 点的横坐标为，
点的横坐标为，
点的纵坐标为，
当时，解得
，，
点的坐标为，，
，
点在反比例函数的图象上．
故答案为：．
（2）当时，点坐标为，
，
两直线的值相等，
设直线解析式为，
将点坐标代入得：，解得，
直线解析式为，
联立方程组，解得和，
点坐标为．
故答案为：．
16．（2024·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，A、B两点在抛物线图象上，抛物线的对称轴为．
(1)________；
(2)若A、B两点都在直线上，且，求k；
(3)若抛物线的顶点D的纵坐标为9，线段AB与对称轴相交于点，如果，求的面积．
【答案】(1)2
(2)或1
(3)的面积为
【分析】（1）根据对称轴的，即可求解，
（2）由A、B两点为直线与抛物线的交点，得到，即：，根据根与系数关系，得到，，由两点间距离公式得到，即：，代入，即可求解，
（3）将抛物线化为顶点式，由顶点D的纵坐标为9，可得， ，，，设直线解析式为：，与抛物线解析式联立，可得，由根与系数关系得到，，消去得到：，由，，得到，代入，即可求出或，求出，，代入即可求解，
本题考查了，对称轴，根与系数关系，两点间距离公式，二次函数综合，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：，
故答案为：2，
（2）解：∵A、B两点都在直线上，在抛物线图象上，
∴，整理得：，
∴，，，，
∵，
∴，
∴整理得：，
∴，
∴，解得：或，
故答案为：或1，
（3）解：∵，顶点D的纵坐标为9，
∴，解得：，
∴，，
∵抛物线的对称轴为：直线，线段与对称轴相交于点，
∴，，
设直线解析式为：，
∴，整理得：，
∴，整理得：，，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，整理得：，
代入，得，整理得：，
解得：或，
当时，，，
当时， ，，
∵，，
∴，
故答案为： 的面积为．
17．（2024·江苏泰州·一模）综合与实践
【研究素材】二次函数：的图像与y轴交于点C， 与x轴分别交于A， B两点．
小亮对素材进行了深入的研究，提出研究思路， 并布置了相关任务，请你根据小亮的研究完成下列任务．(为了方便研究，规定点 A 在点 B 的右边)
【探究1】确定【素材】中的度数 【任务1】证明∶ ；
【探究2】改变相交的对象研究 若二次函数的图像与y轴交于点 C， 与一次函数的图像分别交于A， B两点． 【任务2】若“°”成立， 求n的值；
【探究3】改变表达式的系数研究 若二次函数．的图像与y 轴交于点C，与一次函数的图 像分别交于A， B两点． 【任务3】若“”成立，当时， 求n与c之间的关系式；
【任务4】当时，若直线与x轴交于点 D，连结交y轴于点 E，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：；任务4：，理由见解析
【分析】任务1：连接、，然后根据勾股定理解题即可；
任务2：过C点作x轴的平行线l，过A作，过B作，可以得到，设点A的横坐标为，点B的横坐标为，则，然后根据相似三角形的性质得到，即可得到关于的方程解题即可；
任务3：根据“任务2”的方法解题即可；
任务4：时，令，设，则，可以得到直线的解析式为，然后求出的值，利用，解题即可．
【详解】任务1：
证明：连接、，
由题意可知
∵，，
∴，
∴，
任务2：
∴过C点作x轴的平行线l，过A作，过B作，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点A的横坐标为，点B的横坐标为，
所以、是方程的两个根，即
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
任务3：
同任务2可得，
∴
∴，
∴
令，
∴
∵、是方程的两个根，
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
任务4：，理由：
时，令，
∴，
设，
∴，
所以直线，
令，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴=，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
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