专题07 函数、平面直角坐标系与一次函数
课标要求 考点 考向
通过简单实例，了解常量、变量的意义； 能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例； 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；能确定函数中的自变量的取值范围，并能根据自变量与函数值的对应关系求值； 能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系；结合对函数关系的分析，尝试对变量之间的变化规律进行初步预测； 结合实际问题体会一次函数的意义，归纳一次函数的一般形式；并理解正比例函数的意义及其一次函数的隶属关系； 熟练运用待定系数法求一次函数的表达式；会用描点法画一次函数的图象，根据图象和表达式去理解一次函数的性质； 能利用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；能运用一次函数解决实际问题。 函数与平面直角坐标系 考向一 从函数的图象获取信息
考向二 函数解析式
考向三 判断点所在象限
考向四 坐标系中的新定义
一次函数 考向一 一次函数与方程的解
考向二 一次函数与不等式的解集
考向三 一次函数与反比例函数结合
考向四 一次函数与二次函数结合
考向五 一次函数解析式
考向六 一次函数的几何应用
考点一 函数与平面直角坐标系
考向一 从函数的图象获取信息
1．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（ ）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
根据函数图象分析即可．
【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动，
则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意．
故选：C．
2．（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是
【答案】D
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图形获取信息，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、乙比甲晚出发1h，原说法错误，不符合题意；
B、乙全程共用，原说法错误，不符合题意；
C、乙比甲早到B地，原说法错误，不符合题意；
D、甲的速度是，原说法正确，符合题意；
故选D．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数的图象，关键是由图象获取信息来解决问题．
由图象知甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油，由题意即可得到答案．
【详解】解：由图象知：甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油，
由题意得：．
故选：B．
考向二 函数解析式
1．设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式．
【详解】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度，
∴．
故选：D．
2．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查列函数解析式，根据三角形的周长等于三边之和，等腰三角形的两腰相等，列出函数关系式，即可．
【详解】解：由题意，得：；
故答案为：．
3．有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列函数关系式，设甲、乙两个水桶中已各装了公升水，根据题意可得，，然后即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设甲、乙两个水桶中已各装了公升水，
由甲中的水全倒入乙后，乙只可再装公升的水得：；
由乙中的水倒入甲，装满甲水桶后，乙还剩公升的水得：；
得：，
∴，
故答案为：．
考向三 判断点所在象限
1．点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断．
【详解】解∶ 联立方程组，
解得，
∴P的坐标为，
∴点P在第四象限，
故选∶D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查点的坐标，理解点的坐标意义是关键．根据点P的坐标可得出横、纵轴上一格代表一个单位长度，然后观察坐标系即可得出答案．
【详解】解：∵点P的坐标为，
∴点Q的坐标为，
故选：C．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）点在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点的横坐标，纵坐标，
点在第四象限．
故答案为：四．
考向四 坐标系中的新定义
1．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
(1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）；
(2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)图见解析（答案不唯一）
(3)或．
【分析】（）根据平移的性质，进行求解即可；
（）延长，在射线上截取线段，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求；
（）分在圆内和圆外两种情况，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵是线段的四等分点．，
∴，
∴，
∴线段的平移图形是，；
故答案为：，；
（2）解：如图所示，即为所求；
由作图可知：，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，
∴即为所求；
（3）解：∵点的坐标分别是、、，
∴，
∴，，
∵对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且，
∴或，
当在圆外时，当向上平移时，
∵，，
∴，
∴
当在圆内时，当向下平移时，
则，，
∴，
∴，
综上：或．
【点睛】本题考查图形的平移，点到圆上一点的最值，坐标与图形，勾股定理，菱形的判定，尺规作图等知识点，熟练掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别为：，，，，、为正方形外两点，且，给出如下定义：平移线段，使得点、分别落在正方形边上的点、处（可与正方形顶点重合），则线段长度的最小值称为线段到正方形的“平移距离”．
(1)如图1，平移线段，在点，，，中，连接点与点______的线段长度等于线段到正方形的“平移距离”；
(2)点的坐标为，点在轴的正半轴上，且，若点、都在直线上，记线段到正方形的“平移距离”为，直接写出的最小值；
(3)若点的坐标为，记线段到正方形的“平移距离”为，直接写出的最小值与最大值．
【答案】(1)；
(2)
(3)最小：，最大：
【分析】（1）根据定义即可求解；
（2）延长交轴于点，设与轴交于点，勾股定理求得，依题意，，，在中，，，在中，，过点作于点，则，在中勾股定理得出，即可求解；
（3）点的坐标为，则点在为圆心，为半径的圆上，根据题意画出图形，根据定义可得当平移至点时，得到的最小值，当平移至或时，得的最小值，
【详解】（1）∵，平移线段，使得点、分别落在正方形边上的点处，则线段长度最小，
则图1中，连接点与点的线段长度等于线段到正方形的“平移距离”，
故答案为：．
（2）如图所示，延长交轴于点，设与轴交于点
∵点的坐标为，点在轴的正半轴上，且，若点、都在直线上，
∴，，，
∴,
依题意，，
∴
∵，
∴，
∴
∵四边形是正方形，正方形四个顶点的坐标分别为：，，，
∴轴，轴，
∴
在中，，，
在中，，
∴，
过点作于点，则，
在中，，
即；
（3）解：如图所示，
∵点的坐标为，则点在为圆心，为半径的圆上，
∴当平移至点时，最小，；
当经过对角线时，点平移至或时，取得最大值（关于对称轴），
∵
∴，
综上所述，最小：，最大：，
【点睛】本题考查了坐标与图形，平移的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段，给出如下定义：若线段沿着某条直线l对称可以得到的弦，则称线段是的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．
(1)如图，线段，，中是的以直线l为对称轴的“反射线段”有 ；
(2)已知A点坐标为，B点坐标为，
①若线段是的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标．
②若将“反射线段”沿直线的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标的取值范围为，求S的取值范围．
(3)已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足，若是的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积．
【答案】(1)、
(2)①；②
(3)
【分析】（1）在圆中找出对应的弦，其中大于圆的直径，故否定；
（2）①画出的反射弦，找出对应点的垂直平分线；
②以为斜边作等腰直角三角形，连接，交于，作，交于，则是的反射弦，对称轴是的中垂线，然后根据垂直平分线上点到线段两端距离相等，求得时的值，从而确定的范围；
（3）是的反射弦，和交轴于、，的中点是，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据“垂径定理”求出弦心距，进而确定圆的半径，从而求出圆的面积．
【详解】（1）解：如图1，
是关于直线的对称的弦，
是的以直线为对称轴的“反射线段”，
是关于直线的对称的弦，
线段是的以直线为对称轴的“反射线段”，
，的直径，
，
线段不是的以直线为对称轴的“反射线段”，
故答案为：、；
（2）解：①如图2，
关于直线的对称弦是，
直线与轴交点；
②如图3，
以为斜边作等腰直角三角形，连接，交于，作，交于，
则是的反射弦，对称轴是的中垂线，
， ，
，
设交轴于，
由得，，
当时，（舍去），，
；
（3）解：如图4，
是的反射弦，和交轴于、，的中点是，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，
，
，
同理可得：，
，，
，
．
【点睛】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，新定义，轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，解决问题的关键是找出不同情境下的“反射弦”．
考点二 一次函数
考向一 一次函数与方程的解
1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可．
根据一次函数与轴交点坐标可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴当时，，即时，，
∴关于的方程的解是．
故答案为：．
2．如图，一次函数的图象经过两点，则关于的方程的解为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查一次函数与一元一次方程的内在联系．由的图象与x轴的交点的横坐标即可得到答案
【详解】解：函数的图象经过，即当时，，
∴关于的方程的解为．
故本题答案为：．
3．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系，利用待定系数法求出一次函数解析式，根据一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系逐项判断即可得解．
【详解】解：把点，点代入得，，
解得：，
一次函数的解析式为，
当时，，
图象不经过点；故①不符合题意；
由图象得：关于x的方程的解为，故②符合题意；
关于x的方程的解为，故③符合题意；
当时，，故④符合题意；
故答案为：②③④．
考向二 一次函数与不等式的解集
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ）
A．或 B．且
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．
当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围．
【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为，
直线绕点逆时针旋转，
所得的直线与直线平行，
设这条直线的解析式为：，
这条直线经过第一、二、四象限，
，
在直线上，
，
，
，
，
；
当在原点左侧时，
设这条直线的解析式为：，
同理：，
，
，
，
，
．
的取值范围是或．
故选：C．
2．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，则不等式的解是（ ）
A．或 B．或
C．或x＞2 D．或
【答案】A
【分析】此题考查一次函数与反比例函数的交点问题以及一次函数图象与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】解：把点，代入，
得出，
解得：，m=0（舍去）
∴点，B，
观察函数图象发现：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
则不等式的解集为：或.
故选：A．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）．
【答案】<
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案．
【详解】∵一次函数中，，
∴一次函数值y随着x的增大而增大．
∵，
∴．
故答案为：．
考向三 一次函数与反比例函数结合
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点．
(1)求和的值；
(2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求和的值；分两种情况求的坐标．
（1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出；
（2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：一次函数的图象过，
，
，
在函数的图象上，
，
在函数图象上，
；
（2）解：当时，，
，
四边形是正方形，
，
当在反比例函数的图象右半支上，
设的坐标是，
的面积与的面积相等，
，
，
，
的坐标是，
当在反比例函数的图象左半支上，
设的坐标是，
的面积与的面积相等，
，
，
，
的坐标是，
综上的坐标为或．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
(1)求的值；
(2)利用图像直接写出时的取值范围；
(3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)8
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可；
（2）图像法求不等式的解集即可；
（3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可．
【详解】（1）点在的图像上，
当时，．
∴，
将点代入，得．
（2）由（1）知：，
联立，解得：或，
∴；
由图像可得：时的取值范围为：或．
（3）∵，
∴当时，，
∴，
∵将直线沿轴向下平移4个单位，
∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴，
如图，过点作，垂足为，
∴．
又，，
．
连接，
∵平移，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴阴影部分面积等于的面积，即．
3．已知一次函数和反比例函数（，）．
(1)如图1，若，且函数，的图象都经过点．
①求m，k的值；
②直接写出当时，x的范围；
(2)如图2，过点作y轴的平行线l与函数的图象相交于点B，与反比例函数（）的图象相交于点C．
①若，直线l与函数的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求的值；
②过点B作x轴的平行线与函数的图象相交于点E．当的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．
【答案】(1)①，；②
(2)①或1或2；②，
【分析】（1）①将点的坐标代入一次函数表达式即可求解，将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；②由图象可以直接看出；
（2）①当时，当为中点时，则，即，当为中点时，则，即，当为中点时，因为点一定在点的下方，故这种情况不存在；当与重合时，到，的距离相等，解方程即可得到结论；②当点在点左侧时，得到，的值取不大于1的任意数时，始终是一个定值，当时，此时，从而．当点在点右侧时，同理得到，于是得到结论．
【详解】（1）解：①将点的坐标代入，
解得：，
将点的坐标代入反比例函数得：；
②由图象可以看出时，反比例函数图像在一次函数图像上方，
∴当时，；
（2）①∵，
∴，
又，
∴，代入，得
当时，点、、的坐标分别为、、，在的下方），
当为中点时，
则，即，
则；
当为中点时，
则，即，
故，
当为中点时，因为点一定在点的下方，故这种情况不存在；
当与重合时，到，的距离相等，
则，即，
或1或2．
②在中，令，则，
∴点的横坐标为：，
当点在点左侧时，，
∵的值取不大于1的任意数时，始终是一个定值，
当时，此时，从而．
当点在点右侧时，
同理，
当，时，（不合题意舍去）
故，．
【点睛】本题是反比例函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、反比例函数解析式的求法、一次函数和反比例函数的图形与性质、函数定值的求法等知识；关键是通过确定点的坐标，求出对应线段的长度，进而求解．
考向四 一次函数与二次函数结合
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．
(1)求b、c的值；
(2)求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)最大值为8
【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键．
（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c；
（2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答．
【详解】（1）解：当时，；当时，，
则，，
则，
解得：；
（2）解：由（1）可得：，设，作交于E，
则，则，
∴，
当时，最大值为8．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；
(3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)是定值，．
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式；
（2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案；
（3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，
解得，
∴，
∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，
∴
即
（2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到，
则
解得，
∴直线的解析式为，
联立与得到
，
解得，
则
（3）解：由（1）可得，，与联立得到，，
解得，
此时
∴点C的坐标为，
∵点M的横坐标为m，且在上，
∴
即点M的坐标为
设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到，
则
解得，
∴直线的解析式为，
与联立得到，
，
整理得到，
则，
即，
即，
即为定值．
3．已知抛物线（a，b，c为常数，），与x轴交于点、点B两点，与y轴交于点，对称轴为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是抛物线上的点且在第二象限，连接，，，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的面积问题；
（1）根据题意得出，设抛物线解析式为，将点代入，即可求解；
（2）过点作轴交于点，求得直线的解析式为，设，则，表示出，进而根据三角形的面积公式求得，进而根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵，对称轴为．
∴，
设抛物线解析式为，将点代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点作轴交于点，
∵，，
设直线的解析式为，将代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，面积的最大值为．
考向五 一次函数解析式
1．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ．
【答案】/0.6
【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出的解析式，再根据直线经过点，求出，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积为为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案．
【详解】解：根据题意画出图形如下，
设直线的解析式为：，
把，代入，
可得出：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴直线，
联立两直线方程：，
解得：，
∴
∵，，
∴，，
根据题意有：，
即，
，
解得：,
故答案为：．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ．
【答案】
【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式．
【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶
设与y轴的交点为点B，
令，得；令，即，
∴， ，
∴，，
即
∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线，
∴，，
∴，
则点，
设直线的解析式为，则
，解得，
那么，直线的解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点B，C，将直线绕点B按逆时针方向旋转，交x轴于点A，则直线的函数表达式 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的图象与几何变换，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，旋转的性质，待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
作交于，过点作轴于，可证明，得，，设，则，，再根据图象上点的坐标特征求得的值，再由待定系数法求直线的解析式即可．
【详解】解：作交于，过点作轴于，
一次函数的图象分别交，轴于点，，
，，
，，
，，
又，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，，
把代入得，，
解得，
，
设直线为，
，
，
直线的函数表达式为．
故答案为：．
考向六 一次函数与几何应用
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，，当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，作于点，有，设，则，利用锐角三角函数建立等式求出，证明，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题．
【详解】解：点A在直线上，且点A的横坐标为4，
点A的坐标为，
，
当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，
由对称性质可知，，
当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，
由对称性质可知，，
作于点，有，
设，则，
，
，
解得，
经检验是方程的解，
，，
，
，
，
，
，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，
则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
令，
则：，
∴点在直线上运动，
当点与重合时，，此时，
当点与重合时，，此时，
∴点E所经过的路径长为；
故答案为：．
3．如图，正方形ABCO的边长为，OA与x轴正半轴的夹角为15°，点B在第一象限，点D在x轴的负半轴上，且满足∠BDO＝15°，直线y＝kx+b经过B、D两点，则b﹣k＝ ．
【答案】2﹣．
【分析】连接OB，过点B作BE⊥x轴于点E，根据正方形的性质可得出∠AOB的度数及OB的长，结合三角形外角的性质可得出∠BDO＝∠DBO，利用等角对等边可得出OD＝OB，进而可得出点D的坐标，在Rt△BOE中，通过解直角三角形可得出点B的坐标，由点B，D的坐标，利用待定系数法可求出k，b的值，再将其代入（b﹣k）中即可求出结论．
【详解】解：连接OB，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．
∵正方形ABCO的边长为，
∴∠AOB＝45°，OB＝OA＝2．
∵OA与x轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOE＝45°﹣15°＝30°．
又∵∠BDO＝15°，
∴∠DBO＝∠BOE﹣∠BDO＝15°，
∴∠BDO＝∠DBO，
∴OD＝OB＝2，
∴点D的坐标为（﹣2，0）．
在Rt△BOE中，OB＝2，∠BOE＝30°，
∴BE＝OB＝1，OE＝＝，
∴点B的坐标为（，1）．
将B（，1），D（﹣2，0）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴b﹣k＝4﹣2﹣（2﹣）＝2﹣．
故答案为：2﹣．
【点睛】此题考查的是正方形的性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质和求一次函数的解析式，掌握正方形的性质、等角对等边、30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理和利用待定系数法求一次函数解析式是解决此题的关键．
1．（2024·江苏扬州·二模）下列关于函数的图象与性质叙述错误的是（ ）
A．该函数图象关于直线对称 B．该函数y最小值为1
C．该函数y随着x的增大而增大 D．该函数图象与y轴交于
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，画出函数图象是解题的关键．
分两种情况：和，分别去绝对值化简函数解析式，再画出函数图象，根据图象判定即可．
【详解】当时，，当时，，
∴函数的图象大致如下：
A． 该函数图象关于直线对称，正确，该选项不符合题意；
B．函数最低点的坐标是，∴该函数y最小值为1，正确，该选项不符合题意；
C．当时，函数y随着x的增大而减小，时，函数y随着x的增大而增大，错误，该选项符合题意；
D．当时，，则该函数图象与y轴交于，正确，该选项不符合题意；
故选：C．
2．（2024·江苏常州·模拟预测）甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全溶解的质量分别记为、、，它们随温度x的变化如图所示，某次实验中需要，则溶液温度x的范围应控制在（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是从图象中获取信息，理解所对应的自变量的范围是解本题的关键．
【详解】解：由图象可得：某次实验中需要，
∴，
故选C
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查函数与图象．由图象可知，当时，，即可判断；当时，函数值不存在，即可判断．
【详解】解：由图象可知，当时，，
∵，，
∴
∴；
当时，函数值不存在，
∵函数图象在第二象限不连续，
∴，
故选：D
4．（2024·江苏无锡·二模）已知，，这三点都在某函数的图象上，且不等式始终成立，则符合题意的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数和二次函数及一次函数图象上点的坐标特征．先确定自变量每增加1个单位，函数值变化越大，再根据各函数逐项分析判断即可．
【详解】解：∵，，这三点都在某函数的图象上，且不等式始终成立，
自变量每增加1个单位，函数值变化越大．
A、，自变量每增加1个单位，函数值变化越大，符合题意；
B、，随先减小后增大，不符合题意
C、，随的增大而增大，均匀增大，不符合题意；
D、，，不符合自变量每增加1个单位，函数值变化越大，不符合题意．
故选：A．
5．（2024·江苏无锡·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”．
对于下列四个结论：
①点是一次函数图象的“2方内点”；
②函数图象上不存在“2方内点”；
③若直线的“方内点”有两个，则；
④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题为新定义题型，考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征．根据“a方内点”的定义，逐一判断即可．
【详解】解：①点到x轴距离为2，到y轴的距离等于1，不大于2，
故是一次函数图像的“2方内点”；故①正确；
②当时，，则点到y轴的距离为2，到x轴的距离为，不大于2，即点是函数图像上的“2方内点”；故②错误；
③若直线的“方内点”有两个，
由题意知，函数图象的“方内点”是指函数图象上点落在以原点为中心，边长为1且相邻两边分别与x轴、y轴平行的正方形边上，
如图，当时，，即直线过定点，
当时，直线与有无数个“方内点”，
对于直线，把点代入中，，
解得：，
当时，直线与正方形的边有两个交点，表明有两个“方内点”，故③正确；
④抛物线的“方内点”是函数图象上落在以原点为中心，边长为且相邻两边分别平行于x轴与y轴的正方形上的点，如下图；
当抛物线顶点在直线上时，抛物线恰有三个“方内点”，
此时：，解得：（舍去）；
当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”，
此时，整理得：，
解得：（舍去）；
当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”，
此时，整理得：，
解得：（舍去）；
综上，a的值恰有三个，分别为，
故④正确；
故正确的有①③④，
故选：C．
6．（2024·江苏扬州·二模）随着城市中汽车保有量的增多，交通噪声对人们生活的影响越来越大．用声压级来度量声音的强弱，其中声压级、听觉下限阈值（是大于0常数）、实际声压p满足如下关系：．下表为不同声源的声压级及声压：
声源 与声源的距离/m 声压级 实际声压
燃油汽车 10 80
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、电动汽车处测得实际声压分别为则 ．
【答案】100
【分析】该题主要考查了函数的应用，解题的关键是读懂题意．
根据和表格分别表示出，即可求解；
【详解】解：根据题意，
，
∵，
∴，
故答案为：100．
7．（2024·江苏南京·一模）如图，快，慢两只电子蚂蚁同时出发，同向匀速运动，图中的一次函数图象表示了两者分别离快者的起点的距离s（cm）与两者运动的时间t（s）之间的关系，则慢者的速度是 cm/s．
【答案】6
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从图象中获取有用的信息．
求出快者速度为cm/s，可得相遇时慢者所走路程，从而得到答案．
【详解】解：由图象可得快者速度为cm/s，
∴慢者速度为cm/s；
故答案为：6．
8．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，某药剂在空气中的浓度y（）与时间之间先满足正比例函数的关系，再满足反比例函数的关系，且当时，y有最大值，最大值为a．则当时，x的值是 ．
【答案】8或18
【分析】先利用待定系数法求出正比例函数和反比例函数的表达式，然后将分别代入两个表达式中，即可求出x的值．
本题主要考查了利用待定系数法求正比例函数和反比例函数的表达式，以及已知因变量的值求相应的自变量的值，熟练掌握待定系数法及数形结合法是解题的关键．
【详解】解：设时，正比例函数的表达式为，
则，
解得，
∴正比例函数的表达式为．
设时，反比例函数的表达式为，
则，
解得，
∴反比例函数的表达式为．
当时，把代入得，
，
解得．
当时，把代入得，
，
解得．
综上，当时，x的值是8 或18．
故答案为：8或18．
9．（2024·江苏无锡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，四边形是矩形，过点的动直线与轴交于点，将沿直线翻折，使点的对应点落在矩形内，当与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分时，点的横坐标为 ．
【答案】或或4
【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数解析式，
分三种情况：①当落在中线上时，②当落在中线上时，③当落在中线上时，画出图形分别求解即可
【详解】解：①当落在中线上时，与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分此时，
，
∵将沿直线翻折，使点的对应点落在矩形内，
∴，，，
∴，
连接，设，
则，解得：，
∴
②当落在中线上时，与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分，此时，直线的解析式为：，
设，过作，交于点J，
则，
∴，解得：或（舍去），
∴，
设，则，
∴，解得：，
∴；
③当落在中线上时，与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分，此时，直线的解析式为：，
设，过作，交于点R，
则，
∴，解得：或（舍去），
∴，
设，则，
∴，解得：，
∴；
故答案为：或或4
10．（2024·江苏盐城·三模）如图，在直角坐标系中， 的圆心为，半径为，点在上，点在轴的负半轴上，为等边三角形．
(1)点的坐标为 ；
(2)求证：是的切线；
(3)若将沿水平方向平移至 且直线是的切线，求的坐标．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查的是圆的综合，涉及切线的判定与性质，直角三角形的性质，直角坐标系等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
（1）连接，过点作于点，过点作于点，根据为等边三角形，可得，，进而得到，再根据三角函数求出，进而求出，最后求出即可求解；
（2）由（1）知，，得到，的度数即可证明；
（3）由于的运动方向不确定，故分为当沿水平方向向右平移至时和沿水平方向向左平移至时，两种情况讨论．
【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，过点作于点，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：由（1）知，，
，
为等边三角形，
，
，
是的切线；
（3）如图2，当沿水平方向向右平移至时，设与相切于点，与轴相切于点，连接、、，
为等边三角形，
，
，
与均为的切线，
，
，
，
；
如图3，沿水平方向向左平移至时，连接、，
由（2）知，是的切线，
当过点、时，是的切线，
为等边三角形，
，
是的切线，
，
又
，
，
，
综上所述，或．
11．（2024·江苏宿迁·二模）学习感知：
在坐标平面内，如果一个凸四边形的两条对角线分别平行于坐标轴，且有一条对角线恰好平分另一条对角线，则把这样的凸四边形称为坐标平面内的“筝状四边形”．
初步运用：
填空：
（1）已知筝状四边形的三个顶点坐标分别为，则顶点D的坐标为 ；
（2）如果筝状四边形三个顶点坐标分别为，则顶点D纵坐标y的取值范围是 ．
延伸拓展：
已知面积为30的筝状四边形相邻两个顶点的坐标分别为，其中一条对角线长为6，M、N分别是的中点，P为对角线上一动点，连接，试求周长的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）根据“筝状四边形”的定义即可求出点D坐标．
（2）画出图形，即可判定点D的纵坐标y的取值范围．
延伸拓展：分两种情形讨论①当点P在对角线上时，作点M关于的对称点K，连接交于点P，此时的周长最 小．②当点P在对角线上时，的周长的最小值不存在．
【详解】解：（1）如图1中，
由题意垂直平分线段线段，
B、D关于直线对称，
∵，
，
∴，
故答案为：；
（2）如图2中，
由题意可知，垂直平分线段，
∵四边形是凸四边形，，
，即，
∴顶点D纵坐标y的取值范围：，
故答案为：；
延伸拓展：如图3中，
①当点P在对角线上时，作点M关于的对称点K，连接交于点P，
此时的周长最小．
， 对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
的周长的最小值为；
②当M，N分别是的中点，为对角线上一动点，
同法可求周长的最小值为．
∴的周长的最小值问题或．
【点睛】本题考查三角形综合题、轴对称-最短问题、“筝状四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用轴对称解 决最短问题，属于中考创新题目．
12．（2024·江苏盐城·三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示．
(1)求v关于x的函数表达式；
(2)求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）
(3)经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？
【答案】(1)
(2)， P的最大值为4418辆/时
(3)上下班高峰时段车速应控制在44千米时千米时．
【分析】此题考查了一次函数及二次函数的应用，解答本题需要我们会判断二次函数的增减性及二次函数最值的求解方法，也要熟练待定系数法求一次函数解析式．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）由题知：当时，；当时，，进而求解；
（3）由题意得：，解得，而，当时，，当时，，即可求解．
【详解】（1）解：由图象知，当时，，
当时，设该段一次函数表达式是，
把两点坐标，，分别代入，
得，
解得，
关于的一次函数表达式是，
即；
（2）解：由题知：当时，．
当时，，
当时，车流量有最大值4418辆时．
，
当时，车流量有最大值4418辆时；
（3）解：由题意得：，解得，
而，
当时，，当时，，
即，
即上下班高峰时段车速应控制在44千米时千米时．
13．（2024·江苏南京·二模）快、慢两车从甲地出发，沿同一条直路匀速行驶，前往乙地．设快车出发第时，快、慢两车离甲地的距离分别为，当时，慢车到达乙地．与x之间的函数关系如图所示．
(1)甲、乙两地相距 ，快车比慢车晚出发 h．
(2)快车与慢车相遇时，两车距离甲地多远？
(3)若第三辆车的速度是快车的速度的1.5倍，沿同一条直路从乙地匀速前往甲地，当慢车到达乙地时，该车恰好到达甲地．请在图中画出该车离甲地的距离与x 之间的函数图像．
【答案】(1)160，1
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
（1）由图可知甲、乙两地相距；根据路程时间速度，求出慢车的速度为，可知快车出发时，慢车行驶的时间为，故快车比慢车晚出发；
（2）由图可知，快车出发1小时追上慢车，此时慢车已行驶，即可得快车与慢车相遇时，两车距离甲地；
（3）求出第三辆车的速度是；可得第三辆车从乙地到甲地所需时间为，故当时，第 三辆车从乙地出发，即与x之间的函数图象过和，即可画出函数图象．
【详解】（1）解：由图可知，甲、乙两地相距；
慢车的速度为，
由可知，快车出发时，
慢车行驶的时间为，
∴快车比慢车晚出发；
故答案为：160，1；
（2）解：由图可知，快车出发1小时追上慢车，此时慢车已行驶，
∵，
∴快车与慢车相遇时，两车距离甲地；
（3）解：由（2）知，快车速度为，
∴第三辆车的速度是；
∴第三辆车从乙地到甲地所需时间为，
∵，
∴当时，第三辆车从乙地出发，
即与x之间的函数图象过和，
画出图象如下：
14．（2024·江苏南京·二模）甲、乙两人沿同一直道从A处跑步到B处，图①、②分别表示甲跑步的路程（单位：），甲乙两人之间的距离（单位：）与甲出发的时间（单位：）的函数关系，若乙先出发．
(1)甲的跑步速度是______，乙的跑步速度是______；
(2)求甲到达B处所用的时间；
(3)直接写出甲、乙两人之间的距离不超过的总时间．
【答案】(1)150，100
(2)甲从A处到达B处用了
(3)．
【分析】（1）根据图①甲的跑步速度是，设乙的跑步速度是，根据图②得4秒时，两人间距离是0即甲追上了乙，由此得方程，解方程即可；
（2）根据图②从第一次追上到目的地，乙行驶了，乙独立行驶全程共用时，计算全程长再除以甲的速度即可得解．
（3）分乙出发甲没出发，都出发追上前与追上后，以及甲到乙没到这几种情况结合图形分别求解即可．
本题考查了函数图象信息题，待定系数法，熟练掌握图象信息的搜集与处理是解题的关键．
【详解】（1）根据图①甲的跑步速度是，
设乙的跑步速度是，根据图②得4秒时，两人间距离是0即甲追上了乙，
由此得，
解得，
故乙的跑步速度是，
故答案为：150，100．
（2）根据图②从第一次追上到目的地，乙行驶了，乙独立行驶全程共用时，
故全程长，
甲行驶全程用时间为：．
（3）乙先行，乙在甲前面，
根据图②得到，乙行驶了，
设解析式为，确定解析式为，得到，解得；
根据甲走完全程，得甲追上乙以后，再行驶两人距离最大，最大为，
设此段的解析式为，结合题意，得，
得，
故，
当，
解得；
此时，持续时间为
乙最后行驶，乙在甲后面，
故总时间为：．
15．（2024·江苏南京·一模）小美驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小美往返均以的速度匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，往返全程一共用时6.5 小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图①所示．
(1)该电动汽车每小时的充电量为_______；
(2)求线段所表示的Q与t之间的函数表达式；
(3)在图②中，画出小美离家的距离与t的函数图象．
【答案】(1)100
(2)
(3)见解析
【分析】此题考查了一次函数的应用，解题的关键是从图象中获取正确的信息．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）求出汽车每小时耗电量和到达景点时汽车剩余电量，利用待定系数法法求出函数解析式即可；
（3）求出关键点的坐标，运用描点连线画出图象即可．
【详解】（1）（1）由题意可得，，
即该电动汽车每小时的充电量为100，
故答案为：100
（2）∵到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．
∴汽车行驶时每小时耗电
，
∴到达景点时汽车剩余电量为：
设线段所表示的Q与t之间的函数表达式为,
则，
解得
∴线段所表示的Q与t之间的函数表达式为；
（3）根据题意，小美在景区游玩了（小时）
当时，小美游玩结束开始返回，
∴当时，，图象经过，
当时，，图象经过，
当时，，图象经过，
当时，，图象经过，
当时，，图象经过，
画出图象如下：
16．（2024·江苏南通·一模）已知A，B两地相距．甲由A地出发骑自行车前往B地，其与B地的距离y（单位：）与出发后所用时间x（单位：h）之间的关系如图所示；乙由A地出发以的速度驾车前往B地．
(1)求甲的速度；
(2)请直接写出乙与B地的距离y（单位：）与甲出发后所用时间x（单位：h）之间的函数关系式，并在图中画出函数图象；
(3)当乙在行驶途中与甲相距时，请求出x的值．
【答案】(1)
(2)，图见解析
(3)或
【分析】本题主要考查一次函数的实际应用：
（1）根据图中数据，利用路程、时间、速度之间的关系可得答案；
（2）先计算出乙的行驶时间，分和两段，利用待定系数法求出解析式，再描点作图即可；
（3）同（2）求出甲与B地的距离与之间的关系式，分相遇前、相遇后两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：甲的速度为；
（2）解：由题意知，乙的行驶时间为：，
，
当时，乙与B地的距离，
当时，设，
将，代入，得：，
解得，
当时，
综上可知，，
函数图象如下：
（3）解：同（2）可得，甲与B地的距离与之间的关系式为：，
令，即时，乙追上了甲．
乙在行驶途中与甲相距时，分两种情况：
①相遇前：，令，解得，
②相遇后：，令，解得．
综上，x的值为或．
17．（2024·江苏泰州·一模）如图，在一条笔直的公路上依次有A、B、C三个汽车站，它们之间依次相距，甲、乙两辆汽车分别在A站和B站，两车同时向终点站C出发，甲、乙两车的速度之和为，它们与A站的距离分别为、，设两车运动的时间为．
(1)若甲车的速度为，分别求、与x之间的函数表达式；
(2)若甲车的速度为，甲、乙两车同时到达终点站C，求a的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了列函数关系式，分式方程的应用：
（1）根据题意可得甲车的速度为，乙车的速度为，再由路程等于速度乘以时间，即可求解；
（2）根据两车到达终点站C所用时间相同，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵甲、乙两车的速度之和为，甲车的速度为，
∴乙车的速度为，
∴，
，
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴a的值为．
18．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于A、B、C．
(1)求双曲线的解析式；
(2)若，点M为双曲线上一点，点N为直线上一点．．且，求点M的坐标；
(3)如图2，连接，当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变求其值；若变化说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)不发生变化，18
【分析】（1）根据非负数的性质求得，，再利用待定系数法求解即可；
（2）联立方程组求得，设，，由．且，可得以M，N，O，C为顶点的四边形是以，为边的平行四边形，分两种情况：当，为对角线时，，的中点重合，当，为对角线时，，的中点重合，利用中点坐标公式列方程求解即可；
（3）过C作轴于H，证得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，设，则，可得，再根据题意可得，即可得证．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵点为双曲线上一点，
∴，
∴双曲线的解析式为；
（2）解：当时，由
解得（舍去）或，
∴，
设，，
∵．且，
∴以M，N，O，C为顶点的四边形是以，为边的平行四边形，
当，为对角线时，，的中点重合，
∴，
由得：，
解得（舍去）或，
经检验，是分式方程的解，
∴；
当，为对角线时，，的中点重合，
∴，
解得或（舍去），
经检验，是方程组的解，
∴；
综上所述，M的坐标为或；
（3）解：的值不发生变化，理由如下：
过C作轴于H，
如图：在中，令得，令得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
由反比例函数可知，，
∴，即，
∴，
∴的值不发生变化．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，等腰直角三角形的判定与性质等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
19．（2024·江苏南通·二模）如图，直线与抛物线相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设的面积为S，且．过点B作x轴的垂线交的延长线于点E，过点C，E分别作x轴的平行线，，直线（不平行于y轴）与抛物线有唯一公共点，分别交，于P，Q两点．
(1)求b的值；
(2)求点E的纵坐标；
(3)探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)2
(2)
(3)是，
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，根与系数的关系，两点间的距离公式等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
（1）求出一次函数与坐标轴的两个交点，根据面积公式结合，求出的值即可；
（2）设，点的横坐标为，则点的横坐标为，求出的解析式，令，整理，得：，韦达定理得到，把代入的解析式中，求出点的纵坐标即可；
（3）设直线的解析式为，令，根据两个图象只有一个交点，得到，得到，进而求出坐标，利用两点间的距离公式，求出，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）设，点的横坐标为，则点的横坐标为，
设直线，则：，解得：，
∴直线的解析式为：，
由（1）可知，，
令，整理，得：，则：是方程的两个实数根，
∴，
将代入，得：；
∴点的纵坐标为；
（3）是定值：
设直线的解析式为，
令，整理，得：，
∵直线与抛物线只有一个交点，
∴，
∴，
∴，
由（1）（2）可知：点的纵坐标为，
∴当时，，当时，
∴，，
∴，
∴
；
∴的值为定值．
20．（2024·江苏镇江·一模）【阅读】
我们知道，a、b两数的算术平均数是，如图1，数轴上点A、B（点A在点B的左侧）分别表示数a和b，那么线段的中点表示的数是．它们的表达形式之所以是一致的，其原因就是算术平均数的意义与线段中点的意义是一致的．同样的，若点M在线段上且，即，说明点M更靠近点A，则可以利用加权平均数的意义，将点M表示为．
【理解与运用】
(1)数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，点N在线段上，且，则点N表示的数为 ；
(2)在平面直角坐标系中，点P的坐标是，点Q的坐标是，线段的中点坐标是．线段的三等分点也有相类似的结论，例如，点T在线段上，，直接写出T点的坐标为（ ， ）；
(3)如图2，在平面直角坐标系中，点H、I、K分别是三边上的三等分点，且，，．试证明：的重心与的重心重合．（三角形的三条中线的交点称为三角形的重心，重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为）
【答案】(1)；
(2)，；
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意可得点N是线段的四等分点且更靠近点B，仿照材料即可求解；
（2）根据材料推广到直角坐标系中，可以先表示出点T的横坐标和纵坐标，即可求解；
（3）设，表示出的中点为，根据重心的定义可得的重心坐标，再表示出H、I、K各点的坐标，表示出的中点坐标，再根据重心的定义得到的重心，即可证明．
【详解】（1）解：∵，
∴点N是线段的四等分点且更靠近点B，
∴点N表示的数为，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴点T的横坐标为，纵坐标为
T点的坐标为,
故答案为：，；
（3）解：设，
则的中点为，
∵重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为，
∴的重心坐标为，
化简得，，
∵，，，
∴，，，
∴的中点坐标为，
即，
∴的重心为
即，
∴的重心与的重心重合．
【点睛】本题考查加权平均数的意义，坐标与图形，规律探索，三角形的重心，解题的关键是要理解材料的方法，借助材料中加权平均数的意义进行解题，再由数轴上的规律推广到坐标系中坐标的规律．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题07 函数、平面直角坐标系与一次函数
课标要求 考点 考向
通过简单实例，了解常量、变量的意义； 能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例； 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；能确定函数中的自变量的取值范围，并能根据自变量与函数值的对应关系求值； 能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系；结合对函数关系的分析，尝试对变量之间的变化规律进行初步预测； 结合实际问题体会一次函数的意义，归纳一次函数的一般形式；并理解正比例函数的意义及其一次函数的隶属关系； 熟练运用待定系数法求一次函数的表达式；会用描点法画一次函数的图象，根据图象和表达式去理解一次函数的性质； 能利用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；能运用一次函数解决实际问题。 函数与平面直角坐标系 考向一 从函数的图象获取信息
考向二 函数解析式
考向三 判断点所在象限
考向四 坐标系中的新定义
一次函数 考向一 一次函数与方程的解
考向二 一次函数与不等式的解集
考向三 一次函数与反比例函数结合
考向四 一次函数与二次函数结合
考向五 一次函数解析式
考向六 一次函数的几何应用
考点一 函数与平面直角坐标系
考向一 从函数的图象获取信息
1．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（ ）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
2．（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是
3．（2024·江苏镇江·中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
考向二 函数解析式
1．设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ．
3．有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ．
考向三 判断点所在象限
1．点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）点在第 象限．
考向四 坐标系中的新定义
1．（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
(1)如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）；
(2)如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围．
2．在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别为：，，，，、为正方形外两点，且，给出如下定义：平移线段，使得点、分别落在正方形边上的点、处（可与正方形顶点重合），则线段长度的最小值称为线段到正方形的“平移距离”．
(1)如图1，平移线段，在点，，，中，连接点与点______的线段长度等于线段到正方形的“平移距离”；
(2)点的坐标为，点在轴的正半轴上，且，若点、都在直线上，记线段到正方形的“平移距离”为，直接写出的最小值；
(3)若点的坐标为，记线段到正方形的“平移距离”为，直接写出的最小值与最大值．
3．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段，给出如下定义：若线段沿着某条直线l对称可以得到的弦，则称线段是的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．
(1)如图，线段，，中是的以直线l为对称轴的“反射线段”有 ；
(2)已知A点坐标为，B点坐标为，
①若线段是的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标．
②若将“反射线段”沿直线的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标的取值范围为，求S的取值范围．
(3)已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足，若是的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积．
考点二 一次函数
考向一 一次函数与方程的解
1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ．
2．如图，一次函数的图象经过两点，则关于的方程的解为 ．
3．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是 ．
考向二 一次函数与不等式的解集
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ）
A．或 B．且
C．或 D．或
2．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，，则不等式的解是（ ）
A．或 B．或
C．或x＞2 D．或
3．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）．
考向三 一次函数与反比例函数结合
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点．
(1)求和的值；
(2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
(1)求的值；
(2)利用图像直接写出时的取值范围；
(3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
3．已知一次函数和反比例函数（，）．
(1)如图1，若，且函数，的图象都经过点．
①求m，k的值；
②直接写出当时，x的范围；
(2)如图2，过点作y轴的平行线l与函数的图象相交于点B，与反比例函数（）的图象相交于点C．
①若，直线l与函数的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求的值；
②过点B作x轴的平行线与函数的图象相交于点E．当的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．
考向四 一次函数与二次函数结合
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．
(1)求b、c的值；
(2)求的面积的最大值．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值；
(3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
3．已知抛物线（a，b，c为常数，），与x轴交于点、点B两点，与y轴交于点，对称轴为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是抛物线上的点且在第二象限，连接，，，求面积的最大值．
考向五 一次函数解析式
1．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点B，C，将直线绕点B按逆时针方向旋转，交x轴于点A，则直线的函数表达式 ．
考向六 一次函数与几何应用
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ．
2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
3．如图，正方形ABCO的边长为，OA与x轴正半轴的夹角为15°，点B在第一象限，点D在x轴的负半轴上，且满足∠BDO＝15°，直线y＝kx+b经过B、D两点，则b﹣k＝ ．
1．（2024·江苏扬州·二模）下列关于函数的图象与性质叙述错误的是（ ）
A．该函数图象关于直线对称 B．该函数y最小值为1
C．该函数y随着x的增大而增大 D．该函数图象与y轴交于
2．（2024·江苏常州·模拟预测）甲、乙、丙三种固体物质在等量溶剂中完全溶解的质量分别记为、、，它们随温度x的变化如图所示，某次实验中需要，则溶液温度x的范围应控制在（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏无锡·二模）已知，，这三点都在某函数的图象上，且不等式始终成立，则符合题意的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·江苏无锡·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”．
对于下列四个结论：
①点是一次函数图象的“2方内点”；
②函数图象上不存在“2方内点”；
③若直线的“方内点”有两个，则；
④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
6．（2024·江苏扬州·二模）随着城市中汽车保有量的增多，交通噪声对人们生活的影响越来越大．用声压级来度量声音的强弱，其中声压级、听觉下限阈值（是大于0常数）、实际声压p满足如下关系：．下表为不同声源的声压级及声压：
声源 与声源的距离/m 声压级 实际声压
燃油汽车 10 80
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、电动汽车处测得实际声压分别为则 ．
7．（2024·江苏南京·一模）如图，快，慢两只电子蚂蚁同时出发，同向匀速运动，图中的一次函数图象表示了两者分别离快者的起点的距离s（cm）与两者运动的时间t（s）之间的关系，则慢者的速度是 cm/s．
8．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，某药剂在空气中的浓度y（）与时间之间先满足正比例函数的关系，再满足反比例函数的关系，且当时，y有最大值，最大值为a．则当时，x的值是 ．
9．（2024·江苏无锡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，四边形是矩形，过点的动直线与轴交于点，将沿直线翻折，使点的对应点落在矩形内，当与一端点的连线所在直线能将的面积分成相等的两部分时，点的横坐标为 ．
10．（2024·江苏盐城·三模）如图，在直角坐标系中， 的圆心为，半径为，点在上，点在轴的负半轴上，为等边三角形．
(1)点的坐标为 ；
(2)求证：是的切线；
(3)若将沿水平方向平移至 且直线是的切线，求的坐标．
11．（2024·江苏宿迁·二模）学习感知：
在坐标平面内，如果一个凸四边形的两条对角线分别平行于坐标轴，且有一条对角线恰好平分另一条对角线，则把这样的凸四边形称为坐标平面内的“筝状四边形”．
初步运用：
填空：
（1）已知筝状四边形的三个顶点坐标分别为，则顶点D的坐标为 ；
（2）如果筝状四边形三个顶点坐标分别为，则顶点D纵坐标y的取值范围是 ．
延伸拓展：
已知面积为30的筝状四边形相邻两个顶点的坐标分别为，其中一条对角线长为6，M、N分别是的中点，P为对角线上一动点，连接，试求周长的最小值．
12．（2024·江苏盐城·三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示．
(1)求v关于x的函数表达式；
(2)求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）
(3)经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？
13．（2024·江苏南京·二模）快、慢两车从甲地出发，沿同一条直路匀速行驶，前往乙地．设快车出发第时，快、慢两车离甲地的距离分别为，当时，慢车到达乙地．与x之间的函数关系如图所示．
(1)甲、乙两地相距 ，快车比慢车晚出发 h．
(2)快车与慢车相遇时，两车距离甲地多远？
(3)若第三辆车的速度是快车的速度的1.5倍，沿同一条直路从乙地匀速前往甲地，当慢车到达乙地时，该车恰好到达甲地．请在图中画出该车离甲地的距离与x 之间的函数图像．
14．（2024·江苏南京·二模）甲、乙两人沿同一直道从A处跑步到B处，图①、②分别表示甲跑步的路程（单位：），甲乙两人之间的距离（单位：）与甲出发的时间（单位：）的函数关系，若乙先出发．
(1)甲的跑步速度是______，乙的跑步速度是______；
(2)求甲到达B处所用的时间；
(3)直接写出甲、乙两人之间的距离不超过的总时间．
15．（2024·江苏南京·一模）小美驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小美往返均以的速度匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，往返全程一共用时6.5 小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图①所示．
(1)该电动汽车每小时的充电量为_______；
(2)求线段所表示的Q与t之间的函数表达式；
(3)在图②中，画出小美离家的距离与t的函数图象．
16．（2024·江苏南通·一模）已知A，B两地相距．甲由A地出发骑自行车前往B地，其与B地的距离y（单位：）与出发后所用时间x（单位：h）之间的关系如图所示；乙由A地出发以的速度驾车前往B地．
(1)求甲的速度；
(2)请直接写出乙与B地的距离y（单位：）与甲出发后所用时间x（单位：h）之间的函数关系式，并在图中画出函数图象；
(3)当乙在行驶途中与甲相距时，请求出x的值．
17．（2024·江苏泰州·一模）如图，在一条笔直的公路上依次有A、B、C三个汽车站，它们之间依次相距，甲、乙两辆汽车分别在A站和B站，两车同时向终点站C出发，甲、乙两车的速度之和为，它们与A站的距离分别为、，设两车运动的时间为．
(1)若甲车的速度为，分别求、与x之间的函数表达式；
(2)若甲车的速度为，甲、乙两车同时到达终点站C，求a的值．
18．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于A、B、C．
(1)求双曲线的解析式；
(2)若，点M为双曲线上一点，点N为直线上一点．．且，求点M的坐标；
(3)如图2，连接，当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变求其值；若变化说明理由．
19．（2024·江苏南通·二模）如图，直线与抛物线相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设的面积为S，且．过点B作x轴的垂线交的延长线于点E，过点C，E分别作x轴的平行线，，直线（不平行于y轴）与抛物线有唯一公共点，分别交，于P，Q两点．
(1)求b的值；
(2)求点E的纵坐标；
(3)探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
20．（2024·江苏镇江·一模）【阅读】
我们知道，a、b两数的算术平均数是，如图1，数轴上点A、B（点A在点B的左侧）分别表示数a和b，那么线段的中点表示的数是．它们的表达形式之所以是一致的，其原因就是算术平均数的意义与线段中点的意义是一致的．同样的，若点M在线段上且，即，说明点M更靠近点A，则可以利用加权平均数的意义，将点M表示为．
【理解与运用】
(1)数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，点N在线段上，且，则点N表示的数为 ；
(2)在平面直角坐标系中，点P的坐标是，点Q的坐标是，线段的中点坐标是．线段的三等分点也有相类似的结论，例如，点T在线段上，，直接写出T点的坐标为（ ， ）；
(3)如图2，在平面直角坐标系中，点H、I、K分别是三边上的三等分点，且，，．试证明：的重心与的重心重合．（三角形的三条中线的交点称为三角形的重心，重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为）
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