专题06 不等式与不等式组
课标要求 考点 考向
结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质； 能运用不等式的基本性质对不等式进行变形； 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集； 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集； 能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式，解决简单的实际问题，建立模型观念。 不等式 考向一 不等式的性质
考向二 解一元一次不等式
考向三 一元一次不等式的应用
不等式组 考向一 解一元一次不等式组
考向二 方程组、分式方程与不等式结合应用
考点一 不等式
考向一 不等式的性质
1．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
直接利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：，
A、，故错误，该选项不合题意；
B、，故错误，该选项不合题意；
C、无法得出，故错误，该选项不合题意；
D、，故正确，该选项符合题意；
故选：D．
2．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答．
【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意．
故选：A．
3．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题．
【详解】解：∵
∴，
∴若，则是假命题，
故答案为：假．
考向二 解一元一次不等式
1．关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得．
【详解】解：，
，
，
．
解不等式得：，
∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大，
∴，
解得，
故答案为：；．
2．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解．
【答案】，．
【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
∴不等式的正整数解为，．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，图见解析
【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可.
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
解得．
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
考向三 一元一次不等式的应用
1．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围．
【详解】解： ．
根据题意得：，
解得：，
车速的取值范围是．
故答案为：．
2．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
【答案】 55 1260
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个，先求出的取值范围，再设该网店所获利润为元，建立关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得．
【详解】解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元．
设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个，
由题意得：，
解得，
设该网店所获利润为元，
则，
由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为，
即该网店所获最大利润为1260元，
故答案为：55；1260．
3．如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围) ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据机器零件的设计图纸给定的数值，可求出的取值范围．
【详解】解：由题意得，
．
故答案为：
考点二 不等式组
考向一 解一元一次不等式组
1．（2024·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组．
【答案】（1），
（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可求出不等式组的解集．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
∴，；
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是．
2．（2024·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握它们的解法是解题的关键．
（1）方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可；
（2）分别解不等式①、②，然后找出其公共部分即可．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以，
得．
．
检验：当时，，
所以是原方程的解；
（2）解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
所以原不等式组的解集是．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
【答案】，整数和为6
【分析】本题主要考查解不等式组的整数解，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键．
根据不等式的性质分别求出不等式①，②的解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解，结合解集取整数，再求和即可．
【详解】解：，
由①得，，
解得，；
由②得，，
移项得，，
解得，，
∴原不等式组的解为：，
∴所有整数解为：，
∴所有整数解的和为：．
考向二 方程组、分式方程与不等式结合应用
1．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．
相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多
【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键．
（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多．
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，
∴，
∴，
∵每天分拣快递的件数，
∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
2．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
(1)求两种型号劳动用品的单价；
(2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元
(2)该校购买这40件劳动用品至少需要950元
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用．
（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可；
（2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答．
【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，
，
解得：，
答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元．
（2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，
根据题意可得：，
设购买这40件劳动用品需要W元，
，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，W取最小值，，
∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
(1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？
(2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是元和元
(2)A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
（1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可；
（2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可．
【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元，
，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴B种纪念品的单价为元，
答：纪念品A、B的单价分别是元和元．
（2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元，
则，
又∵，
解得，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少，
这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少．
1．（2024·江苏盐城·三模）为了减少碳的排放和更高的利用新能源，国家提倡绿牌电动车出行，绿牌电动车的国家标准如图所示，如果电动自行车的车速是，电池电压是，可载一名未成年人的年龄是周岁，可列出不等式正确的是（ ）
执行标准 GB17761-2018
最高车速
电池电压 不超过48V
能否载人 可载一名16周岁以下未成年人
车辆属性 非机动车
是否需要驾驶证 不需要
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列不等式，根据题意，结合“不超过48V”，“16周岁以下”， “最高车速”等含义列不等式即可作答．
【详解】∵最高车速为，
∴，
∵电池电压不超过48V，
∴，
∵可载一名16周岁以下未成年人，
∴，
故选：D．
2．（2024·江苏苏州·一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了新定义，用到了一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识，先求出，根据m的取值范围分三种情况进行讨论即可得到答案.
【详解】解：∵动点B在直线上，横坐标为m，
∴点B的坐标为，
∵点A的坐标为
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当取得最小值时，应满足的条件是，
故选：C
3．（2024·江苏无锡·一模）已知、、满足等式，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质．根据题意得到，则，再逐一计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，则，
若，则，
∴，
若，则，
∴，
，
∵，
∴，∴，
，
∵，
∴，即，
∴，
观察四个选项，选项B符合题意，
故选：B．
4．（2024·江苏南通·二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ）
A． B．6 C． D．3
【答案】A
【分析】此题考查了新定义实数问题，解不等式组，分式的化简等知识，
首先根据题意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式组求解即可．
【详解】∵，是一对“互助数”
∴
去分母得，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
整理得，
∴
∴或
∴或
∴解得或
但当时，，，不符合题意，
所以或，
∴p的值可以为．
故选：A．
5．（2024·江苏无锡·二模）直线经过点且平行于轴，二次函数的图象与直线没有公共点，那么应满足条件： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质和解不等式，由，再根据题意可得，再解不等式即可，熟练掌握二次函数图象及性质是解题的关键．
【详解】解：由，
∵二次函数的图象与直线没有公共点，
∴，解得：，
故答案为：．
6．（2024·江苏盐城·二模）已知二次函数的图象开口向下，且经过，两点．
(1) （填“”或“”）；
当时，求的值；
(2)若点和点也在二次函数图象上，且，．
求的取值范围；
若两不同点和都在二次函数的图象上，且始终满足，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）依据题意，由抛物线开口向下，从而可以判断得解；
依据题意，当时，可得抛物线的对称轴是直线，于是得解；
（2）依据题意，由，且，可得，结合点在轴下方，点在轴上方，可得二次函数的图象与轴有两个交点，又因图象过点，从而可判断是抛物线与轴右侧的交点，故，又因点和二次函数与轴的左侧的交点关于直线对称，从而左侧交点坐标为，结合在轴上方，则，从而，再依据抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合在轴下方，且，可得，进而可以得解；
依据题意，点，都在二次函数图象上，且，又因，从而在点的右方和上方，又因，故点在对称轴右侧，结合二次函数在对称轴右侧时，值随的增大而减小，从而必在对称轴左侧，即有，故，再由得点更靠近对称轴，可得，又因，，得，结合，于是有，进而可以得解．
【详解】（1）解：由题意，抛物线开口向下，
，
故答案为：；
当时，
抛物线的对称轴是直线，
；
（2）解：由题意，，且，
，
点在轴下方，点在轴上方，
二次函数的图象与轴有两个交点，
图象过点，
当为抛物线与轴左侧的交点时，则时，二次函数的图象均在轴下方，此时点，两点也都在轴下方，这与题意矛盾，故不成立，从而是抛物线与轴右侧的交点，
，
又点和二次函数与轴的左侧的交点关于直线对称，
左侧交点横坐标为，
左侧交点坐标为，
又在轴上方，于是有，
，即，
在轴下方，且，
又抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
，
，
综上，；
依据题意，点，都在二次函数图象上，且，
又，
在点的右方和上方，
又，
点在对称轴右侧，
又二次函数在对称轴右侧时，值随的增大而减小，
必在对称轴左侧，
，
，
，
由得点更靠近对称轴，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
或，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系，轴对称的性质，解一元一次不等式，求绝对值，解一元二次不等式，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
7．（2024·江苏南京·二模）某平台提供同城配送服务，每单费用=基础配送费+路程附加费+重量附加费．其中，基础配送费为8元；路程附加费的收费标准：当配送路程不超过3千米时，每千米1元，若超过3千米，则超过部分每千米2元；重量附加费y（元）与物品重量之间的函数关系如图中折线所示．
(1)当物品重量为, 配送路程为时，则配送的费用为_____元；
(2)当时，求y 与x 的函数表达式；
(3)某客户需将重量为的物品送到相距处的某地，由于平台规定每单配送物品的重量不得超过, 现需要分两单配送（物品可任意拆分），则两单费用之和的最小值为______元．
【答案】(1)37
(2)当 时 ，y 与x 之间的函数关系式为
(3)62
【分析】（1）由基础费加上路程费即可得到答案；
（2）当时，设y 与x 之间的函数关系式为，把，代入即可得到答案；
（3）求解当时，y 与x 之间的函数关系式为；设一单重量为，则另一单重量为，再分情况讨论即可.
【详解】（1）解：∵物品重量为, 配送路程为，
∴配送的费用为（元）；
（2）解：当时，设y 与x 之间的函数关系式为，
把，代入可得：
，
解得：，
∴y 与x 之间的函数关系式为；
（3）解：当时，设y 与x 之间的函数关系式为，
把，代入可得：
，
解得：，
∴y 与x 之间的函数关系式为；
设一单重量为，则另一单重量为，
当，则，不符合题意；
当时，则；
∴两单费用之和为：
，
当时，费用最小为（元），
当时，则；
∴两单费用之和为：
，
当时，费用最小为（元），
当时，则，
∴两单费用之和为：
，
此时，费用为元，
当时，则，
∴两单费用之和为：
，
当时，费用最小为（元），
当时，则，
∴两单费用之和为：
，
当时，费用最小为（元），
综上：两单费用之和的最小值为元．
【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，不等式的性质，理解题意，熟练的利用一次函数的性质解题是关键.
8．（2024·江苏泰州·一模）学校图书馆计划购进A、B两种图书共计200本，其中A种图书m本(m为整数)，且A种图书的数量不超过B种图书的．根据调查，A、B两种图书原价分别为15元/本、20元/本，且有如下优惠方式：购买A种图书的单价 (元/本)关于购买数量x的函数关系为(且x为整数)，若购买数量超过64本，则所购全部图书的单价与购买64本时的单价相同；购买B种图书的单价 (元/本)关于购买数量x的函数关系为(且x为整数)，若购买数量超过100本，则所购全部图书单价与购买100本时的单价相同．
(1)若购买B种图书100本，则单价为 元/本；
(2)求m的取值范围；
(3)设图书馆购进A、B两种图书共支出w元，则A种图书购买数量m为多少时，支出费用w最低？最低费用为多少？
【答案】(1)10
(2) (m为整数)
(3)m为50时，支出费用w最低，w最低费用为1937.5元
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用、一次函数的实际应用、不等式的实际应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．
（1）将代入中求解，即可解题；
（2）根据问题是实际意义，以及“A种图书的数量不超过B种图书的”建立不等式求解，即可解题；
（3）根据题意列出支出费用w关于的表达式，再根据二次函数的图象与性质求解，即可解题．
【详解】（1）解：，
当时，，
购买B种图书100本，则单价为元/本；
故答案为：．
（2）解：由题知，A种图书m本(m为整数)，则B种图书本，
A种图书的数量不超过B种图书的．
，
解得，
m的取值范围是 (m为整数)；
（3）解：由题知，，
，
，
，
，，
当m为50时，支出费用w最低，w最低费用为元．
9．（2024·江苏南京·三模）甲、乙两人分别骑自行车和电动车同时从A地出发，沿笔直的公路以各自的速度匀速骑往B地，甲到达B地后，立即以原来速度的1.5倍沿原路返回，直至到达A地，乙到达B地后立即停止．甲的速度为．设出发小时后，甲、乙两人离B地的距离分别为．图中线段表示与的函数关系．
(1)乙的速度为_______；
(2)直接写出的函数关系式并画出的函数图象（标上必要的数据）；
(3)若乙到达B地休息后返程，比甲提前回到A地，则乙返程速度（单位：）的取值范围是_______．
【答案】(1)18
(2),作图见解析；
(3)．
【分析】本题主要考查了一次函数的时间运用、一次函数的图像、列函数关系式、不等式的应用等知识点，根据题意正确列出函数关系式和不等式成为解题的关键．
(1)根据图像可知两地距离为36千米, 甲到达B地用时2小时,然后再根据行程问题即可解答;
(2)分甲到达B地前后两种情况,分别列出函数解析式,并化成函数图像;
(3)根据题意列不等式求解即可．
【详解】（1）解: 根据图像可知两地距离为36千米, 甲到达B地用时2小时,则甲的速度为: ．
故答案为:18．
（2）解: 甲以速度为到达B地之前的函数解析式为:;
甲返程的速度为,则返程的函数解析式为: ;
与x的函数关系式为
根据函数解析式画出函数图像如下:
（3）解:设乙返程的速度为,
根据题意可得:,解得: ．
10．（2024·江苏南京·二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明．
(1)已知实数x，y满足，求证．
证明：∵，
∴（实数的加法法则），
（不等式的基本性质1）．
∴（①）．
∵（②），
∴．
∴（③）．
(2)已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．）
【答案】(1)①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）；②平方差公式；③不等式的基本性质1
(2)见解析
【分析】本题考查不等式的性质，实数的加减乘法运算法则，平方差公式，二次根式有意义，关键是掌握不等式的性质．
（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，平方差公式，由此即可证明问题；
（2）根据二次根式有意义，平方差公式，不等式的性质，由此即可证明问题．
【详解】（1）解：①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）．
②平方差公式．
③不等式的基本性质1．
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
，
，
．
11．（2024·江苏扬州·二模）阅读感悟：
代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：
例：已知实数x、y满足，证明：．
证明：因为且x，y均为正，
所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
所以．（不等式的传递性）
解决问题：
(1)请将上面的证明过程填写完整．
(2)尝试证明：若，则．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．
（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题；
（2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题．
【详解】（1）证明：因为且，均为正，
所以，．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变），
所以（不等式的传递性），
故答案为：，；
（2）证明：，
，
．
12．（2024·江苏盐城·二模）定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点，（为自变量取值范围内的任意数），都有点和点关于点成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．例如：和互为“中心对称函数”．
(1)如果点和点关于点成中心对称，那么三个数，，满足的等量关系是 ；
(2)已知函数：① 和；②和；③和，其中互为“中心对称函数”的是_____ （填序号）；
(3)已知函数的“中心对称函数”的图象与反比例函数
的图象在第一象限有两个交点，，且的面积为4．
①求的值；
②反比例函数的“中心对称函数”的图象在第一象限内是否存在最低点，若存在，直接写出反比例函数的“中心对称函数“的函数表达式和该函数图象在第一象限内最低点坐标；若不存在，请简要说明理由；
(4)已知三个不同的点，，都在二次函数（，，为常数，且）的“中心对称函数”的图象上，且满足．如果恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)②③
(3)①；②
(4)
【分析】（1）根据中心对称的性质，得点为点和点连线的中点，即可得到；
（2）由（1）得当时，函数和互为“中心对称函数”，分别将①，②，③组内的两函数相加，若结果为，则互为“中心对称函数”，由此即可得出答案；
（3）先求出函数的“中心对称函数”是，由，为函数与反比例函数的图象在第一象限的两个交点，可设，，再利用割补法求三角形面积得，进而得，再将的代数式代入点坐标，根据反比例函数的值相等，得，求解即可得点的坐标，进而得的值，然后求出的“中心对称函数”为，根据不等式公式可得当时，，当时，在第一象限内的值最小，求解即可得该函数在第一象限内最低点坐标；
（4）由“中心对称函数”的定义得的“中心对称函数”为，根据，都在的图象上，可得，，再根据，将，的代数式代入不等式，得，结合，将不等式化简变形得，再根据点，的纵坐标相等，得抛物线的对称轴为，即，即可得到的取值范围为，然后令，化为顶点式为，根据二次函数的增减性即可得的取值范围．
【详解】（1）解：点和点关于点成中心对称，
，
故答案为：．
（2）解：①令，，
，
和不互为“中心对称函数”，
②令，
，
和互为“中心对称函数”，
③令和，
，
和互为“中心对称函数”，
故答案为：②③．
（3）解：函数的“中心对称函数”是，
如图，令函数与轴，轴的交点分别为，，
令，则，故，
令，则，得，故，
点，为函数与反比例函数的图象在第一象限的两个交点，
设，，
，的面积为4，
，
，
，
，
解得，，
，
，
，
的“中心对称函数”为，
当时，，
，即时，的值最小，
的函数图象在第一象限内最低点坐标为．
（4）解：的“中心对称函数”为，
，都在的图象上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点，的纵坐标相等，
抛物线的对称轴为，即，
，
，
，
令，
当时，随的增大而减小，
时，，即，
恒成立，
．
【点睛】本题综合考查了中心对称的性质，二次函数的图象与性质，反比例函数与一次函数交点问题，不等式的求解，解题关键是读懂题意，理解“中心对称函数”的定义，利用中心对称的性质找到的等量关系，利用割补法求三角形面积，确定反比例函数图象与直线的交点坐标，及待定系数法求函数解析式，掌握不等式的性质，利用二次函数的对称性求对称轴及利用二次函数的增减性求最值．
13．（2024·江苏泰州·二模）
素材1：平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形称为四边形，其中作出一条边所在的直线，其余各边均在其同侧的四边形称为凸四边形，其余各边中有不在同侧的四边形称为凹四边形，换句话说就是，凸四边形的每个内角都小于，凹四边形中有内角大于． 素材2：我们把一组对角相等且只有一组对边相等的凸四边形称为F 四边形．小亮按下列步骤操作得到的四边形ABDE就是F 四边形： 第1步：画，，； 第2步：在边上取一异于B，C的点D，； 第3步；以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点； 第4步：连结、．
活动一：素材反思
思考1：素材2中操作的第2步中为什么要说明“”？ 任务1：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．判断四边形是否为F 四边形，并说明理由；
思考2：素材2中操作的第1步中为什么要说明“”？ 任务2：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．若四边形为F 四边形，求的取值范围；
活动二：图形应用
如图，四边形为F 四边形，，，且． 任务3：记的面积为S，直接写出S的取值范围．
【答案】任务1：四边形不是F 四边形，理由见解析；任务2：，且；任务3：且
【分析】任务1：当时，根据作图可得，，再根据F 四边形的定义，即可判断答案；
任务2：设，列不等式及求解，即得答案；
任务3：以点M为圆心长为半径画弧，交的延长线于点G，连结，过点M作于点H，先证明，得到，再根据变化过程中的临界位置可知，分别对两个临界位置求面积，并注意的情况，即可得到答案．
【详解】任务1：
四边形不是F 四边形；
理由：当时，根据作图可得，，，
∴四边形是平行四边形，此时有两组对边相等，与题中只有一组对边相等不符，
所以不是F 四边形；
任务2：
当时，易得，
，
，
设，
，
又作图可得，，
又，
，
，，
凸四边形的每一个内角都小于，
，
，
，
，
，
综上，且；
任务3：
且．
理由如下：
以点M为圆心长为半径画弧，交的延长线于点G，连结，过点M作于点H，
则，
，
，
，
P，G，Q，M四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
四边形为F 四边形，
，，
由图a和图b中的位置可知，
在图a中，
，
，
，
，
，
，
在图b中，
，
，
当点P在的中点时，，
此时，不符合题意，
S的取值范围是且．
【点睛】本题考查了动态几何问题，圆周角、弧、弦之间的关系，平行四边形的判定与性质，一元一次不等式的应用，全等三角形的判定与性质，几何最值问题等知识，应用一元一次不等式解题及添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．（2024·江苏泰州·二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息：
信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩；
信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：乙种蔬菜每亩种植成本为50元．
根据以上信息完成下列问题：
(1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本；
(2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？
【答案】(1)3000元
(2)甲种蔬菜种植28亩，乙种蔬菜种植72亩
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出相应的方程和不等式．
（1）先将代入，得出，求出乙种蔬菜的种植面积，然后求出乙种蔬菜的种植成本即可；
（2）根据甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元，得出，求出x的值，根据甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩，求出，得出结果即可．
【详解】（1）解：令，
∴，
解得：，
∴乙种蔬菜种植面积为（亩），
（元）
答：乙种蔬菜总种植成本为3000元．
（2）解：由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∵且，
∴，
∴，此时乙种蔬菜种植（亩）
答：甲种蔬菜种植28亩，乙种蔬菜种植72亩．
15．（2024·江苏泰州·二模）为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会．其中男子立定跳远项目初赛成绩前10名的学生直接进入决赛．未进入决赛的学生可以通过复活赛进入决赛，在复活赛中每人要进行5次测试，5次测试成绩的平均数高于直接进入决赛的10名学生中一半学生的成绩，则有可能进入决赛；（注：所有测试成绩数值取整数，单位为厘米）直接进入决赛的10名学生的立定跳远成绩及其平均数、中位数、众数如下表：
成绩 平均数 中位数 众数
244，243，241，240，240，238，238，238，237，236 239.5 m n
(1)填空： ， ．
(2)若甲学生复活赛前4次测试成绩为236，238，240，237，要想有可能进入决赛，第5次测试成绩至少为 ；
(3)已知A、B两名学生的5次复活赛测试成绩及相关统计数据如下表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 平均数 中位数 众数 方差 最好成绩
A 237 239 240 244 235 239 239 9.2 244
B 237 242 237 239 240 239 239 237 3.6 242
现仅剩下一个进入决赛名额，组委会最终选择了B学生进入决赛，你认为组委会做出决定的依据可能是什么？请阐明理由．
【答案】(1)239，238
(2)240
(3)依据的方差，理由：A和B的平均数，中位数都一样，最好成绩也是A更好，但B的方差较小，成绩更加稳定
【分析】（1）将进入决赛的十名学生的成绩从小到大排列，再根据中位数、众数的概念作答即可；
（2）根据题意可知甲的平均成绩至少要比236，237，238，238，238这5个成绩要高才有可能进入决赛，设第五次的成绩为，据此列出，作答即可；
（3）依据方差越小，数据越稳定作答即可．
【详解】（1）进入决赛的十名学生的成绩从小到大排列，如下：
236，237，238，238，238，240，240，241，243，244，
则中位数为：，
238出现的次数最多，则这组数的众数为，
故答案为：239，238；
（2）∵5次测试成绩的平均数高于直接进入决赛的10名学生中一半学生的成绩，则有可能进入决赛，
∴甲的平均成绩至少要比236，237，238，238，238这5个成绩要高才有可能进入决赛，
设第五次的成绩为，成绩取整数，
∴，
解得：，
∴最小的正整数成绩为240，
故答案为：240；
（3）∵A和B的平均数，中位数都一样，B成绩的方差小于A成绩的方差，
∴B的成绩相比较于A，更加稳定，
∴选择B
即理由： B的方差较小，成绩更加稳定．
【点睛】本题考查了中位数，众数，一元一次不等式的应用，算术平均数等知识．熟练掌握中位数，众数，一元一次不等式的应用，算术平均数是解题的关键．
16．（2024·江苏苏州·一模）一个高为的圆柱形玻璃杯中存有一定量的水，将大小相同的棋子轻轻投入该玻璃杯中，玻璃杯中水面的高度会随着投入的棋子数（枚）的变化而变化．根据表格中的信息，解答下列问题：
（枚） 3 12
12 15
(1)求与的函数表达式；
(2)要使水不溢出玻璃杯，最多可以投入多少枚棋子？
【答案】(1)；
(2)57
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式和一元一次不等式的解法是本题的关键．
（1）由题意可知，每投入一枚棋子，水面高度上升的数量一定，故是的一次函数，利用待定系数法求出与的函数表达式即可；
（2）将与的函数表达式代入并求解，求出的最大值即可．
【详解】（1）解：由题意可知，每投入一枚棋子，水面高度上升的数量一定，
是的一次函数．
设与的函数表达式为、为常数，且．
将，和，代入，
得，
解得，
与的函数表达式为．
（2）解：要使水不溢出玻璃杯，则，
解得，
要使水不溢出玻璃杯，最多可以投入57枚棋子．
17．（2024·江苏宿迁·一模）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队．接下来不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列，食堂目前开放了4个售餐窗口．（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队够餐，每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示．
(1)求a的值．
(2)求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数．
(3)若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？
【答案】(1)4
(2)160人
(3)6
【分析】（1）根据题意，得a进入人数为，此时排队总人数为；
每分钟一个窗口售出15份，a分钟售出，4个窗口共售出，余下人数为，建立等式解答即可．
（2）设线段的解析式为，根据题意，得，解方程组，得到解析式，后计算当时的函数值即可．
（3）设需要开放x个窗口，根据题意，每分钟一个窗口售出15份，7分钟售出，x个窗口共售出，此时排队总人数为；故，解答即可．
本题考查了图象信息，待定系数法，不等式的应用，熟练掌握待定系数法，不等式的应用是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，得a进入人数为，此时排队总人数为；
每分钟一个窗口售出15份，a分钟售出，4个窗口共售出，
余下人数为，
根据图象信息，得，
解得，
故a的值为4．
（2）设线段的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故线段的解析式为，
当时，
，
故开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数为160．
（3）设需要开放x个窗口，根据题意，每分钟一个窗口售出15份，7分钟售出，x个窗口共售出，此时排队总人数为；
故，
解得，
由x必需是正整数，
故至少开放6个窗口．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 不等式与不等式组
课标要求 考点 考向
结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质； 能运用不等式的基本性质对不等式进行变形； 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集； 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集； 能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式，解决简单的实际问题，建立模型观念。 不等式 考向一 不等式的性质
考向二 解一元一次不等式
考向三 一元一次不等式的应用
不等式组 考向一 解一元一次不等式组
考向二 方程组、分式方程与不等式结合应用
考点一 不等式
考向一 不等式的性质
1．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
考向二 解一元一次不等式
1．关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ．
2．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
考向三 一元一次不等式的应用
1．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ．
2．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元．
3．如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围) ．
考点二 不等式组
考向一 解一元一次不等式组
1．（2024·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组．
2．（2024·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
3．（2024·江苏扬州·中考真题）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
考向二 方程组、分式方程与不等式结合应用
1．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．
相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多
2．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
(1)求两种型号劳动用品的单价；
(2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
(1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？
(2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
1．（2024·江苏盐城·三模）为了减少碳的排放和更高的利用新能源，国家提倡绿牌电动车出行，绿牌电动车的国家标准如图所示，如果电动自行车的车速是，电池电压是，可载一名未成年人的年龄是周岁，可列出不等式正确的是（ ）
执行标准 GB17761-2018
最高车速
电池电压 不超过48V
能否载人 可载一名16周岁以下未成年人
车辆属性 非机动车
是否需要驾驶证 不需要
A． B． C． D．
2．（2024·江苏苏州·一模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏无锡·一模）已知、、满足等式，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2024·江苏南通·二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（ ）
A． B．6 C． D．3
5．（2024·江苏无锡·二模）直线经过点且平行于轴，二次函数的图象与直线没有公共点，那么应满足条件： ．
6．（2024·江苏盐城·二模）已知二次函数的图象开口向下，且经过，两点．
(1) （填“”或“”）；
当时，求的值；
(2)若点和点也在二次函数图象上，且，．
求的取值范围；
若两不同点和都在二次函数的图象上，且始终满足，求的取值范围．
7．（2024·江苏南京·二模）某平台提供同城配送服务，每单费用=基础配送费+路程附加费+重量附加费．其中，基础配送费为8元；路程附加费的收费标准：当配送路程不超过3千米时，每千米1元，若超过3千米，则超过部分每千米2元；重量附加费y（元）与物品重量之间的函数关系如图中折线所示．
(1)当物品重量为, 配送路程为时，则配送的费用为_____元；
(2)当时，求y 与x 的函数表达式；
(3)某客户需将重量为的物品送到相距处的某地，由于平台规定每单配送物品的重量不得超过, 现需要分两单配送（物品可任意拆分），则两单费用之和的最小值为______元．
8．（2024·江苏泰州·一模）学校图书馆计划购进A、B两种图书共计200本，其中A种图书m本(m为整数)，且A种图书的数量不超过B种图书的．根据调查，A、B两种图书原价分别为15元/本、20元/本，且有如下优惠方式：购买A种图书的单价 (元/本)关于购买数量x的函数关系为(且x为整数)，若购买数量超过64本，则所购全部图书的单价与购买64本时的单价相同；购买B种图书的单价 (元/本)关于购买数量x的函数关系为(且x为整数)，若购买数量超过100本，则所购全部图书单价与购买100本时的单价相同．
(1)若购买B种图书100本，则单价为 元/本；
(2)求m的取值范围；
(3)设图书馆购进A、B两种图书共支出w元，则A种图书购买数量m为多少时，支出费用w最低？最低费用为多少？
9．（2024·江苏南京·三模）甲、乙两人分别骑自行车和电动车同时从A地出发，沿笔直的公路以各自的速度匀速骑往B地，甲到达B地后，立即以原来速度的1.5倍沿原路返回，直至到达A地，乙到达B地后立即停止．甲的速度为．设出发小时后，甲、乙两人离B地的距离分别为．图中线段表示与的函数关系．
(1)乙的速度为_______；
(2)直接写出的函数关系式并画出的函数图象（标上必要的数据）；
(3)若乙到达B地休息后返程，比甲提前回到A地，则乙返程速度（单位：）的取值范围是_______．
10．（2024·江苏南京·二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明．
(1)已知实数x，y满足，求证．
证明：∵，
∴（实数的加法法则），
（不等式的基本性质1）．
∴（①）．
∵（②），
∴．
∴（③）．
(2)已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．）
11．（2024·江苏扬州·二模）阅读感悟：
代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：
例：已知实数x、y满足，证明：．
证明：因为且x，y均为正，
所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
所以．（不等式的传递性）
解决问题：
(1)请将上面的证明过程填写完整．
(2)尝试证明：若，则．
12．（2024·江苏盐城·二模）定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点，（为自变量取值范围内的任意数），都有点和点关于点成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．例如：和互为“中心对称函数”．
(1)如果点和点关于点成中心对称，那么三个数，，满足的等量关系是 ；
(2)已知函数：① 和；②和；③和，其中互为“中心对称函数”的是_____ （填序号）；
(3)已知函数的“中心对称函数”的图象与反比例函数
的图象在第一象限有两个交点，，且的面积为4．
①求的值；
②反比例函数的“中心对称函数”的图象在第一象限内是否存在最低点，若存在，直接写出反比例函数的“中心对称函数“的函数表达式和该函数图象在第一象限内最低点坐标；若不存在，请简要说明理由；
(4)已知三个不同的点，，都在二次函数（，，为常数，且）的“中心对称函数”的图象上，且满足．如果恒成立，求的取值范围．
13．（2024·江苏泰州·二模）
素材1：平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形称为四边形，其中作出一条边所在的直线，其余各边均在其同侧的四边形称为凸四边形，其余各边中有不在同侧的四边形称为凹四边形，换句话说就是，凸四边形的每个内角都小于，凹四边形中有内角大于． 素材2：我们把一组对角相等且只有一组对边相等的凸四边形称为F 四边形．小亮按下列步骤操作得到的四边形ABDE就是F 四边形： 第1步：画，，； 第2步：在边上取一异于B，C的点D，； 第3步；以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点； 第4步：连结、．
活动一：素材反思
思考1：素材2中操作的第2步中为什么要说明“”？ 任务1：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．判断四边形是否为F 四边形，并说明理由；
思考2：素材2中操作的第1步中为什么要说明“”？ 任务2：在，，，在边上取一点D，，以D为圆心，长为半径画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，两弧交于E点，连结、．若四边形为F 四边形，求的取值范围；
活动二：图形应用
如图，四边形为F 四边形，，，且． 任务3：记的面积为S，直接写出S的取值范围．
14．（2024·江苏泰州·二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息：
信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩；
信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：乙种蔬菜每亩种植成本为50元．
根据以上信息完成下列问题：
(1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本；
(2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？
15．（2024·江苏泰州·二模）为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会．其中男子立定跳远项目初赛成绩前10名的学生直接进入决赛．未进入决赛的学生可以通过复活赛进入决赛，在复活赛中每人要进行5次测试，5次测试成绩的平均数高于直接进入决赛的10名学生中一半学生的成绩，则有可能进入决赛；（注：所有测试成绩数值取整数，单位为厘米）直接进入决赛的10名学生的立定跳远成绩及其平均数、中位数、众数如下表：
成绩 平均数 中位数 众数
244，243，241，240，240，238，238，238，237，236 239.5 m n
(1)填空： ， ．
(2)若甲学生复活赛前4次测试成绩为236，238，240，237，要想有可能进入决赛，第5次测试成绩至少为 ；
(3)已知A、B两名学生的5次复活赛测试成绩及相关统计数据如下表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 平均数 中位数 众数 方差 最好成绩
A 237 239 240 244 235 239 239 9.2 244
B 237 242 237 239 240 239 239 237 3.6 242
现仅剩下一个进入决赛名额，组委会最终选择了B学生进入决赛，你认为组委会做出决定的依据可能是什么？请阐明理由．
16．（2024·江苏苏州·一模）一个高为的圆柱形玻璃杯中存有一定量的水，将大小相同的棋子轻轻投入该玻璃杯中，玻璃杯中水面的高度会随着投入的棋子数（枚）的变化而变化．根据表格中的信息，解答下列问题：
（枚） 3 12
12 15
(1)求与的函数表达式；
(2)要使水不溢出玻璃杯，最多可以投入多少枚棋子？
17．（2024·江苏宿迁·一模）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队．接下来不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列，食堂目前开放了4个售餐窗口．（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队够餐，每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示．
(1)求a的值．
(2)求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数．
(3)若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？
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