山东省临沂第一中学2025届高三下学期4月月考数学试卷（含答案）

山东省临沂第一中学2025届高三下学期4月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.若复数满足是虚数单位，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
4.设，则( )
A. B. C. D.
5.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知的半径为，直线恒过点，且成等差数列，过点作的切线，则点到切点的距离为( )
A. B. C. D.
7.只用，，这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.已知函数，对任意，都有，且存在，使得，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组样本数据，，，的平均数为，标准差为另一组样本数据，，，的平均数为，标准差为两组数据合成一组新数据，，，，，，，新数据的平均数为，标准差为，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数的导函数为，下列判断正确的是( )
A. 函数关于中心对称，函数关于轴对称
B. 在复数范围内方程有三个根，且三个根的和为
C. 时，
D. 四次函数必为轴对称函数
11.如图，在直棱柱中，，，，，是中点过作与平面平行的平面，若平面，平面，则( )
A. ，，，四点共面
B. 棱柱没有外接球
C. 直线，所成的角为
D. 四面体与四面体的公共部分的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大值为 ．
14.已知的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
若，边上的中线，求的面积．
16.本小题分
如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点．

证明：；
若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴
求的方程；
过点的直线交于两点，求面积的最大值．
18.本小题分
深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩每位游客若选择只游览海滨栈道，则记分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记分假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率．
从游客中随机抽取人，记这人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求；
从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；
设函数，给出的定义域，并证明：曲线是轴对称图形；
证明：．
参考答案
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15.解：中，，
由正弦定理得，，
，
，
又，，，，
，又，；
在中，，，
根据余弦定理得，，
即，
又因为，所以，所以，
解得或舍，
的面积为．
16.取中点，连接
平面平面，平面平面平面
平面
平面

，即
又平面平面
平面
连接，设，连接
平面平面，平面平面
，易知
取中点，连接，则两两互相垂直．
分别以为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系

则
，
，
设平面的一个法向量
则即令，则
设直线与平面所成角为，则
即直线与平面所成角的正弦值为
17.依题意，右焦点，则左焦点，而，轴，
则，于是，
解得，，所以椭圆的方程为．
依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，
由消去并整理得，
，解得，
设，则
则面积，
令，则，且，
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为．
18.依题意，随机变量的可能取值为，
则，，
所以的分布列如下表所示：

数学期望为．
由这人的合计得分为分，得其中只有人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，
于是，令数列的前项和为，
则，
于是，
两式相减得
，因此，
所以．
在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取人，则这些人的合计得分可能为分或分，
记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件，
则，，，即，
由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列，
，因此，
随着的无限增大，无限趋近于，无限趋近于，
所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数．
19.解：由于，
由题意可知，则；
证明：令，
则的定义域为，
故该定义域关于直线对称，
，
故曲线关于直线对称，是轴对称图形；
证明：当时，
，
则，
令，
得，
当时，，此时，
故当时，，函数在上单调递增，
则，
取，可得，
于是，
则，
整理得
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