2024-2025学年天津实验中学高三（下）月考数学试卷（四）(含答案）

2024-2025学年天津实验中学高三（下）月考数学试卷（四）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，设集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购买了几台型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间单位：年与当年所需要支出的维修费用单位：千元有如下统计资料：
根据表中的数据可得到线性回归方程为，则( )
A. 与的样本相关系数
B.
C. 表中维修费用的第百分位数为
D. 该型跑步机已投入使用的时间为年时，当年所需要支出的维修费用一定是万元
4.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.已知，若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
7.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，的最大负零点在区间上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图所示的几何体是从棱长为的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
9.如图，在高为的圆柱形筒中，放置两个半径均为的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.为虚数单位，计算______．
11.的展开式中的系数为，则 ______．
12.已知直线：和圆：相交于，两点，当的面积最大时， ______．
13.在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同、颜色互不相同的小球某人先后两次任意摸取小球每次至少摸取个小球，第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色则“两次记下的小球颜色能凑齐种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为______．
14.在中，点，分别在边，上，，，若，交于点，则 ______；当，，时，的面积为______．
15.设，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
求的值；
若时，求的面积．
17.本小题分
如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足，，，，平面．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
椭圆中，离心率是，右顶点到上顶点的距离为．
求椭圆的标准方程；
设椭圆的左顶点为，经过点的直线与椭圆交于，，过点作的平行线，与交于点判断是否在定直线上？若在，求出该直线；若不在，请说明理由．
19.本小题分
对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列．
若数列为数列的偶数列，求．
若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列．
在的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和．
20.本小题分
已知函数，其中．
当时，求函数在点处的切线方程其中为自然对数的底数
已知关于的方程有两个不相等的正实根，，且．
(ⅰ)求实数的取值范围；
(ⅱ)设为大于的常数，当变化时，若有最小值，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
16.解：已知在中，，
，由余弦定理得，，
又，
，化简得，
．
由得，
为锐角，，
，，
的面积．
17.解：证明：因为且，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为菱形，所以．
因为平面，平面，所以，
又，，平面，，
所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，，
所以平面．
因为平面，平面，所以，
又，，
以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
所以，
由知平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，则，
令，得，，所以．
故，
平面与平面夹角的余弦值为；
假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
设，
则
，
解得或，
所以线段上存在点，当或时，
使得直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：由题意可得，，
解得，，
所以椭圆的标准方程为；
在定直线上，证明如下：
由题可得，，，
由已知可得，所以，，三点不共线，所以直线斜率不为，
则设直线的方程为，
联立，消去可得，，
，
设，，则，，所以，
直线，直线，
由联立，消去可得，
即，
即，
即，解得，
故点在定直线上．
19.解：由于数列为数列的偶数列，
而在区间内的偶数为，，，，，共有个，
则．
证明：在区间内的偶数为，，，，，
则．
因为，
所以是首项为，公比为的等比数列．
设等差数列的公差为，由于，，
则，
所以，
所以．
由知，，
则，
所以，
上式等号两边同时乘以可得，，
以上两式相减可得：
，
故．
．
20.解：当时，，，
，又，
函数在点处的切线方程为，即；
，即，则有，，
设，，则，令，得，
令，得，令，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
又趋向于时，趋向负无穷，趋向于正无穷大时，无限趋向，且，
所以函数的大致图象如下：
由题意，方程有两个不相等的正实根，
即方程有两个不相等的正实根，
函数的图象与直线有两个交点，
由图知，，故实数的取值范围为；
，由(ⅰ)得，则，
，设，则，
即，，
由题意有最小值，即有最小值，
设，，则，
记，则，
由于，，时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
又，，且趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大，
故存在唯一，使得，
时，，即，在上单调递减，
时，，即，在上单调递增，
时，有最小值，
而，则，即，
，
由题意知，令，
设，则，
设，则，
设，则，
故H在上单调递增，，此时在上单调递增，
有，此时，故在上单调递增，
又，故的唯一解是，
故的唯一解是，即，
综上所述，．
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