2024-2025学年浙江省台州市山海协作体高一下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省台州市山海协作体高一下学期4月期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知、为单位向量，且，则，的夹角为( )
A. 或 B. C. 或 D.
3.在中，，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.一个腰长为的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，形成的几何体的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知，则向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则( )
A. B.
C. D. 与的大小关系不确定
7.在中角所对的边分别为，若，，，则( )
A. 当时， B. 当时，有两个解
C. 当时，只有一个解 D. 对一切，都有解
8.已知正方体的棱长为，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的值为
B. 若，则的值为
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
10.设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角也被称为的辐角利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为( )
A. B.
C. D.
11.如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为底面上的动点包括边界，则( )
A. 满足平面的点的轨迹长度为
B. 满足的点的轨迹长度小于
C. 存在点满足
D. 存在点满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知灯塔在海洋观测站的北偏东的方向上， ， 两点间的距离为海里．某时刻货船 在海洋观测站 的南偏东的方向上，此时 ， 两点间的距离为海里，该时刻货船与灯塔间的距离为 海里．
13.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ．
14.在中，，，的外接圆为圆，为圆上的点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
平面内给定两个向量
求夹角的余弦值．
求
16.本小题分
在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数．
求的值：
复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在几何体中，四边形为平行四边形，为的中点，平面平面
证明：平面
证明：
18.本小题分
设的三个内角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，求的最大值；
若为锐角三角形，且，求的取值范围．
19.本小题分
在中，点是内一点，
如图，若，过点的直线交直线分别于两点，且，已知为非零实数试求的值．
若，且，设，试将表示成关于的函数，并求其最小值．
参考答案
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15.【详解】由题意可得，，
则夹角的余弦值．
由题意可得，
则．

16.【详解】由题意可知，，
故，
由题意，得．
由可得，
，
由题意可得得，故实数的取值范围为．

17.证明：在平行四边形中，连接交于点，
则为的中点，连接，
因为点为中点，
所以为的中位线，
所以，
所以平面，平面，
所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面平面，
所以．

18.【详解】，，，；
由余弦定理可得，，
，
的最大值为，当且仅当时取到；
，，．
，
，
，．

19.【详解】一方面，
故．
另一方面，由，，三点共线知，
所以，即
消去，得，故．
由得，，因为，
所以，所以；，所以；
所以
当目仅当即时等号成立，
所以．

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