2024-2025学年山东省枣庄市滕州市高一下学期4月期中质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省枣庄市滕州市高一下学期4月期中质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是( )
A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱
3.用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为( )
A. B. C. D.
4.已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
5.已知是不共线的向量，且，则( )
A. ，，三点共线 B. ，，三点共线
C. ，，三点共线 D. ，，三点共线
6.平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为，则的大小为( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的轴截面为，为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，为其外心若外接圆半径为，且，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. 若复数为实数，则 B. 若复数为纯虚数，则
C. 当时， D. 当时，
10.我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．，分别为，正方向上的单位向量若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记( )
A. 若向量，的“@未来坐标”分别为，，则
B. 若向量的“@未来坐标”为，则
C. 若向量，的“@未来坐标”分别为，，则的“@未来坐标”为
D. 若向量，的“@未来坐标”分别为，，则
11.下列选项中，值为的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ．
13.已知，且，，则 ．
14.在圆内接四边形中，，，，则四边形面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在高为的正三棱柱中，，是棱的中点．
求三棱锥的体积；
设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值．
16.本小题分
设复数，．
若是实数，求；
若复数满足，求的最小值．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别，，已知．
求；
若，，设为延长线上一点，且，求线段的长．
18.本小题分
某居民小区内建有一块矩形草坪，，，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路，和，考虑到小区整体规划，要求是的中点，点在边上，点在边上，且．
设，试将的周长表示成的函数关系式；
求的周长的最小值．
19.本小题分
在中，．
如图一，若，用，表示，你能得出什么结论并加以证明．
如图二，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点，．
用，表示；
设，，求的最小值．
参考答案
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10.
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13.
14.
15.解：
，
所以；
将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示．
当三点共线时，取得最小值，且最小值为．
16.解：由是实数，
所以，
则
设，
则由，
引入参数，可得，
所以
，其中，
此时
17.解：，
由正弦定理可得，，
，
，
，
由知，
，，
由正弦定理可得，，即，
，
或舍去，
，
，
，，
，
．
18.解：在中，，
，
在中，，
，
又，
，
即．
当点在点时，这时角最小，求得此时；
点在点时，这时角最大，求得此时．
所以的周长关于的函数关系式为：，．
由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长最小值即可．
由Ⅰ得，，，
设，则，
，
，
，，
，，
从而，
当，即时，．
19.解：因为，
所以
．
结论：如图：在直线上，若，则．
证明如下：
因为在直线上，所以存在实数，使，
所以，整理得，
若，则．
若，，则，，
因为三点共线，设，
则，
因为三点共线，设，
则，
因为与不共线，所以，解得
所以．
因为，，
所以，，
所以，
因为三点共线，所以，则，
所以，
当且仅当即时，取到最小值．

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