2024-2025学年山东省泰安市新泰市第一中学北校高一下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省新泰市第一中学北校高一下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，且在上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
2.若的直观图如图所示，，，则顶点到轴的距离是( )
A. B. C. D.
3.若复数满足，则复数的实部为( )
A. B. C. D.
4.已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，且，，则
D. ，，三个平面最多可将空间分割成个部分
5.中，内角，，的对边分别是，，已知，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在正三棱柱中，，若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为( )
A. B. C. D.
7.如图，矩形中，，，与相交于点，过点作，垂足为，则 ．
A. B. C. D.
8.如图，已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，若为侧面内含边界的动点，且平面，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，是关于的方程的两根，则( )
A. B.
C. D.
10.如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有( )
A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线
C. 与平行 D. 直线与共面
11.在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ．
13.在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为 ．
14.，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，其中是正实数．
若，求实数的值；
若是纯虚数，求的值．
16.本小题分
在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．
若，求的值；
求的取值范围．
17.本小题分
如图，在正方体中，为的中点．
求证：平面；
若为的中点，求证：平面平面．
18.本小题分
已知在中，内角，，所对的边分别是，，，且满足A.
求角
若点在线段上，且平分，若，且，求的面积．
19.本小题分
如图，四边形是圆台下底面圆的内接四边形，，为底面圆周上一动点，，为圆台的母线，，圆台上底面的半径为．
求该圆台的表面积；
求四棱锥的体积的最大值．
参考答案
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15.解：，，，
，从而，解得，
所以实数的值为．
依题意得：，
因为是纯虚数，所以，解得或；
又因为是正实数，所以．

16.解：由图知：，，
所以，
所以，
又，，，
所以．
由知：，
令且，则，，
所以．
则．

17.解：如图：连接，设，连接，
在正方体中，四边形是正方形，是中点，
是的中点，，
平面，平面，
平面．
如图：连接，，
为的中点，为的中点，
，又，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面
由知平面，，平面，平面，
平面平面．

18.解：因为，
由正弦定理得：，
即，A.
因为，故，故A．
如图，因为，
根据角平分线定理知，即，
的面积，
又的面积
又的面积，
从而，解得，
故的面积．
19.解：因为，所以，
因为，
在中，由余弦定理得
，
得，
由正弦定理可知外接圆直径，
所以下底面半径，上底面半径．
圆台侧面积，，，
所以，圆台表面积．
在四边形中，，
在中，由余弦定理，
则，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，的面积，
所以四边形面积的最大值为，
取圆台上底面的圆心为，下底面的圆心为，
在四边形中，由勾股定理可得圆台的高，，
所以四棱锥的体积为，
所以四棱锥的体积的最大值为．
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