2024-2025学年山东省菏泽市第一中学高一下学期4月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省菏泽市第一中学高一下学期4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.四等分切割如图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，则圆柱的侧面积是( )
A. B. C. D.
2.已知非零向量，，则在方向上的投影向量长度为( )
A. B. C. D.
3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为( )
A. B. C. D.
4.在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：

与是异面直线；
相交于一点；
；
平面．
其中错误的个数为( )
A. B. C. D.
6.在中，分别为角的对边，则的形状为
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
7.如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则下列说法正确的是( )
A. B. C. 的虚部为 D.
10.已知点是三角形的边上的点，且，以下结论正确的有( )
A. 若点是的中点，，则
B. 若平分，则
C. 三角形外接圆面积最大值为
D. 若，则内切圆半径为
11.已知直三棱柱中，，点分别为棱的中点，是线段上包含端点的动点，则下列说法正确的是( )
A. 直三棱柱外接球的半径为
B. 三棱锥的体积与的位置无关
C. 若为的中点，则过三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形
D. 一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角的对边分别为，且，则的面积为 ．
13.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么，，，这四条线段所在直线是异面直线的有 对．
14.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为已知点为的费马点，角，，所对的边分别为，，，若，，边上的中线长为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．
求的值
记复数，求复数的模．
16.本小题分
已知单位向量满足
求的值；
设与的夹角为，求的值；
17.本小题分
在中，对应的边分别为，已知向量，，且，为边上一点，且．
求；
求面积的最大值．
18.本小题分
已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为．
求该圆锥的侧面积；
求圆锥的内切球的表面积；
求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值．
19.本小题分
在中，，，对应的边分别为，，，
求；
若为线段内一点，且，求线段的长；
法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在的条件下，若，求：的最小值；
参考答案
1.
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4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：由题意得：，即，
所以，所以，，
解得：，．
，，，
所以．
16.解：因为为单位向量，所以，
所以，得到，
则，
则
因为，所以，
而
所以，
即
17.解：因为，，且，
所以，
利用二倍角公式和正弦定理可得：，
即，
所以，
因为，
所以，
又因为，所以，所以，即；
因为，
所以，
两边平方得：，
所以，当且仅当时取等号，
由，可得：，
所以，
所以面积的最大值为．
18.解：设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
，解得负值舍去，
又，所以，
圆锥的侧面积；
作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，
设内切球半径为，即，则，
所以，
由可知，圆锥的高，，
则有，解得，
所以圆锥的内切球的表面积；
由知圆锥的高，
作出轴截面如图所示：为正四棱柱的底面对角线，
令正四棱柱的底面边长为，高为，
则，
由得，
，
所以正四棱柱的侧面积
，当且仅当，即时等号成立，
所以该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为．
19.解：因为
所以，
由正弦定理，
所以
即：，又，所以；
方法一因为，所以，
所以，
所以
，及
方法二以所在的直线为轴，为坐标原点建立坐标系，如图，
则
则：
所以；
根据柯西不等式：

当且仅当为正三角形时取等号
即：的最小值为．

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