4月下旬之函数—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025九下·洞头模拟）已知两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当－时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵，
A.当时，点，点都在第一象限，
∴，A正确；
B.C.当时，，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴，B错误、C错误；
D.当时，，则点，点都在第三象限，
∴，D错误；
故答案为：A．
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质.根据反比例函数的性质可得：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．当时，点，点都在第一象限，再根据，据此可判断的大小，判断A选项；当时，，点在第三象限，点在第一象限，再根据，据此可判断的大小，判断B选项和C选项；当时，，则点，点都在第三象限，再根据，据此可判断的大小，判断D选项.
2．（2025·衢州模拟）已知是一个正数，点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 点都在反比例函数的图象上，
∴
解得：
∵是一个正数，
∴
∴中最小，只有A符合.
故答案为：A.
【分析】先分别求得三个自变量的值，再根据a的符号来确定三个自变量的符号，然后利用排除法求解.
3．（2025九下·定海模拟）已知反比例函数 的图象与一次函数的图象交于点，．则下列各式的值最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的象与一次函数 的象交于点.
∴反比例函数象分布在第一、三象限，点A、B不在同一象限内， 当点A在第三象限，点B在第一象限，且
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数和一次函数的图象可知交点分别位于分别一、三象限，然后根据增减性逐一判断解题.
4．（2025·镇海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数 的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（ ）
A．8 B．10 C．11.5 D．13
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
二、填空题
5．（2025·浙江模拟）如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，坐标系中有三点，设直线的解析式分别为.则，中，最大值为 （填具体数值）.
【答案】4
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将A（3，1），B（2，-2）代入，得，
解得：，
∴，
将B（2，-2），C（1，0）代入，得，
解得：，
∴，
将A（3，1），C（1，0）代入，得，
解得：，
∴，
∴，中，最大值为4，
故答案为：4.
【分析】将A，B，C的坐标分别代入三个解析式中求出的值，再求出，的值进行比较即可.
6．（2025·江北模拟）如图所示是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③的最大值为3；④方程有两个不相等的实根．其中正确的为 ．
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
，
∴此结论正确；
②∵抛物线过点（3，0）且对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴，
∴此结论正确．
③∵抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴当时，有最大值，其值与有关，
∴此结论错误；
④∵方程的根就是的图象与的交点，
由图象知，的图象与的图象有两个交点．
∴此结论正确．
故答案为：①②④．
【分析】①由抛物线的开口方向和与y轴的交点可判断a、c的符号，结合抛物线的对称轴所在的位置可判断b的符号，于是可判断abc的积的符号；
②根据抛物线与x轴的一个交点为（3，0）且对称轴为x=1可求得抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），把这个交点代入抛物线的解析式可求解；
③根据抛物线的开口向下，且对称轴为x=1可求解；
④根据二次函数的图象与x轴的交点可求解．
三、解答题
7．（2025·浙江模拟）小明骑自行车从体育馆去往火车站，小聪骑自行车从火车站去往体育馆，两人同时出发。出发1.2h后小明停下休息，直至与小聪相遇后，以原速度继续骑行，比小聪先到达终点。设小聪骑行时间为x（单位：h），两人之间的距离为y（单位：km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。
（1）信息读取：
体育馆、火车站两地之间的距离为 km；
（2）图象理解：
求小明、小聪各自骑自行车的速度；
（3）求两人出发多少小时后相距4km。
【答案】（1）60
（2）解：小聪骑自行车的速度：
（km/h）
小明骑自行车的速度：
（km/h）
（3）解：由题意可得，C（1.2，12），，，
设直线CE为y=kx+b，
则，解得：.
所以直线CE的函数表达式为y=-15x+30，
设直线DE的函数表达式为y=k'x+b'，
则，解得：，
所以直线DE的函数表达式为y=40x–80，
∵两人出发后相距4km，
∴-15x+30=4或40x–80=4，
解得：或.
∴两人出发h或h后相距4km.
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）观察图象可知，体育馆、火车站两地之间的距离为60km.
故答案为：60；
【分析】（1）通过观察图象，直接求得；
（2）行人分别求得小聪两人骑自行车的速度，两人骑自行车的速度和，再求得小明的骑自行车速度；
（3）先求出C、D、E的坐标，再求出CE、DE的函数解析式，再根据两人出发后相距4km，列出方程求解.
8．（2025九下·温州月考）一辆小轿车和一辆大客车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段OD分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同.请结合图象解答下列问题：
（1）分别求小轿车和大客车的速度；
（2）小轿车和大客车出发后，是否能再次相遇，若能相遇，求出相遇时与甲地的距离；若不能相遇，请说明理由；
（3）求出发后经过多少小时两车相距10km？
【答案】（1）由图象可知：小轿车的速度为：，
大客车的速度为：，
小轿车的速度为，大客车的速度为
（2）由图像可知：，
小轿车往返的速度相同，
，
设BC的解析式为，过点，
，
解得：，
的解析式为，
设OD的解析式为，过点，
，
解得：，
的解析式为，
联立方程组，得：，
解得：，
两车出发2.7小时后相遇，此时距离甲地108km
（3）设OA的解析式为，过点，
，
解得：，
的解析式为，
当时，
得：，解得：；
当时，则，
得：，
此时，两车相距超过10km；
当时，
得：，
解得：或；
综上所述，出发后经过0.5小时或2.6小时或2.8小时两车相距10km
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；
(2)先确定BC与OD所在直线的解析式，再联立方程组求解即可确定两车出发多少小时两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程；
(3)分，，三种情况，列方程解答即可.
9．（2025年浙江省杭州市中考数学多校联考模拟试卷）某超市购入一批进价为40元/箱的牛奶进行销售，销售单价不低于45元，且不高于60元．经市场调查发现：日销售量（箱）与销售单价（元）（为正整数）是一次函数关系，如图所示．
（1）求与的函数关系式；
（2）牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若日销售利润不少于375元，直接写出所有满足条件的销售单价．
【答案】（1）
（2）当销售单价为元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是元
（3）元、元、元、元、元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
10．（2025·钱塘模拟）已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点．
（1）求的值．
（2）若二次函数的图象经过点，求的最小值．
（3）若二次函数在时，，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）的最小值为
（3）的取值范围是
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
11．（2025九下·金华模拟）如图1，两个实心直棱柱叠成的“几何体”水平放置在直棱柱容器内，三个直棱柱底面均为正方形.现向容器内匀速注水，注满为止.在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图2.已知容器底面边长为.
（1）容器内“几何体”的高度是多少 水淹没该“几何体”需要多少时间？
（2）求注水的速度.
（3）求直棱柱的底面边长.
【答案】（1）解： 容器内“几何体”的高度是9cm，水淹没该“几何体”需要10s时间.
（2）解：设匀速注水的水流速度为 ，
段： 注满用时 ( )，这段高度为 ，
，解得 .
所以注水的速度为
（3）解：设 所在直线的函数表达式为 ，过点(10，9)，(7，7).
当 时，直棱柱 的高度为 .
设直棱柱 底面的边长为 . 则 ，解得 .
所以，直棱柱 的底面边长为 .
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)观察图象可得容器内“几何体”的高度是9cm，水淹没该“几何体”需要10s时间.
(2)设匀速注水的水流速度为 ，由图象可得段注满用时12s，水面高度为3cm，根据水的体积可列出方程 ，解得 ，故注水的速度为 .
(3)设 所在直线的函数表达式为 ，利用待定系数法解得k、b的值，进而求得点A坐标，即可得到直棱柱 的高度为5cm，设直棱柱 底面的边长为 ，再通过水的体积列出方程 ，解得 ，故直棱柱 的底面边长为 .
12．（2025·衢州模拟）对于二次函数.
（1）若二次函数的图象经过了三点中的某一个点.
①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由.
②当时，该函数的最小值是-3，求的值.
（2）若二次函数的图象经过点，求当时，的取值范围.
【答案】（1）解：①当时，，不合题意，舍去；
当时，，所以，符合合题意，
这时二次函数的表达式是；
当时，，所以，不合题意，舍去；
②因为二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，
与y轴交于点（0，－3），
所以当x>1时，y随x的增大而增大，点（0，-3）关于直线x=1的对称点为（2，-3），
又当x≥m时，该函数的最小值是-3，
所以m=2.
（2）解：当x=n时，p=an2-2an-3；
当x=n+3时，q=a(n+3)2-2a(n+3)-3；
∴q=an2+4an+3a-3，
∴p-q=-6an-3a=-3a(2n+1)＜0
∵a＞0，
∴2n+1＞0，解得：n＞-0.5.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①分别用x=2、x=1、x=-1代入函数解析式中，求出函数值，与相应的纵坐标比较后得出结论；
② 先根据二次函数解析式，求出对称轴，与y轴的交点，再结合增减性求得m的值；
(2)分别求出当x=n与x=n+3时的函数值，再根据列出关于n的不等式求解.
13．（2025·鹿城模拟）已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数解析式及其对称轴；
（2）将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值；
（3）当时，二次函数的最小值为，求的值．
【答案】（1）解：将代入函数表达式得：，
解得，，
即抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线；
（2）解：当时，
设点、，
则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，则，
则点、的坐标分别为：、，
则新抛物线的表达式为：，
即；
（3）解：由（1）知，抛物线的顶点为，
当，即时，
抛物线在顶点处取得最小值，即，则；
当时，即时，
则抛物线在时取得最小值，即，
解得：（舍去）或6（舍去），
综上，．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）由题意，将点（1，-4）代入二次函数的解析式可得关于b的方程，解方程求出b的值，再根据抛物线的对称轴为直线计算即可求解；
（2）根据AO：BO=1：4可设点、，则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，通过对称轴不变求出t的值，再根据A、B两点的坐标结合二次函数的交点式可求解；
（3）由（1）的结论可先求出抛物线的顶点为，再分和两种情况来讨论函数的最小值即可求解．
（1）解：将代入函数表达式得：，则，
即抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线；
（2）解：当时，
设点、，
则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，则，
则点、的坐标分别为：、，
则新抛物线的表达式为：，
即；
（3）解：由（1）知，抛物线的顶点为，
当，即时，
抛物线在顶点处取得最小值，即，则；
当时，即时，
则抛物线在时取得最小值，即，
解得：（舍去）或6（舍去），
综上，．
14．（2025·龙湾模拟）已知二次函数的解析式为．
（1）若点在该二次函数的图象上，求的值；
（2）若该二次函数图象的顶点在轴上，求该二次函数的解析式；
（3）当时，函数有最大值和最小值，求证：．
【答案】（1）解：∵点在该二次函数的图象上，
∴将代入，
得：，
解得：或；
（2）解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵该二次函数图象的顶点在轴上，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为；
（3）解：∵，其中二次项系数，对称轴为直线，
∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴距离越远其函数值越大，
又∵|-1-1|＞|2-1|，
∴ 当时
∴当时函数取得最小值；
当时函数取得最大值；
∴，
即．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特点，将代入，求解一元二次方程即可；
（2）先利用配方法将解析式配成顶点式，求出顶点坐标，由该抛物线顶点在x轴上可得顶点的纵坐标为零，据此建立方程求出c的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（3）由二次项系数大于零，得抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴距离越远其函数值越大，据此结合x的取值范围，求出二次函数的最大值和最小值，再利用配方法判定即可．
（1）解：∵点在该二次函数的图象上，
∴将代入，
得：，
解得：或；
（2）解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵该二次函数图象的顶点在轴上，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为；
（3）解：∵，
其中，对称轴为直线，
∴在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大；
∴当时函数取得最小值；
当时函数取得最大值；
∴，
即．
15．（2025·金华模拟）二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）图象上的点称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标．
（3）若是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点(
，且对称轴为直线
解得
∴这个二次函数的解析式为
（2）解：当y=x时， 则
整理得
解得
∴这个函数不动点的坐标是( 和(5，5)
（3）解：
∴抛物线开口向上，顶点为(
∵这个函数不动点的坐标是A(-2，-2)， B(5，5)，
∴若点P(x，y)是函数图象上的一个动点，当点P在点A，B之间运动时，y的最大值为5，最小值为-11，
∴的最大值与最小值的差为5-(-11)=16
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求出答案；
(2)根据为函数的不动点的定义列出方程，求解即可；
(3)根据不动点的坐标以及二次函数的性质求出最小值，然后求差解题.
16．（2025九下·金华模拟）在平面直角坐标系中，抛物线过点
（1）请用含的代数式表示.
（2）若该抛物线关于轴对称后的图象经过点(3，0)，求该抛物线的函数表达式.
（3）当时，对于每一个的值，始终成立，试求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得
，
（2）解：该抛物线关于轴对称后的图象经过(3，0)，则对称前该抛物线经过点(-3，0).
设，将(-2，-3)代入，得，解得.
该抛物线的函数表达式为.
（3）解：.
记，图象对称轴直线，
当时，如图1，当时，随的增大而增大.
当时，，则成立.
即，解得，所以.
当时，如图2，当时，随的增大而减小.
当时，，则成立.
即恒成立.所以或时，始终成立.
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；利用交点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用；数形结合
【解析】【分析】(1)将点 代入函数解析式，再利用加减消元法求得b关于a的关系式.
(2)由轴对称的性质可得对称前该抛物线经过点(-3，0)，故可将原函数解析式化为交点式，将(-2，-3)代入解得a的值，即可得到函数解析式.
(3)由(1)可得，变形得，可得图象对称轴直线，当时，在范围内，随的增大而增大，要使始终成立，则；当时，如图2，在范围内，随的增大而减小，恒成立，故当或时，始终成立.
17．（2025·镇海区模拟）在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，，且是的相切函数，点为切点．
（1）试写出切点的坐标（____，____），及与的关系式_____．
（2）当时，试判断以下两组值①，；②，能否使成立？并说明理由．
（3）若函数的图象经过点，函数的图象经过点，且，求的值．
【答案】（1），，
（2）解：①不成立，②成立，理由如下：
由（1）得：，
，
，
要使成立，则：
，
整理，得：，
，
，
，
，
①当，时，
，不满足，
不成立；
②当，时，
，满足，
成立；
（3）解：函数的图象经过点，函数的图象经过点，
，，
，
，
即：，
由（1）得：，
将代入，得：，
整理，得：，
，
，
，
解得：或，
的值为或．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解法解一元二次方程；二次函数与一次函数的综合应用；不等式的性质
【解析】【解答】
（1）
解：由题意可得y1=y2，
∴，
整理，得：，
由题意得：，
即：
，
，
，
将代入方程，得：
，
整理，得：，
，
，
，即：，
将代入，得：
，
切点的坐标为，
故答案为：，，.
【分析】
（1）联立与，得，整理得，根据两个函数相切可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则可得，于是可得，即，将代入方程，得，解方程即可求解；
（2）由（1）得，要使成立，则，整理得，由偶次方的非负性并结合不等式的性质可得，对、的两组值进行验证，即可求解；
（3）由“函数的图象经过点，函数的图象经过点”可得，，再结合，可得，由（1）得，将代入并整理，得，由可得，进而可得，解方程即可求出的值．
（1）解：联立与，得：
，
整理，得：，
由题意得：，
即：
，
，
，
将代入方程，得：
，
整理，得：，
，
，
，即：，
将代入，得：
，
切点的坐标为，
故答案为：，，；
（2）解：①不成立，②成立，理由如下：
由（1）得：，
，
，
要使成立，则：
，
整理，得：，
，
，
，
，
①当，时，
，不满足，
不成立；
②当，时，
，满足，
成立；
（3）解：函数的图象经过点，函数的图象经过点，
，，
，
，
即：，
由（1）得：，
将代入，得：，
整理，得：，
，
，
，
解得：或，
的值为或．
1 / 14月下旬之函数—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025九下·洞头模拟）已知两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当－时，
C．当时， D．当时，
2．（2025·衢州模拟）已知是一个正数，点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·定海模拟）已知反比例函数 的图象与一次函数的图象交于点，．则下列各式的值最大的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·镇海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数 的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（ ）
A．8 B．10 C．11.5 D．13
二、填空题
5．（2025·浙江模拟）如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，坐标系中有三点，设直线的解析式分别为.则，中，最大值为 （填具体数值）.
6．（2025·江北模拟）如图所示是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③的最大值为3；④方程有两个不相等的实根．其中正确的为 ．
三、解答题
7．（2025·浙江模拟）小明骑自行车从体育馆去往火车站，小聪骑自行车从火车站去往体育馆，两人同时出发。出发1.2h后小明停下休息，直至与小聪相遇后，以原速度继续骑行，比小聪先到达终点。设小聪骑行时间为x（单位：h），两人之间的距离为y（单位：km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。
（1）信息读取：
体育馆、火车站两地之间的距离为 km；
（2）图象理解：
求小明、小聪各自骑自行车的速度；
（3）求两人出发多少小时后相距4km。
8．（2025九下·温州月考）一辆小轿车和一辆大客车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段OD分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同.请结合图象解答下列问题：
（1）分别求小轿车和大客车的速度；
（2）小轿车和大客车出发后，是否能再次相遇，若能相遇，求出相遇时与甲地的距离；若不能相遇，请说明理由；
（3）求出发后经过多少小时两车相距10km？
9．（2025年浙江省杭州市中考数学多校联考模拟试卷）某超市购入一批进价为40元/箱的牛奶进行销售，销售单价不低于45元，且不高于60元．经市场调查发现：日销售量（箱）与销售单价（元）（为正整数）是一次函数关系，如图所示．
（1）求与的函数关系式；
（2）牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若日销售利润不少于375元，直接写出所有满足条件的销售单价．
10．（2025·钱塘模拟）已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点．
（1）求的值．
（2）若二次函数的图象经过点，求的最小值．
（3）若二次函数在时，，求的取值范围．
11．（2025九下·金华模拟）如图1，两个实心直棱柱叠成的“几何体”水平放置在直棱柱容器内，三个直棱柱底面均为正方形.现向容器内匀速注水，注满为止.在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图2.已知容器底面边长为.
（1）容器内“几何体”的高度是多少 水淹没该“几何体”需要多少时间？
（2）求注水的速度.
（3）求直棱柱的底面边长.
12．（2025·衢州模拟）对于二次函数.
（1）若二次函数的图象经过了三点中的某一个点.
①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由.
②当时，该函数的最小值是-3，求的值.
（2）若二次函数的图象经过点，求当时，的取值范围.
13．（2025·鹿城模拟）已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数解析式及其对称轴；
（2）将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值；
（3）当时，二次函数的最小值为，求的值．
14．（2025·龙湾模拟）已知二次函数的解析式为．
（1）若点在该二次函数的图象上，求的值；
（2）若该二次函数图象的顶点在轴上，求该二次函数的解析式；
（3）当时，函数有最大值和最小值，求证：．
15．（2025·金华模拟）二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）图象上的点称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标．
（3）若是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
16．（2025九下·金华模拟）在平面直角坐标系中，抛物线过点
（1）请用含的代数式表示.
（2）若该抛物线关于轴对称后的图象经过点(3，0)，求该抛物线的函数表达式.
（3）当时，对于每一个的值，始终成立，试求的取值范围.
17．（2025·镇海区模拟）在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数，，且是的相切函数，点为切点．
（1）试写出切点的坐标（____，____），及与的关系式_____．
（2）当时，试判断以下两组值①，；②，能否使成立？并说明理由．
（3）若函数的图象经过点，函数的图象经过点，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵，
A.当时，点，点都在第一象限，
∴，A正确；
B.C.当时，，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴，B错误、C错误；
D.当时，，则点，点都在第三象限，
∴，D错误；
故答案为：A．
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质.根据反比例函数的性质可得：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．当时，点，点都在第一象限，再根据，据此可判断的大小，判断A选项；当时，，点在第三象限，点在第一象限，再根据，据此可判断的大小，判断B选项和C选项；当时，，则点，点都在第三象限，再根据，据此可判断的大小，判断D选项.
2．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 点都在反比例函数的图象上，
∴
解得：
∵是一个正数，
∴
∴中最小，只有A符合.
故答案为：A.
【分析】先分别求得三个自变量的值，再根据a的符号来确定三个自变量的符号，然后利用排除法求解.
3．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的象与一次函数 的象交于点.
∴反比例函数象分布在第一、三象限，点A、B不在同一象限内， 当点A在第三象限，点B在第一象限，且
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数和一次函数的图象可知交点分别位于分别一、三象限，然后根据增减性逐一判断解题.
4．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
5．【答案】4
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将A（3，1），B（2，-2）代入，得，
解得：，
∴，
将B（2，-2），C（1，0）代入，得，
解得：，
∴，
将A（3，1），C（1，0）代入，得，
解得：，
∴，
∴，中，最大值为4，
故答案为：4.
【分析】将A，B，C的坐标分别代入三个解析式中求出的值，再求出，的值进行比较即可.
6．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
，
∴此结论正确；
②∵抛物线过点（3，0）且对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴，
∴此结论正确．
③∵抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴当时，有最大值，其值与有关，
∴此结论错误；
④∵方程的根就是的图象与的交点，
由图象知，的图象与的图象有两个交点．
∴此结论正确．
故答案为：①②④．
【分析】①由抛物线的开口方向和与y轴的交点可判断a、c的符号，结合抛物线的对称轴所在的位置可判断b的符号，于是可判断abc的积的符号；
②根据抛物线与x轴的一个交点为（3，0）且对称轴为x=1可求得抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），把这个交点代入抛物线的解析式可求解；
③根据抛物线的开口向下，且对称轴为x=1可求解；
④根据二次函数的图象与x轴的交点可求解．
7．【答案】（1）60
（2）解：小聪骑自行车的速度：
（km/h）
小明骑自行车的速度：
（km/h）
（3）解：由题意可得，C（1.2，12），，，
设直线CE为y=kx+b，
则，解得：.
所以直线CE的函数表达式为y=-15x+30，
设直线DE的函数表达式为y=k'x+b'，
则，解得：，
所以直线DE的函数表达式为y=40x–80，
∵两人出发后相距4km，
∴-15x+30=4或40x–80=4，
解得：或.
∴两人出发h或h后相距4km.
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）观察图象可知，体育馆、火车站两地之间的距离为60km.
故答案为：60；
【分析】（1）通过观察图象，直接求得；
（2）行人分别求得小聪两人骑自行车的速度，两人骑自行车的速度和，再求得小明的骑自行车速度；
（3）先求出C、D、E的坐标，再求出CE、DE的函数解析式，再根据两人出发后相距4km，列出方程求解.
8．【答案】（1）由图象可知：小轿车的速度为：，
大客车的速度为：，
小轿车的速度为，大客车的速度为
（2）由图像可知：，
小轿车往返的速度相同，
，
设BC的解析式为，过点，
，
解得：，
的解析式为，
设OD的解析式为，过点，
，
解得：，
的解析式为，
联立方程组，得：，
解得：，
两车出发2.7小时后相遇，此时距离甲地108km
（3）设OA的解析式为，过点，
，
解得：，
的解析式为，
当时，
得：，解得：；
当时，则，
得：，
此时，两车相距超过10km；
当时，
得：，
解得：或；
综上所述，出发后经过0.5小时或2.6小时或2.8小时两车相距10km
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；
(2)先确定BC与OD所在直线的解析式，再联立方程组求解即可确定两车出发多少小时两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程；
(3)分，，三种情况，列方程解答即可.
9．【答案】（1）
（2）当销售单价为元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是元
（3）元、元、元、元、元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
10．【答案】（1）
（2）的最小值为
（3）的取值范围是
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
11．【答案】（1）解： 容器内“几何体”的高度是9cm，水淹没该“几何体”需要10s时间.
（2）解：设匀速注水的水流速度为 ，
段： 注满用时 ( )，这段高度为 ，
，解得 .
所以注水的速度为
（3）解：设 所在直线的函数表达式为 ，过点(10，9)，(7，7).
当 时，直棱柱 的高度为 .
设直棱柱 底面的边长为 . 则 ，解得 .
所以，直棱柱 的底面边长为 .
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)观察图象可得容器内“几何体”的高度是9cm，水淹没该“几何体”需要10s时间.
(2)设匀速注水的水流速度为 ，由图象可得段注满用时12s，水面高度为3cm，根据水的体积可列出方程 ，解得 ，故注水的速度为 .
(3)设 所在直线的函数表达式为 ，利用待定系数法解得k、b的值，进而求得点A坐标，即可得到直棱柱 的高度为5cm，设直棱柱 底面的边长为 ，再通过水的体积列出方程 ，解得 ，故直棱柱 的底面边长为 .
12．【答案】（1）解：①当时，，不合题意，舍去；
当时，，所以，符合合题意，
这时二次函数的表达式是；
当时，，所以，不合题意，舍去；
②因为二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，
与y轴交于点（0，－3），
所以当x>1时，y随x的增大而增大，点（0，-3）关于直线x=1的对称点为（2，-3），
又当x≥m时，该函数的最小值是-3，
所以m=2.
（2）解：当x=n时，p=an2-2an-3；
当x=n+3时，q=a(n+3)2-2a(n+3)-3；
∴q=an2+4an+3a-3，
∴p-q=-6an-3a=-3a(2n+1)＜0
∵a＞0，
∴2n+1＞0，解得：n＞-0.5.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①分别用x=2、x=1、x=-1代入函数解析式中，求出函数值，与相应的纵坐标比较后得出结论；
② 先根据二次函数解析式，求出对称轴，与y轴的交点，再结合增减性求得m的值；
(2)分别求出当x=n与x=n+3时的函数值，再根据列出关于n的不等式求解.
13．【答案】（1）解：将代入函数表达式得：，
解得，，
即抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线；
（2）解：当时，
设点、，
则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，则，
则点、的坐标分别为：、，
则新抛物线的表达式为：，
即；
（3）解：由（1）知，抛物线的顶点为，
当，即时，
抛物线在顶点处取得最小值，即，则；
当时，即时，
则抛物线在时取得最小值，即，
解得：（舍去）或6（舍去），
综上，．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）由题意，将点（1，-4）代入二次函数的解析式可得关于b的方程，解方程求出b的值，再根据抛物线的对称轴为直线计算即可求解；
（2）根据AO：BO=1：4可设点、，则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，通过对称轴不变求出t的值，再根据A、B两点的坐标结合二次函数的交点式可求解；
（3）由（1）的结论可先求出抛物线的顶点为，再分和两种情况来讨论函数的最小值即可求解．
（1）解：将代入函数表达式得：，则，
即抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线；
（2）解：当时，
设点、，
则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，则，
则点、的坐标分别为：、，
则新抛物线的表达式为：，
即；
（3）解：由（1）知，抛物线的顶点为，
当，即时，
抛物线在顶点处取得最小值，即，则；
当时，即时，
则抛物线在时取得最小值，即，
解得：（舍去）或6（舍去），
综上，．
14．【答案】（1）解：∵点在该二次函数的图象上，
∴将代入，
得：，
解得：或；
（2）解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵该二次函数图象的顶点在轴上，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为；
（3）解：∵，其中二次项系数，对称轴为直线，
∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴距离越远其函数值越大，
又∵|-1-1|＞|2-1|，
∴ 当时
∴当时函数取得最小值；
当时函数取得最大值；
∴，
即．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特点，将代入，求解一元二次方程即可；
（2）先利用配方法将解析式配成顶点式，求出顶点坐标，由该抛物线顶点在x轴上可得顶点的纵坐标为零，据此建立方程求出c的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（3）由二次项系数大于零，得抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴距离越远其函数值越大，据此结合x的取值范围，求出二次函数的最大值和最小值，再利用配方法判定即可．
（1）解：∵点在该二次函数的图象上，
∴将代入，
得：，
解得：或；
（2）解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵该二次函数图象的顶点在轴上，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为；
（3）解：∵，
其中，对称轴为直线，
∴在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大；
∴当时函数取得最小值；
当时函数取得最大值；
∴，
即．
15．【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点(
，且对称轴为直线
解得
∴这个二次函数的解析式为
（2）解：当y=x时， 则
整理得
解得
∴这个函数不动点的坐标是( 和(5，5)
（3）解：
∴抛物线开口向上，顶点为(
∵这个函数不动点的坐标是A(-2，-2)， B(5，5)，
∴若点P(x，y)是函数图象上的一个动点，当点P在点A，B之间运动时，y的最大值为5，最小值为-11，
∴的最大值与最小值的差为5-(-11)=16
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求出答案；
(2)根据为函数的不动点的定义列出方程，求解即可；
(3)根据不动点的坐标以及二次函数的性质求出最小值，然后求差解题.
16．【答案】（1）解：由题意得
，
（2）解：该抛物线关于轴对称后的图象经过(3，0)，则对称前该抛物线经过点(-3，0).
设，将(-2，-3)代入，得，解得.
该抛物线的函数表达式为.
（3）解：.
记，图象对称轴直线，
当时，如图1，当时，随的增大而增大.
当时，，则成立.
即，解得，所以.
当时，如图2，当时，随的增大而减小.
当时，，则成立.
即恒成立.所以或时，始终成立.
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；利用交点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用；数形结合
【解析】【分析】(1)将点 代入函数解析式，再利用加减消元法求得b关于a的关系式.
(2)由轴对称的性质可得对称前该抛物线经过点(-3，0)，故可将原函数解析式化为交点式，将(-2，-3)代入解得a的值，即可得到函数解析式.
(3)由(1)可得，变形得，可得图象对称轴直线，当时，在范围内，随的增大而增大，要使始终成立，则；当时，如图2，在范围内，随的增大而减小，恒成立，故当或时，始终成立.
17．【答案】（1），，
（2）解：①不成立，②成立，理由如下：
由（1）得：，
，
，
要使成立，则：
，
整理，得：，
，
，
，
，
①当，时，
，不满足，
不成立；
②当，时，
，满足，
成立；
（3）解：函数的图象经过点，函数的图象经过点，
，，
，
，
即：，
由（1）得：，
将代入，得：，
整理，得：，
，
，
，
解得：或，
的值为或．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解法解一元二次方程；二次函数与一次函数的综合应用；不等式的性质
【解析】【解答】
（1）
解：由题意可得y1=y2，
∴，
整理，得：，
由题意得：，
即：
，
，
，
将代入方程，得：
，
整理，得：，
，
，
，即：，
将代入，得：
，
切点的坐标为，
故答案为：，，.
【分析】
（1）联立与，得，整理得，根据两个函数相切可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则可得，于是可得，即，将代入方程，得，解方程即可求解；
（2）由（1）得，要使成立，则，整理得，由偶次方的非负性并结合不等式的性质可得，对、的两组值进行验证，即可求解；
（3）由“函数的图象经过点，函数的图象经过点”可得，，再结合，可得，由（1）得，将代入并整理，得，由可得，进而可得，解方程即可求出的值．
（1）解：联立与，得：
，
整理，得：，
由题意得：，
即：
，
，
，
将代入方程，得：
，
整理，得：，
，
，
，即：，
将代入，得：
，
切点的坐标为，
故答案为：，，；
（2）解：①不成立，②成立，理由如下：
由（1）得：，
，
，
要使成立，则：
，
整理，得：，
，
，
，
，
①当，时，
，不满足，
不成立；
②当，时，
，满足，
成立；
（3）解：函数的图象经过点，函数的图象经过点，
，，
，
，
即：，
由（1）得：，
将代入，得：，
整理，得：，
，
，
，
解得：或，
的值为或．
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