2025年山东省济南历下区八年级第二学期数学期中考试试题（含答案）

2024 - 2025 学年第二学期八年级期中教学质量检测数学试题（2025.4）
考试时间 120 分钟 满分 150 分
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.春晚主标识通过视觉元素传达出春晚的主题和寓意。下列主标识中，是中心对称图形的是（ ）
D.
2.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. (x+2)(x 2)=x2 4 B. x2 x 2=(x+1)(x 2) C. x2 x+1=x(x 1)+1 D. x2 1=(x 1)2
3.在平面直角坐标系中，将点E( 2,0)先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到点E′，则点E′的坐标是（ ）
A. (0,4) B. (0, 4) C. ( 4, 4) D. ( 4,4)
4.关于平行四边形的性质，下列说法错误的是（ ）
A. 对角线互相平分 B. 对边平行且相等 C. 对角线相等 D. 对角相等
5.若分式 是最简分式，则Δ表示的整式可能是（ ）
A. 2a+2b B. a2+b2 C. a2+2ab+b2 D. (a b)2
6.图 1 是装满了液体的高脚杯（数据如图所示），图 2 是用去部分液体后的高脚杯（数据如图所示），则图 2 中液面AB的宽度为（ ）
A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm
7.如图，△ABC是边长为 4 的等边三角形，点D在边BC的延长线上且CD=1，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转60 得到线段DE，连接AE，则DE的长为（ ）
A. B. 3 C. D.2
8.我国明代《永乐大典》中记载了 “绫罗尺价” 问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文。问绫、罗尺价各几何？” 其大意为：“现在有绫布和罗布长共 3 丈（1 丈 = 10 尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入 896 文，一尺绫布和一尺罗布一共需要 120 文。问绫布有多少尺，罗布有多少尺？” 设绫布有x尺，则可得方程为（ ）
A. 120= B. +120= C. +120= D. +=120
9.如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点C的坐标为(0,3)，点P(1,2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90 ，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，则正方形铁片连续旋转 6 次后，点P的坐标变为（ ）
A. (17,1) B. (17,2) C. (20,1) D. (20,2)
10.如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2，BD=4。以点C为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点E，再分别以点B，E为圆心，大于BE的长为半径向下作弧，两弧交于点M，作直线CM交AB于点F。记BF长为x，AB长为y。当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A. xy B. x y C. x2+y2 D. x+y
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11. 若分式的值为 0，则x= 。
12. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，要使四边形ABCD是行四边形，只需要添加一个条件是 。
13. 若x2 kx+9是一个完全平方式，则k= 。
14. 如图，将四边形ABCD沿射线AD的方向平移 10cm 得到四边形EFGH，其中∠C=90°，
CD=24cm，WG=8cm，则阴影部分的面积为 cm2。
15. 如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45 ，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE，BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论中正确的有 。
①∠A=∠BHE；②CD⊥BD；③HE=2HD；④BH2+BG2=AG2；⑤若点F是CD的中点，则CE=( 1)BE。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）因式分解：（1）3x2 12； （2）a2b3 4ab2+4b。
17.（本小题满分 7 分）先化简，再求值：( )·，其中x=1。
18.（本小题满分 7 分）如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF，求证：AE∥CF。
19.（本小题满分 8 分）
（1）解不等式组： （2）解分式方程：﹣3=
20.（本小题满分 8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A( 3,2)，B(0,4)，C(0,2)。
（1）将△ABC绕点C旋转180 得到△A1B1C，画出△A1B1C；
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为(1, 4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）观察发现△A1B1C与△A2B2C2关于某点成中心对称，则该点的坐标为______。
21.（本小题满分 9 分）请根据材料中的信息，解决相关问题：
背景知识 为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度。
相关素材 素材一：用电高峰时段（简称峰时）为 7：00 - 23：00，用电低谷时段（简称谷时）为 23：00 - 次日 7：00，峰时电价比谷时电价高 0.2 元 / 度； 素材二：小明家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的峰时电费为 50 元，谷时电费为 30 元，并且峰时用电量与谷时用电量相等； 素材三：李老师家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的充电量为 180 度，电费不超过 64 元。
问题解决 问题 1：求该市峰时电价与谷时电价； 问题 2：三月份李老师家的谷时用电量至少为多少度？
22.（本小题满分 10 分）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E为边AD上一点，且AB=AE，连接BE。
（1）如图 1，求证：BE平分∠ABC；
（2）如图 2，过点A作AF⊥BE，垂足为F，延长AF，交DC的延长线于点G。若DE=2，求CG的长。
图1 图2
23.（本小题满分 10 分）【阅读材料】
类比分数学分式
将分式拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题。
通过阅读上述材料，解决下列问题：
【理解知识】
（1）假分式可以写成带分式的形式为______。
【掌握知识】
（2）已知x是正整数，当分式的值为整数时，求x的值；
【应用知识】
（3）已知M=是一个四位数，且为正数，由M的前两位数字所组成的两位数记为，由M的后两位数字组成的两位数记为，若比小 5，且的平方能被整除，求这个四位数。
24.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A( 2,5)，B( 2,0)，将线段AB向右平移t个单位长度(t>0)，再向下平移 1 个单位长度，得到线段CD，其中点A与点C是对应点，点B与点D是对应点，连接AC，BD。
（1）判断四边形ABDC的形状，并说明理由；
（2）分别连接AD，BC，交点为M，
①如图，连接OM，当OM⊥AD时，求t的值；
②作与△ABM关于点O成中心对称的△A1B1M1，当点D位于△A1B1M1的内部或边上时，直接写出t的取值范围。
25.（本小题满分 12 分）
（一）类比探究已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90 ，点D为平面内一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90 得到线段AE，连接CE。
（1）如图 1，当点D在斜边BC上时，线段BD与线段CE的数量关系是______，BD与CE的位置关系是______；
（2）如图 2，当点D为△ABC的边AB左侧一点时，延长CE，BD交于点M，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
（二）学以致用
（3）如图 3，已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90 ，点D为△ABC的边BC下方一点，连接AD，BD，CD，若∠BDC=90°，AD=4，求△BDC面积的最大值。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.春晚主标识通过视觉元素传达出春晚的主题和寓意。下列主标识中，是中心对称图形的是（ D ）
D.
2.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ B ）
A. (x+2)(x 2)=x2 4 B. x2 x 2=(x+1)(x 2) C. x2 x+1=x(x 1)+1 D. x2 1=(x 1)2
3.在平面直角坐标系中，将点E( 2,0)先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到点E′，则点E′的坐标是（ D ）
A. (0,4) B. (0, 4) C. ( 4, 4) D. ( 4,4)
4.关于平行四边形的性质，下列说法错误的是（ C ）
A. 对角线互相平分 B. 对边平行且相等 C. 对角线相等 D. 对角相等
5.若分式 是最简分式，则Δ表示的整式可能是（ B ）
A. 2a+2b B. a2+b2 C. a2+2ab+b2 D. (a b)2
6.图 1 是装满了液体的高脚杯（数据如图所示），图 2 是用去部分液体后的高脚杯（数据如图所示），则图 2 中液面AB的宽度为（ C ）
A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm
7.如图，△ABC是边长为 4 的等边三角形，点D在边BC的延长线上且CD=1，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转60 得到线段DE，连接AE，则DE的长为（ A ）
A. B. 3 C. D.2
8.我国明代《永乐大典》中记载了 “绫罗尺价” 问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文。问绫、罗尺价各几何？” 其大意为：“现在有绫布和罗布长共 3 丈（1 丈 = 10 尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入 896 文，一尺绫布和一尺罗布一共需要 120 文。问绫布有多少尺，罗布有多少尺？” 设绫布有x尺，则可得方程为（ D ）
A. 120= B. +120= C. +120= D. +=120
9.如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点C的坐标为(0,3)，点P(1,2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90 ，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，则正方形铁片连续旋转 6 次后，点P的坐标变为（ C ）
A. (17,1) B. (17,2) C. (20,1) D. (20,2)
10.如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2，BD=4。以点C为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点E，再分别以点B，E为圆心，大于BE的长为半径向下作弧，两弧交于点M，作直线CM交AB于点F。记BF长为x，AB长为y。当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ A ）
A. xy B. x y C. x2+y2 D. x+y
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11. 若分式的值为 0，则x= 0 。
12. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，要使四边形ABCD是行四边形，只需要添加一个条件是 OB=OD 。
13. 若x2 kx+9是一个完全平方式，则k= ±6 。
14. 如图，将四边形ABCD沿射线AD的方向平移 10cm 得到四边形EFGH，其中∠C=90°，
CD=24cm，WG=8cm，则阴影部分的面积为 168 cm2。
15. 如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45 ，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE，BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论中正确的有 ①④⑤ 。
①∠A=∠BHE；②CD⊥BD；③HE=2HD；④BH2+BG2=AG2；⑤若点F是CD的中点，则CE=( 1)BE。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）因式分解：（1）3x2 12； （2）a2b3 4ab2+4b。
=3（x2﹣4） =b（a2b2﹣4ab+4）
=3（x+2）（x﹣2） =b（ab﹣2）2
17.（本小题满分 7 分）先化简，再求值：( )·，其中x=1。
解原式=·
=2x+12
将x=1代入得14
18.（本小题满分 7 分）如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF，求证：AE∥CF。
证明∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD
∴∠ABE=∠CDF
∵BE=DF
∴△ABE≌△CDF
∴∠AEB=∠CFD
∴180°﹣∠AEB=180°﹣∠CFD
∴∠AEF=∠CFE
∴AE∥CF
19.（本小题满分 8 分）
（1）解不等式组： （2）解分式方程：﹣3=
（1）解不等式①得x≥﹣1
解不等式②得x＞3
不等式组的解集x＞3
（2）1﹣3（x﹣2）=x﹣1
x=2
经检验x=2是原方程的增根，此方程无解。
20.（本小题满分 8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A( 3,2)，B(0,4)，C(0,2)。
（1）将△ABC绕点C旋转180 得到△A1B1C，画出△A1B1C；
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为(1, 4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）观察发现△A1B1C与△A2B2C2关于某点成中心对称，则该点的坐标为______。
（1）（2）略
（3）（2，﹣1）
21.（本小题满分 9 分）请根据材料中的信息，解决相关问题：
背景知识 为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度。
相关素材 素材一：用电高峰时段（简称峰时）为 7：00 - 23：00，用电低谷时段（简称谷时）为 23：00 - 次日 7：00，峰时电价比谷时电价高 0.2 元 / 度； 素材二：小明家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的峰时电费为 50 元，谷时电费为 30 元，并且峰时用电量与谷时用电量相等； 素材三：李老师家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的充电量为 180 度，电费不超过 64 元。
问题解决 问题 1：求该市峰时电价与谷时电价； 问题 2：三月份李老师家的谷时用电量至少为多少度？
问题1
设谷时电价为 x 元／度，则峰时电价为（ x +0.2）元／度。
根据题意，峰时用电量与谷时用电量相等：=
解得 x =0.3，故峰时电价为0.5元／度，谷时电价为0.3元／度。
答：峰时电价为0.5元／度，谷时电价为0.3元／度。
问题2
设谷时用电量为 y 度，则峰时用电量为（180- y ）度。总电费不超过64元：
0.5(180- y )+0.3y≤64
解得 y ≥130。
答：三月份李老师家的谷时用电量至少为130度。
22.（本小题满分 10 分）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E为边AD上一点，且AB=AE，连接BE。
（1）如图 1，求证：BE平分∠ABC；
（2）如图 2，过点A作AF⊥BE，垂足为F，延长AF，交DC的延长线于点G。若DE=2，求CG的长。
图1 图2
（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC
∴□ABCD是平行四边形。
∵AB=AE
∴∠ABE=∠AEB。又AD∥BC
∴∠AEB=∠EBC
∴∠ABE=∠EBC
即BE平分∠ABC。
（2）∵AB=AE，AF⊥BE
∴BF=EF
∵AB∥CD
∴∠ABF=∠CGF，∠BAF=∠G,△ABF≌△GCF(AAS)
∴AB=CG
∵DE=2
∴AD AE=2，又AB=AE
∴CG=2
23.（本小题满分 10 分）【阅读材料】
类比分数学分式
将分式拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题。
通过阅读上述材料，解决下列问题：
【理解知识】
（1）假分式可以写成带分式的形式为______。
【掌握知识】
（2）已知x是正整数，当分式的值为整数时，求x的值；
【应用知识】
（3）已知M=是一个四位数，且为正数，由M的前两位数字所组成的两位数记为，由M的后两位数字组成的两位数记为，若比小 5，且的平方能被整除，求这个四位数。
（1）+2
（2）=x+3﹣
∴x 1=±1或±11
∴x=0或2或12或﹣10
∴x=2或12
（3）设=x，=x+5
∴==x﹣10+
∴x=1，5或25
∴=2025
24.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A( 2,5)，B( 2,0)，将线段AB向右平移t个单位长度(t>0)，再向下平移 1 个单位长度，得到线段CD，其中点A与点C是对应点，点B与点D是对应点，连接AC，BD。
（1）判断四边形ABDC的形状，并说明理由；
（2）分别连接AD，BC，交点为M，
①如图，连接OM，当OM⊥AD时，求t的值；
②作与△ABM关于点O成中心对称的△A1B1M1，当点D位于△A1B1M1的内部或边上时，直接写出t的取值范围。
（1）四边形ABDC是平行四边形
∵AB平移得CD，
∴AB∥CD且AB=CD
∴四边形ABDC是平行四边形
（2）①A( 2,5)，B( 2,0)，平移后C( 2+t,4)，D( 2+t, 1)
AD中点M( 2+t,2)
∵AD斜率 ，OM斜率
∵OM⊥AD
∴ ·=﹣1
解得t=6
②2≤t≤4
25.（本小题满分 12 分）
（一）类比探究已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90 ，点D为平面内一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90 得到线段AE，连接CE。
（1）如图 1，当点D在斜边BC上时，线段BD与线段CE的数量关系是______，BD与CE的位置关系是______；
（2）如图 2，当点D为△ABC的边AB左侧一点时，延长CE，BD交于点M，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
（二）学以致用
（3）如图 3，已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90 ，点D为△ABC的边BC下方一点，连接AD，BD，CD，若∠BDC=90°，AD=4，求△BDC面积的最大值。
（1）BD=CE，BD⊥CE。
（2）成立
（3）8