2024-2025学年山东省济南高新区七年级第二学期数学期中考试试题（含答案）

2024 - 2025 学年第二学期期中学业水平测试初中数学七年级试题
注意事项
本试题分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分。第 Ⅰ 卷共 2 页，满分为 48 分；第Ⅱ卷共 4 页，满分为 102 分。本试题共 6 页，满分为 150 分。考试时间为 120分钟。答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。本考试不允许使用计算器。
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.下列图形中，∠1与∠2一定相等的是（ ）
2.“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为 0.0000004mm，数据 0.0000004 用科学记数法表示为（ ）
A. 4×10 7 B. 4×10 8 C. 0.4×10 7 D. 0.4×10 8
3.下列运算错误的是（ ）
A. b2·b3=b5 B. (a b)(b+a)=a2 b2 C. a5+b5=a10 D. ( a2b)2=b2a4
4.如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=28 ，则∠2的度数为（ ）
A. 68 B.62 C. 52 D. 28
5.掷一枚质地均匀的硬币 200 次，下列说法正确的是（ ）
A. 不可能 200 次正面朝上 B. 不可能 100 次正面朝上
C. 必有 100 次正面朝上 D. 可能 100 次正面朝上
6.如果x2+(n 3)x+16是个完全平方式，那么n的值是（ ）
A. 11 B. -5 C. 11 或 -5 D. ±8
7.如图所示，△ABC≌△DBE。若∠E=70 ，∠A=20 ，则（ ）
A.10 B. 30 C. 70 D. 90
8.下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；④因为∠1=∠2，∠2=∠3，所以∠1=∠3。其中正确的是（ ）
A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ③④
9.如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点，连接AD，DE。若△ABC的面积是 8，则△BDE的面积是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10.如图 1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为 2 的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图 2 所示长方形。这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A. x2 4x+4=(x 2)2 B. x2+4x+4=(x+2)2 C. x2 4=(x+2)(x 2) D. x2 2x=x(x 2)
11.已知3m=2，32m 4n=4，若9n=x，则x的值为（ ）
A. 4 B.2 C.±1 D. 1
12.2024 年央视春晚上伴随着全民齐诵《将进酒》，西安将万千观众再次带入盛世长安。长安灯璀璨，古都夜未央，小明为大唐不夜城的景观灯带设计了一个 “中” 字图案。他以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，如图示，若四个正方形的周长之和为 32，面积之和为 18，则长方形ABCD的面积为（ ）
A. B. C. 7 D. 5
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分。）
13.已知m n=4，则2m÷2n= 。
14.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 。
15.如图，①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠5；④∠BCD+∠D=180 ；以上四个条件中能判定AD∥BC的有 。
16.如图，△ABC≌△DEF，点C，D，B，F在同一条直线上，AC=3，EF=5，CF=7，则BD的长为 。
17.如图，把长方形ABCD沿EF按图那样折叠后，点A，B分别落在G，H点处，若∠1=50 ，则∠GED的度数是 。
18.如图，AB∥CD，点G在直线AB上，点H在直线CD上，点K在AB、CD之间且在G，H所在直线的左侧，若∠GKH=60 ，点P为线段KH上一点（不和K、H重合），连接PG并延长到M，设∠KHC=n∠KGP。要使得为定值，则n= 。
三、解答题（本大题共8个小题，共 78 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19.（本题 6 分）化简：a2·( a)4 (3a3)2+( 2a2)3
20.（本题 6 分）计算：( 4a3+12a2b 7a3b2)÷( 4a2)
21.（本题 5 分）先化简，再求值：(x 2y)2 (x y)(x+y)，其中x=2，y= 1
22.（本题 4 分）推理填空：
如图，AD∥BC，AE∥DC，点E在线段BC上，点F在射线BA上，若∠B=∠C，则AD平分∠FAE，请说明理由。
解：理由如下：
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB。（两直线平行，内错角相等）
又∵AE∥DC
∴∠AEB=∠ ，（ ）
∴∠DAE=∠C。（等量代换）
又∵∠B=∠C
∴∠DAE=∠B
∵AD∥BC
∴∠FAD=∠ ，（两直线平行，同位角相等）
∴∠FAD=∠ 。（等量代换）
∴AD平分∠FAE
23.（本题 5 分）如图在△ABC中，∠ABC=24 ，∠ACB=118 ，AD平分∠BAC，AE⊥BC于点E，求∠DAE的度数。
24.（本题 6 分）如图，在△ABC中，AB∥DG，∠1+∠2=180 。
（1）求证：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2=150 ，求∠B的度数。
25.（本题 6 分）口袋中有 5 张完全相同的卡片，分别写有 2cm，3cm，4cm，5cm 和 6cm，口袋外有 2 张卡片，分别写有 4cm 和 6cm，现随机从袋中取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度。回答下列问题。
（1）根据题目要求，写出组合成的三条线段的长度的所有可能的结果；
（2）求这三条线段能构成三角形的概率；
（3）求这三条线段能构成等腰三角形的概率。
26.（本题 8 分）如图，某小区有一块长为(2a+4b)米，宽为(2a b)米的长方形地块，角上有四个边长为(a b)米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化。
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化8b平方米，每小时收费 200 元，则该物业应该支付绿化队多少费用？（用含a、b的代数式表示）
27.（本题 10 分）（1）填空：(a b)(a+b)= ；
(a b)(a2+ab+b2)= ；
(a b)(a3+a2b+ab2+b3)= 。
（2）猜想：(a b)(an 1+an 2b+...+abn 2+bn 1)= 。（其中n为正整数，且n≥2）。
（3）利用（2）猜想的结论计算：
①27+26+25+24+23+22+2+1；
②29 28+27 ...+23 22+2。
28.（本题 10 分）
【阅读材料】若x满足(8 x)(x 3)=4，求(8 x)2+(x 3)2的值。
解：设8 x=a，x 3=b。则(8 x)(x 3)=ab=4，a+b=8 x+(x 3)=5。
∴(8 x)2+(x 3)2=a2+b2=(a+b)2 2ab=52 2×4=17。
【类比探究】解决下列问题：
（1）若x满足(4 x)(x 2)=1，则(4 x)2+(x 2)2的值为 。
（2）若(n 2022)2+(2025 n)2=4，求(n 2022)(2025 n)的值。
【拓展应用】
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是 24，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积。
29.（本题 12 分）如图，直线MN∥PQ，将一副三角板中的两块直角三角板如图 1 放置，∠ACB=∠EDF=90 ，∠ABC=∠BAC=45 ，∠DFE=30 ，∠DEF=60 ，此时点A与点E重合。
（1）对于图 1，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图 2 所示，求此时∠FAC的度数。
（2）对于图 1，固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点F正好落在直线MN上，再将△DEF绕点F按顺时针方向进行旋转，如图 3 所示。
①若边EF与边BC交于点G，试判断∠BGF ∠EFN的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由；
②对于图 3，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点F顺时针方向以每秒5 的速度进行旋转，当EF与直线MN首次重合时停止运动，当经过t秒时，线段DE与△ABC的一条边平行，求满足条件的t的值。
答案
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.下列图形中，∠1与∠2一定相等的是（ B ）
2.“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为 0.0000004mm，数据 0.0000004 用科学记数法表示为（ A ）
A. 4×10 7 B. 4×10 8 C. 0.4×10 7 D. 0.4×10 8
3.下列运算错误的是（ C ）
A. b2·b3=b5 B. (a b)(b+a)=a2 b2 C. a5+b5=a10 D. ( a2b)2=b2a4
4.如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=28 ，则∠2的度数为（ B ）
A. 68 B.62 C. 52 D. 28
5.掷一枚质地均匀的硬币 200 次，下列说法正确的是（ D ）
A. 不可能 200 次正面朝上 B. 不可能 100 次正面朝上
C. 必有 100 次正面朝上 D. 可能 100 次正面朝上
6.如果x2+(n 3)x+16是个完全平方式，那么n的值是（ C ）
A. 11 B. -5 C. 11 或 -5 D. ±8
7.如图所示，△ABC≌△DBE。若∠E=70 ，∠A=20 ，则（ D ）
A.10 B. 30 C. 70 D. 90
8.下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；④因为∠1=∠2，∠2=∠3，所以∠1=∠3。其中正确的是（ A ）
A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ③④
9.如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点，连接AD，DE。若△ABC的面积是 8，则△BDE的面积是（ A ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10.如图 1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为 2 的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图 2 所示长方形。这两个图能解释下列哪个等式（ C ）
A. x2 4x+4=(x 2)2 B. x2+4x+4=(x+2)2 C. x2 4=(x+2)(x 2) D. x2 2x=x(x 2)
11.已知3m=2，32m 4n=4，若9n=x，则x的值为（ D ）
A. 4 B.2 C.±1 D. 1
12.2024 年央视春晚上伴随着全民齐诵《将进酒》，西安将万千观众再次带入盛世长安。长安灯璀璨，古都夜未央，小明为大唐不夜城的景观灯带设计了一个 “中” 字图案。他以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，如图示，若四个正方形的周长之和为 32，面积之和为 18，则长方形ABCD的面积为（ A ）
A. B. C. 7 D. 5
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分。）
13.已知m n=4，则2m÷2n= 16 。
14.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 。
15.如图，①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠5；④∠BCD+∠D=180 ；以上四个条件中能判定AD∥BC的②④。
16.如图，△ABC≌△DEF，点C，D，B，F在同一条直线上，AC=3，EF=5，CF=7，则BD的长为 1 。
17.如图，把长方形ABCD沿EF按图那样折叠后，点A，B分别落在G，H点处，若∠1=50 ，则∠GED的度数是 80° 。
18.如图，AB∥CD，点G在直线AB上，点H在直线CD上，点K在AB、CD之间且在G，H所在直线的左侧，若∠GKH=60 ，点P为线段KH上一点（不和K、H重合），连接PG并延长到M，设∠KHC=n∠KGP。要使得为定值，则n= 3 。
三、解答题（本大题共8个小题，共 78 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19.（本题 6 分）化简：a2·( a)4 (3a3)2+( 2a2)3
=a6﹣9a6﹣8a6
=﹣16a6
20.（本题 6 分）计算：( 4a3+12a2b 7a3b2)÷( 4a2)
=a﹣3b+ab2
21.（本题 5 分）先化简，再求值：(x 2y)2 (x y)(x+y)，其中x=2，y= 1
解原式=x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2
=﹣4xy+5y2
将x=2，y= 1代入得8+5=13
22.（本题 4 分）推理填空：
如图，AD∥BC，AE∥DC，点E在线段BC上，点F在射线BA上，若∠B=∠C，则AD平分∠FAE，请说明理由。
解：理由如下：
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB。（两直线平行，内错角相等）
又∵AE∥DC
∴∠AEB=∠ C ，（ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠DAE=∠C。（等量代换）
又∵∠B=∠C
∴∠DAE=∠B
∵AD∥BC
∴∠FAD=∠ B ，（两直线平行，同位角相等）
∴∠FAD=∠ DAE 。（等量代换）
∴AD平分∠FAE
23.（本题 5 分）如图在△ABC中，∠ABC=24 ，∠ACB=118 ，AD平分∠BAC，AE⊥BC于点E，求∠DAE的度数。
∵在三角形 ABC 中知∠ABC =24°，∠ACB =118°
∴∠BAC =180°-∠ABC -∠ACB =180°-24°-118°=38°
又∵AD 平分 LBAC ,
∴∠DAC =∠BAC =19°.
又∵∠BCA 是三角形ACE 的一个外角，∠ACB =118°,∠AEB =90°
∴∠CAE +∠BEA =∠ACB，即∠CAE =28°.
由题意知∠DAE =∠DAC +∠CAE ,
∴∠DAE=19°+28°=47°.
24.（本题 6 分）如图，在△ABC中，AB∥DG，∠1+∠2=180 。
（1）求证：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2=150 ，求∠B的度数。
(1）证明：∵AB // DG
∴∠BAD =∠1
∵∠1+∠2=180°
∴∠2+∠BAD =180°
∴AD // EF ;
(2)∵∠1+∠2=180°,∠2=150°
∴∠1=30°
∵DG 是∠ADC 的平分线
∴∠GDC =∠1=30°
∵AB // DG
∴∠B =∠GDC =30°.
25.（本题 6 分）口袋中有 5 张完全相同的卡片，分别写有 2cm，3cm，4cm，5cm 和 6cm，口袋外有 2 张卡片，分别写有 4cm 和 6cm，现随机从袋中取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度。回答下列问题。
（1）根据题目要求，写出组合成的三条线段的长度的所有可能的结果；
（2）求这三条线段能构成三角形的概率；
（3）求这三条线段能构成等腰三角形的概率。
(1）共有5种可能的结果数，它们是：2、4、6;6、4、6;4、4、6;5、4、6;6、4、6;
(2）这三条线段能构成一个三角形的结果数为4,4所以这三条线段能构成一个三角形的概率＝
(3）这三条线段能构成等腰三角形的结果数3,所以这三条线段能构成等腰三角形的概率是
26.（本题 8 分）如图，某小区有一块长为(2a+4b)米，宽为(2a b)米的长方形地块，角上有四个边长为(a b)米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化。
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化8b平方米，每小时收费 200 元，则该物业应该支付绿化队多少费用？（用含a、b的代数式表示）
(1）根据题意得：
(2a- b )(2a+4b)-4(a-b )2
=4a2+8ab-2ab-4b2-4(a2-2ab+b2)
=4a2+6ab-4b-4a2+8ab-4b2
=(14ab-8b2）平方米，
答：绿化的面积是（14ab-8b2）平方米；
(2）根据题意得：
(14ab-8b2)+8bx200
=(a - b)x200
=(350a-2006）元，
答：该物业应该支付绿化队需要（350a-200b）元费用．
27.（本题 10 分）（1）填空：(a b)(a+b)= ；
(a b)(a2+ab+b2)= ；
(a b)(a3+a2b+ab2+b3)= 。
（2）猜想：(a b)(an 1+an 2b+...+abn 2+bn 1)= 。（其中n为正整数，且n≥2）。
（3）利用（2）猜想的结论计算：
①27+26+25+24+23+22+2+1；
②29 28+27 ...+23 22+2。
（1）a2﹣b2 a3﹣b3 a4﹣b4
（2）an﹣bn
（3）①=（2﹣1）（27+26+25+24+23+22+2+1）
=28﹣1
=255
②=[2﹣（﹣1）]（29 28+27 ...+23 22+2﹣1）
=210﹣1
∴29 28+27 ...+23 22+2=342
28.（本题 10 分）
【阅读材料】若x满足(8 x)(x 3)=4，求(8 x)2+(x 3)2的值。
解：设8 x=a，x 3=b。则(8 x)(x 3)=ab=4，a+b=8 x+(x 3)=5。
∴(8 x)2+(x 3)2=a2+b2=(a+b)2 2ab=52 2×4=17。
【类比探究】解决下列问题：
（1）若x满足(4 x)(x 2)=1，则(4 x)2+(x 2)2的值为 。
（2）若(n 2022)2+(2025 n)2=4，求(n 2022)(2025 n)的值。
【拓展应用】
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是 24，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积。
（1）2
（2）2.5
（3）阴影部分面积=（x﹣1）2﹣（x﹣3）2=10×2=20
29.（本题 12 分）如图，直线MN∥PQ，将一副三角板中的两块直角三角板如图 1 放置，∠ACB=∠EDF=90 ，∠ABC=∠BAC=45 ，∠DFE=30 ，∠DEF=60 ，此时点A与点E重合。
（1）对于图 1，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图 2 所示，求此时∠FAC的度数。
（2）对于图 1，固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点F正好落在直线MN上，再将△DEF绕点F按顺时针方向进行旋转，如图 3 所示。
①若边EF与边BC交于点G，试判断∠BGF ∠EFN的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由；
②对于图 3，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点F顺时针方向以每秒5 的速度进行旋转，当EF与直线MN首次重合时停止运动，当经过t秒时，线段DE与△ABC的一条边平行，求满足条件的t的值。
启点:
(1)∵DE // BC ,
∴∠CED =∠BCA =90°
∴∠FAC =∠CED -∠F AD =90°-60°=30°
(2)①过点 G 作直线HL // MN ，则HL // PQ .
∴∠HGF =∠EFN ,∠BGH =∠ABC
∴∠BGF =∠HGF +∠BGH =∠EFN +∠ABC
∴∠BGF -∠EFN =∠ABC =45°
②共分三种情况：
情况1:DE// BC 时，5t=30,. t =6.
情况2:DE// AB 时，5t=75, t =15.
情况3:DE// AC 时，5t=120,t =24.
综上， t =6或15或24.