2024-2025学年山东省济南历城区八年级第二学期数学期中考试试题（含答案）

2024 - 2025 学年度第二学期期中质量检测八年级数学试题（2025.4）
（时间120分钟 满分150分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量。下面有关我国航天领域的图标，其图标是中心对称图形的是（ ）
2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. (a+4)(a 4)=a2 16 B.x2 4y2=(x+4y)(x 4y) C. x2 2x+1=x(x 1)+1 D. x2 8x+16=(x 4)2
3.不等式3x+1≤2x+2的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
4.若a>b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A. 1 3a<1 3b B. a 2
5.如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，那么BC的长等于（ ）
A. 27 B. 50 C. 23 D. 13
6.若+a=1，则的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D.
7.根据下列表格中的部分值信息，分式y可能是（ ）
A. B. C. D.
8.若关于x的分式方程=2+的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ ）
A. 1，2，3 B. 1，2 C. 1，3，4 D. 1，3
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120 ，按以下步骤作图。①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点O；③作射线BO，交AC于点D；④以点D为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BC于点M，N；⑤分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G，连接DG交BC于点H。若DH=4，则AD的长是（ ）
A. 6 B. 8 C. 6 D. 3
10.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,4)，点B在第二象限内，AO=AB，∠OAB=120 ，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60 ，则第2025次旋转后，点B的坐标为（ ）
A. (2,6) B. (6,2) C. ( 4,0) D. (2, 6)
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.如图，x 5（填 “>” 或 “<”）。
12.如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转一定角度得到△ADE，使点D落在BC上，AC与DE相交于点F。若∠C=40 ，DE⊥AC，则∠BAD= 度。
13.如图，直线y= 2x+2与直线y=kx+b（k，b为常数，k<0）相交于点A( 1,m)，则关于x的不等式 2x+2≤kx+b的解集为 。
14.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着BC方向平移4cm到△DEF的位置，若AB=5cm，DH=2cm，则阴影部分的面积等于 cm2。
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90 ，∠CAB=30 ，BC=6，D为AB上一动点（不与点A，点B重合），将AD绕点A顺时针旋转60 得到AE，连接DE，以D为直角顶点，DE为直角边，在DE上方构造等腰直角三角形DEF，G为EF的中点，连接BG，CG，则BG+CG的最小值是 。
三、解答题（本大题共 9 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（8 分）因式分解：（1）3ma3 6ma2+12ma； （2）x2(3x 2)+(2 3x)。
17.（10 分）按要求解下列不等式（组）：
（1）解关于x的不等式3 x<2(x+3)，并将解集用数轴表示出来；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解。
18.（10 分）（1）计算：﹣；
（2）先化简，再求值：( 1)÷，其中a=1。
19.（10 分）已知关于x的分式方程=2﹣。
（1）若m表示的数是2，解这个分式方程；
（2）查询发现正确答案为 “原分式方程无解”，请求出原分式方程中m代表的数是多少。
20.（8 分）已知：如图，A，E，F，C四点共线，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且AE=CF，求证：AB∥CD。
21.（10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A( 2, 4)，B(0, 4)，C(1, 1)。
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90 后的图形△A1B1C1，此时点C1的坐标为 ；
（2）将（1）中所得△A1B1C1平移得到△A2B2C2，使得△A1B1C1内一点P(a,b)平移后的对应点坐标为(a 4,b+2)，画出△A2B2C2，此时点C2的坐标为 ；
（3）若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标。
22.（10 分）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型。已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的。
（1）求航空和航海模型的单价；
（2）学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠。若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
23.（12 分）如图，△ABC中，∠C=90 ，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒。
（1）当t= 时，BP将△ABC的面积分成相等的两部分，此时BP= ；
（2）若点P不与△ABC的顶点重合，问t为何值时，点P在△ABC的角平分线上？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动。当直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分时，请直接写出此时t的值。
（备用图）
24.（12 分）如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC，点D是BC上一点，连接AD。
（1）当∠BAC=90 时，
①如图 1，若BD=2DC=4，把AD绕A顺时针旋转90 到AE，连接BE，DE，则DE= ；
②如图 2，将线段DC绕点D逆时针旋转90 到DE，点E落在AC上，连接BE，点O为线段BE的中点，连接AO，AD，此时AO与AD的数量关系为 ；
小明同学提出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
延长AO到点F，使OF=OA，连接EF，DF，通过证明两组三角形全等，再进一步分析研究△ADF来解决问题；
（2）当∠BAC=120 时，
①如图 3，将线段DC绕点D逆时针旋转60 到DE，连接BE，点O为线段BE的中点，连接
AO，AD，此时AO与AD有怎样的数量关系，并说明理由；
②如图 4，点Q为△ABC内一点，若∠AQB=90 ，∠BQC=150 ，请直接写出的值。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量。下面有关我国航天领域的图标，其图标是中心对称图形的是（ C ）
2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ D ）
A. (a+4)(a 4)=a2 16 B.x2 4y2=(x+4y)(x 4y) C. x2 2x+1=x(x 1)+1 D. x2 8x+16=(x 4)2
3.不等式3x+1≤2x+2的解集在数轴上表示为（ A ）
A. B.
C. D.
4.若a>b，则下列不等式变形正确的是（ A ）
A. 1 3a<1 3b B. a 2
5.如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，那么BC的长等于（ C ）
A. 27 B. 50 C. 23 D. 13
6.若+a=1，则的值为（ B ）
A. 3 B. 2 C. 1 D.
7.根据下列表格中的部分值信息，分式y可能是（ B ）
A. B. C. D.
8.若关于x的分式方程=2+的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（ D ）
A. 1，2，3 B. 1，2 C. 1，3，4 D. 1，3
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120 ，按以下步骤作图。①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点O；③作射线BO，交AC于点D；④以点D为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BC于点M，N；⑤分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G，连接DG交BC于点H。若DH=4，则AD的长是（ B ）
A. 6 B. 8 C. 6 D. 3
10.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,4)，点B在第二象限内，AO=AB，∠OAB=120 ，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60 ，则第2025次旋转后，点B的坐标为（ D ）
A. (2,6) B. (6,2) C. ( 4,0) D. (2, 6)
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.如图，x ＜ 5（填 “>” 或 “<”）。
12.如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转一定角度得到△ADE，使点D落在BC上，AC与DE相交于点F。若∠C=40 ，DE⊥AC，则∠BAD= 50 度。
13.如图，直线y= 2x+2与直线y=kx+b（k，b为常数，k<0）相交于点A( 1,m)，则关于x的不等式 2x+2≤kx+b的解集为 x≥﹣1 。
14.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着BC方向平移4cm到△DEF的位置，若AB=5cm，DH=2cm，则阴影部分的面积等于 16 cm2。
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90 ，∠CAB=30 ，BC=6，D为AB上一动点（不与点A，点B重合），将AD绕点A顺时针旋转60 得到AE，连接DE，以D为直角顶点，DE为直角边，在DE上方构造等腰直角三角形DEF，G为EF的中点，连接BG，CG，则BG+CG的最小值是 6 。
三、解答题（本大题共 9 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（8 分）因式分解：（1）3ma3 6ma2+12ma； （2）x2(3x 2)+(2 3x)。
=3ma（a2﹣2a+4） =（3x﹣2）（x2﹣1）
=（3x﹣2）（x﹣1）（x+1）
17.（10 分）按要求解下列不等式（组）：
（1）解关于x的不等式3 x<2(x+3)，并将解集用数轴表示出来；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解。
（1）3﹣x＜2x+6
x＞﹣1
（2）解不等式①得x≤1.5
解不等式①得x＞﹣3
不等式组解集为﹣3＜x＜1.5
整数解为﹣2，﹣1，0，1
18.（10 分）（1）计算：﹣；
（2）先化简，再求值：( 1)÷，其中a=1。
（1）=﹣
=
=
（2）原式=×
=
将a=1代入得﹣1
19.（10 分）已知关于x的分式方程=2﹣。
（1）若m表示的数是2，解这个分式方程；
（2）查询发现正确答案为 “原分式方程无解”，请求出原分式方程中m代表的数是多少。
（1）=2﹣
x﹣2=2（x﹣3）+2
x=2
经检验x=2是原方程的根
（2）x﹣2=2（x﹣3）+m
当x=3时，此方程无解
将x=3代入得3﹣2=m
m=1
20.（8 分）已知：如图，A，E，F，C四点共线，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且AE=CF，求证：AB∥CD。
证明：∵AE=CF
∴AE+EF=CF+EF
∴AF=CE
又∵DE⊥AC , BF⊥AC
∴∠AFB =∠CED =90°
在Rt△CDE和Rt△ABF
∴Rt△CDE≌Rt△ABF
∴∠C=∠A
∴AB∥CD
21.（10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A( 2, 4)，B(0, 4)，C(1, 1)。
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90 后的图形△A1B1C1，此时点C1的坐标为 ；
（2）将（1）中所得△A1B1C1平移得到△A2B2C2，使得△A1B1C1内一点P(a,b)平移后的对应点坐标为(a 4,b+2)，画出△A2B2C2，此时点C2的坐标为 ；
（3）若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标。
（1）(1,1)
（2）(﹣3，3)
（3）（﹣3，﹣1）
22.（10 分）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型。已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的。
（1）求航空和航海模型的单价；
（2）学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠。若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
解：(1）设航空模型的单价为x 元，则航海模型的单价为（x -35）元。
根据题意得：=×
解得 x =125
经检验，x =125是方程的解，也符合题意，
∴x -35=125-35=90,
答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元。
(2）设购买航空模型 m 个，学校花费元，则购买航海模型（120- m）个，
∵航空模型数量不少于航海模型数量的
∴m≥（120- m )
解得m ≥40
根据题意得：W =125x0.8m+90(120-m )=10m+10800
∵10>0,
∴当 m =40时，W 取最小值，最小值为10x40+10800=11200
此时120- m =120-40=80
∴购买航空模型40个，购买航海模型80个，学校花费最少。
23.（12 分）如图，△ABC中，∠C=90 ，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒。
（1）当t= 时，BP将△ABC的面积分成相等的两部分，此时BP= ；
（2）若点P不与△ABC的顶点重合，问t为何值时，点P在△ABC的角平分线上？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动。当直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分时，请直接写出此时t的值。
（备用图）
23.(1)2
(2）分三种情况：（每种情况2分）
①点 P 恰好在 ZABC 的角平分线上时，
如图所示，过点P 作PG⊥AB 于点G
∴PG = PC
在Rt△BPC和Rt△BPG
∴Rt△BPC和≌Rt△BPG( HL ),
∴BG = BC =3cm,
∴AG =5-3=2cm.
设 PC= x cm ，则PA =(4- x )
在Rt△APG 中，PG2+AG2=PA2
即x2+22=(4- x)2
解得：x =1.5
当t=1.5时，点 P 恰好在∠ABC 的角平分线上；
另外t=或，点 P 恰好在∠ABC 的角平分线上；
（3）t=2或6时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分
24.（12 分）如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC，点D是BC上一点，连接AD。
（1）当∠BAC=90 时，
①如图 1，若BD=2DC=4，把AD绕A顺时针旋转90 到AE，连接BE，DE，则DE= ；
②如图 2，将线段DC绕点D逆时针旋转90 到DE，点E落在AC上，连接BE，点O为线段BE的中点，连接AO，AD，此时AO与AD的数量关系为 ；
小明同学提出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
延长AO到点F，使OF=OA，连接EF，DF，通过证明两组三角形全等，再进一步分析研究△ADF来解决问题；
（2）当∠BAC=120 时，
①如图 3，将线段DC绕点D逆时针旋转60 到DE，连接BE，点O为线段BE的中点，连接
AO，AD，此时AO与AD有怎样的数量关系，并说明理由；
②如图 4，点Q为△ABC内一点，若∠AQB=90 ，∠BQC=150 ，请直接写出的值。
（1）①DE=2 ②AD=AO
（2）启点:
(2)①证明：如图，延长 AO 到点 F ，使 OF = AO ，连接 EF , DF , EF 与 BC 交于点 M ,则AO=AF
∵点 O 是BE 的中点
∴BO = OE
∵∠AOB =∠FOE
∴△AOB≌△FOE ( SAS )
∴AB = EF=AC，∠ABO =∠FEO
∴AB // EF
∴∠EMD =∠ABC =30°
∵∠EDC =60°
∴∠DEM =30°=∠C
由旋转可知，CD = DE
∵AB =EF =AC
∴△DEF≌△DCA ( SAS )
∴∠ADC =∠EDF , AD = DF
∴∠ADF =∠CDE =60°
∴△ADF是等边三角形
∴AF=AD
∴AD=2AO
②2