第二十四章 基础检测卷
考查内容：圆（时间：90 min、满分：120 分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3 分）
1.已知⊙ 的半径为 5，点 在⊙ 内，则 的长可能是( )
A.7 B.6 C.5 D.4
2.如图， ， 为⊙ 的两条弦，连接 ， ，若∠ = 45 ，则∠ 的度数为( )
A.60 B.75 C.90 D.135
3.如图，四边形 内接于⊙ ，它的一个外角∠ = 70 ，则∠ 的度数为( )
A.110 B.70 C.140 D.160
4.如图，四边形 是⊙ 的外切四边形，且 = 10， = 12，则四边形 的周长
为( )
A.44 B.42 C.46 D.47
44/66
5.如图， 是⊙ 的直径，点 在 的延长线上， 切⊙ 于点 ，若∠ = 30 ， = 4，
则 等于( )
A.6 B.4 C.2√3 D.3
6.如图，已知点 是△ 的外心，连接 ， ， ，若∠1 = 40 ，
则∠ 的度数为( )
A.20 B.30 C.40 D.50
7.如图，在平面直角坐标系中，⊙ 与 轴相切于原点 ，平行于 轴的直线交⊙ 于 ， 两
点，若点 的坐标是( 8, 4)，则点 的坐标为( )
A.( 2, 4) B.( 3, 4) C.( 4, 4) D.( 5, 4)
45/66
8.如图，点 ， ， ， ， ， 是圆 的六等分点，若△ 与△ 的周长分别为 ， ，
则下列说法正确的是( )
A. < B. = C. > D. ， 的大小无法比较
9.如图， 是⊙ 的一条弦，过点 作 ⊥ 于点 ，过点 作 ⊥ 于点 ，过点 作⊙
的切线交 的延长线于点 .若∠ = 120 ，⊙ 的半径为6√3，则
的长为( )
A.9 B.9√3 C.3√3 + 9 D.
27
2
10.如图，四边形 1 是正方形，曲线 1 2 3 4 5 叫做“正方形的渐开线”，其中 1 2， 2 3，
3 4， 4 5， 的圆心依次按 ， ， ， 1 循环，当 = 1时， 2 024 2 025 的长为( )
A.1 012π B.1 022.5π C.2 024π D.2 025π
46/66
二、填空题（共 6小题，每小题 4分）
11.过圆 内一点 的最长弦、最短弦的长度分别是10 cm、8 cm，则 =___cm .
12.如图， 是⊙ 的直径， = = ，∠ = 40 ，则∠ = ____.
13.如图（1）是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图（2）是其几何示意图（阴影
部分为花窗）.通过测量得到扇形 的圆心角为90 ， = 1 m，点 ， 分别为 ， 的
中点，则花窗的面积为_____m2 .
14.如图， 是⊙ 的直径， 是⊙ 的弦，连接 ， ， .若∠ = 20 ，则∠ =_
___ .
47/66
15.下面是欧拉发现的一个定理：如图，在△ 中， 和 分别为其外接圆和内切圆的半径，
和 分别为外心和内心，则 2 = 2 2 .若△ 的外接圆的半径为5 cm ，内切圆的半径
为2 cm，则△ 的外心与内心之间的距离为____cm .
16.如图，直线 ， 相交于点 ，∠ = 30 ，半径为2 cm的⊙ 的圆心在直线 上，
且位于点 左侧10 cm 处.若⊙ 以2 cm/s的速度沿直线 向右移动，则______s后，⊙ 与直
线 相切.
三、解答题（共 6小题）
17.（8分）如图， 为⊙ 的直径，弦 ， 的延长线相交于点 ，且 = ，求证：∠
= 2∠ .
48/66
18.（10分）如图，在⊙ 中，半径 ， 分别交弦 于点 ， ，且 = .
（1）求证： = .
（2）求证： = .
19.（10分）如图，⊙ 是正五边形 的外接圆，⊙ 的半径为10 cm，点 在⊙ 上（点
不与点 ， 重合）.
（1）∠ 的度数为___________.
（2）连接 ， ，得到扇形 ，将扇形 围成一个圆锥，求该圆锥的底面圆的半径.
49/66
20.（12 分）根据素材解决问题.
设计货船通过圆弧形拱桥的方案
素 图（1）是某圆弧形拱桥的示意图，测
材 得水面宽 =16 m，拱顶离水面的距
1 离 =4 m
_
如图（2），一艘货船露出水面部分的
纵截面为矩形 ，测得 =3 m，
素
=10 m .因水深足够，货船可以根
材
据需要运载货物.据调查，船身下降的 _ _____
2
高度 (m)与货船增加的质量 (t)满足 （注：本题中货船与拱桥刚好挨住时可以通
1
函数关系式 = 过）（注：生活中要注意安全，临界状态时
100
绝对不可以通过）
问题解决
任务 1 确定拱桥半径
求圆弧形拱桥的半径
任务 2 拟定设计方案
根据图（2）状态，货船能否通过圆弧形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？
若不能，至少要增加多少吨货物才能通过
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21.（12分）如图， 是⊙ 的直径， 是弦，点 是弧 的中点， 与 交于点 ， 是
⊙ 的切线，交 的延长线于点 ，连接 .
（1）写出图中一对相等的角：_______________.
（2）求证： = .
（3）若 = 4， = 2，求⊙ 的半径.
22.（14分）如图（1），⊙ 的内接四边形 的对角线 与 交于点 ，∠ = ∠ .
（1）求证： 平分∠ .
（2）如图（2），过点 作 // 交 的延长线于点 ，若 平分∠ ， = ，求证：
是⊙ 的切线.
51/66第二十四章 基础检测卷
考查内容：圆（时间：90 min、满分：120 分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3分）
1.已知⊙ 的半径为 5，点 在⊙ 内，则 的长可能是( )
A.7 B.6 C.5 D.4
【解析】∵⊙ 的半径为 5，点 在⊙ 内，∴ < 5 .故选 D.
2.如图， ， 为⊙ 的两条弦，连接 ， ，若∠ = 45 ，则∠ 的度数为( )
A.60 B.75 C.90 D.135
【解析】根据题意，得∠ 和∠ 分别是 所对的圆周角和圆心角，
1
∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ = 45 ，∴ ∠ = 2∠ = 2 × 45 = 90 . 故选 C.
2
3.如图，四边形 内接于⊙ ，它的一个外角∠ = 70 ，则∠ 的度数为( )
A.110 B.70 C.140 D.160
【解析】∵ ∠ + ∠ = 180 ，∠ + ∠ = 180 ，
∴ ∠ = ∠ = 70 .故选 B.
4.如图，四边形 是⊙ 的外切四边形，且 = 10， = 12，则四边形 的周长
为( )
A.44 B.42 C.46 D.47
73/115
【解析】∵ 四边形 是⊙ 的外切四边形，
∴ + = + = 22，
∴ 四边形 的周长为 + + + = 44 ，故选 A.
5.如图， 是⊙ 的直径，点 在 的延长线上， 切⊙ 于点 ，若∠ = 30 ， = 4，
则 等于( )
A.6 B.4 C.2√3 D.3
【解析】如图 ，连接 . ∵ 切⊙ 于点 ，∴ ⊥ . ∵ = 4 ，
∠ = 30
1
，∴ = = = 2，∠ = 60 ，
2
∴ ∠ = ∠ = 30 ， = √ 2 2 = 2√3，∴ ∠ = ∠ = 30 ，
∴ = = 2√3 ，故选 C.
6.如图，已知点 是△ 的外心，连接 ， ， ，若∠1 = 40 ，则∠ 的度数为(
)
A.20 B.30 C.40 D.50
74/115
【解析】∵ 点 为△ 的外心，∴ = ，
∴ ∠ = ∠1 = 40 ， ∴ ∠ = 180 40 40 = 100 ，
1
∴ ∠ = ∠ = 50 ，故选 D.
2
7.如图，在平面直角坐标系中，⊙ 与 轴相切于原点 ，平行于 轴的直线交⊙ 于 ， 两
点，若点 的坐标是( 8, 4)，则点 的坐标为( )
A.( 2, 4) B.( 3, 4) C.( 4, 4) D.( 5, 4)
【解析】作 ⊥ 于 ，连接 ，如图 ，
设⊙ 的半径为 . ∵⊙ 与 轴相切于原点 ，
∴ = ，∴ 点 的坐标为( , 0). ∵ ⊥ ，∴ = . ∵ // 轴， ( 8, 4)，
75/115
∴ 点坐标为( , 4).在Rt△ 中， = 4， = ， = 8 ，
根据勾股定理得 2 + 2 = 2，∴ 42 + (8 )2 = 2 ，解得 = 5，
∴ = 3，∴ = 3，∴ 点坐标为( 2, 4) .故选 A.
8.如图，点 ， ， ， ， ， 是圆 的六等分点，若△ 与△ 的周长分别为 ， ，
则下列说法正确的是( )
A. < B. =
C. > D. ， 的大小无法比较
【解析】如图 ，连接 . ∵ 点 ， ， ， ， ， 是圆 的六等分点，
360
∴ ∠ = ∠ = = 60 .又∵ = = ，
6
∴ △ ,△ 都是正三角形，∴ = = = = ，
∴ + + = + + ，即△ 的周长 与△ 的周长 相等，∴ = ，故
选 B.
9.如图， 是⊙ 的一条弦，过点 作 ⊥ 于点 ，过点 作 ⊥ 于点 ，过点 作⊙
的切线交 的延长线于点 .若∠ = 120 ，⊙ 的半径为6√3，则
的长为( )
A.9 B.9√3 C.3√3 + 9 D.
27
2
76/115
【解析】如图 ，过 作 ⊥ 于 . ∵ = ， ⊥ ，
1
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 60 ，
2
∴ ∠ = ∠ = 30
1
. ∵ = = 6√3，∴ = = 3√3 ，
2
∴ = = √(6√3)2 (3√3)2 = 9. ∵ ⊥ ，∴ ∠ = 30 ,
1 3 9
∴ = = √3，∴ = √ 2 2 = .∵ 是⊙ 的切线，
2 2 2
∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ = 60 .又∵ 易知∠ = 60 ,
9 27
∴ △ 为等边三角形，∴ = = 9，∴ = + = + 9 = ，故选 D.
2 2
10.如图，四边形 1 是正方形，曲线 1 2 3 4 5 叫做“正方形的渐开线”，其中 1 2， 2 3，
3 4， 4 5， 的圆心依次按 ， ， ， 1 循环，当 = 1时， 2 024 2 025 的长为( )
A.1 012π B.1 022.5π C.2 024π D.2 025π
77/115
【解析】因为四边形 1是正方形， = 1，所以 1 2 所在圆的半径为 1，
90 π 1 1
所以 1 2 = = π ， 180 2
90 π 2 90 π 3 3
同理可得 2 3 = = π ， 3 4 = = π ， ， 180 180 2
90 π π
依次类推，可得 +1 = = （ 为正整数）， 180 2
2 024π
所以 2 024 2 025 = = 1 012π .故选 A. 2
二、填空题（共 6小题，每小题 4分）
11.过圆 内一点 的最长弦、最短弦的长度分别是10 cm、8 cm，则 =___cm .
【解析】如图 ， 为圆 的直径， ⊥ 于点 ，连接 .
1
根据题意得 = 10 cm， = 8 cm.∵ ⊥ ，∴ = = 4 cm .
2
根据勾股定理，得 = √ 2 2 = 3 cm .故答案为 3.
12.如图， 是⊙ 的直径， = = ，∠ = 40 ，则∠ = ____.
78/115
【解析】∵ = = ，∠ = 40 ，∴ ∠ = ∠ = ∠ = 40 ，
∴ ∠ = 180 40 × 3 = 60 .故答案为60 .
13.如图（1）是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图（2）是其几何示意图（阴影
部分为花窗）.通过测量得到扇形 的圆心角为90 ， = 1 m，点 ， 分别为 ， 的
中点，则花窗的面积为_____m2 .
【解析】∵ 在扇形 中， = 1 m，点 ， 分别为 ， 的中点，
1
∴ = = m.∵ 扇形 的圆心角为90 ，
2
90π×12 1 1 1 π 1 2π 1
∴ 花窗的面积=扇形 的面积 △ 的面积= × × = = (m2).
360 2 2 2 4 8 8
2π 1
故答案为 .
8
14.如图， 是⊙ 的直径， 是⊙ 的弦，连接 ， ， .若∠ = 20 ，则∠ =_
___ .
79/115
【解析】∵ ∠ 与∠ 对着同一条弧，∴ ∠ = ∠ = 20 . ∵ 是⊙ 的直径
，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ = 90 20 = 70 .故答案为 70.
15.下面是欧拉发现的一个定理：如图，在△ 中， 和 分别为其外接圆和内切圆的半径，
和 分别为外心和内心，则 2 = 2 2 .若△ 的外接圆的半径为5 cm ，内切圆的半径
为2 cm，则△ 的外心与内心之间的距离为____cm .
【解析】由题意可知， 2 = 2 2 = 52 2 × 5 × 2 = 5，
∴ △ 的外心与内心之间的距离为√5 cm，故答案为√5 .
16.如图，直线 ， 相交于点 ，∠ = 30 ，半径为2 cm的⊙ 的圆心在直线 上，
且位于点 左侧10 cm 处.若⊙ 以2 cm/s的速度沿直线 向右移动，则______s后，⊙ 与直
线 相切.
80/115
【解析】当⊙ 1在直线 左侧与直线 相切时，如图（1） ，
过点 1作 1 ⊥ 于点 ，
则 1 = 2 cm，∠ 1 = 90
. ∵ ∠ = 30 ，∴ 1 = 2 1 = 4 cm ，
∴ 1 = 1 = 10 4 = 6(cm)，∴⊙ 移动了6 cm ，所用时间为6 ÷ 2 = 3(s) ；
当⊙ 2在直线 右侧与直线 相切时，如图（2） ，
过点 2作 2 ⊥ 于点 ，
则 = 2 cm，∠ = 90 2 2 . ∵ ∠ = ∠ = 30
，∴ 2 = 4 cm ，
∴ 2 = + 2 = 14 cm，∴⊙ 移动了14 cm，所用时间为14 ÷ 2 = 7(s) .
故答案为 3 或 7.
三、解答题（共 6小题）
17.（8 分）如图， 为⊙ 的直径，弦 ， 的延长线相交于点 ，且 = ，求证：∠
= 2∠ .
81/115
【证明】如图，连接 . ∵ 为⊙ 的直径，
∴ ∠ = 90 ，即 ⊥ .…………（2 分）
∵ = ，∴ 为 的垂直平分线，…………（6 分）
∴ = ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 2∠ .…………（8 分）
18.（10 分）如图，在⊙ 中，半径 ， 分别交弦 于点 ， ，且 = .
（1）求证： = .
82/115
【证明】如图 ，过 作 ⊥ 于 ，连接 ， . ∵ = ，
= ，∴ = ， = ，…………（3 分）
∴ = ，∴ = .…………（5 分）
（2）求证： = .
【解】∵ ⊥ ， = ， = ，∴ ∠ = ∠ ，
∠ = ∠ ， …………（7 分）
∴ ∠ ∠ = ∠ ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，∴ = .…………（10 分）
19.（10 分）如图，⊙ 是正五边形 的外接圆，⊙ 的半径为10 cm，点 在⊙ 上（点
不与点 ， 重合）.
（1）∠ 的度数为___________.
【解析】如图 ，连接 ， . ∵⊙ 是正五边形 的外接圆，
83/115
360 1
∴ ∠ = = 72 ，∴ ∠ = ∠ = 36 ，
5 2
∴ ∠ ′ = 180 ∠ = 144 ，故答案为36 或144 .…………（5 分）
（2）连接 ， ，得到扇形 ，将扇形 围成一个圆锥，求该圆锥的底面圆的半径.
【解】∵ ∠ = ∠ = 72 ，∴ ∠ = 144 ,
144 π×10
∴ 的长度为 = 8π(cm) ，
180
8π
∴ 该圆锥的底面圆的半径为 = 4(cm) .…………（10 分）
2π
20.（12 分）根据素材解决问题.
设计货船通过圆弧形拱桥的方案
素 图（1）是某圆弧形拱桥的示意图，测
材 得水面宽 =16 m，拱顶离水面的距
1 离 =4 m
_
如图（2），一艘货船露出水面部分的
纵截面为矩形 ，测得 =3 m，
素
=10 m .因水深足够，货船可以根
材
据需要运载货物.据调查，船身下降的
_ _____
2
高度 (m)与货船增加的质量 (t)满足
（注：本题中货船与拱桥刚好挨住时可以通
1
函数关系式 =
100 过）（注：生活中要注意安全，临界状态时
绝对不可以通过）
问题解决
任务 1 确定拱桥半径
求圆弧形拱桥的半径
【解】设圆心为点 ，则点 在 延长线上，连接 ，如图（1）.
84/115
设拱桥的半径为 m，则 = ( 4)m .
1
∵ ⊥ ，∴ = = = 8 m .…………（2 分）
2
在Rt△ 中， 2 + 2 = 2 ，
∴ ( 4)2 + 82 = 2，解得 = 10 ，
∴ 圆弧形拱桥的半径为10 m .…………（5 分）
任务 2 拟定设计方案
根据图（2）状态，货船能否通过圆弧形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？
若不能，至少要增加多少吨货物才能通过
【解】根据题图（2）状态，货船不能通过圆弧形拱桥.…………（6 分）
假设货船刚好能通过，即当 是⊙ 的弦时，设 与 的交点为 ，连接 ，如图（2）
.
∵ 四边形 为矩形，∴ // .
1
∵ ⊥ ，∴ ⊥ ，∴ = = 5 m ，…………（8 分）
2
∴ = √ 2 2 = 5√3m .
∵ = 6 m，∴ = (5√3 6)m < 3 m ，
85/115
∴ 根据题图（2）状态，货船不能通过圆弧形拱桥，∴ 船身要下降的高度
= 3 (5√3 6) = (9 5√3)m .…………（10 分）
1
∵ = ，∴ = 100(9 5√3) = (900 500√3) ，
100
∴ 至少要增加(900 500√3)t 的货物才能通过.…………（12 分）
21.（12 分）如图， 是⊙ 的直径， 是弦，点 是弧 的中点， 与 交于点 ， 是
⊙ 的切线，交 的延长线于点 ，连接 .
（1）写出图中一对相等的角：_______________.
【解】∵ ∠ 与∠ 对着同一条弧，∴ ∠ = ∠ .
故答案为∠ = ∠ .（答案不唯一）…（3 分）
（2）求证： = .
【证明】如图 ，连接 ， . ∵ 是⊙ 的切线，
∴ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，
即∠ + ∠ = 90 .…………（5 分）
∵ 点 是弧 的中点， 是⊙ 的直径，∴ ∠ = ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 . ∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ .…………（7 分）
86/115
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ = .…………（9 分）
（3）若 = 4， = 2，求⊙ 的半径.
【解】设⊙ 的半径为 ，如图，则 = = .在Rt△ 中，∵ = ，
= 4， = + 2，∴ 2 + 42 = ( + 2)2，解得 = 3，即⊙ 的半径为 3.（12 分）
22.（14 分）如图（1），⊙ 的内接四边形 的对角线 与 交于点 ，∠ = ∠ .
（1）求证： 平分∠ .
【证明】∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ 平分∠ .…………
（3 分）
（2）如图（2），过点 作 // 交 的延长线于点 ，若 平分∠ ， = ，求证：
是⊙ 的切线.
【解】∵ 平分∠ ，∴ = ，∴ = .
又∵ = ，∴ △ 是正三角形，…………（5 分）
∴ ∠ = ∠ = 60 .…………（6 分）
由（1）知∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ = ∠ = 30 ,
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 30 + 60 = 90 ，∴ ∠ = 60 . ∵ // ，
∴ ∠ = 90 .…………（9 分）
∵ ∠ = 90 ，∴ 是直径.如图 ，
87/115
连接 ，则∠ = 60 ，
∴ ∠ = ∠ ，∴ // ，…………（12 分）
∴ ∠ = ∠ = 90 ，∴ ⊥ .又∵ 点 在⊙ 上，∴ 为⊙ 的切线.…………（14 分）
88/115
