第二十四章 素养检测卷
考查内容：圆（时间：90 min/满分：120 分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3分）
1.小明在半径为 5 的圆中测量弦 的长度，下列测量结果中一定是错误的是( )
A.4 B.5 C.10 D.11
【解析】∵ 半径为 5 的圆，直径为 10，∴ 在半径为 5 的圆中测量弦 的长度， 的取值范
围是0 < ≤ 10，∴ 弦 的长度可以是 4，5，10，不可能为 11.故选 D.
2.如图，四边形 内接于⊙ ．过点 作 // ，交 于点 ．若∠ = 50 ，则∠
的度数是( )
A.50 B.100 C.130 D.150
【解析】∵ // ，∴ ∠ = ∠ = 50 . ∵ 四边形 内接于⊙ ，∴ ∠ = 180
∠ = 130 ．故选 C．
3.下列说法中，正确的是( )
A.同心圆的周长相等 B.面积相等的圆是等圆
C.相等的圆心角所对的弧相等 D.平分弧的弦一定经过圆心
【解析】选 B.
4.如图，边长为 4 的正方形 的顶点 在⊙ 上，顶点 ， 在⊙ 内， 的延长线交⊙
于点 ，则图中阴影部分的面积为( )
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A.4π 8 B.2π 4 C.2π 4√2 D.4π 4
【解析】连接 ，如图 .∵ 四边形 是正方形，
∴ ∠ = 45 ， ∠ = 90 ，∴ = √2 = 4√2，
45π×(4√2)2 1
∴ 图中阴影部分的面积为 扇形 △ = × 4 × 4 = 4π 8 ， 360 2
故选 A.
5.如图， 是⊙ 的直径， ， ， 是⊙ 的弦.若∠ = 30 ， = 4，则弦 的长
度为( )
A.√3 B.2√2 C.3 D.2√3
【解析】如图 ，连接 . ∵ 是⊙ 的直径， ， 是⊙ 的弦，
1
∴ ∠ = 90 . ∵ ∠ = ∠ = 30 ，∴ = = 2 ，
2
90/115
∴ = √ 2 2 = √42 22 = 2√3 .故选 D.
6.平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热.如图，
平底烧瓶的截面图可以近似看作由⊙ 去掉弧 与弧 ，并连接
后与矩形 组合而成的图形，其中 // ，若⊙ 的半径为 25， = 36， = 14，
= 30 ，则该平底烧瓶的高度为( )
A.20 B.40 C.60 D.80
【解析】连接 ， ，过点 作 ⊥ ，交 于点 ，交 于点 ，
如图 .∵ // ，∴ ⊥ . ∵ = 14， = 30，∴ = 7 ，
= 15. ∵⊙ 的半径为 25，∴ 在Rt△ 和Rt△ 中，
= = 25，由勾股定理得 = √ 2 2 = 24 ，
= √ 2 2 = 20. ∵ = 36，
∴ 该平底烧瓶的高度为 + + = 36 + 24 + 20 = 80 .故选 D.
7.圆形螺母（如图（1））是生活中常见的机械零件，某工人师傅把直尺、直角三角尺和圆形螺
母按如图（2）所示的方式放置于桌面上，直尺的上边缘、直角三角尺的斜边分别与螺母的外
圆相切于点 , ，直角三角尺的较短直角边 与直尺的上边缘重合，∠ = 60 ，经测量，
= 4 cm ，则该圆形螺母外圆的直径是( )
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A.8√3 cm B.12 cm C.4√3 cm D.8 cm
【解析】设圆形螺母的圆心为 ，连接 , ，如图
.∵ ∠ = 60 ，
∴ ∠ = 120 . ∵ , 与⊙ 都相切，∴ ⊥ ， 平分∠ ，
1
∴ ∠ = 90 ，∠ = ∠ = ∠ = 60 .在Rt△ 中，
2
∠ = 90 60 = 30 ,∴ = 2 = 8 cm，∴ = √82 42 = 4√3(cm) ，
即该圆形螺母外圆的半径为4√3 cm，∴ 该圆形螺母外圆的直径是8√3 cm .故选 A.
8.如图，正五边形 中， = 6 ，连接 ，点 在线段 上（不与 ， 重合）， ， ，
将五边形分成面积为 1， 2， 3， 4， 5 的五部分，则下列式子的值不
能确定的是( )
A. 1 + 2 B. 3 + 5 C. 2 + 3 D. 1 + 2 + 4
【解析】 1 + 2的值等于△ 的面积.∵ 五边形 为正五边形，
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∴ = = 6，∠ = 108 ，∴△ 的面积是能确定的，故 A 不符合题意.
由正五边形的性质易得 // ，则 与 之间的距离一定.∵ = = 6 ，
∴ 4的值可以确定.又∵ 梯形 面积一定，∴ 3 + 5 的值可以确定，故 B 不符合题意.
由上可知 1 + 2 + 4的值可以确定，故 D 不符合题意.
由题图得，当点 靠近点 时 2 + 3的值变小，
当点 靠近点 时 2 + 3的值变大，∴ 2 + 3 的值不能确定，
故 C 符合题意.故选 C.
9.如图， 为⊙ 的直径， 为直径 上方的⊙ 上的一动点,且不与 ， 重合， ⊥ 于
，∠ 的平分线交⊙ 于 ，连接 ，则当 运动时，点 的位置( )
A.随点 的运动而变化 B.不变
C.在使 = 的劣弧上 D.无法确定
【解析】连接 ，如图 .
∵ 是∠ 的平分线，∴ ∠ = ∠ .
又∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ // .
又∵ ⊥ ，∴ ⊥ . ∵ = ，
∴ 点 是线段 的垂直平分线和⊙ 的交点，
∴ 当 运动时，点 的位置不变.故选 B.
10.如图，已知直线 交⊙ 于 ， 两点， 是⊙ 的直径，点 为⊙ 上一点，且 平分
∠ ，过 作 ⊥ ，垂足为 ，且 + = 12，⊙ 的直径为 20，则 的长等于(
)
A.8 B.12 C.16 D.18
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【解析】连接 ，过 作 ⊥ ，垂足为 ，
如图
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ . ∵ 平分∠ ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，∴ // . ∵ ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 90 ，∴ 四边形 为矩形，
∴ = ， = . ∵ + = 12，
∴ 设 = ，则 = = 12 . ∵⊙ 的直径为 20，
∴ = = 10，∴ = 10 .在Rt△ 中，
由勾股定理得 2 + 2 = 2,即(10 )2 + (12 )2 = 102 ，
解得 1 = 4， 2 = 18. ∵ 12 > 0，∴ = 18舍去，∴ = 4 ，
∴ = 10 4 = 6. ∵ ⊥ ，∴ = 2 = 12 .故选 B.
二、填空题（共 6小题，每小题 4分）
11.如图，在⊙ 中， = ，∠ = 40 ，则∠ = ____.
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【解析】∵ = ，∴ = . ∵ ∠ = 40 ，
∴ ∠ = ∠ = (180 ∠ ) ÷ 2 = 70 .
12.如图， 是⊙ 的直径，点 在 的延长线上， 与⊙ 相切于点 ，若∠ = 20 ，则
∠ =____ .
【解析】如图
连接 ，则∠ = 90 ，
∴ ∠ = 70 . ∵ = ，
1
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 35 ，故答案为 35.
2
13.如图，四边形 为平行四边形，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 边于点 ，连
接 ， = 1，∠ = 60 ，则 的长 =____（结果保留π ）.
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【解析】∵ 四边形 是平行四边形，∴ ∠ = ∠ = 60 .
由题意得 = ，∴△ 是等边三角形，∴ ∠ = 60 . ∵ = 1 ，
60π×1 1 1
∴ = = π.故答案为 π .
180 3 3
14.在⊙ 中， 为直径， = 10，点 ，点 均在⊙ 上， ⊥ ，将点 沿直线 翻
折，翻折后点 的对应点为点 ，连接 .若 = 2，则 的长为_____________.
【解析】设 与 交于点 ，连接 . ∵ 为直径， ⊥ ，
∴ = . ∵ = 10， = 2，∴ = 8或 12，
∴ = = 4或 6， = 3 或 7，∴ = 1，∴ = √52 12 = 2√6 ，
∴ = √ 2 + 2 = √42 + (2√6)2 = 2√10 或
= √ 2 + 2 = √62 + (2√6)2 = 2√15.
故答案为2√10或2√15 .
15.若过平面直角坐标系中的三个点 (1,0) ， (0,2)， ( 1, )能确定一个圆，则 ≠ ___.
【解析】∵ (0,2)，∴ 设直线 的解析式为 = + 2.把 (1,0) 代入，得 = 2，
∴ = 2 + 2，∴ 当 = 1时， = 2 × ( 1) + 2 = 4，
∴ 当 ≠ 4 时，
过平面直角坐标系中的三个点 (1,0)， (0,2)， ( 1, ) 能确定一个圆，
故答案为 4.
16.如图， 是⊙ 的直径， = 8，点 在⊙ 上，∠ = 20 ， 是 的中点， 是直
径 上的一动点，则 + 的最小值为___.
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【解析】如图
作点 关于 的对称点 ′，连接 ， ， ′， ′ ，
′与 的交点即为使 + 的值最小时的点 ，
此时 + = ′. ∵ ∠ = 20 ，
∴ ∠ = 2∠ = 2 × 20 = 40 . ∵ 是 的中点，
1 1
∴ ∠ = ∠ = × 40 = 20 .
2 2
由对称性，得∠ ′ = ∠ = 20 ，
∴ ∠ ′ = ∠ + ∠ ′ = 40 + 20 = 60 .
又∵ = ′，∴△ ′是等边三角形，
1 1
∴ ′ = = = = × 8 = 4 ，
2 2
故答案为 4.
三、解答题（共 6小题）
17.（8 分）如图，⊙ 中，弦 与 相交于点 ， = ，连接 ， .求证：
（1） = ；
【证明】∵ = ，∴ = ，∴ = ，∴ = ， …（4 分）
∴ = .…………（5 分）
（2） = .
【解】∵ = ，∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ △ ≌△ (AAS) ，…………（7 分）
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∴ = .…………（8 分）
18.（10 分）如图， 是⊙ 的直径，弦 ⊥ 于点 ，点 在⊙ 上，∠1 = ∠ .
（1）求证： // ；
【证明】∵ ∠ = ∠ ，且∠1 = ∠ ，
∴ ∠1 = ∠ ，…………（2 分）
∴ // .…………（4 分）
（2）若 = 3，∠ = 30 ，求⊙ 的直径.
【解】如图
连接 . ∵ ∠ = 30 ，
∴ ∠ = 30 .…………（5 分）
∵ ⊥ ，∴ = ，∴ ∠ = 2∠ = 60 .…………（7 分）
∵ = ，∴△ 为等边三角形，…………（9 分）
∴ = = 3，∴⊙ 的直径为 6.…………（10 分）
19.（10 分）如图，在平面直角坐标系中，有 (0,4)， (4,4)， (6,2) 三点.
（1）在图中画出经过 ， ， 三点的圆弧所在圆的圆心 的位置；
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【解】如图
点 即为所求.…………（3 分）
（2）圆心 的坐标为______；
【解析】由图可知，点 的坐标为(2,0).故答案为(2,0) .…………（6 分）
（3）点 坐标为(8, 2)，连接 ，判断直线 与（1）中⊙ 的位置关系，并说明理由.
【解】直线 与⊙ 相切.理由：如图，连接 ， .由勾股定理得
2 = 42 + 22 = 20， 2 = 22 + 42 = 20， 2 = 22 + 62 = 40 ，……（8 分）
∴ 2 + 2 = 2，∴ ∠ = 90 ,即 ⊥ . ∵ 为⊙ 的半径，
∴ 直线 与⊙ 相切.…………（10 分）
20.（12 分）如图， 是半圆 的直径， 是半圆上不同于 ， 的一点， 是△ 的内心，
的延长线交半圆 于点 ，连接 ， ， .
（1）求证： = ；
99/115
【证明】∵ 是△ 的内心，
∴ ∠ = ∠ = ∠ ,∠ = ∠ ，…………（2 分）
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ ,∴ = .…………（5 分）
（2）若 = 2， ⊥ ，求 的长.
【解】如图
1
过 作 ⊥ 于点 ，∴ = . ∵ 点 为 的中点，∴ = = 1.
2
∵ 为直径，∴ ∠ = 90 . ∵ = ，∴△ 是等腰直角三角形，
∴ ∠ = 45 .…………（8 分）
∵ ⊥ ，即∠ = 90 ，∴ ∠ = 45 ，∴△ 是等腰直角三角形，
∴ = = 1，∴ = = + = + = 1 + 2 = 3 ，…………（11 分）
∴ = + = 4 .…………（12 分）
21.（12 分）如图，在Rt△ 中，∠ = 90 ，∠ = 60 ，以 为直径作⊙ ，点 为
的中点，连接 交⊙ 于 点.
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（1）求证：点 为 的中点；
【证明】如图
连接 . ∵ 为Rt△ 斜边 的中点,
∴ = .又∵ ∠ = 60 ，∴△ 为等边三角形，（2 分）
∴ ∠ = ∠ = 60 .又∵ = ，
∴ △ 是等边三角形，∴ ∠ = ∠ = 60 ,∴ //
∵ 为 中点，∴ 为 的中点.（5 分）
（2）过 点作 ⊥ ，垂足为 ，延长 交 于点 ，求证： 是⊙ 的切线；
【证明】由（1）得 // . ∵ ⊥ ，∴ ⊥ . ∵ 为⊙ 半径，∴ 是⊙ 的切线.
（7 分）
101/115
（3）在（2）的条件下，若 = 2，求 的长.
【解】如图，作 // 交 于 .∵ 为 的中点，∴ 为△ 的中位线，
1
∴ = 2 ， = .（9 分）
2
∵ ∠ = 90 ,即 ⊥ ，∴ 是⊙ 的切线.∵ , 都是⊙ 的切线,
∴ = ，∴ = . ∵ ⊥ , // ,∴ ∠ = 90 .
又∵ ∠ = 90 60 = 30 ， ∴ = 2 = 2 = 4 ，
∴ = 6 = 6 × 2 = 12 .（12 分）
22.（14 分）如图，在⊙ 中， 为直径，弦 ⊥ 于点 ，连接 , .
（1）如图（1），求证：∠ = ∠ ；
【证明】∵ 是直径，弦 ⊥ ，∴ = ，
∠ = ∠ = 90 .又∵ = ，∴△ ≌△ (SAS) ，（2 分）
∴ ∠ = ∠ .（3 分）
（2）如图（2），连接 ，过点 作 ⊥ 于点 ，求证： = 2 ；
【证明】如图（1）
102/115
连接 . ∵ 是直径， ⊥ ，
1
∴ = ， = ，∴ = ，即 = 2 .（6 分）
2
由（1）可得，△ ≌△ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ = ，
∴ = ，∴ = 2 .（8 分）
（3）如图（3），在（2）的条件下，点 在 上， = ，连接 ， = 6， = 8，
求 的长.
【解】如图（2）
103/115
连接 ， ， ， .
由（2）可知， = ， = .
∵ = ，∴ ∠ = ∠ .
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，∴△ ≌△ (AAS) ，
∴ = = 8 .…………（11 分）
∵ 是直径，∴ ∠ = 90 .
在Rt△ 中， = √ 2 + 2 = √62 + 82 = 10，
1
∴ = = = = 5.
2
1
∵ ⊥ ，∴ = = = 4.
2
在Rt△ 中， = √ 2 2 = √52 42 = 3 ，
∴ = = 5 3 = 2.在Rt△ 中，
= √ 2 + 2 = √42 + 22 = 2√5 .
1 1
由（2）可得， = = × 2√5 = √5，∴ 的长为√5 .（14 分）
2 2
104/115第二十四章 素养检测卷
考查内容：圆（时间：90 min/满分：120 分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3 分）
1.小明在半径为 5 的圆中测量弦 的长度，下列测量结果中一定是错误的是( )
A.4 B.5 C.10 D.11
2.如图，四边形 内接于⊙ ．过点 作 // ，交 于点 ．若∠ = 50 ，则∠
的度数是( )
A.50 B.100 C.130 D.150
3.下列说法中，正确的是( )
A.同心圆的周长相等 B.面积相等的圆是等圆
C.相等的圆心角所对的弧相等 D.平分弧的弦一定经过圆心
4.如图，边长为 4 的正方形 的顶点 在⊙ 上，顶点 ， 在⊙ 内， 的延长线交⊙
于点 ，则图中阴影部分的面积为( )
A.4π 8 B.2π 4 C.2π 4√2 D.4π 4
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5.如图， 是⊙ 的直径， ， ， 是⊙ 的弦.若∠ = 30 ， = 4，则弦 的长
度为( )
A.√3 B.2√2 C.3 D.2√3
6.平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热.如图，
平底烧瓶的截面图可以近似看作由⊙ 去掉弧 与弧 ，并连接
后与矩形 组合而成的图形，其中 // ，若⊙ 的半径为 25， = 36， = 14，
= 30 ，则该平底烧瓶的高度为( )
A.20 B.40 C.60 D.80
7.圆形螺母（如图（1））是生活中常见的机械零件，某工人师傅把直尺、直角三角尺和圆形螺
母按如图（2）所示的方式放置于桌面上，直尺的上边缘、直角三角尺的斜边分别与螺母的外
圆相切于点 , ，直角三角尺的较短直角边 与直尺的上边缘重合，∠ = 60 ，经测量，
= 4 cm ，则该圆形螺母外圆的直径是( )
A.8√3 cm B.12 cm C.4√3 cm D.8 cm
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8.如图，正五边形 中， = 6 ，连接 ，点 在线段 上（不与 ， 重合）， ， ，
将五边形分成面积为 1， 2， 3， 4， 5 的五部分，则下列式子的值不能确定的是( )
A. 1 + 2 B. 3 + 5 C. 2 + 3 D. 1 + 2 + 4
9.如图， 为⊙ 的直径， 为直径 上方的⊙ 上的一动点,且不与 ， 重合， ⊥ 于
，∠ 的平分线交⊙ 于 ，连接 ，则当 运动时，点 的位置( )
A.随点 的运动而变化 B.不变
C.在使 = 的劣弧上 D.无法确定
10.如图，已知直线 交⊙ 于 ， 两点， 是⊙ 的直径，点 为⊙ 上一点，且 平分
∠ ，过 作 ⊥ ，垂足为 ，且 + = 12，⊙ 的直径为 20，则 的长等于(
)
A.8 B.12 C.16 D.18
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二、填空题（共 6小题，每小题 4分）
11.如图，在⊙ 中， = ，∠ = 40 ，则∠ = ____.
12.如图， 是⊙ 的直径，点 在 的延长线上， 与⊙ 相切于点 ，若∠ = 20 ，则
∠ =____ .
13.如图，四边形 为平行四边形，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 边于点 ，连
接 ， = 1，∠ = 60 ，则 的长 =____（结果保留π ）.
14.在⊙ 中， 为直径， = 10，点 ，点 均在⊙ 上， ⊥ ，将点 沿直线 翻
折，翻折后点 的对应点为点 ，连接 .若 = 2，则 的长为_____________.
15.若过平面直角坐标系中的三个点 (1,0) ， (0,2)， ( 1, )能确定一个圆，则 ≠ ___.
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16.如图， 是⊙ 的直径， = 8，点 在⊙ 上，∠ = 20 ， 是 的中点， 是直
径 上的一动点，则 + 的最小值为___.
三、解答题（共 6小题）
17.（8 分）如图，⊙ 中，弦 与 相交于点 ， = ，连接 ， .求证：
（1） = ；
（2） = .
18.（10 分）如图， 是⊙ 的直径，弦 ⊥ 于点 ，点 在⊙ 上，∠1 = ∠ .
（1）求证： // ；
（2）若 = 3，∠ = 30 ，求⊙ 的直径.
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19.（10 分）如图，在平面直角坐标系中，有 (0,4)， (4,4)， (6,2) 三点.
（1）在图中画出经过 ， ， 三点的圆弧所在圆的圆心 的位置；
（2）圆心 的坐标为______；
（3）点 坐标为(8, 2)，连接 ，判断直线 与（1）中⊙ 的位置关系，并说明理由.
20.（12 分）如图， 是半圆 的直径， 是半圆上不同于 ， 的一点， 是△ 的内心，
的延长线交半圆 于点 ，连接 ， ， .
（1）求证： = ；
（2）若 = 2， ⊥ ，求 的长.
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21.（12 分）如图，在Rt△ 中，∠ = 90 ，∠ = 60 ，以 为直径作⊙ ，点 为
的中点，连接 交⊙ 于 点.
（1）求证：点 为 的中点；
（2）过 点作 ⊥ ，垂足为 ，延长 交 于点 ，求证： 是⊙ 的切线；
（3）在（2）的条件下，若 = 2，求 的长.
22.（14 分）如图，在⊙ 中， 为直径，弦 ⊥ 于点 ，连接 , .
（1）如图（1），求证：∠ = ∠ ；
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（2）如图（2），连接 ，过点 作 ⊥ 于点 ，求证： = 2 ；
（3）如图（3），在（2）的条件下，点 在 上， = ，连接 ， = 6， = 8，
求 的长.
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