第二十一章 基础检测卷
考查内容：一元二次方程（时间：90 min，满分：120 分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3 分）
1.下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. 2 = 1 B. 2 2 + 3 = C.
2 2 + 4 = 0 D. 2 2 + 1 = 0
【解析】由一元二次方程的定义知 2 2 + 1 = 0 是一元二次方程.故选 D.
2.一元二次方程( + 1)2 = 16 用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一
次方程是 + 1 = 4 ，则另一个一元一次方程是( )
A. 1 = 4 B. 1 = 4 C. + 1 = 4 D. + 1 = 4
【解析】∵ ( + 1)2 = 16，∴ + 1 = ±4，即 + 1 = 4或 + 1 = 4 ，故选 C.
3.已知 1， 2是一元二次方程2
2 + 6 5 = 0 的两个实数根，则 1 + 2 等于( )
A.3 B. 5 C. 3 D. 6
2
6
【解析】根据根与系数的关系得 1 + 2 = = 3 .故选 C. 2
4.下列方程中没有实数根的是( )
A. 2 + 1 = 0 B. 2 + + 2 = 0
C. 2 + 8 + 1 = 0 D. 2 2√2 + 2 = 0
【解析】A 选项，Δ = 1 + 4 = 5 > 0 ，方程有两个不相等的实数根，本选项不符合题意；B
选项，Δ = 1 4 × 1 × 2 = 7 < 0 ，方程没有实数根，本选项符合题意；C 选项，Δ = 64 4
= 60 > 0 ，方程有两个不相等的实数根，本选项不符合题意；D 选项，Δ = ( 2√2)2 4 × 1
× 2 = 0 ，方程有两个相等的实数根，本选项不符合题意.故选 B.
5.已知方程( 2)(3 + 1) = 0，则 2 的值为( )
A. 7 B.0 C. 2 D.
7
或 0
3 3
1
【解析】( 2)(3 + 1) = 0，∴ 2 = 0或3 + 1 = 0，解得 1 = 2， 2 = . 当 = 2时，3
1 1 7
2 = 0；当 = 时， 2 = 2 = .故选 D.
3 3 3
6.题目：两个连续奇数的积为 323，求这两个数.若设较小的奇数为 ，则根据题意列出的方程
正确的是( )
A. ( + 1) = 323 B. ( + 2) = 323
3/115
C. ( 2) = 323 D.(2 + 1)(2 1) = 323
【解析】依题意得较大的奇数为 + 2，则 ( + 2) = 323 .故选 B.
7.4 个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同
学所负责的步骤是错误的，则这位同学是( )
A.小张 B.小王 C.小李 D.小赵
【解析】
步骤 具体做法
1.移项：含未知数的项在左，常数项在右 ∵ 2 4 5=0，∴ 2 4 =5
2.配方：两边同时加上一次项系数一半的平方 2 4 +4=5+4 ，即( 2)2=9
3.直接开平方 2=±3,∴ 2=3 或 2= 3
4.写出方程的两个解 解得 1=5， 2= 1
5.判断错误步骤 错误的是小赵，故选 D
8.淇淇在计算正数 的平方时，误算成 与 2 的积，求得的答案比正确答案小 1,则 = ( )
A.1 B.√2 1 C.√2 + 1 D.1 或√2 + 1
【解析】由题意得2 + 1 = 2，解得 = 1 + √2或 = 1 √2 （舍）.故选 C.
9.宇树机器人亮相 2025央视春晚,抛接手绢震惊全场.机器人在多个领域辅助人类完成各种任务,
某厂家 2025 年 2 月生产某型号机器人 180 台并全部售出,DeepSeek 预测其 4 月接到的订单数
量为 461 台,设该厂家生产的机器数量的月平均增长率为 ，则 与下列哪个数最接近( )
A.0.60 B.1.60 C.2.56 D.无法计算
【解析】根据题意得180(1 + )2 = 461，解得 1 ≈ 0.60, 2 ≈ 2.60 （舍去），则 与选项 A
中的数最接近.故选 A.
10.数学家塔比·伊本·库拉在其研究中讨论了二次方程的几何解法.例如：可以用如图所示图形
来解关于 的方程 2 + = ，其中四边形 为长方形，四边形 为正方形，且
= ， × = ，则方程 2 + = 的其中一个正根为 ( )
4/115
A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长
【解析】设正方形 的边长为 ，则 = = = . ∵ = + = + =
+ ，∴ × = ( + ) × = ，即 2 + = ，则方程 2 + = 的其中一个正根
为 的长.故选 B.
二、填空题（共 6小题，每小题 4分）
2
11.已知( 1) +1 + 3 5 = 0是关于 的一元二次方程，则 的值为____.
【解析】由题意知， 2 + 1 = 2且 1 ≠ 0，解得 = 1.故答案为 1 .
12.已知关于 的一元二次方程 2 2 + = 0 有两个不相等的实数根，请写出一个满足题意
的 的值：__________________.
【解析】∵ 关于 的一元二次方程 2 2 + = 0 有两个不相等的实数根，∴ Δ = ( 2)2 4
= 4 4 > 0，解得 < 1，则 的值可以为 1.故答案为 1 （答案不唯一）.
13.若关于 的一元二次方程 2 + + 1 = 0( ≠ 0) 的一个解是 = 1，则2 025 + 的
值是_______.
【解析】∵ 关于 的一元二次方程 2 + + 1 = 0( ≠ 0)的一个解是 = 1 ，∴ × ( 1)2 +
× ( 1) + 1 = 0，即 = 1 ，∴ 2 025 + = 2 025 ( ) = 2 025 ( 1) =
2 026，∴ 2 025 + 的值是 2 026.故答案为 2 026.
14.已知 ， 是方程(2 + 1)(3 1) = 0 的两个实数根，且 < ，则函数 = + 的图象
不经过第____象限.
1 1
【解析】∵ (2 + 1)(3 1) = 0，∴ 2 + 1 = 0或3 1 = 0，解得 1 = ， 2 = .∵ , 是2 3
1 1
方程(2 + 1)(3 1) = 0的两个实数根，且 < ，∴ = ， = ，即函数 = + 为
2 3
1 1 1 1
= + .∵ = < 0， = > 0，∴ 函数图象必经过第一、二、四象限，∴ 函数图象
2 3 2 3
不经过第三象限.故答案为三.
15.小明利用杠杆原理（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）称药品质量.如图，当质量
为 克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放质量为 20 克、5 克的砝码时杠杆平衡，
则 的值为____.
5/115
【解析】如图，由第一个图可得 = 20 × ，则 = ；由第二个图可得5 = ，
20
则 = ，∴ = = 1，解得 = 10 （负值舍去），故答案为 10.
5 20 5
16.如果关于 的一元二次方程 2 + + = 0 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根
的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有________（填序
号）.
①方程 2 2 = 0 是倍根方程；
②若关于 的方程( 2)( + ) = 0是倍根方程，则4 2 + 5 + 2 = 0 ；
③若 ， 满足 = 2，则关于 的方程 2 + 3 + = 0 是倍根方程；
④若关于 的方程 2 + + = 0是倍根方程，则必有2 2 = 9 .
【解析】①解方程 2 2 = 0得 1 = 2， 2 = 1. ∵ 1 ≠ 2 2， 2 ≠ 2 1,∴ 方程
2 2
= 0不是倍根方程,故①不正确.②关于 的方程( 2)( + ) = 0 的一个根为 = 2.由题意
可知 1 = 2时， 2 = 1或 2 = 4.当 2 = 1时， + = 0 ;当 2 = 4时，4 + = 0，∴ 4
2 + 5
+ 2 = ( + )(4 + ) = 0 ，故②正确 .③ ∵ = 2，∴ ≠ 0. ∵ 2 + 3 + = ( + 1)(
1 2
+ ) = 0，∴ 1 = ， = . ∵ = = = 2 ，∴ 关于 的方程
2
2 2 1 + 3 + = 0
+√ 2 4
是倍根方程，故③正确.④由题意得 ≠ 0，方程 2 + + = 0的根为 1 = ， 2
√ 2 4 +√ 2 4 √ 2 4 +√ 2 4 √ 2 4
2 = .若 1 = 2 2，则 = × 2 ，即 × 22 2 2 2 2
+3√ 2 4
= 0，∴ = 0，∴ + 3√ 2 4 = 0 ，∴ 3√ 2 4 = ，∴ 9( 2 4 ) = 2，∴ 2
2
2 +√
2 4 √ 2 4 +√ 2 4 √ 2 4
= 9 .若2 1 = 2 ，则 × 2 = ，即 × 2 = 0 ， 2 2 2 2
+3√ 2 4
∴ = 0，∴ + 3√ 2 4 = 0，∴ = 3√ 2 4 ，∴ 2 = 9( 2 4 )，∴ 2 2 =
2
9 ,故④正确.故答案为②③④.
三、解答题（共 6小题）
17.（8 分）解方程：
（1） 2 2 8 = 0 .
6/115
【解】 2 2 8 = 0中， = 1， = 2， = 8 ，…………（1 分）
∴ Δ = 2 4 = ( 2)2 4 × 1 × ( 8) = 36 > 0 ，…………（2 分）
±√ 2 4 2±√36 2±6
∴ = = = = 1 ± 3 ，
2 2 2
∴ 1 = 4， 2 = 2 .…………（4 分）
（2）( + 4)2 = 5( + 4) .
【解】整理得( + 4)2 5( + 4) = 0 ，
( + 4)( + 4 5) = 0 ，…………（6 分）
∴ + 4 = 0或 1 = 0 ，…………（7 分）
∴ 1 = 4， 2 = 1 .…………（8 分）
18.（10 分）已知关于 的一元二次方程 2 ( + 2) + 1 = 0 .
（1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
【证明】 2 ( + 2) + 1 = 0中， = 1， = ( + 2)， = 1 ，∴ Δ = 2 4
= [ ( + 2)]2 4 × 1 × ( 1) = 2 + 4 + 4 4 + 4 = 2 + 8 .…………（3 分）
∵ 2 ≥ 0，∴ Δ > 0,∴ 无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根.（5 分）
（2）如果方程的两个实数根为 ， ，且 2 + 21 2 1 2 1 2 = 9，求 的值.
【解】方程 2 ( + 2) + 1 = 0的两个实数根为 1， 2 ，
则 1 + 2 = + 2， 1 2 = 1 .…………（6 分）
∵ 2 21 + 2 1 2 = 9，即(
2 2
1 + 2) 3 1 2 = 9 ，∴ ( + 2) 3( 1) = 9 ,…（8 分）
整理得 2 + 2 = 0,∴ ( + 2)( 1) = 0 ,
解得 1 = 2， 2 = 1 ,
∴ 的值为 2 或 1.…………（10 分）
19.（10 分）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由
“引首“”画心“”拖尾”（这三部分都是矩形）及分隔这三部分的“隔水”组成.下图中手卷1 000 cm，
宽40 cm ，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100 cm.若隔水的宽度为 cm，画心的面积为
15 200 cm2，求 的值.
7/115
20.（12 分）已知关于 的一元二次方程 2 + 2 4 = 0 .
（1）若方程的一个根是 = 1，求 的值；
【解】把 = 1代入方程 2 + 2 4 = 0得1 + + 2 4 = 0 ，解得
= 1 .…………（4 分）
（2）在Rt△ 中，∠ = 90 ，斜边长 = 2√2，两直角边的长 ， 恰好是方程 2 + 2
4 = 0的两根，求 的值.
【解】∵ 两直角边的长 ， 恰好是方程 2 + 2 4 = 0 的两根，
∴ + = ， = 2 4 .…………（8 分）
∵ ∠ = 90 ，∴ 2 + 2 = 2 = (2√2)2 = 8，∴ ( + )2 2 = 8 ，
∴ 2 2(2 4) = 8，整理得 2 4 = 0 ，…………（10 分）
解得 1 = 0（舍去）， 2 = 4，∴ 的值为 4.…………（12 分）
21.（12 分）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价 （元）
之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价 / 元 … 45 55 65 …
日销售量 / 件 … 55 45 35 …
（1）求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）；
【解】由题意，设 与 之间的函数关系式为 = + .
45 + = 55, = 1,
根据表格数据可得{ ∴ { …………（4 分）
55 + = 45, = 100,
∴ 与 之间的函数关系式为 = + 100 .…………（5 分）
（2）该商品日销售额能否达到 2 600 元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由.
【解】不能.…………（6 分）
理由：假设该商品日销售额能达到 2 600 元，则 ( + 100) = 2 600 ,
整理得 2 100 + 2 600 = 0 ,…………（9 分）
∴ Δ = ( 100)2 4 × 2 600 = 10 000 10 400 = 400 < 0 ,…………（11 分）
∴ 该方程没有实数根，∴ 该商品日销售额不能达到 2 600 元.…………（12 分）
22.（14 分）下面是小军同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.
8/115
今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程（组）的解法有
一定的规律，解一元一次方程时，把方程转化为 = 的形式；解二元一次方程
组时，把它转化为一元一次方程求解；解三元一次方程组时，把它转化为二元一
次方程组求解；解一元二次方程时，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式
方程时，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方
程必须检验.各类方程（组）的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思
想——转化，把未知转化为已知，把多元转化为一元，把复杂转化为简单.
运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程.
例如：解一元三次方程 3+2 2 3 =0 ，第一步，提出
： ( 2+2 3)=0 ；第二步，转化为两个方程：____或____；第三步，解得
1=0， 2= 3， 3=1 .
（1）将小军解一元三次方程 3 + 2 2 3 = 0 过程中的第二步补充完整：______或_______
________；（写出的两个方程正确即可，顺序可以调换）
【解析】由 ( 2 + 2 3) = 0得 = 0或 2 + 2 3 = 0.故答案为 = 0 ， 2 + 2 3 = 0
.…………（2 分）
（2）方程2 3 + 10 2 12 = 0的解是 1 = 0， 2 =________， 3 = ________；
【解析】原方程转化为2 ( 2 + 5 6) = 0，∴ 2 = 0或 2 + 5 6 = 0 ，
∴ 1 = 0， 2 = 1， 3 = 6，故答案为 1， 6（或 6 ，1）.…………（6 分）
2 + 2 = 17,
（3）解方程组{
= 3；
2 + 2 = 17,①
【解】{ 由②得 = + 3 .③ 把③代入①并整理得
= 3,②
2 + 3 4 = 0 ，……（8 分）
∴ ( 1)( + 4) = 0，解得 1 = 1， 2 = 4，∴ 1 = + 3 = 1 + 3 = 4 ，
= 4, = 1,
2 = + 3 = 4 + 3 = 1，∴ 原方程组的解为{
1 { 2 ……（10 分）
1 = 1, 2 = 4.
（4）如图，已知矩形草坪 的长 = 21 m，宽 = 8 m，点 在 上( > )，小
明把一根长为27 m的绳子一端固定在点 处，把绳子拉直并固定在 上的点 处，再拉直绳
子，若绳子的另一端恰好落在矩形的顶点 处，求 的长.
9/115
【解】设 = m，则 = (21 )m.∵ 四边形 是矩形，
∴ ∠ = ∠ = 90 ， = = 8 m.在Rt△ 中， 2 + 2 = 2 ，即
2 = 82 + 2，则 = √64 + 2 m .…………（11 分）
在Rt△ 中， 2 + 2 = 2，即 2 = 82 + (21 )2 ，则
= √ 2 42 + 505 m .…………（12 分）
∵ + = 27 m，∴ √ 2 42 + 505 = 27 √ 2 + 64 ，
∴ 7 + 48 = 9√ 2 + 64，∴ 2 21 + 90 = 0，解得 1 = 15， 2 = 6 ，……（13 分）
∴ = 15 m或 = 6 m，则 = 21 15 = 6(m) 或
= 21 6 = 15(m). ∵ > ，∴ 的长为6 m .…………（14 分）
10/115第二十一章 基础检测卷
考查内容：一元二次方程（时间：90 min，满分：120 分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3 分）
1.下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. 2 = 1 B. 2 2 + 3 = C.
2 2 + 4 = 0 D. 2 2 + 1 = 0
2.一元二次方程( + 1)2 = 16 用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一
次方程是 + 1 = 4 ，则另一个一元一次方程是( )
A. 1 = 4 B. 1 = 4
C. + 1 = 4 D. + 1 = 4
3.已知 1， 2是一元二次方程2
2 + 6 5 = 0 的两个实数根，则 1 + 2 等于( )
A.3 B. 5 C. 3 D. 6
2
4.下列方程中没有实数根的是( )
A. 2 + 1 = 0 B. 2 + + 2 = 0
C. 2 + 8 + 1 = 0 D. 2 2√2 + 2 = 0
5.已知方程( 2)(3 + 1) = 0，则 2 的值为( )
A. 7 B.0 C. 2 D.
7
或 0
3 3
6.题目：两个连续奇数的积为 323，求这两个数.若设较小的奇数为 ，则根据题意列出的方程
正确的是( )
A. ( + 1) = 323 B. ( + 2) = 323
C. ( 2) = 323 D.(2 + 1)(2 1) = 323
7.4 个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同
学所负责的步骤是错误的，则这位同学是( )
A.小张 B.小王 C.小李 D.小赵
8.淇淇在计算正数 的平方时，误算成 与 2 的积，求得的答案比正确答案小 1,则 = ( )
A.1 B.√2 1 C.√2 + 1 D.1 或√2 + 1
3/66
9.宇树机器人亮相 2025央视春晚,抛接手绢震惊全场.机器人在多个领域辅助人类完成各种任务,
某厂家 2025 年 2 月生产某型号机器人 180 台并全部售出,DeepSeek 预测其 4 月接到的订单数
量为 461 台,设该厂家生产的机器数量的月平均增长率为 ，则 与下列哪个数最接近( )
A.0.60 B.1.60 C.2.56 D.无法计算
10.数学家塔比·伊本·库拉在其研究中讨论了二次方程的几何解法.例如：可以用如图所示图形
来解关于 的方程 2 + = ，其中四边形 为长方形，四边形 为正方形，且
= ， × = ，则方程 2 + = 的其中一个正根为 ( )
A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长
二、填空题（共 6小题，每小题 4分）
2
11.已知( 1) +1 + 3 5 = 0是关于 的一元二次方程，则 的值为____.
12.已知关于 的一元二次方程 2 2 + = 0 有两个不相等的实数根，请写出一个满足题意
的 的值：__________________.
13.若关于 的一元二次方程 2 + + 1 = 0( ≠ 0) 的一个解是 = 1，则2 025 + 的
值是_______.
14.已知 ， 是方程(2 + 1)(3 1) = 0 的两个实数根，且 < ，则函数 = + 的图象
不经过第____象限.
15.小明利用杠杆原理（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）称药品质量.如图，当质量
为 克的药品分别放在左盘、右盘时，另外一盘分别放质量为 20 克、5 克的砝码时杠杆平衡，
则 的值为____.
16.如果关于 的一元二次方程 2 + + = 0 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根
的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程，” 以下关于倍根方程的说法，正确的有________（填序
号）.
①方程 2 2 = 0 是倍根方程；
4/66
②若关于 的方程( 2)( + ) = 0是倍根方程，则4 2 + 5 + 2 = 0 ；
③若 ， 满足 = 2，则关于 的方程 2 + 3 + = 0 是倍根方程；
④若关于 的方程 2 + + = 0是倍根方程，则必有2 2 = 9 .
三、解答题（共 6小题）
17.（8 分）解方程：
（1） 2 2 8 = 0 .
（2）( + 4)2 = 5( + 4) .
18.（10 分）已知关于 的一元二次方程 2 ( + 2) + 1 = 0 .
（1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为 ， ，且 2 + 21 2 1 2 1 2 = 9，求 的值.
19.（10 分）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由
“引首“”画心“”拖尾”（这三部分都是矩形）及分隔这三部分的“隔水”组成.下图中手卷1 000 cm，
宽40 cm ，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100 cm.若隔水的宽度为 cm，画心的面积为
15 200 cm2，求 的值.
5/66
20.（12 分）已知关于 的一元二次方程 2 + 2 4 = 0 .
（1）若方程的一个根是 = 1，求 的值；
（2）在Rt△ 中，∠ = 90 ，斜边长 = 2√2，两直角边的长 ， 恰好是方程 2 + 2
4 = 0的两根，求 的值.
21.（12 分）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价 （元）
之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价 / 元 … 45 55 65 …
日销售量 / 件 … 55 45 35 …
（1）求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到 2 600 元？如果能，求出每件售价 ；如果不能，请说明理由.
6/66
22.（14 分）下面是小军同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.
今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程（组）的解法有
一定的规律，解一元一次方程时，把方程转化为 = 的形式；解二元一次方程组时，把它
转化为一元一次方程求解；解三元一次方程组时，把它转化为二元一次方程组求解；解一
元二次方程时，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程时，把它转化为整式方程
求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程（组）的解法不尽
相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把多元转化为
一元，把复杂转化为简单.运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程.
例如：解一元三次方程 3+2 2 3 =0 ，第一步，提出
： ( 2+2 3)=0 ；第二步，转化为两个方程：____或____；第三步，解得
1=0， 2= 3， 3=1 .
（1）将小军解一元三次方程 3 + 2 2 3 = 0 过程中的第二步补充完整：______________
或_____________________；（写出的两个方程正确即可，顺序可以调换）
（2）方程2 3 + 10 2 12 = 0的解是 1 = 0， 2 =________， 3 = ________；
2 + 2 = 17,
（3）解方程组{
= 3；
（4）如图，已知矩形草坪 的长 = 21 m，宽 = 8 m，点 在 上( > )，小
明把一根长为27 m的绳子一端固定在点 处，把绳子拉直并固定在 上的点 处，再拉直绳
子，若绳子的另一端恰好落在矩形的顶点 处，求 的长.
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