第二十一章 素养检测卷
考查内容：一元二次方程（时间：90 min ，满分：120 分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3 分）
1.一元二次方程 2 2 3 = 0 的一次项系数是( )
A. 2 B.2 C. 3 D.3
2.若关于 的一元二次方程( + 2) 2 + + 2 4 = 0 的一个根是 = 0，则 的值为( )
A.2 B. 2 C.2 或 2 D.1
2
3.若关于 的方程 2 + 2 2 = 0中 在数轴上的位置如图所示，则此方程的根的情况是( )
A.无法确定 B.无实数根
C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根
4.若 1 + 2 = 3， 1 2 = 2，则下列方程中，以 1， 2 为根
的是( )
A. 2 3 2 = 0 B. 2 + 3 2 = 0
C. 2 + 3 + 2 = 0 D. 2 3 + 2 = 0
5.小李解方程 2 3 + 2 = 0 的步骤如图所示，则下列说法
正确的是( )
解方程： 2 3 +2=0 .
解： 2 2 +2=0 ,①
2 2 = 2 ,②
( 2)= 2 ,③
=1 .④
A.小李解方程的过程正确
B. = 2 也是该方程的一个解
C.小李解方程的方法是配方法
D.小李解方程的过程从第②步到第③步时出现错误
6.如图，某小区规划在一个长16 m、宽9 m 的长方形土地 上修建三条同样宽的通道，使
其中两条与 平行，另一条与 平行，其余部分种花草，要使花草的面积为120 m2 ，那么
8/66
通道宽应设计成多少米？设通道宽为 m，则下列方程：①(16 2 )(9 ) = 120 ；②16 × 9
9 × 2 (16 2 ) = 120；③16 × 9 9 × 2 16 + 2 = 120 ，其中正确的是（ )
A.① B.② C.①② D.①②③
7.小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，得到
两个根分别是 2 和 5；小红在化简过程中写错了一次项系数，得到两个根分别是 2 和 6，则此
方程正确的解为( )
A. 1 = 2 = 2 B. 1 = 5， 2 = 6 C. 1 = 3， 2 = 4 D.此方程无实数解
8.科学兴趣小组的同学们将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了 132
件，那么全组共有学生( )
A.12 名 B.12 名或 66 名 C.15 名 D.33 名
9.下图是某同学在沙滩上用石子摆成的图形，第 1 个图形用了 6 个石子；第 2 个图形用了 10
个石子；第 3 个图形用了 16 个石子；第 4 个图形用了 24 个石子；….照此规律，第几个图形
用了 114 个石子( )
A.8 B.9 C.10 D.11
10.定义[ ]为不大于实数 的最大整数，如[1.4] = 1，[ 2.1] = 3，[ 3] = 3，则方程[ ] =
1
2 + (0 ≤ < 2) 的根为 ( )
2
A. 1 = 0， 2 = 2 B. = 0 C. = 1 + √3 D.无实数根
二、填空题（共 6小题，每小题 4分）
11.若关于 的一元二次方程 2 4 + 2 = 0 有两个相等的实数根，则 的值为___.
12.若一元二次方程 2 + 6 1 = 0 经过配方，变形为( + 3)2 = 的形式，则 的值为____.
9/66
9±√92 4×3×1
13.用公式法解某个关于 的一元二次方程，得 = ，则该一元二次方程是_____
2×3
____________.
14.直角三角形的两直角边长是方程 2 8 + 14 = 0 的两根，则它的斜边长为___.
15.在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，
英年早逝.欣赏下面改编的诗歌：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东吴，早逝英
年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符”，则周瑜去世时的年龄为____岁.
16.如图所示，△ 中，∠ = 90 ， = 6 cm， = 8 cm，点 从 点开始沿 向 点
以1 cm/s的速度匀速移动，点 从 点开始沿 向 点以2 cm/s 的速度匀速移动.如果 ， 分
别从 ， 同时出发，那么______s 后，线段 将△ 分成面积比为1: 2 的两部分.
三、解答题（共 6小题）
17.（8 分）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一部分，如图.
（1）当 = 7 时，所捂部分的值为_____；
（2）若所捂部分为 2 + 2 6，用配方法求出 的值.
18.（10 分）百货大楼服装区管理人员发现：某品牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40
元.为了迎接国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存.
经市场调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件，要使平均每天销售
这种童装盈利 1 200 元，那么每件童装应降价多少元？
请先填空后再列方程求解：
设每件童装降价 元，
10/66
那么平均每天就可多售出____件，
现在平均每天可售出____件，
每件盈利____元.
19.（10 分）实数 ， 满足 = + 1 .
（1）验证 = 2， = 3 是否满足上述等式；
（2）若 = 2， = 2 + 2 ，佳佳认为一定存在两个不同的 的值使得 = + 1 成
立，佳佳的说法正确吗？请说明理由.
20.（12 分）如图是 2024 年 1 月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请
解答下列问题.
（1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为 180，求最小数.
（2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为 124 吗？若能，请求出最小数；
若不能，请说明理由.
11/66
21.（12 分）已知实数 ， 满足 2 1 = 0 ， 2 1 = 0，且 ≠ ，则 ， 可看成
方程 2 1 = 0 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道 与 的和， 与
的积.根据上述材料，解决以下问题：
（1） + =___， = ___；
（2）已知实数 ， 满足 2 5 + 1 = 0， 2 5 + 1 = 0，且 ≠ ，求 2 + 2 的值；
2 +2
（3）已知实数 ， 满足2 2 7 + 1 = 0， 2 7 + 2 = 0，且 ≠ 1 ，求 的值.
+3 +1
22.（14 分）【阅读】已知方程 2 + 2 1 = 0，求一个关于 的一元二次方程，使它的两个
根分别是已知方程的两个根的 2 倍.
解：设所求方程的根为 ，则 = 2 ，所以 = .
2
把 = 代入已知方程，得( )2 + 2 1 = 0 .
2 2 2
化简，得 2 + 4 4 = 0 ，
故所求方程可以为 2 + 4 4 = 0 .
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”.
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）.
（1）已知方程 2 3 = 0，求一个关于 的一元二次方程，使它的两个根分别比已知方程
的两个根小 1，则所求方程为______________（要求：方程的二次项系数需为 1）.
（2）已知方程 2 3 = 0，求一个关于 的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程
的两个根的相反数，则所求方程为______________（要求：方程的二次项系数需为 1）.
12/66
（3）已知关于 的一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0)有两个实数根 ， .
①若 ≥ 0， ≥ 0，则关于 的方程 + √ + = 0( ≠ 0) 的两根分别是多少（用含有 ，
的代数式表示）？
②关于 的一元二次方程___________________的两个根分别是2 ，2 .
（4）关于 的一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0, ≠ 0, 2 4 ≥ 0) 的两个根与哪个关于
的一元二次方程的两个根互为倒数？
1
（5）已知关于 的一元二次方程 2 + = 0( ≠ 0) 的两个实数根分别为 1 和 ，那么
4
关于 的一元二次方程 ( 2 025)2 ( 2) = 2 023 ( ≠ 0) 的两个实数根分别为
__________.
13/66第二十一章 素养检测卷
考查内容：一元二次方程（时间：90 min ，满分：120 分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3分）
1.一元二次方程 2 2 3 = 0 的一次项系数是( )
A. 2 B.2 C. 3 D.3
【解析】∵ 方程 2 2 3 = 0的一次项为 2 ，∴ 一次项系数为 2 .故选 A.
2.若关于 的一元二次方程( + 2) 2 + + 2 4 = 0 的一个根是 = 0，则 的值为( )
A.2 B. 2 C.2 或 2 D.1
2
【解析】∵ 关于 的一元二次方程( + 2) 2 + + 2 4 = 0的一个根是 = 0 ，
∴ 2 4 = 0且 + 2 ≠ 0，解得 = 2 ，故选 A.
3.若关于 的方程 2 + 2 2 = 0中 在数轴上的位置如图所示，则此方程的根的情况是( )
A.无法确定 B.无实数根
C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根
【解析】由数轴得 > 0，∴ Δ = 22 4 × ( 2) = 4 + 8 > 0，∴ 此方程有两个不相等的实
数根，故选 C.
4.若 1 + 2 = 3， 1 2 = 2，则下列方程中，以 1， 2 为根
的是( )
A. 2 3 2 = 0 B. 2 + 3 2 = 0 C. 2 + 3 + 2 = 0 D. 2 3 + 2 = 0
【解析】∵ 1 2 = 2， 1 + 2 = 3，∴ 方程
2 3 + 2 = 0以 1， 2 为根.故选 D.
5.小李解方程 2 3 + 2 = 0 的步骤如图所示，则下列说法
正确的是( )
解方程： 2 3 +2=0 .
解： 2 2 +2=0 ,①
2 2 = 2 ,②
( 2)= 2 ,③
=1 .④
A.小李解方程的过程正确
11/115
B. = 2 也是该方程的一个解
C.小李解方程的方法是配方法
D.小李解方程的过程从第②步到第③步时出现错误
【解析】 2 3 + 2 = 0， 2 2 + 2 = 0， 2 2 = 2 ，
( 2) = 2， ( 2) ( 2) = 0，( 2)( 1) = 0，∴ 2 = 0 或
1 = 0，∴ = 2或 = 1.故小李解方程的过程错误， = 2 也是该方程的一个解，
小李解方程的方法不是配方法，小李解方程的过程从第③步到第④步时出现错误.故选 B.
6.如图，某小区规划在一个长16 m、宽9 m 的长方形土地 上修建三条同样宽的通道，使
其中两条与 平行，另一条与 平行，其余部分种花草，要使花草的面积为120 m2 ，那么
通道宽应设计成多少米？设通道宽为 m，则下列方程：①(16 2 )(9 ) = 120 ；②16 × 9
9 × 2 (16 2 ) = 120；③16 × 9 9 × 2 16 + 2 = 120 ，其中正确的是（ )
A.① B.② C.①② D.①②③
【解析】∵ 长方形土地 的长为16 m、宽为9 m，且通道宽为 m，∴ 种花草的部分经过
平移可看成长为(16 2 )m、宽为(9 )m的长方形.∵ 花草的面积为120 m2，∴ (16 2 )(
9 ) = 120 ，则①正确.16 × 9 9 × 2 (16 2 ) = 120 ，则②正确.16 × 9 9 × 2
16 + 2 2 = 120，则③不正确.∴ 正确的是①②.故选 C.
7.小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，得到
两个根分别是 2 和 5；小红在化简过程中写错了一次项系数，得到两个根分别是 2 和 6，则此
方程正确的解为( )
A. 1 = 2 = 2 B. 1 = 5， 2 = 6 C. 1 = 3， 2 = 4 D.此方程无实数解
【解析】由题意得 1 + 2 = 2 + 5 = 7， 1 2 = 12 ，则可知 C 选项符合题意.故选 C.
8.科学兴趣小组的同学们将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了 132
件，那么全组共有学生( )
A.12 名 B.12 名或 66 名 C.15 名 D.33 名
【解析】设全组共有学生 名，由题意得 ( 1) = 132，解得 1 = 11 （不合题意，舍去），
12/115
2 = 12 ，故选 A.
9.下图是某同学在沙滩上用石子摆成的图形，第 1 个图形用了 6 个石子；第 2 个图形用了 10
个石子；第 3 个图形用了 16 个石子；第 4 个图形用了 24 个石子；….照此规律，第几个图形
用了 114 个石子( )
A.8 B.9 C.10 D.11
【解析】设第 个图形用了 个石子，则由题意得 1 = 1
2 + 1 + 4 = 6 ；
2 = 2
2 + 2 + 4 = 10； = 323 + 3 + 4 = 16； 4 = 4
2 + 4 + 4 = 24 ；…；
∴ =
2 + + 4.令 = 114，则
2 + + 4 = 114，∴ 2 + 110 = 0 ，解得
= 11（舍去）或 = 10 .故选 C.
10.定义[ ]为不大于实数 的最大整数，如[1.4] = 1，[ 2.1] = 3，[ 3] = 3，则方程[ ] =
1
2 + (0 ≤ < 2) 的根为 ( )
2
A. 1 = 0， 2 = 2 B. = 0 C. = 1 + √3 D.无实数根
1
【解析】当1 ≤ < 2时， 2 + = 1，解得 = 1 + √3（舍去）或 = 1 √3 （舍去）；
2
1 1
当0 ≤ < 1时， 2 + = 0，解得 1 = 0， 2 = 2（舍去），∴ 方程[ ] =
2 + (0 ≤ < 2
2 2
)的根为 = 0 ，故选 B.
二、填空题（共 6小题，每小题 4分）
11.若关于 的一元二次方程 2 4 + 2 = 0 有两个相等的实数根，则 的值为___.
【解析】由题意得Δ = 2 4 = ( 4)2 4 × 1 × 2 = 0，解得 = 2 ,故答案为 2.
12.若一元二次方程 2 + 6 1 = 0 经过配方，变形为( + 3)2 = 的形式，则 的值为____.
【解析】方程 2 + 6 1 = 0，移项得 2 + 6 = 1，配方得 2 + 6 + 9 = 10 ，即( + 3)2 = 10，
则 = 10 .故答案为 10.
13.用公式法解某个关于 的一元二次方程，得
9±√92 4×3×1
= ，则该一元二次方程是_________________.
2×3
【解析】由题意得 = 3， = 9， = 1，∴ 该一元二次方程是3 2 + 9 + 1 = 0 ，故答案为3
13/115
2 + 9 + 1 = 0 .
14.直角三角形的两直角边长是方程 2 8 + 14 = 0 的两根，则它的斜边长为___.
【解析】设直角三角形的斜边长为 ，两直角边长分别为 , . ∵ 直角三角形两直角
边长是方程 2 8 + 14 = 0的两根，∴ + = 8， = 14 .根据勾股定理可得
2 = 2 + 2 = ( + )2 2 = 64 28 = 36，∴ = 6 （负值舍去）.故答案为 6.
15.在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，
英年早逝.欣赏下面改编的诗歌：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东吴，早逝英
年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符”，则周瑜去世时的年龄为____岁.
【解析】设周瑜去世时的年龄的十位数字为 ，则个位数字为 + 3 .根据题意得
10 + ( + 3) = ( + 3)2，整理得 2 5 + 6 = 0，解得 1 = 2 （舍去），
2 = 3，∴ 周瑜去世时的年龄为 36 岁，故答案为 36.
16.如图所示，△ 中，∠ = 90 ， = 6 cm， = 8 cm，点 从 点开始沿 向 点
以1 cm/s的速度匀速移动，点 从 点开始沿 向 点以2 cm/s 的速度匀速移动.如果 ， 分
别从 ， 同时出发，那么______s 后，线段 将△ 分成面积比为1: 2 的两部分.
【解析】设点 运动时间为 s.根据题意知 = = (6 )cm ，
1
= 2 cm.∵ 线段 将△ 分成面积比为1: 2的两部分，∴ △ = 3 △ 或
2 1 1 1 1 2 1
△ = △ ，则 (6 ) 2 = × × 6 × 8或 (6 ) 2 = × × 6 × 8 ， 3 2 3 2 2 3 2
整理得 2 6 + 8 = 0或 2 6 + 16 = 0（无实数解），解得 1 = 2， 2 = 4 .故答
案为 2 或 4.
三、解答题（共 6小题）
17.（8 分）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一部分，如图.
（1）当 = 7 时，所捂部分的值为_____；
14/115
【解析】当 = 7 时，所捂部分的值为
2 2 4 5 = 2 × ( 7)2 4 × ( 7) 5 = 121 ，故答案为 121.…………（4 分）
（2）若所捂部分为 2 + 2 6，用配方法求出 的值.
【解】根据题意得2 2 4 5 = 2 + 2 6，整理得 2 6 + 1 = 0 ，
∴ 2 6 + 9 = 8 ，…………（6 分）
即( 3)2 = 8，∴ 3 = ±2√2，解得 1 = 2√2 + 3， 2 = 2√2 + 3 .……（8 分）
18.（10 分）百货大楼服装区管理人员发现：某品牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40
元.为了迎接国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存.
经市场调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件，要使平均每天销售
这种童装盈利 1 200 元，那么每件童装应降价多少元？
请先填空后再列方程求解：
设每件童装降价 元，
那么平均每天就可多售出____件，
现在平均每天可售出____件，
每件盈利____元.
【解】∵ 每件童装降价 元，∴ 平均每天就可多售出2 件，现在平均每天可售出
(20 + 2 )件，每件盈利(40 )元.故答案为2 ，(20 + 2 )，(40 ) .…………
（3 分）
∵ 平均每天销售这种童装盈利 1 200 元，∴ (40 )(20 + 2 ) = 1 200 ，即
2 30 + 200 = 0 ，…………（7 分）
解得 1 = 10， 2 = 20. ∵ 要扩大销售量，减少库存，∴ = 20，∴ 每件童装应降
价 20 元.…………（10 分）
19.（10 分）实数 ， 满足 = + 1 .
（1）验证 = 2， = 3 是否满足上述等式；
【解】当 = 2， = 3时，∵ = 2 3 = 5 ，
+ 1 = 2 × 3 + 1 = 5，∴ = + 1，即 = 2， = 3 满足上述等
式.…………（4 分）
（2）若 = 2， = 2 + 2 ，佳佳认为一定存在两个不同的 的值使得 = + 1 成
立，佳佳的说法正确吗？请说明理由.
15/115
【解】佳佳的说法正确.…………（5 分）
理由：当 = 2， = 2 + 2 时，2 ( 2 + 2 ) = 2( 2 + 2 ) + 1 ，整理得3 2 + 6 1 = 0
，…………（7 分）
∵ Δ = 62 4 × 3 × ( 1) = 48 > 0，∴ 关于 的方程3 2 + 6 1 = 0 有两个不相等的实数根，
即一定存在两个不同的 的值使得 = + 1成立，∴ 佳佳的说法正确.…………（10 分）
20.（12 分）如图是 2024 年 1 月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请
解答下列问题.
（1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为 180，求最小数.
【解】设最小数为 ，则最大数为 + 8.由题意得( + 8) = 180 ，整理得 2 + 8 180 = 0
，……（3 分）
解得 1 = 18（不符合题意，舍去）， 2 = 10，∴ 最小数为 10.…………（5 分）
（2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为 124 吗？若能，请求出最小数；
若不能，请说明理由.
【解】虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为 124.…………（6 分）
理由如下：设最小数为 ，则另外三个数分别是 + 1， + 7， + 8 .由题意得
( + 8) + + ( + 1) + ( + 7) + ( + 8) = 124 ，整理得
2 + 12 108 = 0 ，…………（10 分）
解得 1 = 18（不符合题意，舍去）， 2 = 6. ∵ 6在最后一列，∴ 虚线方框中最
大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为 124.…………（12 分）
21.（12 分）已知实数 ， 满足 2 1 = 0 ， 2 1 = 0，且 ≠ ，则 ， 可看成
方程 2 1 = 0 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知道 与 的和， 与
的积.根据上述材料，解决以下问题：
（1） + =___， = ___；
【解析】∵ ， 是方程 2 1 = 0的两个不相等的实数根，∴ + = 1 ，
= 1.故答案为 1， 1 .…………（4 分）
16/115
（2）已知实数 ， 满足 2 5 + 1 = 0， 2 5 + 1 = 0，且 ≠ ，求 2 + 2 的值；
【解】∵ ， 满足 2 5 + 1 = 0， 2 5 + 1 = 0，且 ≠ ，∴ ， 可看成方
程 2 5 + 1 = 0的两个不相等的实数根，∴ + = 5， = 1 ，…………（6 分）
∴ 2 + 2 = ( + )2 2 = 52 2 × 1 = 23 .…………（8 分）
2 +2
（3）已知实数 ， 满足2 2 7 + 1 = 0， 2 7 + 2 = 0，且 ≠ 1 ，求 的值.
+3 +1
【解】∵ ， 满足2 2 7 + 1 = 0， 2 7 + 2 = 0，且 ≠ 1，则 ≠ 0 ，
1 1 1
2( )2 7 + 1 = 0，∴ 和 可看成方程2 2 7 + 1 = 0 的两个不相等的
1 7
实数根，∴ + = ，…………（10 分）
2
+1 7 7 2 2 +2 7 2+2 14
则 = ，即 = ，∴ = = .…………（12 分）
2 2 +3 +1 7 2+3 +1 13
2
22.（14 分）【阅读】已知方程 2 + 2 1 = 0，求一个关于 的一元二次方程，使它的两个
根分别是已知方程的两个根的 2 倍.
解：设所求方程的根为 ，则 = 2 ，所以 = .
2
2 把 = 代入已知方程，得( ) + 2 1 = 0 .
2 2 2
化简，得 2 + 4 4 = 0 ，
故所求方程可以为 2 + 4 4 = 0 .
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”.
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）.
（1）已知方程 2 3 = 0，求一个关于 的一元二次方程，使它的两个根分别比已知方程
的两个根小 1，则所求方程为______________（要求：方程的二次项系数需为 1）.
【解析】设所求方程的根为 ，则 = 1，∴ = + 1.把 = + 1 代入已知方程，得( + 1
)2 ( + 1) 3 = 0，化简，得 2 + 3 = 0 ，则所求方程为 2 + 3 = 0.故答案为 2 +
3 = 0 .…………（2 分）
（2）已知方程 2 3 = 0，求一个关于 的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程
的两个根的相反数，则所求方程为______________（要求：方程的二次项系数需为 1）.
【解析】设所求方程的根为 ，则 = ，∴ = .把 = 代入已知方程，得
( )2 ( ) 3 = 0，化简，得 2 + 3 = 0，则所求方程为 2 + 3 = 0 .故
答案为 2 + 3 = 0 .…………（4 分）
17/115
（3）已知关于 的一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0)有两个实数根 ， .
①若 ≥ 0， ≥ 0，则关于 的方程 + √ + = 0( ≠ 0) 的两根分别是多少（用含有 ，
的代数式表示）？
【解】设关于 的方程 + √ + = 0( ≠ 0)的根为 1，把 1 代入
+ √ + = 0( ≠ 0)，得 1 + √ 1 + = 0.设关于 的一元二次方程
2 + + = 0( ≠ 0)的根为 22，把 2代入 + + = 0( ≠ 0) ，得
2 22 + 2 + = 0，由此可见 1 = 2 . ∵ 已知关于 的一元二次方程
2 + + = 0( ≠ 0)有两个实数根 ， ，∴ 关于 的方程
+ √ + = 0( ≠ 0)的两根分别是 2, 2 .…………（7 分）
②关于 的一元二次方程___________________的两个根分别是2 ，2 .
【解析】由题意得该一元二次方程的两个根分别是已知方程的两个根的 2 倍，设所求方程的根
为 ，则 = 2 ，∴ = 3
.把 = 3
3 3 代入已知方程，得 (
3)2 + ( 3) + = 0.化简，得 2
2 2 2 2 3
+ 2
23 + 4 = 0 ，则所求方程为 + 2 + 4 = 0.故答案为
2 + 2 + 4 = 0 .…………（9
分）
（4）关于 的一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0, ≠ 0, 2 4 ≥ 0) 的两个根与哪个关于
的一元二次方程的两个根互为倒数？
1 1 1
【解】设所求方程的根为 ，由题意得 ≠ 0, ≠ 0, = ，∴ = .把 = 代入已知方程，得
1 2 1( ) + ( ) + = 0，化简，得 2 + + = 0 ，则所求方程为 2 + + = 0 .…………
（11 分）
1
（5）已知关于 的一元二次方程 2 + = 0( ≠ 0) 的两个实数根分别为 1 和 ，那么
4
关于 的一元二次方程 ( 2 025)2 ( 2) = 2 023 ( ≠ 0) 的两个实数根分别为
__________.
【解析】由题意得 ≠ 0. ∵ ( 2 025)2 ( 2) = 2 023 ( ≠ 0) ，
1
∴ ( 2 025)2 ( 2 025) + = 0.根据（4）可得 2 025 = ，
∴ 2 025 ≠ 0. ∵ 关于 的一元二次方程 2 + = 0( ≠ 0) 的两个实数根分
1
别为 1 和 ，∴ 2 025 = 1或 2 025 = 4,则 = 2 026或 = 2 021，∴ 关于
4
18/115
的一元二次方程 ( 2 025)2 ( 2) = 2 023 ( ≠ 0) 的两个实数根分
别为2 026,2 021.故答案为2 026,2 021 .…………（14 分）
19/115
