第二十二章 素养检测卷
考查内容：二次函数（时间：90 min，满分：120分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3 分）
1
1.抛物线 = ( 4)2 3与 轴的交点的坐标是 ( )
3
A.(0,3) B.(0, 3) C.(0,7) D.(0,
7
)
3 3
2.对于任意实数 ，下列函数一定是二次函数的是( )
A. = 2 + + 1 B. = ( + 1) 2
C. = ( 1)2 2 + 1 D. = ( 2 1) 2
3.二次函数 = 2( + 1)2 + 3 的最小值是( )
A. 1 B.1 C.2 D.3
4.将抛物线 = 2 + 2 向下平移 2 个单位后，所得新抛物线的顶点式为( )
A. = ( + 1)2 3 B. = ( + 1)2 2
C. = ( 1)2 3 D. = ( 1)2 2
5.如图，某种家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 （单位：m3 ）与旋钮的旋转角度 (0 <
≤ 90 )近似满足函数关系 = 2 + + ( ≠ 0) ,已知图中记录了此燃气灶烧开同一壶水时
旋钮的旋转角度 与燃气量 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧
开一壶水最节省燃气时旋钮的旋转角度约为( )
A.58 B.37 C.28 D.18
14/66
6.李明同学在探究函数 = | 2 + + 5| 的性质时，作出了如图所示的图象.当方程 |
2 + + 5| = 有两个实数根时，常数 满足的条件是( )
A. 21 < 或 = 0 B. < 0 C.
21
> D. = 0
4 4
7.已知二次函数 = 2 + + 的图象如图所示，点 ， ， ， 在 轴上，若满足以下条件：
①函数图象与 轴负半轴相交；②当 < 0， 随 的增大而减小，则坐标系的原点 可能是(
)
A.点 B.点 C.点 D.点
8.二维码是由大小相同的黑、白两色的小正方形组成的一个大正方形，现有25 × 25 格式的二
维码如图（1），其中有 3 个角上是7 × 7的黑白相间的 A 型正方形，中间右下有一个5 × 5 的
黑白相间的 B 型正方形，除这 4 个正方形外，其他均为 C 型正方形（有白色和黑色两种），
若 C 型正方形中白色块数 与黑色块数 正好满足如图（2）所示的函数图象，则该25 × 25 格
式的二维码共有多少块黑色的 C 型正方形( )
A.153 B.218 C.100 D.216
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9.在平面直角坐标系 中，若点 的横坐标和纵坐标相等，则称点 为完美点.已知二次函数
= 2
3 3
+ 4 + ( ≠ 0) 的图象上有且只有一个完美点( , )，且当0 ≤ ≤ 时，函数 =
2 2
3
2 + 4 + ( ≠ 0) 的最小值为 3，最大值为 1，则 的取值范围是( )
4
A. 1 ≤ ≤ 0 B. 72 ≤ <
2
C.2 ≤ ≤ 4 D.9 7< ≤
4 2
10.如图，正方形 的顶点 ， 在抛物线 = 2 + 4上，点 在 轴上.若 ， 两点的横
坐标分别为 ， ( > > 0) ，下列结论正确的是( )
A. + = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
二、填空题（共 6小题，每小题 4分）
1
11.点 ( , )是抛物线 = 2上的一点，则 = ________.
2
12.如图是二次函数 = 2 + + 的图象，则不等式 2 + + < 3 的解集是_________
____.
16/66
13.某超市一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 万元，如果月平均增长
率为 ，则这三个月的总营业额 与月平均增长率 之间的函数关系式为__________________
_____.（化为一般式）
14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 经过平移得到抛物线 = 2 4 ，则两段
抛物线及其对称轴所围成的阴影部分的面积为___.
14 题图 15 题图
15.已知二次函数 = 2 + + ( ≠ 0) 的图象如图所示，其对称轴为直线 = 1，以下 4 个
结论：① < 0；②( + )2 < 2 ；③ + < ( + )，其中 ≠ 1；④4 + 2 + > 0
.其中正确的结论有_________.（填序号）
16.已知二次函数 = 2 的图象如图，点 0为坐标原点，点 1， 2， 3， 在 轴的正半轴
上，点 1， 2， 3， 在二次函数 =
2 位于第一象限的图象上，△ 0 1 1，△ 1 2 2，△
2 3 3， 都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则△ 9 10 10 的斜边长为____.
17/66
三、解答题（共 6小题）
17.（8 分）已知抛物线 = 2 2 + 2 2 + 3 （ 为常数）.
（1）求抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
（2）若 ( + 2, 1)， ( 1, 2)两点在此抛物线上，比较 1与 2 的大小.
18（. 10 分）已知二次函数 = 2( ≠ 0)与一次函数 = 2( ≠ 0)的图象交于 ， 两点，
如图所示，其中 ( 1, 1) .
（1）求 和 的值.
（2）求点 坐标.
（3）求△ 的面积.
19.（10 分）某公司开发一款与教育配套的软件，年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，
变化过程可用如图所示的抛物线描述，它刻画了该软件上市以来累积利润 （万元）与销售时
间 （月）之间的函数关系（即前 个月的利润总和 与 之间的函数关系），根据图象提供的
信息，解答下列问题：
（1）此软件上市第几个月后开始盈利
（2）求累积利润 （万元）与销售时间 （月）之间的函数解析式.
（3）前几个月公司的累积利润为 2.5 万元
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20.（12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 与原点重合，顶点 在 轴的正半
轴上，点 在 轴的正半轴上，抛物线 = 2 4 + 12( < 0)经过点 (6,0) .
（1）求 的值与抛物线对称轴.
（2）将抛物线向右平移 个单位( > 0)，使得新抛物线与 ， 分别交于 ， 两点，点
， 的纵坐标相等，求 的值和点 的坐标.
21.（12 分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，
乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，如图（1）；在“间发式”
模式下，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，乒乓球第一次接
触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，如图（2），分别建立平面直角坐标
系 .
通过测量得到乒乓球距离台面高度 （单位：dm）与球和发球器出口的水平距离 （单位：dm
）的相关数据，如下表所示：
表 1 直发式
(dm) 0 2 4 6 8 10 16 20 …
(dm) 3.84 3.96 4 3.84 3.64 2.56 1.44 …
表 2 间发式
19/66
(dm) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 …
(dm) 3.36 2.52 0.84 0 1.40 2.40 3 3.20 3 …
根据以上信息，回答问题：
（1）表格中 =_____， = _____；
（2）求“直发式”模式下，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹的解析式；
（3）若“直发式”模式下，乒乓球第一次接触台面时与发球器出口的水平距离为 1 ，“间发式”
模式下，乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为 2，请通过计算比较 1， 2 的
大小.
22.（14 分）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）
所示，输入 的值为 2时，输出 的值为 1；输入 的值为 2 时，输出 的值为 3；输入 的值
为 3 时，输出 的值为 6．
图（1） 图（2）
（1）直接写出 ， ， 的值．
20/66
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于 的函数图象，如图（2）．
Ⅰ.当 随 的增大而增大时，求 的取值范围．
Ⅱ.若关于 的方程 2 + + 3 = 0（ 为实数），在0 < < 4时无解，求 的取值范围．
Ⅲ.若在函数图象上有点 ， （ 与 不重合）. 的横坐标为 ， 的横坐标为 + 1．小明
对 ， 之间（含 ， 两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随 的
变化而变化，直接写出 的取值范围．
21/66第二十二章 素养检测卷
考查内容：二次函数（时间：90 min，满分：120分）
一、选择题（共 10小题，每小题 3 分）
1
1.抛物线 = ( 4)2 3与 轴的交点的坐标是 ( )
3
A.(0,3) B.(0, 3) C.(0,7) D.(0,
7
)
3 3
1
【解析】当 = 0时，抛物线 = ( 4)2 3与 轴相交，
3
1 2 7把 = 0 代入 = ( 4) 3，得 = ，
3 3
1 7
∴ 抛物线 = ( 4)2 3与 轴的交点坐标为(0， ) .故选 C.
3 3
2.对于任意实数 ，下列函数一定是二次函数的是( )
A. = 2 + + 1 B. = ( + 1) 2
C. = ( 1)2 2 + 1 D. = ( 2 1) 2
【解析】当 = 0时， = 2 + + 1 不是二次函数，故 A 不符合题意；
当 = 1时， + 1 = 0，则 = ( + 1) 2 不是二次函数，故 B 不符合题意；
当 = 1时，( 1)2 = 0,则 = ( 1)2 2 + 1 不是二次函数，故 C 不符合题意；
对于任意实数 ， 2 1 ≠ 0，则 = ( 2 1) 2 一定是二次函数，故 D 符合题意.
3.二次函数 = 2( + 1)2 + 3 的最小值是( )
A. 1 B.1 C.2 D.3
【解析】∵ = 2( + 1)2 + 3，∴ 当 = 1时， 取最小值 3.故选 D.
4.将抛物线 = 2 + 2 向下平移 2 个单位后，所得新抛物线的顶点式为( )
A. = ( + 1)2 3 B. = ( + 1)2 2
C. = ( 1)2 3 D. = ( 1)2 2
【解析】将抛物线 = 2 + 2 向下平移 2 个单位后，
所得新抛物线的解析式为 = 2 + 2 2，即 = ( + 1)2 3 ，故选 A.
5.如图，某种家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 （单位：m3 ）与旋钮的旋转角度 (0 <
≤ 90 )近似满足函数关系 = 2 + + ( ≠ 0) ,已知图中记录了此燃气灶烧开同一壶水时
旋钮的旋转角度 与燃气量 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧
开一壶水最节省燃气时旋钮的旋转角度约为( )
20/115
A.58 B.37 C.28 D.18
18 +54 18 +72
【解析】由图象可知，该函数图象的对称轴的取值范围为 < < ,
2 2
即36 < < 45 ,因此可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气时旋钮的旋转角度约为37
.故选 B.
6.李明同学在探究函数 = | 2 + + 5| 的性质时，作出了如图所示的图象.当方程 |
2 + + 5| = 有两个实数根时，常数 满足的条件是( )
A. 21 < 或 = 0 B. < 0
4
C. 21 > D. = 0
4
1 21 1 21
【解析】由题意得 = 2 5 = ( )2 ，∴ 抛物线的顶点坐标为( , )，
2 4 2 4
21
∴ 结合图象可知当方程 | 2 + + 5| = 有两个实数根时， < 或 = 0 ，
4
故选 A.
7.已知二次函数 = 2 + + 的图象如图所示，点 ， ， ， 在 轴上，若满足以下条件：
①函数图象与 轴负半轴相交；②当 < 0， 随 的增大而减小，则坐标系的原点 可能是(
)
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A.点 B.点 C.点 D.点
【解析】∵ 函数图象与 轴负半轴相交，∴ 点 ， ， 可能是原点.
∵ 当 < 0 时， 随 的增大而减小，
∴ 点 可能是原点， ， 不可能是原点.故选 B.
8.二维码是由大小相同的黑、白两色的小正方形组成的一个大正方形，现有25 × 25 格式的二
维码如图（1），其中有 3 个角上是7 × 7的黑白相间的 A 型正方形，中间右下有一个5 × 5 的
黑白相间的 B 型正方形，除这 4 个正方形外，其他均为 C 型正方形（有白色和黑色两种），
若 C 型正方形中白色块数 与黑色块数 正好满足如图（2）所示的函数图象，则该25 × 25 格
式的二维码共有多少块黑色的 C 型正方形( )
A.153 B.218 C.100 D.216
【解析】设函数解析式为 = 2 + + .将(0,153)，(20,33)，(30,3) 代入解析式，得
= 153,
{400 + 20 + = 33, 解得
900 + 30 + = 3,
1
= ,
10 1
{ ∴ = 2 = 8, 8 + 153. ∵ + = 25 × 25 7 × 7 × 3 5 × 5 = 453 ， 10
= 153,
1
∴ + ( 2 8 + 153) = 453，解得
10 1
= 100， 2 = 30（舍去），
∴ 该25 × 25 格式的二维码共有 100 块黑色的 C 型正方形.故选 C.
22/115
9.在平面直角坐标系 中，若点 的横坐标和纵坐标相等，则称点 为完美点.已知二次函数
= 2
3 3
+ 4 + ( ≠ 0) 的图象上有且只有一个完美点( , )，且当0 ≤ ≤ 时，函数 =
2 2
3
2 + 4 + ( ≠ 0) 的最小值为 3，最大值为 1，则 的取值范围是( )
4
A. 1 ≤ ≤ 0 B. 72 ≤ <
2
C.2 ≤ ≤ 4 D.9 7< ≤
4 2
【解析】令 2 + 4 + = ，即 2 + 3 + = 0 .
由题意可知Δ = 32 4 = 0，∴ 4 = 9 .
3 3 3 9
由一元二次方程的根与系数的关系得 = + ，解得 = 1，∴ = ，
2 2 4
2 3故函数 = + 4 + = 2 + 4 3 ，
4
则该函数图象开口向下，顶点为(2,1)，与 轴交点为(0, 3)，
由对称性可知该函数图象也经过点(4, 3) ，如图所示.
∵ < 2时， 随 的增大而增大； > 2时， 随 的增大而减小，且当0 ≤ ≤ 时，
函数 = 2 + 4 3的最小值为 3，最大值为 1，∴ 2 ≤ ≤ 4 ，故选 C.
10.如图，正方形 的顶点 ， 在抛物线 = 2 + 4上，点 在 轴上.若 ， 两点的横
坐标分别为 ， ( > > 0) ，下列结论正确的是( )
23/115
A. + = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
【解析】如图， 分别过点 和点 作 轴的垂线，
垂足分别为 和 ，则∠ = ∠ = 90 .
将 ， 两点的横坐标代入函数解析式得，
点 坐标为( , 2 + 4)，点 坐标为( , 2 + 4)，
∴ = ， = 2 + 4， = ， = 2 + 4.
∵ 四边形 是正方形，∴ = ，∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90 ，
∠ = ∠ ,
∴ ∠ = ∠ . 在△ 和△ 中，{∠ = ∠ ,
= ,
∴△ ≌△ (AAS)，
∴ = = ， = = ，
∴ = + = + .又∵ = = 2 2 ，
∴ 2 2 = + ，即( + )( ) = + . ∵ > > 0，
∴ + ≠ 0 ，∴ = 1 .故选 B.
二、填空题（共 6小题，每小题 4分）
1
11.点 ( , )是抛物线 = 2上的一点，则 = ________.
2
1 1 1
【解析】把 ( ， )代入 = 2得 = ，故答案为 .
2 4 4
12.如图是二次函数 = 2 + + 的图象，则不等式 2 + + < 3 的解集是_________
____.
24/115
【解析】∵ 抛物线与 轴的交点为(0,3)，对称轴为直线 = 1，
∴ 当 = 0或 = 2 时， = 3，
∴ 不等式 2 + + < 3的解集是 < 0或 > 2，故答案为 < 0 或 > 2 .
13.某超市一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 万元，如果月平均增长
率为 ，则这三个月的总营业额 与月平均增长率 之间的函数关系式为__________________
_____.（化为一般式）
【解析】二月份的营业额为[200 × (1 + )] 万元，三月份的营业额在二月份营业额的基础上
增加 ，即[200 × (1 + ) × (1 + )]万元，则这三个月的总营业额 与月平均增长率 之间的
函数关系式为
= 200 + 200(1 + ) + 200(1 + )2 = 200 2 + 600 + 600 .
故答案为 = 200 2 + 600 + 600 .
14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 经过平移得到抛物线 = 2 4 ，则两段
抛物线及其对称轴所围成的阴影部分的面积为___.
25/115
【解析】如图 ，设平移得到的抛物线 = 2 4 的对称轴交
轴于点 ，交抛物线 = 2于点 ，过 作 ⊥ 轴于 .
∵ = 2 4 = ( + 2)2 + 4，
∴ 平移后抛物线的顶点坐标为( 2,4)，对称轴为直线 = 2，则 = 2.
当 = 2 时， = 2 = 4，∴ = 4.
∴ 由抛物线的对称性及平移的性质可知，阴影部分的面积等于矩形 的面积，
即2 × 4 = 8 .故答案为 8.
15.已知二次函数 = 2 + + ( ≠ 0) 的图象如图所示，其对称轴为直线 = 1，以下 4 个
结论：① < 0；②( + )2 < 2 ；③ + < ( + )，其中 ≠ 1；④4 + 2 + > 0
.其中正确的结论有_________.（填序号）
【解析】由图象可知 < 0， > 0， > 0，∴ > 0，∴ < 0 ，故①正确.
2
当 = 1时， < 0，即 + < 0;当 = 1时， > 0，即 + + > 0 ，
∴ ( + )( + + ) < 0，则( + )2 2 < 0，即( + )2 < 2 ，故②正确.
当 = 1时， 的值最大,此时 = + + ，而当 = 时， = 2 + + ，
其中 ≠ 1，∴ + + > 2 + + ，故 + > 2 + ，
即 + > ( + )，故③错误.
26/115
由对称性知， = 2时的函数值与 = 0 时的函数值相等，则 = 4 + 2 + > 0 ，
故④正确.故答案为①②④.
16.已知二次函数 = 2 的图象如图，点 0为坐标原点，点 1， 2， 3， 在 轴的正半轴
上，点 1， 2， 3， 在二次函数 =
2 位于第一象限的图象上，△ 0 1 1，△ 1 2 2，△
2 3 3， 都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则△ 9 10 10 的斜边长为____.
【解析】如图所示， 过点 1， 2， 3分别作 轴的垂线，
垂足分别为 ， ， . ∵△ 0 1 1，△ 1 2 2，△ 2 3 3,
都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，
∴ ∠ 1 0 1 = ∠ 2 1 2 = ∠ 3 2 3 = 45
，
= ,
∴ 0 1 所在直线的解析式为 = .由{ = 2
得 1(1,1)，∴ , 1
= 1 ，
∴ 0 1 = 2 1 = 2，∴ 1(0,2)，
= + 2,
∴ 易得直线 1 2 的解析式为 = + 2.由{ 得 (2,4)， = 2, 2
27/115
∴ 2 = 2 ,∴ 1 2 = 2 2 = 4，∴ 2(0,6)，
= + 6,
∴ 易得直线 2 3 的解析式为 = + 6.由{ 2 得 3(3,9)， = ,
∴ 3 = 3 ,∴ 2 3 = 2 3 = 6
由 0 1 = 2， 1 2 = 4， 2 3 = 6 可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜
边长依次增加 2，
∴△ 9 10 10 的斜边长为2 + 9 × 2 = 20 ，故答案为 20.
三、解答题（共 6小题）
17.（8 分）已知抛物线 = 2 2 + 2 2 + 3 （ 为常数）.
（1）求抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
【解】∵ = 2 2 + 2 2 + 3 = ( )2 2 + 3，
∴ 抛物线顶点坐标为( , 2 + 3) .…………（4 分）
（2）若 ( + 2, 1)， ( 1, 2)两点在此抛物线上，比较 1与 2 的大小.
【解】∵ = ( )2 2 + 3，∴ 抛物线开口向上，
对称轴为直线 = .…………（6 分）
∵ ( + 2, 1)， ( 1, 2)， ( 1) < + 2 ，∴ 1 > 2 .…（8 分）
18（. 10 分）已知二次函数 = 2( ≠ 0)与一次函数 = 2( ≠ 0)的图象交于 ， 两点，
如图所示，其中 ( 1, 1) .
（1）求 和 的值.
【解】∵ 一次函数 = 2( ≠ 0)的图象过点 ( 1, 1) ，
∴ 1 = 2，解得 = 1 .…………（2 分）
∵ 抛物线 = 2( ≠ 0)过点 ( 1, 1) ，
∴ 1 = × 1，解得 = 1 .…………（4 分）
28/115
（2）求点 坐标.
= 2, = 1, = 2,
【解】联立{ 2 解得{ 或{ = , = 1 = 4,
∴ (2, 4) .…………（7 分）
（3）求△ 的面积.
【解】设直线 交 轴于 .在 = 2中，令 = 0，得 = 2 ，
∴ (0, 2)，∴ = 2 ，…………（8 分）
19.（10 分）某公司开发一款与教育配套的软件，年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，
变化过程可用如图所示的抛物线描述，它刻画了该软件上市以来累积利润 （万元）与销售时
间 （月）之间的函数关系（即前 个月的利润总和 与 之间的函数关系），根据图象提供的
信息，解答下列问题：
（1）此软件上市第几个月后开始盈利
【解】由图象可得，该软件上市第 4 个月后开始盈利.…………（3 分）
（2）求累积利润 （万元）与销售时间 （月）之间的函数解析式.
【解】设 = ( 2)2 2. ∵ 函数图象过点(0,0) ，
∴ 0 = (0 2)2 2， …………（5 分）
1
∴ = ，∴ 累积利润 （万元）与销售时间 （月）之间的函数解析式是
2
1
= ( 2)2 2 .…………（7 分）
2
（3）前几个月公司的累积利润为 2.5 万元
1
【解】由题意，当 = 2.5时，2.5 = ( 2)2 2，解得 1 = 5， 2 = 1 （舍去）， 2
即前 5 个月公司的累积利润为 2.5 万元.…………（10 分）
29/115
20.（12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形
的顶点 与原点重合，顶点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上，抛
物线 = 2 4 + 12( < 0)经过点 (6,0) .
（1）求 的值与抛物线对称轴.
【解】∵ 抛物线 = 2 4 + 12( < 0)经过点 (6,0)，∴ 36 24 + 12 = 0 ，
解得 = 1 ，…………（3 分）
∴ 二次函数的解析式为 = 2 + 4 + 12 .
∵ = 2 + 4 + 12 = ( 2)2 + 16 ，
∴ 抛物线对称轴为直线 = 2 .…………（6 分）
（2）将抛物线向右平移 个单位( > 0)，使得新抛物线与 ， 分别交于 ， 两点，点
， 的纵坐标相等，求 的值和点 的坐标.
【解】将抛物线向右平移 个单位( > 0)得到抛物线 = ( 2 )2 + 16 .
∵ 新抛物线与 ， 分别交于 ， 两点，
∴ 点 的横坐标为 0，点 的横坐标为 6.…………（8 分）
∵ 点 ， 的纵坐标相等，∴ 平移后抛物线的对称轴为直线 = 3，∴ 2 + = 3 ，
∴ = 1 ，…………（10 分）
∴ = ( 3)2 + 16，令 = 0，得 = 7 ，
∴ 点 的坐标为(0,7) .…………（12 分）
21.（12 分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，
乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，如图（1）；在“间发式”
模式下，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，乒乓球第一次接
触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，如图（2），分别建立平面直角坐标
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系 .
通过测量得到乒乓球距离台面高度 （单位：dm）与球和发球器出口的水平距离 （单位：dm
）的相关数据，如下表所示：
表 1 直发式
(dm) 0 2 4 6 8 10 16 20 …
(dm) 3.84 3.96 4 3.84 3.64 2.56 1.44 …
表 2 间发式
(dm) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 …
(dm) 3.36 2.52 0.84 0 1.40 2.40 3 3.20 3 …
根据以上信息，回答问题：
（1）表格中 =_____， = _____；
【解析】由抛物线的对称性及题表 1 中的数据可知 = 3.96 .
设题图（2）中线段所在直线的解析式为 = + ( ≠ 0) ，
= 3.36, = 0.42,
把(0,3.36)，(8,0)代入，得{ 解得{
8 + = 0, = 3.36,
∴ = 0.42 + 3.36，当 = 4时， = 0.42 × 4 + 3.36 = 1.68，∴ = 1.68 .
故答案为3.96，1.68 .…………（3 分）
（2）求“直发式”模式下，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹的解析式；
【解】由题表 1 中的数据及抛物线的对称性可知,“直发式”模式下，
抛物线的顶点为(4,4) ，
∴ 设此抛物线的解析式为 = ( 4)2 + 4，把(0,3.84) 代入，得
3.84 = (0 4)2 + 4，解得 = 0.01 ，…………（5 分）
∴ “直发式”模式下，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹的
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解析式为 = 0.01( 4)2 + 4 .……（6 分）
（3）若“直发式”模式下，乒乓球第一次接触台面时与发球器出口的水平距离为 1 ，“间发式”
模式下，乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为 2，请通过计算比较 1， 2 的
大小.
【解】“直发式”模式下，当 = 0时，0 = 0.01( 4)2 + 4，
解得 1 = 16 （舍去）， 2 = 24 ，∴ 1 = 24 dm .…………（7 分）
设“间发式”模式下，乒乓球从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹的解
析式为 = ( 16)2 + 3.2 ，
把(8,0)代入，得0 = (8 16)2 + 3.2，解得 = 0.05，
∴ 这条抛物线的解析式为 = 0.05( 16)2 + 3.2 ，…（9 分）
当 = 0时，0 = 0.05( 16)2 + 3.2，解得 1 = 8， 2 = 24 ，
∴ 2 = 24 dm ，…………（11 分）
∴ 1 = 2 .…………（12 分）
22.（14 分）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）
所示，输入 的值为 2时，输出 的值为 1；输入 的值为 2 时，输出 的值为 3；输入 的值
为 3 时，输出 的值为 6．
图（1） 图（2）
（1）直接写出 ， ， 的值．
【解】 , , 的值分别为 1,1, 2 .…………（4 分）
∵ = 2 < 0，∴ 将 = 2， = 1代入 = + 3得 2 + 3 = 1，解得 = 1 .
∵ = 2 > 0， = 3 > 0，∴ 将 = 2， = 3和 = 3， = 6 分别代入
2 4 + 2 + 3 = 3, = 1, = + + 3得{ 解得{ 故 = 1, = 1， = 2 ．
9 + 3 + 3 = 6, = 2.
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（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于 的函数图象，如图（2）．
Ⅰ.当 随 的增大而增大时，求 的取值范围．
【解】∵ = 1， = 1， = 2，
∴ 一次函数解析式为 = + 3 ，二次函数解析式为 = 2 2 + 3 .
由题图（2）可知，当 > 0时， = 2 2 + 3 = ( 1)2 + 2 ，
∴ 抛物线的对称轴为直线 = 1 ，且开口向上，
∴ 当 ≥ 1时， 随 的增大而增大；
当 ≤ 0时， = + 3， = 1 > 0 ，
∴ 当 ≤ 0时， 随 的增大而增大.
综上，当 随 的增大而增大时， 的取值范围为 ≤ 0或 ≥ 1 ……（7 分）
Ⅱ.若关于 的方程 2 + + 3 = 0（ 为实数），在0 < < 4时无解，求 的取值范围．
【解】∵ 2 + + 3 = 0在0 < < 4 时无解，
∴ 2 + + 3 = 在0 < < 4 时无解，
即抛物线 = 2 2 + 3与直线 = 在0 < < 4 时无交点.
由Ⅰ可知抛物线的顶点坐标为(1,2) ，如图（1）.
图（1）
当 = 2时，抛物线 = 2 2 + 3与直线 = 在0 < < 4 时恰好有一个交点，
∴ 当 < 2时，抛物线 = 2 2 + 3与直线 = 在0 < < 4 时无交点.
当 = 4时， = 16 8 + 3 = 11 ，
∴ 当 ≥ 11时，抛物线 = 2 2 + 3与直线 = 在0 < < 4 时无交点.
综上，当 < 2或 ≥ 11时，抛物线 = 2 2 + 3与直线 = 在0 < < 4 时无交点，
即当 < 2或 ≥ 11时，关于 的方程 2 + + 3 = 0（ 为实数）
在0 < < 4 时无解.……（10 分）
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Ⅲ.若在函数图象上有点 ， （ 与 不重合）. 的横坐标为 ， 的横坐标为 + 1．小明
对 ， 之间（含 ， 两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随 的
变化而变化，直接写出 的取值范围．
【解】 1 ≤ ≤ 0或1 ≤ ≤ 2 .（14 分）
+( +1) 1
∵ = ， = + 1， = ， 2 2
1
∴ 点 ， 的横坐标关于直线 = 对称.
2
∵ 图象对应函数的最大值与最小值均不随 的变化而变化，
∴ , 之间的图象（含 , 两点）为直线 = 2和直线 = 3 之间的函数图象.
对于 = + 3( ≤ 0),当 = 2时， = 1；当 = 3时， = 0 .对于
= 2 2 + 3( > 0),当 = 2时， = 1；当 = 3时， = 0（舍去）或 = 2 .
1
①当 > 时，如图（2） .
2
1 ≤ + 1 ≤ 0,
由题意得{ ∴ 1 ≤ ≤ 2 .
1 ≤ ≤ 2,
1
②当 < 时，如图（3）
2
1 ≤ ≤ 0,
由题意得{ ∴ 1 ≤ ≤ 0 .
1 ≤ + 1 ≤ 2,
综上， 的取值范围为 1 ≤ ≤ 0或1 ≤ ≤ 2 ．
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