【单元大小卷】人教数学九上第23章旋转素养检测卷(PDF,含答案)

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名称 【单元大小卷】人教数学九上第23章旋转素养检测卷(PDF,含答案)
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资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2025-04-27 17:44:07

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第二十三章 素养检测卷
考查内容:旋转(时间:90 min 满分:120 分)
一、选择题(共 10小题,每小题 3 分)
1.二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产,能反映季节的变化,指导农事活动.下面四副图
片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”,其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【解析】A、B、C 中的图形不是中心对称图形,故 A、B、C 不符合题意;D 中的图形是中心
对称图形,故 D 符合题意.故选 D.
2.如图,在△ 中,∠ = 80 ,∠ = 65 ,将△ 绕点 逆时针旋转得到△ ′ ′.当 ′
落在 上时,∠ ′ 的度数为( )
A.65 B.70 C.80 D.85
【解析】由旋转的性质可得出∠ ′ ′ = ∠ . ∵ ∠ + ∠ + ∠ = 180 ,
∴ ∠ = 180 80 65 = 35 ,
∴ ∠ ′ ′ = ∠ = 35 ,∴ ∠ ′ = ∠ + ∠ ′ ′ = 70 ,故选 B.
3.如果点 ( , )在第三象限,则点 ( + 1,3 5) 关于原点的对称点在( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
【解析】点 ( + 1,3 5)关于原点的对称点是( 1,5 3 ). ∵ 点 ( , ) 在第三象限,即
< 0, < 0,∴ 1 < 0,5 3 > 0,∴ ( 1,5 3 ) 是第二象限的点.故选 C.
4.电风扇是一种常见的家用电器,可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉.如图是一款五叶电风
扇,在其持续运转的过程中,叶片 A 旋转到叶片 B 的位置时,旋转的角度可以是( )
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A.60 B.72 C.75 D.108
【解析】由题意得360 ÷ 5 = 72 ,∴ 叶片 A 旋转到叶片 B 的位置时,旋转的角度可以是72
,故选 B.
5.如图,将△ 绕点 顺时针旋转一定的角度得到△ ′ ′,此时点 ′恰在边 上,若 = 2,
′ = 5,则 ′ 的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】
根据旋转性质判定线段关 将△ 绕点 顺时针旋转一定的角度得到△ ′ ′ ,
系 ∴ = ′=2, = ′=5
计算所求线段长度 ′ = ′=5 2=3 ,故选 B
6.如图,将菱形 绕点 逆时针旋转得到菱形 ,点 在 上, 与 相交于 ,
若∠ = ,∠ = ,则 = ( )
A. 1 B.180 3 C.90 45 2 D.
3
90
2 2
60/115
【解析】∵ 将菱形 绕点 逆时针旋转得到菱形 ,∠ = ,
∠ = , ∴ = ,∠ = ∠ ,∠ = ∠ = ,
180 1
∴ ∠ = ∠ = ∠ = = 90 ,
2 2
∴ = ∠ = ∠ ∠ = 90
1 3
= 90 . 故选 D.
2 2
7.在平面内,由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图,在平面上取定一点 称
为极点,从点 出发引一条射线 称为极轴,再取定一个单位长度,通常规定角度取逆时针
方向为正.线段 的长度称为点 的极径,点 的极坐标就可以用线段 的长度以及从 转动
到 的角度来确定,即 (3, 60 )或 (3, 300 )或 (3, 420 )等,则点 关于点 成中心对称
的点 的极坐标表示不正确的是( )
A. (3, 240 ) B. (3, 450 ) C. (3, 600 ) D. (3, 120 )
【解析】点 关于点 成中心对称的点 的极坐标可以为(3, 240 )或(3, 600 ) 或(3, 120 ),不
可以是(3, 450 ) .故选 B.
8.如图左边的阴影三角形以 , , , , 中任一点为旋转中心,在旋转角为 90 ( 为正
整数) 的情况下,正好通过 次旋转得到右边的阴影三角形,则对于 的描述正确的是( )
A. = 1,2 可以, = 3不可以 B. = 1,3 可以, = 2 不可以
C. = 1,2,3 都可以 D. = 2,3 可以, = 1 不可以
【解析】将左边的阴影三角形绕点 顺时针旋转90 可得右边的阴影三角形,此时 = 1.将左
边的阴影三角形绕点 逆时针旋转90 ,再将得到的三角形绕点 旋转180 可得右边的阴影
三角形,此时 = 2.将左边的阴影三角形绕点 顺时针旋转90 ,再将得到的三角形绕点 顺
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时针旋转90 ,最后将得到的三角形绕点 逆时针旋转90 可得右边的阴影三角形,此时 = 3
.故选 C.
9.如图,在边长为 6 的正方形 内作∠ = 45 , 交 于点 , 交 于点 ,连
接 ,将△ 绕点 顺时针旋转90 得到△ .若 = 3,则 的长为( )
A.2 B.3 C.1 D.1
2 2
【解析】∵ 把△ 绕点 顺时针旋转90 得到△ ,∴ = , = ,
∠ = ∠ ,∠ = ∠ = ∠ = 90 ,∴ ∠ + ∠ = 180 ,
∴ , , 三点共线.∵ ∠ = 90 ,∠ = 45 ,∴ ∠ + ∠ = 45 ,
∴ ∠ + ∠ = 45 ,∴ ∠ = ∠ .在△ 和△ 中,
= ,
{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS),∴ = .设 = ,∵ = 6 ,
= ,
= 3,∴ = = 3,则 = + = 3 + , = 6 ,
∴ = 3 + . ∵ ∠ = 90 ,∴ (6 )2 + 32 = (3 + )2,解得 = 2,∴ 的长为 2.故选 A.
10.如图,在△ 中,∠ = 90 , = 8, = 6.将△ 绕点 旋转得△ ′ ′,连接 ′,
分别取 ′, ′ 的中点 , ,连接 ,则 的取值范围是( )
A.1 ≤ ≤ 9 B.1 9 1 9≤ ≤ C. < < D.1 < < 9
2 2 2 2
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【解析】如图 ,取 ′ 的中点 ,连接 , . ∵ ∠ = 90 ,
= 8, = 6,∴ = √ 2 + 2 = √64 + 36 = 10 .由
旋转的性质可知 ′ ′ = = 8, ′ = = 10 ,
′ = = 6.又∵ 点 , , 分别是 ′, ′, ′ 的中点,
∴ 是△ ′ 的中位线, 是Rt△ ′ ′的中位线,∴ = 5, = 4.当点 , ,
不共线时, < < + ,即1 < < 9;当点 在线段 上时,
= + = 5 + 4 = 9;当点 在线段 上时, = = 5 4 = 1 .综
上所述,1 ≤ ≤ 9 ,故选 A.
二、填空题(共 6小题,每小题 4分)
11.如图,△ 与△ 关于点 成中心对称, 为△ 的高,若 = 5, = 2,则
△ = ___.
【解析】∵△ 与△ 关于点 成中心对称,∴ = = 5 ,
1 1
△ = △ ,∴ △ = × = × 5 × 2 = 5,∴ 2 2 △ = 5 .故答案为 5.
12.如图,在△ 中,∠ = 64 ,将△ 在平面内绕点 旋转到△ ′ ′的位置,使 ′
// ,则旋转角的度数为____.
【解析】
63/115
判断旋转角 △ 在平面内绕点 旋转到△ ′ ′的位置,∴∠ ′ 为旋转角
∵ ′// ,∴∠ ′=∠ =64 .由旋转得 = ′ ,
计算旋转角 ∴∠ ′ =∠ ′=64 ,
∴∠ ′=180 ∠ ′ ∠ ′ =180 2×64 =52 ,故答案为 52
13.若与点 ( + 2,3 )关于原点对称的点 在第四象限,则 的取值范围是________.
【解析】∵ 与点 ( + 2,3 )关于原点对称的点 在第四象限,∴ 点 在第二象
+ 2 < 0,
限,∴ { 解得 < 2,故答案为 < 2 .
3 > 0,
14.如图,△ 和△ 关于点 成中心对称,若 = 1, = 2,∠ = 90 ,则
的长是_____.
【解析】∵△ 与△ 关于点 成中心对称,∴ △ ≌△ , , , 三点共
线,∴ = = 2, = = 1,∠ = ∠ = 90 ,∴ = 2. ∵ 在
Rt△ 中,∠ = 90 ,∴ = √ 2 + 2 = 2√2,故答案为2√2 .
15.如图, ⊥ ,等腰直角三角形 的腰 在 上,∠ = 45 ,将△ 绕点

逆时针旋转75 得到△ ,点 的对应点 恰好落在 上,则 的值为_ _.

【解析】由旋转知∠ = 75 .又∵ ∠ = 45 ,
∴ ∠ = 180 75 45 = 60 .∵ ⊥ ,∴ ∠ = 90 ,
∴ ∠ = 30 .设 = ,则 = 2 . ∵△ 是由等腰直角三角形 旋转得
到的,∴△ 也是等腰直角三角形,∴ 设 = = ,则由勾股定理得
2 + 2 = (2 )2,解得 = √2 (负值已舍去),即 = = √2 ,
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√2 √2
∴ = = ,故答案为 .
√2 2 2
16.如图,在△ 中,∠ = 90 ,∠ = 30 , = 4,点 为 上一点,将线段 绕点 顺
时针旋转得线段 ,点 在射线 上,当 的垂直平分线 经过△ 一边中点时,
的长为_________.
【解析】∵ ∠ = 90 ,∠ = 30 , = 4,∴ = 8, = 4√3. 的垂直平
分线 经过△ 一边中点,可分为以下三种情况:①当 经过 的中点 时,
1
交 于点 ,如图(1),则 = = 4. ∵ 绕点 顺时针旋转得线段 ,
2
∴ = ,∴ ∠ = ∠ = 30 .∵ ∠ 是△ 的外角,
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 60 .连接 ,∵ 垂直平分 ,∴ = ,
1
∴ △ 是等边三角形,∴ = ,∴ = ,∴ = = 2.②当 经过
2
1
的中点 时,交 于点 ,如图(2),则 = = 2.由旋转可得 = ,
2
则∠ = ∠ = 30 , ⊥ ,∴ ∠ = 60 ,∴ ∠ = 30 ,
2 10
∴ 在Rt△ 中, = √3,∴ = √3.连接 ,∵ 点 在 上,∴ = ,
3 3
∴ ∠ = ∠ = 30 .∵ ∠ 是△ 的外角,
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 60 ,∴ ∠ = 90 , ∴ ⊥ .在Rt△ 中,
10 1 5
∠ = 30 , = √3,∴ = = √3,∴ 由勾股定理得
3 2 3
= √ 2 2 = 5.③当 经过 的中点 时,如图(3),则
1
= = 2√3.同理可证 ⊥ .在Rt△ 中,∠ = 30 , = 2√3 ,
2
∴ = 3.综上, 的长为 2 或 5 或 3.故答案为 2 或 3 或 5.
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三、解答题(共 6小题)
17.(8 分)如图所示,把△ 绕点 旋转至△ 的位置,延长 交 于 ,交 于 ,
若∠ = 10 ,∠ = 25 ,∠ = 120 ,求∠ 的度数.
【解】由旋转可知△ ≌△ ,
∴ ∠ = ∠ = 25 ,∠ = ∠ .…………(2 分)
∵ ∠ = ∠ + ∠ + ∠ = 120 ,∠ = 10 ,
∴ ∠ = (120 10 ) ÷ 2 = 55 ,…………(6 分)
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 55 + 10 = 65 .
∵ ∠ 是△ 的外角,∴ ∠ = ∠ + ∠ = 25 + 65 = 90 .…(8 分)
18.(12 分)将两个大小相等的圆部分重合,其中重叠的部分(如图中的阴影部分)我们称之
为一个“花瓣”,由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形,下面是一些由“花瓣”和圆组成
的图形(“花瓣”在圆中是均匀分布的).
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(1)在 A、B、C、D、E 这 5 个图形中,是轴对称图形的有________________,是中心对称
图形的有__________.(填字母)
【解】在 A、B、C、D、E这 5 个图形中,是轴对称图形的有 A、B、C、D、E ,是
中心对称图形的有 A、C、E.故答案为 A、B、C、D、E,A、C、E .…………(4 分)
(2)当花瓣数大于 1 时,若花瓣的个数是______,则花瓣图形既是轴对称图形,又是中心对
称图形;若花瓣的个数是______,则花瓣图形是轴对称图形,不是中心对称图形.
【解析】若花瓣的个数是偶数,则花瓣图形既是轴对称图形,又是中心对称图形;
若花瓣的个数是奇数,则花瓣图形是轴对称图形,不是中心对称图形.故答案为偶
数,奇数.…………(8 分)
(3)根据上面的结论,试判断下列花瓣图形是什么图形(填“轴对称图形”或“中心对称图形”)
:①九瓣图形是______________________;
②十二瓣图形是_________________________________________________________
_______________________________________________.
【解析】
①轴对称图形,
②轴对称图形、中心对称图形.…………(12 分)
19.(10 分)如图,在正方形 中,对角线 , 相交于点 .在线段 上任取一点 (端
点除外),连接 , .将线段 绕点 逆时针旋转,使点 落在 的延长线上的点 处.
(1)请补全图形,并证明 = .
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【解】补全图形如图(1) 所示.…………(2 分)
证明:∵ 四边形 是正方形,∴ = ,
∠ = ∠ = 45 .又∵ = ,
∴ △ ≌△ (SAS),∴ = .…………(4 分)
(2)当点 在线段 上的位置发生变化时,∠ 的大小是否发生变化?请说明理由.
【解】∠ 的大小不发生变化.…………(5 分)
理由如下:过点 作 ⊥ 于 ,作 ⊥ 于 ,如图
(2) .∵四边形 是正方形,∴ ∠ = ∠ = 45 .又
∵ ⊥ , ⊥ ,∴ = ,∠ = 90 .………(8 分)
∵ = , = ,∴ △ ≌ △ (HL) ,
∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ + ∠ = 90 ,∴ ∠ + ∠ = 90 ,即
∠ = 90 ,∴ ∠ 的大小不发生变化.…………(10 分)
20(. 10 分)在平面直角坐标系中, 为坐标原点,已知点 (0,4),点 在 轴负半轴上,且∠
= 30 ,将△ 绕点 顺时针旋转得△ ,点 , 旋转后的对应点分别为 , ,记旋转
角为 .
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(1)如图(1), 恰好经过点 时.
①求此时旋转角 的度数.
【解】由旋转可知 = . ∵ ∠ = 30 ,∴ ∠ = ∠ = 60 ,∴△ 是等边三角
形…………,(2 分)
∴ ∠ = 60 ,∴ 旋转角 的度数为60 .…………(3 分)
②求出此时点 的坐标.
【解】如图 ,过点 作 ⊥ 轴于 . ∵ ∠ = 90 , (0,
4) ,
∠ = 30 ,∴ 易得 = = 4√3.∵ = 60 ,
∴ ∠ = 60 ,∴ 易得 = 2√3, = 6 ,
∴ ( 2√3, 6) .…………(6 分)
(2)如图(2),若0 < < 90 ,设直线 和直线 交于点 ,猜测 与 的位置关系,
并说明理由.
【解】 ⊥ ,理由:∵ ∠ = , = ,
1 1
∴ ∠ = (180 ) = 90 ,
2 2
1 1
∴ ∠ = 180 60 (90 ) = 30 + . ∵ ∠ = , = ,
2 2
69/115
1 1 1 1∴ ∠ = (180 ) = 90 ,∴ ∠ = 90 30 = 60 . ∴ ∠ + ∠ =
2 2 2 2
60
1
+ 30
1
+ = 90 ,
2 2
∴ ∠ = 90 ,∴ ⊥ . …………(10 分)
21.(12 分)在Rt△ 中,∠ = 90 ,∠ = 30 ,将△ 绕点 顺时针旋转一定
的角度 得到△ ,点 , 的对应点分别是 , .
(1)如图(1),连接 ,当点 恰好在 上时,求∠ 的大小;
【解】∵ 将△ 绕点 顺时针旋转一定的角度 得到△ ,∴ = ,
∠ = ∠ = 30 ,∠ = ∠ = 90 ,
∴ ∠ = ∠ = (180 ∠ ) ÷ 2 = 75 ,
∴ ∠ = ∠ ∠ = 15 .…………(4 分)
(2)如图(2),若 = 60 ,点 是 的中点,连接 , , ,判断四边形 的
形状,并证明你的结论.
【解】四边形 是平行四边形,证明如下:在Rt△ 中,∵ 点 是边 中
1
点,∴ = = = . ∵ ∠ = 90 ,∠ = 30 ,∴ ∠ = 60 ,
2
1
= ,∴ = = = .…………(7 分)
2
∵ △ 绕点 顺时针旋转60 得到△ ,∴ ∠ = ∠ = 60 ,
= , = , = ,∴ = ,△ 为等边三角形,
∴ = = . ∵ = ,∠ = ∠ = 60 , = ,
∴ △ ≌△ (SAS) ,…………(10 分)
∴ = ,∴ = ,而 = ,∴ 四边形 是平行四边形.……(12 分)
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22.(14 分)【阅读材料】
(1)如图(1),等边△ 内有一点 ,若点 到顶点 , , 的距离分别为 3,4,5,求∠
的度数.为了解决本题,我们可以将△ 绕顶点 旋转到△ ′处,连接 ′ ,此时
△ ′≌△ ,这样就可以利用旋转变换,将三条线段 , , 转化到一个三角形中,
从而求出∠ = ______.
【解】∵△ ′≌△ ,∴ ′ = = 3, ′ = = 4,∠ ′ = ∠ .由题意知旋转角
∠ ′ = 60 ,∴△ ′为等边三角形,∴ ′ = = 3 ,
∠ ′ = 60 ,则 ′ 2 + ′ 2 = 2,∴△ ′ 为直角三角形,且∠ ′ = 90 ,
∴ ∠ = ∠ ′ = ∠ ′ + ∠ ′ = 60 + 90 = 150 .故答案为150 .…(3 分)
(2)请你利用(1)中的思想方法,解决下面的问题.如图(2),△ 中,∠ = 90 ,
= , , 为 上的点且∠ = 45 ,求证: 2 = 2 + 2 .
【证明】如图(1),把△ 绕点 逆时针旋转90 得到△ ′ ,连接 ′ , ……(4 分)
则 ′ = , ′ = ,∠ ′ = ∠ ,∠ ′ = ∠ ,∠ ′ = 90 .
又∵ ∠ = 90 ,∠ = 45 ,∴ ∠ ′ = 90 45 = 45 ,
∴ ∠ = ∠ ′ . …………(5 分)
= ′,
在△ 和△ ′ 中,{∠ = ∠ ′ ,
= ,
∴ △ ≌△ ′ (SAS),∴ ′ = .…………(7 分)
∵ ∠ = 90 , = ,∴ ∠ ′ = ∠ = ∠ = 45 ,
∴ ∠ ′ = 45 + 45 = 90 ,∴ 由勾股定理得 2′ 2 = ′ + 2 ,
即 2 = 2 + 2 .…………(9 分)
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(3)如图(3),在Rt△ 中,∠ = 90 , = 1,∠ = 30 ,点 为Rt△ 内
一点,连接 , , ,且∠ = ∠ = ∠ = 120 ,求 + + 的值.
【解】∵ 在Rt△ 中,∠ = 90 , = 1,∠ = 30 ,∴ = 2 ,
∴ = √ 2 2 = √3 .…………(10 分)
如图(2),将△ 绕点 顺时针旋转60 至△ ′ ′ 处,连接 ′ ,……(11 分)
则∠ ′ = ∠ + 60 = 30 + 60 = 90 ,…………(12 分)
′ = = 2, = ′, ′ ′ = ,∠ ′ = 60 ,∴△ ′ 是等边三角形,
∴ = ′,∠ ′ = ∠ ′ = 60 . ∵ ∠ = ∠ = ∠ = 120 ,
∴ ∠ + ∠ ′ = ∠ ′ ′+ ∠ ′ = 120 + 60 = 180 ,
∴ , , ′, ′ 四点共线(13 分)
在Rt△ ′ 中, ′ = √ 2 + ′ 2 = √(√3)2 + 22 = √7 ,
∴ + + = ′ ′+ ′+ = ′ = √7 .…………(14 分)
72/115第二十三章 素养检测卷
考查内容:旋转(时间:90 min 满分:120 分)
一、选择题(共 10小题,每小题 3 分)
1.二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产,能反映季节的变化,指导农事活动.下面四副图
片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”,其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图,在△ 中,∠ = 80 ,∠ = 65 ,将△ 绕点 逆时针旋转得到△ ′ ′.当 ′
落在 上时,∠ ′ 的度数为( )
A.65 B.70 C.80 D.85
3.如果点 ( , )在第三象限,则点 ( + 1,3 5) 关于原点的对称点在( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
4.电风扇是一种常见的家用电器,可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉.如图是一款五叶电风
扇,在其持续运转的过程中,叶片 A 旋转到叶片 B 的位置时,旋转的角度可以是( )
A.60 B.72 C.75 D.108
37/66
5.如图,将△ 绕点 顺时针旋转一定的角度得到△ ′ ′,此时点 ′恰在边 上,若 = 2,
′ = 5,则 ′ 的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.如图,将菱形 绕点 逆时针旋转得到菱形 ,点 在 上, 与 相交于 ,
若∠ = ,∠ = ,则 = ( )
A.45
1
B.180
3 C.90 2 D. 390
2 2
第 6 题图 第 7 题图
7.在平面内,由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图,在平面上取定一点 称
为极点,从点 出发引一条射线 称为极轴,再取定一个单位长度,通常规定角度取逆时针
方向为正.线段 的长度称为点 的极径,点 的极坐标就可以用线段 的长度以及从 转动
到 的角度来确定,即 (3, 60 )或 (3, 300 )或 (3, 420 )等,则点 关于点 成中心对称
的点 的极坐标表示不正确的是( )
A. (3, 240 ) B. (3, 450 ) C. (3, 600 ) D. (3, 120 )
8.如图左边的阴影三角形以 , , , , 中任一点为旋转中心,在旋转角为 90 ( 为正
整数) 的情况下,正好通过 次旋转得到右边的阴影三角形,则对于 的描述正确的是( )
A. = 1,2 可以, = 3不可以 B. = 1,3 可以, = 2 不可以
C. = 1,2,3 都可以 D. = 2,3 可以, = 1 不可以
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9.如图,在边长为 6 的正方形 内作∠ = 45 , 交 于点 , 交 于点 ,连
接 ,将△ 绕点 顺时针旋转90 得到△ .若 = 3,则 的长为( )
A.2 B.3 C.1 D.1
2 2
10.如图,在△ 中,∠ = 90 , = 8, = 6.将△ 绕点 旋转得△ ′ ′,连接 ′,
分别取 ′, ′ 的中点 , ,连接 ,则 的取值范围是( )
A.1 ≤ ≤ 9 B.1 9≤ ≤ C.
1 9
< < D.1 < < 9
2 2 2 2
二、填空题(共 6小题,每小题 4分)
11.如图,△ 与△ 关于点 成中心对称, 为△ 的高,若 = 5, = 2,则
△ = ___.
12.如图,在△ 中,∠ = 64 ,将△ 在平面内绕点 旋转到△ ′ ′的位置,使 ′
// ,则旋转角的度数为____.
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13.若与点 ( + 2,3 )关于原点对称的点 在第四象限,则 的取值范围是________.
14.如图,△ 和△ 关于点 成中心对称,若 = 1, = 2,∠ = 90 ,则
的长是_____.
15.如图, ⊥ ,等腰直角三角形 的腰 在 上,∠ = 45 ,将△ 绕点

逆时针旋转75 得到△ ,点 的对应点 恰好落在 上,则 的值为_ _.

16.如图,在△ 中,∠ = 90 ,∠ = 30 , = 4,点 为 上一点,将线段 绕点 顺
时针旋转得线段 ,点 在射线 上,当 的垂直平分线 经过△ 一边中点时,
的长为_________.
三、解答题(共 6小题)
17.(8 分)如图所示,把△ 绕点 旋转至△ 的位置,延长 交 于 ,交 于 ,
若∠ = 10 ,∠ = 25 ,∠ = 120 ,求∠ 的度数.
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18.(12 分)将两个大小相等的圆部分重合,其中重叠的部分(如图中的阴影部分)我们称之
为一个“花瓣”,由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形,下面是一些由“花瓣”和圆组成
的图形(“花瓣”在圆中是均匀分布的).
(1)在 A、B、C、D、E 这 5 个图形中,是轴对称图形的有________________,是中心对称
图形的有__________.(填字母)
(2)当花瓣数大于 1 时,若花瓣的个数是______,则花瓣图形既是轴对称图形,又是中心对
称图形;若花瓣的个数是______,则花瓣图形是轴对称图形,不是中心对称图形.
(3)根据上面的结论,试判断下列花瓣图形是什么图形(填“轴对称图形”或“中心对称图形”)
:①九瓣图形是______________________;
②十二瓣图形是_________________________________________________________
_______________________________________________.
19.(10 分)如图,在正方形 中,对角线 , 相交于点 .在线段 上任取一点 (端
点除外),连接 , .将线段 绕点 逆时针旋转,使点 落在 的延长线上的点 处.
(1)请补全图形,并证明 = .
(2)当点 在线段 上的位置发生变化时,∠ 的大小是否发生变化?请说明理由.
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20(. 10 分)在平面直角坐标系中, 为坐标原点,已知点 (0,4),点 在 轴负半轴上,且∠
= 30 ,将△ 绕点 顺时针旋转得△ ,点 , 旋转后的对应点分别为 , ,记旋转
角为 .
(1)如图(1), 恰好经过点 时. ①求此时旋转角 的度数. ②求出此时点 的坐标.
(2)如图(2),若0 < < 90 ,设直线 和直线 交于点 ,猜测 与 的位置关系,
并说明理由.
21.(12 分)在Rt△ 中,∠ = 90 ,∠ = 30 ,将△ 绕点 顺时针旋转一定
的角度 得到△ ,点 , 的对应点分别是 , .
(1)如图(1),连接 ,当点 恰好在 上时,求∠ 的大小;
(2)如图(2),若 = 60 ,点 是 的中点,连接 , , ,判断四边形 的
形状,并证明你的结论.
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22.(14 分)【阅读材料】
(1)如图(1),等边△ 内有一点 ,若点 到顶点 , , 的距离分别为 3,4,5,求∠
的度数.为了解决本题,我们可以将△ 绕顶点 旋转到△ ′处,连接 ′ ,此时
△ ′≌△ ,这样就可以利用旋转变换,将三条线段 , , 转化到一个三角形中,
从而求出∠ = ______.
(2)请你利用(1)中的思想方法,解决下面的问题.如图(2),△ 中,∠ = 90 ,
= , , 为 上的点且∠ = 45 ,求证: 2 = 2 + 2 .
(3)如图(3),在Rt△ 中,∠ = 90 , = 1,∠ = 30 ,点 为Rt△ 内
一点,连接 , , ,且∠ = ∠ = ∠ = 120 ,求 + + 的值.
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