2024-2025学年浙江省9 1联盟高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省9 1联盟高二下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足其中为虚数单位，则复平面内该复数所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知、、是球的球面上三个点，且，球心到平面的距离为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
4.已知为等比数列的前项和，且，则“”是“”的条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
5.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点其中点在第一象限，点到抛物线的准线的距离为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.从，，，，，这个数中任选个奇数和个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为( )
A. B. C. D.
8.记的内角，，的对边分别为，，，满足，边上的高为，且，则周长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 事件与互斥 D. 事件与相互独立
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于点中心对称
C. 将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
D. 函数在区间上单调递增
11.已知函数与交于、两点，如图截取两函数在、之间部分图像得到一条封闭曲线，则( )
A. 关于直线对称
B. 若点的横坐标为，则
C. 上的点到直线距离的最大值为
D. ，是上互异的两点，分别过，作的切线，斜率记为，，若，称为的一组关联点，则的关联点有无数组．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的常数项为 ．
13.已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的最大值是 ．
14.若三次函数有三个相异且成等差的零点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点为的中点，连接．
求三棱锥的体积
求异面直线与所成的角的余弦值．
16.本小题分
公司开发了两款图像检测模型分别记为甲模型、乙模型，用于检测图像中的特定目标已知甲模型在单张图像中检测到目标的概率为，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为假设每张图像在同一模型中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为，乙模型检测到目标的图像张数为．
写出随机变量的分布列、均值及方差．
求事件“”的概率．
17.本小题分
已知，．
令，讨论的单调性和极值
若时，不等式恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知双曲线的顶点与椭圆的左右顶点，重合，且离心率为．
求双曲线的标准方程．
过双曲线上一点位于第一象限作切线，分别与轴，轴交于，两点，与椭圆交于，两点．
(ⅰ)若点，，的横坐标成等差数列，求直线的斜率．
(ⅱ)已知的面积为，求点的坐标．
19.本小题分
无穷整数数列满足，对任意的，记为数列中小于的项的个数，称数列是数列的“联盟数列”．
若数列有前项分别为，，，，，，，，，写出数列的“联盟数列”的前七项
若数列的“联盟数列”为，数列的“联盟数列”为，
(ⅰ)证明：
(ⅱ)记，，证明：．
参考答案
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15.解：过点作，
因为平面，所以平面，即为三棱锥的高．
又点为中点，所以，
又底面为矩形，可知，
所以三棱锥的体积；
设，连接，可知．
则或其补角即为异面直线与所成的角，
在中，，，，
所以．
所以异面直线与所成的角的余弦值为．
16.解：由题可知随机变量服从二项分布：∽，
所以随机变量的分布列为，，，，．
均值为．
．
由题可知“”的情况可分为四类：
，，
，，
，，
，，
所以．
17.解：
，
时，恒成立，在上单调递增，没有极值：
时，令，则，
解得，所以在上单调递增：
令，则解得，所以在上单调递减
此时，无极小值．
当时，恒成立，即恒成立，
令，，则恒成立，
对求导，，
令，，
当时，对于，，所以在上单调递减，
，即，
所以在上单调递减，，满足条件，
当时，对于，，在上单调递增，
，即，
在上单调递增，，不满足条件，
当时，令，得，
当时，，单调递增，，
即，单调递增，，不满足条件。
综上，的取值范围是。
18.解：由题意可得，椭圆左右顶点分别为，，而双曲线的顶点与，重合，
故可设双曲线的标准方程为，此时，
由得，，因此双曲线的标准方程为．
由题意可得，切线的斜率存在，
不妨设，切点，联立方程：整理可得：，
由于与双曲线相切：因此，即，经化简可得：，
此时，，且，，
若点，，的横坐标成等差数列，则，即，
若，则根据式可得，，此时为双曲线的渐近线，不可能为切线，
故，解得，切点在第一象限，
不妨设，，
此时切线与椭圆联立：整理得：，
式中，恒成立，
此时，
解得，或，，
则的坐标为或
19.解：因为数列有前项分别为，，，，，，，，，
设数列的“联盟数列”为，
则，，，，，，；
表示数列中小于的项的个数，表示数列中小于的项的个数，
显然，因此，
设的联盟数列中的任意一项，
则由“联盟数列”的定义可知，，
这表明在数列中，，，
又因为，则，
所以．
在数列中，有个，个，个，，个，剩下的项为．
所以
，
当时，，
令，，则，
那么，则，
所以，
当时，，
此时由可知，的“联盟数列”是，交换和的位置，重复上述讨论即可．
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