2025年安徽省宿州市砀山县部分学校中考模拟数学联考试卷（4月份）(含详解)

2025年安徽省宿州市砀山县部分学校中考数学联考试卷（4月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．）
1．的相反数是（　　）
A．2025 B．﹣2025 C． D．
2．国家电影局数据显示，2024年全年电影票房425.02亿元，观影总人次再次突破10亿．将数据“425.02亿”用科学记数法表示为（　　）
A．4.2502×108 B．425.02×108 C．4.2502×1010 D．4.2502×1011
3．在数轴上表示不等式5x+4≤3x的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“祝”相对的字是（　　）
A．考 B．试 C．顺 D．利
5．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1），B（2，0），∠ABC＝90°，BC＝AB，若点C在函数的图象上，则k的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．晋剧是我省国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱，正面印有晋剧经典剧目Q版人物的三张卡片（其中有1名男性角色，2名女性角色），它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．已知3a﹣2b﹣5＝0，2b+c＝﹣1，2c+d＝3，下列结论正确的是（　　）
A．3a+c＝﹣4 B．6a﹣d＝5 C． D．
8．如图，在半径为15的⊙O中，AB，CD是两条互相垂直的弦，垂足为P，且，CD＝18，则OP的长为（　　）
A．12 B． C．13 D．14
9．已知二次函数，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0）、（3，0），图象上有三个（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3），若当x1＜﹣1＜x2＜3＜x3时，均有y1＞y3＞y2，则下列说法中正确的是（　　）
A．a＜0 B．x＝1时，y有最大值 C．y1y2y3＞0 D．3b＝2c
10．如图1，在平行四边形ABCD中，BC⊥BD，点F从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D匀速运动，点E同时从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是△BEF的面积S（cm2）随时间t（s）变化的函数图象（图中MN为线段），当△BEF的面积为cm2时，运动时间t为（　　）
A． s B． s或s C． s D． s
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　 ．
12．方程的解是　 　 ．
13．如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点0，已知点A（3，3），∠BAD＝120°，则k的值是　 　 ．
14．如图，点D是等边△ABC内一点，连接AD，BD，CD，∠BDA＝120°，延长CD交AB于点E．
（1）当点E为AB中点时，则＝　 ；
（2）当∠BDE＝∠CAD，则＝　 ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
16．甲便民服务点有工作人员19人，乙便民服务点有工作人员27人，现在有20名志愿者前来支援，要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的一半，应该怎样分配前来支援的志愿者．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．观察以下等式：
①9×9＝81＝（9﹣1）×10+（10﹣9）；
②9×8＝72＝（8﹣1）×10+（10﹣8）；
③9×7＝63＝（7﹣1）×10+（10﹣7）；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请再写出一个等式：　 　 ．
（2）数学活动课上，王老师给学生变了一个魔术；他让学生任意想一个两位数，然后用这个两位数减去十位数字和个位数字，再将所得差的个位数字与十位数字相加，王老师便能猜中最后的结果．
①王老师猜的结果是：　 　 ；
②若设最初想的两位数的十位数字是a，个位数字是b，你能解释这个魔术的原理吗？
18．已知一次函数y＝kx﹣1（k≠0）与反比例函数的图象都经过点A（3，m），B．
（1）求一次函数表达式；
（2）在图中画出一次函数y＝kx﹣1的图象，并根据图象，写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．某种落地灯如图1所示，图2是其侧面示意图（假设台灯底座为线段GH，其高度忽略不计，灯罩和灯泡假设为点D），AB为立杆，其高为95cm；BC为支杆，它可以绕点B旋转，其中BC长为32cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度，它也可以绕点C旋转．使用过程中发现：当灯泡与地面的距离不低于101cm且不高于105cm时，台灯光线最佳．现测得CD为30cm，支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD＝105°，支杆BC与立杆AB之间所成的∠ABC＝135°，请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：，
20．如图，在⊙O中，点C是直径AB上方半圆上的一个点，直径AB平分非直径弦CD于点G，点E是弧AC上一点（不与A、C重合），过点E作EF⊥AB，EH⊥OC，垂足分别为F、H，连接FH．
（1）求证：∠OCD+∠FEH＝90°；
（2）若CD＝3，求FH的长．
六、（本题满分12分）
21．光明学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了“航天知识”竞赛．学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩（分数）进行整理分析，已知成绩（分数）x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70，E：0≤x＜60．
其中，八年级B等级中由低到高的10个成绩（分数）为：80，80，81，83，83，84，84，85．
两个年级学生“航天知识”竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
平均数 中位数 众数
八年级 84 a 76
九年级 84 81 75
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a＝　 　 ，m＝　 　 ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的学生对“航天知识”了解得较好？请说明理由；（说明一条理由即可）
（3）该校八年级有1800人，九年级有1900人，请估计该校八、九年级所有学生中，“航天知识”竞赛分数不低于80分的学生人数．
七、（本题满分12分）
22．综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和DEC中，CB＝CE＝3，AB＝DE＝4，∠ABC＝∠DEC＝90°．
【初步感知】
（1）如图1，连接AD、BE，在纸片CDE绕点C旋转过程中，求BE：AD的值．
【尝试证明】
（2）如图2，在纸片CDE绕点C旋转过程中，当点E恰好落在△ABC的中线BG的延长线上时，求证：BE∥CD．
【深入探究】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长DE交AC于点F，求tan∠ECF．
八、（本题满分14分）
23．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线以及直线BC的函数解析式．
（2）若M是抛物线的顶点，求点M到直线BC的距离．
（3）已知P是抛物线上的一动点，是否存在点P，使得∠PAB＝∠ACB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．）
1．解：的相反数是﹣．
故选：D．
2．解：425.02亿＝42502000000＝4.2502×1010．
故选：C．
3．解：5x+4≤3x，5x﹣3x≤﹣4，2x≤﹣4，x≤﹣2
∴不等式的解集在数轴上表示为，
故选：A．
4．解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“你”与面“试”相对，面“祝”与面“顺”相对，“考”与面“利”相对．
故选：C．
5．解：如图：
过点C作CD⊥x轴于点D
∴∠OAB+∠ABO＝∠CBD+∠ABO＝90°
∴∠OAB＝∠CBD
又∵AB＝BC
∴△AOB≌△BDC
∴BD＝OA＝1，CD＝OB＝2
∴点C的坐标为（3，2）
∴k＝2×3＝6
故选：C．
6．解：1名男性角色记为A，2名女性角色分别记为B、C，画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中B、B；B、C；C、B；C、C四种结果为女性
∴两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为．
故选：D．
7．解：∵3a﹣2b﹣5＝0，2b+c＝﹣1，2c+d＝3
∴
A．3a+c＝4，故该选项不正确，不符合题意；
B．6a﹣d＝5，故该选项正确，符合题意；
C．，故该选项不正确，不符合题意；
D．∵
∴，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
8．解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD
则，，∠OMP＝∠OMB＝∠ONP＝∠OND＝90°
∴，
由条件可知∠MPN＝90°
∴四边形MONP是矩形
∴MP＝ON＝12
∴
故选：C．
9．解：∵已知二次函数的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）
∴对称轴为直线
当x1＜﹣1＜x2＜3＜x3时，均有y1＞y3＞y2
∴越靠近对称轴的x值所对应的函数值越小，即该抛物线的开口方向向上
∴a＞0
故A选项不符合题意；
∵该抛物线的开口方向向上，对称轴为直线x＝1
则当x＝1时，y有最小值
故B选项不符合题意；
∵该抛物线的开口方向向上，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0）、（3，0），当x1＜﹣1＜x2＜3＜x3时，均有y1＞y3＞y2
∴y1＞0，y2＜0，0＜y3
∴y1y2y3＜0
故C选项不符合题意；
由条件可知
∴①×9﹣②得0＝﹣12b+8c
∴3b＝2c
故D选项正确，符合题意；
故选：D．
10．解：由图1、图2可知，当t＝4.5时，点F与点C重合；
当4.5＜t≤7.5时，点F在CD上运动，而点E继续在AB上运动3s
∵四边形ABCD是平行四边形，点F、点E的速度都是2cm/s
∴CD＝AB＝2×7.5＝15（cm），BC＝2×4.5＝9（cm）
∵BC⊥BD
∴∠CBD＝90°
∴BD＝＝＝12（cm）
当0＜t≤4.5时，如图3，作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，则∠G＝∠CBD＝90°
∵AB∥CD
∴∠GBF＝∠C
∴△BGF∽△CBD
∴＝
∴GF＝ BF＝t（cm）
∴S＝×t（15﹣2t）＝﹣t2+12t
当S＝时，则﹣t2+12t＝
解得t1＝t2＝s；
当4.5＜t≤7.5时，如图4，作CH⊥AB，交AB的延长线于点H
∵CD CH＝BC BD＝S△CBD
∴×15×CH＝×9×12
解得CH＝
∴S＝×（15﹣2t）＝﹣t+54
当S＝时，则﹣t+54＝
解得t＝，不符合题意，舍去
综上所述，运动时间t为s；
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．解：根据二次根式有意义的条件，x﹣5＞0
解得x＞5
故答案为：x＞5．
12．解：
方程两边同时乘（x﹣2），得x＝4（x﹣2）
去括号，得x＝4x﹣8
解得：
检验：把代入x﹣2≠0
∴分式方程的解为．
故答案为：．
13．解：由条件可知AC⊥BD，AC平分∠BAD，∠BAC＝60°
∴
过点A、B作x轴垂线，垂足为N，M，则∠ANO＝∠OMB＝90°
∵AC⊥BD
∴∠OAN＝∠MOB＝90°﹣∠AON
∴△ANO∽△OMB
∴
∴
∴
∴
∵点B在反比例函数的图象上
∴
解得，k＝﹣27
故答案为：﹣27．
14．解：（1）如图1，当点E为AB中点时
∵△ABC是等边三角形，且点E为AB中点
∴CE垂直平分AB
∴AB＝2AE，AD＝BD，∠AED＝90°
∴（等腰三角形的三线合一）
∴
∴
∴
故答案为：；
（2）如图2，延长AD，交BC于点G，延长BD，交AC于点F，过点F作FH⊥BC于点H
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°
∴∠ABD+∠CBF＝60°
∵∠BDA＝120°
∴∠ABD+∠BAG＝60°
∴∠CBF＝∠BAG
在△CBF和△BAG中
∴△CBF≌△BAG（ASA）
∴CF＝BG
∵∠BDA＝120°
∴∠ADF＝60°＝∠BAF
∵∠AFD＝∠BFA
∴△ADF∽△BAF
∴
∴
∵∠BDE＝∠CAD，∠BDE＝∠CDF
∴∠CAD＝∠CDF
∵∠ACD＝∠DCF
∴△ACD∽△DCF
∴
∴
∴AF＝CD
设CF＝BG＝2a（a＞0），AF＝CD＝b（b＞0），则BC＝AC＝CF+AF＝2a+b
又∵
∴
整理得：4a2+2ab＝b2
在Rt△CFH中，CH＝CF cos∠ACB＝a，
∴BH＝BC﹣CH＝2a+b﹣a＝a+b
∴
又∵
∴
故答案为：．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解：
＝1﹣4+4
＝1．
16．解：设甲有工作人员x人，乙有工作人员2x人
∴x+2x＝19+27+20
∴x＝22
∴22×2＝44（人），22﹣19＝3（人），44﹣27＝17（人）．
答：应往甲便民服务点调3人，往乙便民服务点调17人．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．解：（1）由题意可得算式，9×6＝54＝（6﹣1）×10+（10﹣6）
故答案为：9×6＝54＝（6﹣1）×10+（10﹣6）（答案不唯一）；
（2）①取数字92，由题意得92﹣9﹣2＝81，8+1＝9，∴王老师猜的结果是：9
故答案为：9；
②由题意得，10a+b﹣a﹣b
＝9a
＝10（a﹣1）+（10﹣a）
∴（a﹣1）+（10﹣a）＝a﹣1+10﹣a＝9
∴这个魔术的结果是9．
18．解：（1）∵反比例函数的图象过点A（3，m）
∴
∴m＝2．
∴A（3，2）
将点A（3，2）代入y＝kx﹣1（k≠0）得：2＝3k﹣1
∴k＝1
∴一次函数表达式为y＝x﹣1；
（2）当x＝﹣2时，y＝x﹣1＝﹣3，过（﹣2，﹣3），A（3，2）画出一次函数y＝x﹣1的图象，如图：
由图可知，B（﹣2，﹣3），∴一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围：x＞3或﹣2＜x＜0．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．解：分别过点D作DM⊥GH于点M，DI∥GH交CB于点I，BN⊥DM于点N，CK⊥BN于点K，交DI于点J，如图所示：
由题意得：∠CKB＝∠CJI＝∠CJD＝90°
∵∠ABC＝135°
∴∠CBK＝∠CIJ＝135°﹣90°＝45°
∵∠BCD＝105°
∴∠CDI＝180°﹣105°﹣45°＝30°
∵BC＝32cm，CD＝30cm
∴CJ＝CD sin∠CDI＝15cm，
∴JK＝CK﹣CJ＝22.56﹣15＝7.56（cm）
∴DM＝DN+MN＝JK+AB＝102.56（cm）
∵101＜102.56＜105．
∴落地灯光线是为最佳．
20．（1）证明：∵直径AB平分非直径弦CD
∴CD⊥AB，即∠CGO＝90°
∴∠OCD+∠COG＝90°
∵EF⊥AB，EH⊥OC
即∠EFO＝∠EHO＝90°
∴∠AOC+∠FEH＝180°
∵∠AOC+∠COG＝180°
∴∠COG＝∠FEH
∴∠OCD+∠FEH＝90°；
（2）解：如图，连接OE
∵∠EFO＝∠EHO＝90°
即∠EFO+∠EHO＝180°
∴O、F、E、H四点是在以OE为直径的圆上
∵∠CGO＝90°
∴O、C、G三点是在以OC为直径的圆上
∵OE＝OC
∴以OE为直径的圆和以OC为直径的圆是等圆
∵∠COG＝∠FEH，即
∴．
六、（本题满分12分）
21．解：（1）由题意得a＝＝82，m%＝1﹣（22%+36%+6%+6%）＝30%，即m＝30
故答案为：82，30；
（2）八年级学生对“航天知识“了解得较好
由表知，八年级学生学生对“航天知识“了解的成绩的中位数大于九年级
所以八年级学生对“航天知识“了解成绩的高分人数多于九年级；
（3）1800×+1900×（22%+30%）＝1996（人）
答：估计该校八、九年级所有学生中，“航大知识”竞赛分数不低于80分的学生有1996人．
七、（本题满分12分）
22．（1）解：已知三角形纸片ABC和DEC中，CB＝CE＝3，AB＝DE＝4，∠ABC＝∠DEC＝90°
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：
∵△ABC≌△DEC
∴∠BCE＝∠ACD
∵
∴△CBE∽△CAD
∴BE：AD＝CB：CA＝3：5；
（2）证明：∵∠ABC＝90°，BG是△ABC的中线
∴
∴∠GBC＝∠GCB
∵CB＝CE
∴∠CEB＝∠CBE
∵△ABC≌△DEC
∴∠BCA＝∠ECD
∴∠CEB＝∠CBE＝∠BCA＝∠ECD
∴BE∥CD；
（3）解：由（2）得：∠GBC＝∠CBE，∠BCG＝∠CEB
∴△BCG∽△BEC
∴
∴
∴
∵BE∥CD
∴△FGE∽△FCD
∴
∴
∴
在Rt△ECF中，．
八、（本题满分14分）
23．解：（1）将点A（1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c
得
解得
∴抛物线的函数解析式为y＝x2﹣4x+3
令x＝0，解得y＝3
∴点C（0，3）．
设直线BC的函数解析式为y＝kx+3
将点B的坐标代入上式得：0＝3k+3，则k＝﹣1
则BC的表达式为：y＝﹣x+3；
（2）由抛物线的表达式知，点M（2，﹣1）
作MH∥y轴交CB于点H，作MT⊥BC于点T
当x＝2时，y＝﹣x+3＝1
则点H（2，1）
则∠MHT＝∠OCB＝45°
则MH＝2
则MT＝MH cos45°＝；
（3）存在，理由：
作AN⊥CB于点N
在△ABC中，OB＝OC，则∠CBA＝45°
由点A、B、C的坐标得，BC＝3，AB＝2
则NB＝AB＝＝AN，则CN＝BC﹣BN＝2
则tan∠ACB＝＝
∵∠PAB＝∠ACB，则tan∠PAB＝tan∠ACB＝
则PA的表达式为：y＝±（x﹣1）
联立上式和抛物线的表达式得：﹣（x﹣1）＝x2﹣4x+3或（x﹣1）＝x2﹣4x+3
解得：x＝或
则点P（，）或（，﹣）．