圆幂定理
模型原理
1.相交弦定理
相交弦定理:圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等.如图,弦AB和CD交于⊙O内一点P,则PA·PB=PC·PD.
2.割线定理
割线:一条直线与圆有两个公共点,我们就说这条直线是圆的割线.如图PB、PD 就是⊙O 的割线.割线定理从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B;C、D,则有PA·PB=PC·PD.
3.切割线定理
切割线定理如图,在⊙O中,AB是⊙O的切线,AD是⊙O的割线,则题意中满足.
真题精炼
1阅读资料:
小明是一个爱动脑筋的好学生,他在学习了有关圆的切线性质后,意犹未尽,又查阅到了与圆的切线相关的一个问题:
如图①,已知PC是⊙O的切线, AB是⊙O的直径, 延长BA交切线PC于P .连接AC, BC, OC.因为PC是⊙O的切线, AB是⊙O的直径, 所以∠OCP =∠ACB=90°,所以∠1 =∠2.
又因为∠B =∠1, 所以∠B=∠2.
在△PAC与△PCB中, 又因为∠P =∠P, 所以△PAC~△PCB,所以 即
问题拓展:
(1)如果PB不经过⊙O的圆心O,如图②,等式 PB还成立吗 请证明你的结论.
(2) 如图③,⊙O是△ABC的外接圆, PC是⊙O的切线,C是切点, BA的延长线交PC于点P .①当AB=PA,且PC=12时,求PA的值;②D是BC的中点, PD交AC于点E.
求证:
2AB是⊙O直径, BC是⊙O切线, AC与⊙O交于D, 则AB长为 .
3如图(1) , PT与⊙O 相切于点T , PAB与⊙O 相交于A、B两点, 可证明 从而有 请应用以上结论解决下列问题:如图(2),PAB、PCD分别与( 相交于A、B、C、D四点,已知PA=2,PB=7,PC=3,则(
482.圆幂定理之割线定理+锐角三角函数——22宁波模拟+选择压轴+初三
如图△ABC, D为BC上一点, DC=2BD,以DC为直径作圆交AB于E,AE = AC, sin B值为( ) .
A.
4如图,正方形ABCD内接于⊙O ,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q .若QP=QO,则 的值为( )
5如图A、B、C、D为⊙O的点, 直线BA与DC交于P,PA=2,PC=CD=3,PB=( )
A.6 B. 7 C. 8 D.9
6如图,正方形ABCD内接于⊙O ,E为DC的中点,直线BE交⊙O于点F ,如果⊙O的半径为2 则点O到BE的距离OM =( ) .
C. 1
7已知:如图,在半径为8的⊙O中,AB为直径,以弦AC(非直径)为对称轴将 折叠后与AB相交于点D,如果AD=3DB, 那么AC的长为 .
8如图,⊙O的弦AB、CD相交于点P,若AP=3,BP=4,CP=2,则CD长为( ) .
A.6 B. 12 C. 8 D.不能确定
9如图,AB为⊙O的直径,P点在AB的延长线上,PM切⊙O于点M ,若C 那么△PMB的周长是 .
10如图,已知⊙O的弦AB、CD相交于点P, , EA切⊙O于点A,AE与CD的延长线交于点E,若 则PE的长为( )
A. 4cm B. 3cm C. 5cm
11如图, 是等腰直角三角形,. ,以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC,BC相切于点E,F ,与AB分别交于点G ,H,且EH的延长线和CB的延长线交于点D,则CD的长为 .
1如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,AC与⊙O交于点D,若 则AB的长为 .
【答案】4
【解析】∵BC是⊙O的切线,
∴BC =CD. CA,即3 =CD.(CD+DA),
解得
∴AC=5,
∵BC是⊙O的切线,
∴AB⊥BC,
∴∠ABC=90°.
在Rt△ABC中,
由勾股定理可得:
故答案为:4.
2如图(1) , PT与⊙O 相切于点T,PAB与⊙O 相交于A、B两点,可证明△PTA∽△PBT,从而有 请应用以上结论解决下列问题:如图(2),PAB、PCD分别与⊙O 相交于A、B、C、D四点,已知PA=2,PB=7,PC=3,则CD=
【答案】53
【解析】如图2中,过点P作⊙O的切线PT,切点是T
∵PA=2,PB=7,PC=3,
∴2×7=3×PD,
【标注】【知识点】割线定理
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3如图,△ABC中,D为BC上一点,DC=2BD,以DC为直径作圆交AB于点E,若AE=AC,则 sin B的值为( )
A.
【答案】C
【解析】连接OA,OE,DE,设半径为r,
∵AE=AC,
∴∠AOC=∠AOE,
∴ED∥AO,
∴△BDE∽△BOA.
∴E是BA的中点,
∵BD∥AO,
∴∠BED=∠BAO,
∵∠EDC=∠AOC,BO=AO=CO,
∴∠EAO=∠BCA.
∴△BDE∽△BAC,
∴BE·BA=BD·BC,BA= BD= 作AF⊥BO于F点,设BF=x,则
故选:C.
4如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q .若QP=QO,则 的值为( ).
B. 2 D. +2
【答案】D
【解析】如图,设⊙O的半径为r,QO=m,则QP=m,QO=r+m,
QA=r-m.
在⊙O中,根据相交弦定理,得QA. QC=QP·QD.
即(r-m)(r+m)=m·QD,所以
连接DO,由勾股定理,得
解得
所以,
故选:D.
5如图,A、B、C、D为⊙O上的点,直线BA与DC相交于点P,PA=2,PC=CD=3,则PB=( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】D
【解析】∵PB,PD是⊙O的割线,
∴PA·PB=PC·PD.
∵PA=2,PC=CD=3,
∴2PB=3×6.
解得:PB=9.
故选: D.
6如图,正方形ABCD内接于⊙O,E为DC的中点,直线BE交⊙O于点F ,如果⊙O的半径为2 则点O到BE的距离OM=( )
7已知:如图,在半径为8的⊙O中,AB为直径,以弦AC(非直径)为对称轴将AC折叠后与AB相交于点D,如果AD=3DB,那么AC的长为 .
【答案】4
【解析】如图:作AB关于直线AC的对称线段B'A ,交半圆于点D',连接BC,CB',
因为AB为直径, AB=16,AD=3DB,所以∠ACB'=∠ACB=90°,BC=CB',AD=AD'=12,B'D'=4由割线定理可得:B'D'. B'A=B'C. B'B,所以 所以B'C=4 所以由勾股定理可得:
考点:图形折叠的性质、勾股定理、割线定理.
【标注】【知识点】勾股定理
【知识点】割线定理
8【答案】A
【解析】连接OD,OA,OB,
∵正方形ABCD内接于⊙O,
在△AOD中,由勾股定理得:
∴OD=AD=BC=4,
∵E是CD的中点,
∴DE=CE=2.
在△BCE中由勾股定理得
由相交弦定理得:CE×DE=BE×EF,
即2×2=2 EF,
∵OM⊥BF,OM过圆心O,
在△BOM中,由勾股定理得:
解得:
故选A.
9.如图,⊙O的弦AB、CD相交于点P,若AP=3,BP=4,CP=2,则CD长为( ) .
A.6 B. 12 C.8 D.不能确定
【答案】C
【解析】∵AP·BP=CP·DP,
∵AP=3,BP=4,CP=2,
∴PD=6,
∴CD=PC+PD=2+6=8.
故选C.
10如图,AB为⊙O的直径, P点在AB的延长线上, PM切⊙O于点M ,若OA=a, PM= a,那么△PMB的周长是 .
【答案】 (+2)a
【解析】连接OM;
∵PM切⊙O于点M,
∴∠OMP =90°,
∵OA=OM=a,PM= a,
∴tan∠MOP=MP:OM=
∴OP=2a,
∴PB=OP-OB=a;
∵OM=OB,
∴△OMB是等边三角形,MB=OB=0,
∴△PMB的周长是(
11如图,已知⊙O的弦AB、CD相交于点P,PA=4cm,PB=3cm,PC=6cm,EA切⊙O于点A, AE与CD的延长线交于点E,若AE=2 cm,则PE的长为( ) .
A. 4cm B. 3cm C. 5cm D. cm
【答案】A
【解析】∵PA·PB=PC·PD,PA=4cm,PB=3cm,PC=6cm,
∴PD=2;
设DE=x,
∴x(x+8)=20,
∴x=2或x=-10(负值舍去) ,
∴PE=2+2=4.
故选:A.
12.如图,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=a,以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC,BC相切于点E,F,与AB分别交于点G ,H ,且EH的延长线和CB的延长线交于点D,则CD的长为 .
【答案】
【解析】如图,连接OE、OF,
∵由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径,∠OEC=∠OFC=∠C=90°,
∴OECF是正方形,
∵由△ABC的面积可知
∴OE=OF= a=BC=CF,BF=BC-CF=0.5a,GH=2OE=a,
∵由切割线定理可得
或 (舍去) ,
∵OE∥DB,OE=OH,
.△OEH∽△BDH,