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二次函数特殊角问题
模型原理
对于角的存在性问题,基本策略是构造“一线三直角”模型,利用相似解题.
1.45°角→构造等腰直角三角形→构造“一线三直角”全等
2 .30°角→构造直角三角形→构造“一线三直角”相似
3 .tanα=k→构造直角三角形→构造“一线三直角”相似
注:在构造直角三角形时,建议以已知点B作为直角顶点,方便快捷,否则若以动点P为直角顶点,则需要设元求解.
真题精炼
1如图,抛物线 与x轴交于. B两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线解析式及B,C两点坐标;
(2)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,求点D坐标;
(3)该抛物线对称轴上是否存在点E ,使得. ,若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
2如图,在平面直角坐标系中,抛物线 经过 两点,与y轴交于
点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在点Q ,使∠QCB=45° 若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
3如图,抛物线 c与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,直线BC方程为
(1)求抛物线的解析式;(2)点P为抛物线上一点,若
,请直接写出点P的坐标;(3)点Q是抛物线上一点,若 求点Q的坐标.
4如图,抛物线 经过点B(4,0)和点C(0,2), 与x轴的另一个交点为A, 连接AC
BC
求抛物线的解析式及点A的坐标;
如图1,若点D是线段AC的中点,连接BD,在y轴上是否存在点E ,使得 是以BD为斜边的直角三角形 若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点P是第一象限内抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴,分别交BC、x轴于点M、N,当 中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时,请求出满足条件的点P的横坐标.
5如图,在平面直角坐标系中,抛物线 与x轴分别交于点. 和点B,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式及对称轴;
(2)如图1,点D与点C关于对称轴对称,点P在对称轴上,若 求点P的坐标;
(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点,点N在抛物线的对称轴上,当 为等边三角形时,请直接写出点M的坐标.
6如图,抛物线 的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C ,已知B(3,0).
(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式 .
(2)P为抛物线上一点,若 请直接写出点P的坐标.
(3)Q为抛物线上一点,若 求点Q的坐标.
7如图,在平面直角坐标系中,直线 与x轴交于点A,与y轴交于点B ,抛物线 经过坐标原点和点A ,顶点为点M .
(1)求抛物线的表达式及点M的坐标 .
(2)点E是直线AB下方的抛物线上一动点,连接EB ,EA,当 B的面积等于 时,求E点的坐标.
(3)将直线AB向下平移,得到过点M的直线y=mx+n,且与x轴负半轴交于点C,取点D(2,0), 连接DM, 求证:∠ADM--∠ACM=45°.
8如图,抛物线 与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧 ),与y轴交于点C,直线l与抛物线交于A,D两点,与y轴交于点E ,点D的坐标为(
(1)请直接写出A,B两点的坐标及直线l的函数表达式.
(2)若点P是抛物线上的点 ,点P的横坐标为 过点P作 轴,垂足为M, PM与直线l交于点N ,当点N是线段PM的三等分点时,求点P的坐标.
(3)若点Q是y轴上的点,且 求点Q的坐标.
9如图,抛物线 与x轴交于A(-2,0)、B(6,0)两点, 与y轴交于点C. 直线l与抛物线交于A、D两点,与y轴交于点E,点D的坐标为(4,3). (1)求抛物线的解析式与直线l的解析式;
(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方,连接PA、PD,求当 面积最大时点P的坐标及该面积的最大值; (3)若点Q是y轴上的点,且. 求点Q的坐标.
1如图,抛物线y 4与x轴交于A(-3,0), B两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线解析式及B,C两点坐标;
(2)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,求点D坐标;
(3)该抛物线对称轴上是否存在点E,使得∠ACE =45°,若存在,求出点E的坐标;若不存在,谓说明理由.
【答案】(1)抛物线解析式为 B(1,0),σ(0,4)
(2)D(-2,-4)或D(-4,4)或D(4,4)
3)
【解析】(1)解:∵抛物线 与x轴交于A(-3,0),
解得
∴抛物线解析式为
当x=0时,y=4,
∴C(0,4),
当y=0时 解得
∴B(1,0)
(2)∵A(-3,0), B(1,0), O(0,4),
设D(m,n).
∵以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形当AB为对角线时,
解得
∴D(-2,-4);
当AC为对角线时, 解得::
∴D(-4,4)当BC为对角线时, 解得:
∴D(4,4)
综上所述,以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形, D(-2,-4)或D(-4,4)或D(4,4)(3)解:如下图所示,作AG⊥CE交于点G ,F为AC的中点,连接GO,GF,
∵∠ACE=45°
∴△AGC是等腰直角三角形,
∴A,O,C G在OF上,
∵A(-3,0),C(0,4),
∴∠AOG=∠ACG=45°,
∴G在y=-x上,
设G(t.-t),
解得 (舍去)
∴点G
设直线CG的解析式为 解得
∴直线CG的解析式
∵A(-3,0),B(1,0),
∴抛物线对称轴为直线
当x=-1时
2如图,在平面直角坐标系中,抛物线 经过A(- ,0),B(3, 两点,与y轴交于
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在点Q ,使∠QCB=45° 若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】 )存在,点Q的坐标为 )或
【解析】 (1)解:将点A(- ,0),B(3, )代入y=ax + bx+2得: 解: 则抛物线的解析式为
(2)解:①如下图所示,当Q在BC下方时,过B作BH⊥CQ于H,过互作MN⊥y轴,交y轴于
∠CHM+∠BHN=∠HBN+∠BHN=90°,∴∠CHM=∠HBN,∵∠QCB=45°,∴△BHC是等腰直角三角形,∴CH=HB,∴△CHM≌△HBN(AAS) ,∴CM=HN,MH=BN,设点H的坐标为H(s,t),则 解得 即H 设直线CH的解析式为y= px+q,将点C(0,2),H( , )代入得: 解得 则直线CH的解析式为 联立直线CH与抛物线解析式得 解得 即为点C),则此时点Q的坐标为( ②如下图所示,当Q在BC上方时,过B作BH⊥CQ于H,过H作MN⊥y轴,交y轴于M ,过B作BN⊥MH于N,
同理可知:此时点Q的坐标为( 综上所述存在这样的点Q ,点Q的坐标为 或
【标注】【知识点】二次函数与几何综合
3.如图,抛物线y 与z轴交于A,B两点,与y轴交于C点,直线BC方程为y=x-3
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上一点,若 请直接写出点P的坐标;
(3)点Q是抛物线上一点,若 求点Q的坐标.
【分析】
(1)先根据一次函数解析式求出点B、C坐标;再代入 求出b、c即可求解;
(2)过点A作AN⊥BC于N,过点P作PM⊥BC于M,过点P作PE∥BC,交y轴于E交抛物线于P ,P ,过点E作EF⊥BC于F,先求出AN= ,再根据两三角形面积关系,求得 从而求得CE=1,则点P是将直线BC向上或向下平移1个单位与抛物线的交点,联立解析式即可求出交点坐标;
(3)过点Q作AD⊥CQ于D,过点D作DF⊥x轴于/财富点C作CE⊥DF于E,证△CDE≌△DAD(AAS) ,得DE=AF,CE=DF,再证四边形OCEF是矩形,得OF=CE, EF=OC=3,然后设DE=AF=n,则CE=DF=OF=n+1, DF=3-n,则n+1=3-n,解得: n=1, 即可求出D(2,-2),用待定系数法求直线CQ解析式为 最后联立直线与抛物线解析式,求出交点坐标即可求解.
(1)
解:对于直线BC解析式y=x-3,
令x=0时,y=-3,
则C(0,-3),
令y=0时,x=3,
则B(3,0),
把B(3,0), G(0,-3), 分别代入 得
解得:
∴求抛物线的解析式为:
(2)
解:对于抛物线
令y=0,则-x +4x-3=0,解得:x =1,x =3,
∴A(1,0) , B(3,0),
∴OA=1,OB=3,AB=2,
过点A作AN⊥BC于N,过点P作PM⊥BC于M,如下图所示,
∴A(1,0), B(3,0), C(0,-3),
·. OB=OC=3,AB=2,
.∠ABC=∠OCB=45°,
过点P作PE∥BC,交y轴于E,过点E作EF⊥BC于F,
则
∴CF=1
∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位,与抛物线的交点,如图P ,P ,P ,P ,
∵B(3,0), C(0,-3),
∴直线BC解析式为:y=x-3,
∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4,
群立直线与抛物线解析式,得
解得:
∴P点的坐标为( 或 或 或(
(3)解:如下图所示,点Q在抛物线上,且∠ACQ=45°,过点Q作AD⊥CQ于D,过点D作DF⊥x轴于F,过点C作CE⊥DF于E,
∵∠ADC=90°,
∴∠ACD=∠CAD=45°.
∴CD=AD,
∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE,
∴△CDE≌△DAD(AAS) ,
∴DE=AF,CE=DF,
∴∠COF=∠E=∠AFD=90°,
∴四边形OCEF是矩形,
∴OF=CE,EF=OC=3,
设DE=AF=n,
∵OA=1,
∴CE=DF=OF=n+1
∴DF=3-n,
∴n+1=3-n
解得: n=1,
∴DE=AF=1,
∴CE=DF=OF=2,
∴D(2,-2),
设直线CQ解析式为y= px-3,
把D(2,-2)代入,得
·直线CQ解析式为
联立直线与抛物线解析式,得
解得: 与题意不相符,舍去),
∴点Q坐标为(
【点睛】
本题属二次函数与一次函数综合题目,考查了用待定系数法求函数解析式,一次函数图象平行,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,熟练掌握一次函数与二次函数的图象性质是解题的关键.
【标注】【知识点】二次函数
4如图,抛物线 c经过点B(4,0)和点C(0,2),与z轴的另一个交点为A,连接AC、BC.
(1)求抛物线的解析式及点A的坐标;
(2)如图1,若点D是线段AC的中点,连接BD,在y轴上是否存在点E,使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形 若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点P是第一象限内抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴,分别交BC、x轴于点M、N,当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时,请求出满足条件的点P的横坐标.
【答案】
(2)存在E(0,3)或(0,-1) ,使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形;
(3)2或
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法解答,即可求解;
(2)先根据中点坐标公式可得点 设点E(0,m),再根据两点坐标公式可得 再由勾股定理,即可求解;
(3)先求出 再求出直线BC的解析式,然后设点
则λ ,可得 再分三种情况讨论:若∠PCM=2∠OBC,过点C作CFIIx轴交PM于点F;若∠PMC=2∠OBC;若∠CPM=2∠OBC,过点P作PG平分∠CPM,则∠MPG=∠OBC,即可求解.
(1)
解:把点B(4,0)和点C(0,2)代入,得:
解得:
∴抛物线的解析式为
令y=0,.则
解得:
∴点A(-1,0);
(2)
解:存在,理由如下:
∵点A(-1,0) ,点C(0,2),点D是线段AO的中点,
∴点I
设点E(0,m),
∵△BDE是以BD为斜边的直角三角形,
整理得:
解得: m =3或-1,
∴点E的坐标为(0,3)或(0,-1) ;
(3)
解:∵点B(4,0),C(0,2),
.. OB=4,OC=2,
设直线BC的解析式为y= kx+b (k≠0),
把点B(4,0),C(0,2)代入得:
解得:
∴直线BC的解析式为
设点F 则M
若∠PCM=2∠OBC,过点C作CF∥x轴交PM于点F,如图甲所示,
∴∠FCM=∠OBC,即(
∴∠PCF=∠FCM,
∵PQ∥y轴,
∴CF⊥PQ.
∴PM=2FM,
解得:解得:a=2或0(舍去).
∴点P的横坐标为2;
若∠PMC=2∠OBC,
∴∠PMC=∠BMN.
∴∠BMN=2∠OBC,
.∠OBC+∠BMN=90°,
..∠OBC=30°,与( 相矛盾,不合题意,舍去;
若∠CPM=2∠OBC,如图乙所示,过点P作PG平分∠CPM,则∠MPG=∠OBC,
∵∠PMG=∠BMN,
∴△PMG-△BMN,
∴∠PGM=∠BNM=90°,
∴∠PGC=90°,
∵PG平分∠CPM,即∠MPG=∠CPG.
∴∠PCM=∠PMC,
. PC=PM.
解得: 或0(舍去) ,
∴点P的横坐标为
综上所述,点P的横坐标为2或
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合题,解直角三角形,相似三角形的判定和性质,熟练掌握二次函数的综合题,直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键.
5如图,在平面直角坐标系中,抛物线 c与z轴分别交于点A(-1,0)和点B ,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式及对称轴;
(2)如图1,点D与点C关于对称轴对称,点P在对称轴上,若 求点P的坐标;
(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点,点N在抛物线的对称轴上,当△BMN为等边三角形时,请直接写出点M的坐标.
【答案】 对称轴x=1;
(2) P(1,1)或(1,2);
(3)M的坐标为 或M
【解析】解:(1)把A(-1,0),点C(0,3)的坐标代入
得到 解得
∴抛物线的解析式为 对称轴:
(2)如下图1所示,连接BD,设BD的中点T,连接PT,设P(1,m).
点D与点C关于对称轴对称. C(0,3).
∴D(2,3),
∵B(3,0),
解得m=1或2,
∴P(1,1)或(1,2).
(3)当点M在第一象限时,△BMN是等边三角形,过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T,设N(1,t),作TJ⊥z轴于点J,设抛物线的对称轴交x轴于E .
∵△BMN是等边三角形,
∴∠NMB=∠NBM=60°,
:∠NBT=90°,
∴MB=MT=MN,
∵∠NBE+∠TBJ=90°,∠TBJ+∠BTJ=90°,
∴∠NBE=∠BTJ.
∴△BEN~△TJB,
∵NM=MT,
·点M在y=-z +2x+3上,
整理得,
解得t=-2 (舍弃)或
如下图3-2所示,当点M在第四象限时,设N(1,n),过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T.
同法可得
则有-
整理得
解得 或2 (舍弃) ,
综上所述,满足条件的点M的坐标为 或M
6如图,抛物线 的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,已知B(3,0).
(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式.
(2)P为抛物线上一点,若 ,请直接写出点P的坐标.
(3) Q为抛物线上一点,若∠ACQ=45°,求点Q的坐标.
【答案】( 1 )m=-1. w=x-3.
【解析】(1)将B(3,0)代入 化简得
则m=0(舍)或m=-1,
∴m=-1,得: 则C(0,-3).
设直线BC的函数表达式为y=kx+b,
将B(3,0)、C(0,-3)代入可得
解得k=1,b=-3,
所以直线BC的函数表达式为y=x-3.
(2)如图,过点A作AP ∥BC,设直线AP 交y轴于点G,将直线BC向下平移GC个单位,得到直线P P .
由(1)得直线BC的表达式为y=x-3,A(1,0)
∴直线AG的表达式为y=x-1,
联立 解得 g
∴P (2,1),
由直线AG的表达式可得G(-1,0),
∴GC=2,CH=2,
∴直线P P 的表达式为:y=x-5,
联立
解得
综上可得,符合题意的点P的坐标为:(2.1).
(3) 如图,取点Q使∠ACQ=45°,作直线CQ,过点A作AD⊥CQ于点D,过点D作DF⊥z轴于点F,过点C作CE⊥DF于点E,
则△ACD是等腰直角三角形,AD=CD,
∴△CDE≌△DAF(AAS),
∴AF=DE,CE=DF.
设DE=AF=a,则CE=DF=a+1,
由OC=3,则DF=3-a,
∴a+1=3-a,解得a=1.
∴D(2,-2),
又∵C(0,-3).
∴直线CD的表达式为
设Q 代入
整理得
又∵n≠0,则