专题二十五 二次函数相似三角形存在性问题（含解析）2025年中考数学几何模型专题讲练

二次函数相似三角形存在性问题
模型原理
1.要素分析
①相似三角形存在性问题的关键在于先找到一组等角，有时明显，有时隐蔽.
比较明显的如存在公共角、对顶角、双直角等；比较隐蔽的如需要通过计算说理或通过构造等角.
②若相似的三角形中有一个确定的三角形，可以先对其边、角作研究，定边求定长，定角求定比，然后再寻找目标三角形.
注：定边定长：确定的边，其长度确定，必可求；
定角定比：确定的角，其三角函数值确定，必可求.
2.相似处理
此处根据题目条件灵活选择：
①导边处理：以这两个相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程；
如图, 在△ABC和△DEF中, 若已确定∠A=∠D , 则要使△ABC与△DEF相似，需要分两种情形讨论 ：
或 再依次列方程求解.此法通用性更强，普适性更广，往往是首选.
②导角处理：使另两个内角分两类对应相等；
如图,在△ABC和△DEF中, 若已确定∠A=∠D, 则要使△ABC与△DEF相似, 需要分两种情形讨论:∠B=∠E, 或∠B=∠F, 再导角分析处理.
此法最后常转化为角的存在性问题.
真题精炼
1如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴交于点A ，与y轴交于点B ，抛物线 经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D作 轴于点C，交AB于点E.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)是否存在点D ，使 和 相似 若存在，请求出点D坐标，若不存在，请说明理由；
2抛物线 交x轴于A ,B两点(A在B的左边),交y轴于点C .
(1)直接写出A,B ,C三点的坐标.
(2) 如图(1) ,作直线 分别交x轴，线段BC，抛物线( 于D , E, F三点,连接CF .若 与 相似，求t的值.
3综合与探究如图，抛物线 上的点A , C坐标分别为(0,2) , (4,0) , 抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且( 连接AC, CM.
(1)求点M的坐标及抛物线的解析式 ；
(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP ，当 时，求点P的坐标；
(3)点D是线段BC(包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q ，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标；
4如图，已知抛物线 c经过A(0,3)和 两点，直线AB与x轴相交于点C ，
P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D .
求该抛物线的表达式;
若PE∥x轴交AB于点E ,求PD+PE的最大值;
(3)若以A,P , D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标.
5如图，抛物线 与x轴交于A ，B两点，且 与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线 D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作 于点E，与AC交于点F ，设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的表达式.
(2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标.
(3)抛物线上是否存在点D ，使得以点O ，D，E为顶点的三角形与 相似 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由 .
1如图，二次函数 3的图象与y轴交于点A ，过点A作z轴的平行线交抛物线于另一点B,抛物线过点C(1,0),且顶点为D,连接AC、BC、BD、CD.
(1) 填空:b= .
(2)点P是抛物线上一点,点P的横坐标大于1,直线PC交直线BD于点Q .若∠CQD =∠ACB，求点P的坐标.
【答案】(1)-4
(2) (3,0)或
【解析】(1)∵抛物线过点σ(1,0),
∴将C(1,0)代入 3得0=1+b+3,
解得b=-4,
故答案为：-4.
(2)由(1)可得抛物线解析式为
当x=0时,y=3,
∴A的坐标为(0,3),
当y=3时得3
解得x =0,z =4,
∴点B的坐标为(4,3),
∴顶点D的坐标为(2,-1),
设BD与z轴的交点为M,作CH⊥AB于H,DG⊥CM于G,
∴tan∠ACH=tan∠OAC=
根据勾股定理可得BC=3 ,CD= ,BD=2
∴∠ACH=∠CBM,
∵∠HCB=∠BCM=45°,
∴∠ACH+∠HCB=∠CBM+∠MCB.
即∠ACB=∠CMD.
①Q在CD上方时:
若∠CQD=∠ACB,则Q与M点重合,
3中,令y=0,解得:x=1或3,
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，
即此时P的坐标为(3，0)，
②Q在CD下方时:
过点Q作QK⊥z轴,过点O作CL⊥QM于点L,过点A作AN⊥BC于点N,
可得：
设ON=x,则
在△ABC中,
即 解得：
设直线BD的表达式为:y= mx+n,将B,D代入得:
解得：
∴直线BD的表达式为y=2m-5,
令y=0, 贝 即点
设点Q坐标为
∵∠ACB=∠CMD,∠ACB=∠CQD,
∴∠CMD=∠CQD,即
在△CQM中,
艮 解得：
设直线CQ表达式为：y=sx+t，将点C和点Q代入，
解得
则CQ表达式 联立：
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解得
即点P坐标为
综上：点P的坐标为(3，0)或
【标注】【知识点】二次函数与动点问题
2如图，二次函数 (m是常数，且m >0)的图象与z轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点O，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E ，与x轴交于点F,连接AC,BD.
(1)求A，B，C三点的坐标(用数字或含m的式子表示)，并求∠OBC的度数.
(2)若∠ACO=∠CBD,求m的值.
(3)若在第四象限内二次函数 (m是常数，且m>0)的图象上，始终存在一点P,使得∠ACP=75°,请结合函数的图象，直接写出m的取值范围.
【答案】(1) A(-1,0),B(2m+1,0),C(0,2m+1),45°
(2)m=1.
【解析】(1)当y=
解方程,得x =-1,z =2m+1,
∵点A在点B的左侧,且m>0,
∴A(-1,0),B(2m+1,0),
当x=0时,y=2m+1,
∴C(0,2m+1),
∴OB=OC=2m+1,
∵∠OBC=45°.
(2)如图1中,连接AE.
∴D(m,(m+1) ),F(m,0),
∴DF=(m+1) ,OF=m,BF=m+1,
∵A，B关于对称轴对称，
∴AE=BE.
∴∠AEC=90°,
∵∠ACO=∠OBD,∠OCB=∠OBC,
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC,即∠ACE=∠DBF,
∵EF∥OC.
∴m=1或-1,
∵m>0,
∴m=1.
(3)如图,设PC交x轴于点Q.
当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA>∠CBA，即
【标注】【知识点】二次函数与角度问题
3如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+6的图象与x轴交于点A ，与y轴交于点B，抛物线 c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D作DC⊥z轴于点C，交AB于点E.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)是否存在点D，使得△BDE和△AOB相似 若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
【答案】 (2)点D的坐标为(1,6)或
【解析】【分析】
(1)先求出A、B的坐标，然后代入 求出b、c的值即可；
(2)由对顶角的性质性质知∠AEC=∠DEB,若存在△BDE和△ACE相似,则有△ACE∽△BDE和△ACE∽△DBE两种情况，然后分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可；
【详解】
(1)解:令y=0,则-2x+6=0,则x=3;令z=0,则y=6∴A(3,0),B(0,6)把A(3,0),B(0,6)代入y=-x + bx+c,得： 解得： 这条抛物线所对应的函数表达式为： :
(2)解:存在点D,使得△BDE和△ACE相似. 设点 则E(t,-2t+6).C(t,0),H(t,6)∴EC=-2t+6,AC=3-t,BH=t,DH=-t +t,DE=-t +3t∵△BDE和△ACE相似,∠BED=∠AEC∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE①如图1,当△ACE∽△BDE时,∠BDE=∠ACE=90°
∴BD∥AC∴D点纵坐标为6∴-t +t+6=6,解得:t=0或t=1∴D(1,6)②如图2,当△ACB∽△DBE时,∠BDE=∠CAE
过B作BH⊥DC于H. 解得:t=0(舍去)或( 综上所述，点D的坐标为(1，6)或
4抛物线 交x轴于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C.
(1)直接写出A，B，C三点的坐标.
(2)如图(1) ,作直线x=t(0【答案】(1) A(-2,0), B(4,0), C(0,-8).
(2)t的值为2或
【解析】(1)∵.抛物线解析式为
∴当y=0时, ,当x=0时,y=-8,
解得:x =-2,x =4,
∴A(-2,0),B(4,0),C(0,-8).
(2)∵F是直线x=t与抛物线C 的交点,
∴F(t t -2t-8).
①如图,若△BE D ∽△CE F ,
∴∠BCF =∠CBO.
∴OF //OB
∵O(0,-8),
∴t -2t-8=-8.
解得,t=0(舍去)或t=2.
②如图，若 时,过F 作F T⊥g轴于点T.
∴△BCO∽△CF T,
∵B(4,0),C(0,-8),
∴OB=4,OC=8,
∵F T=t,CT=-8-(t -2t-8)=2t-t .
解得,t=0'(舍去)或d
综上，t的值为2或
5综合与探究如图，抛物线 上的点A ,C坐标分别为(0,2),(4,0),抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM=2，连接AC，CM.
(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当 时，求点P的坐标；
(3)点D是线段BC(包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q ，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标；
【答案】
【解析】(1)解:∵点M在g轴负半轴且OM =2,
∴M(0,-2)将A(0,2),C(4,0)代入y=-x + bx+c,
得
解
∴抛物线的解析式为
(2)解:过点P作PF⊥x轴于点F,交线段AC于点E,
设直线AC的解析式为y= kx+m(k≠0),
将A(0,2),C(4,0)代入y= kz+m,
得
解得
∴直线AC的解析式为： 设点P的横坐标为p(0∵S△ACM=8,
解得
∴P(2,5)
补充求解过程如下：
∵在△COM中,
以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，
∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，
又∵QD⊥x轴,直线QD交直线CM于点N,
∴∠CNQ≠90°,即点N不与点O是对应点.
故分为∠CQN =90°和∠QCN=90°两种情况讨论:
①当 时,由于QN⊥x轴,
∴CQ⊥y轴,即CQ在x轴上,
又∵点Q在抛物线上，
∴此时点B与点Q重合，作出图形如下：
此时∠CQN=∠OOM=90°,
又∵∠QCN=∠OCM
∴△CQN∽△COM,即此时符合题意.
令
解得 (舍去)
∴点Q的坐标，也即点B的坐标是
②当∠QCN=90°时,作图如下:
:QD⊥z轴,∠COM=90°
∴QD//OM,
∴∠ONQ=∠OMC,
∵∠ONQ=∠OMC,∠QCN=∠COM=90°,
∴△QCN∽△COM,即此时符合题意,
∵△QCN∽△COM,
∴∠CQN=∠OCM,即∠DQC=∠OCM
∵∠DQC=∠OCM,∠QDC=∠OOM,
∴△QDC∽△OOM
设点Q的横坐标为q，
则(
解得 (舍去) ,
∴点Q的坐标是
综上所述：点Q的坐标是Q：
【标注】【知识点】二次函数
5如图，已知抛物线 经过A(0,3)和 两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若PE∥x轴交AB于点E,求PD+PB的最大值;
(3)若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标.
【答案】
(2)最大值为
(3)P(2,3),D(2,0)或
【分析】
(1)直接利用待定系数法，即可求出解析式；
(2)先求出点C的坐标为(2,0),然后证明Rt△DPE∽Rt△AOC,设点P的坐标为 其中m>0，则点D的坐标为 分别表示出PD和PE，再由二次函数的最值性质，求出答案；
(3)通过题意,可分为两种情况进行分析:当△AOC-△APD时;当△AOC-△DAP时;分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案.
(1)
解得:b=2,c=3,
∴抛物线的表达式为
(2)
解:∵
·直线AB表达式为
：直线AB与x轴交于点C，
∴点C的坐标为(2,0),
∵PD⊥x轴,PE∥z轴.
∴Rt△DPE∽Rt△AOC,
则
设点P的坐标为 其中m>0,
则点D的坐标为
∴当 时，PD+PE有最大值，且最大值为24548.
(3)解：通过题意，
在一次函数 中,令y=0,则x=2,
∴点C的坐标为(2,0);
当△AOC-△APD时,如图
此时点D与点C重合，
∴点D的坐标为(2,0);
∵PD⊥x轴,
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为
∴点P的坐标为(2,3);
当△AOC-△DAP时,如下图所示,则AP⊥AB,
设点 则点P为
·AP⊥AB.
点D的坐标为 点P的坐标为(
.满足条件的点P,点D的坐标为P(2,3),D(2,0)或1
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想进行分析.