2.1.2 瞬时变化率 课件（18张PPT）

2.1.2 瞬时变化率
第二章 导数及其应用
1.理解函数瞬时变化率的概念.
2.掌握函数瞬时变化率的求法．
问题1：高台跳水运动员的速度.在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度?(单位：?)与起跳后的时间????(单位：????)存在函数关系?(????)＝－4.9????2＋4.8????＋11．计算运动员在0≤????≤4849这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
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在????1≤????≤????2这段时间里，????=?(????2)??(????1)????2?????1=?4.9(????1+????2)+4.8.
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∴在0≤????≤4849这段时间里，????=?4.9(0+4849)+4.8=0.
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显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是????, 可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么????将越来越趋近于运动员在????0 时刻的瞬时速度.
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探究 瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在t=1 s时的瞬时速度吗?
为了求运动员在t=1时刻的瞬时速度，我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+?t， ?t是非零时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为零.
当?t >0时， 1+?t在1之后，把运动员在时间段[1, 1十?t]内近似看成匀速直线运动，计算时间段[1, 1+?t]内的平均速度v，用v近似表示运动员在t=1时的瞬时速度；
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当?t <0时，1+?t在1之前，在时间段[1+?t, 1]可作类似处理. 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格：
当△????=–?0.01时,
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当△????=?0.01时,
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当△????=–?0.001时,
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当△????=0.001时,
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当△????=?–0.0001时,
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当△????=0.0001时,
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△?????=–?0.00001,
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△????=?0.00001,
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△????=?–?0.000001,
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△????=0.000001,
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……
……
????????=?????.????????????+????.????????+????????
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????=?4.951
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????=?4.9951
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????=?4.99951
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????=?4.999951
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????=?4.9999951
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????=?5.049
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????=?5.0049
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????=?5.00049
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????=?5.000049
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????=?5.0000049
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我们发现，当?????无限趋近于0时，即无论????从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度????都无限趋近于?5.
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事实上，由????=?(1+?????)??(1)(1+?????)?1=?4.9??????5可以发现，当?????无限趋于0时，?4.9?????也无限趋近于0，所以????无限趋近于?5.这与前面得到的结论一致.
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从物理的角度看，当时间间隔|?????|无限趋近于0时，平均速度????就无限趋近于????=1时的瞬时速度.因此，运动员在????=1????时的瞬时速度????(1)=?5????/????.
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对于一般的函数????＝????????，在自变量x从????0变到????1的过程中，若设Δ????＝????1?????0，
Δ????＝????????1?????????0，则该函数的平均变化率为Δ????Δ????=????????1?????????0????1?????0=????????0+Δ?????????????0Δ????，
如果当Δ????趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是????????在点????0的瞬时变化率.瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢．
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概念讲解
思考：如果某物体在某时间段内的平均速度为0，能否判定该物体在此时间段内的瞬时速度都为0?
不能
【例1】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
变式1：某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，试求物体的初速度.
解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，
即物体的初速度为1 m/s.
解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
变式2：某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t).
（3）求Δt趋于0时， 的值.
（2）求平均速度
方法归纳
【例2】估算函数y=x-1????在x=1处的瞬时变化率.
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估算一个函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的步骤:
方法归纳
根据今天所学，回答下列问题：
1.如何求物体运动的瞬时速度？
2.如何求函数的瞬时变化率？
1.某运动物体的位移s(单位:米)关于时间t(单位:秒)的函数关系式为s=2t+1，则该物体在t=1秒时的瞬时速度为(　　)
A.1米/秒 B.2米/秒
C.3米/秒 D.4米/秒
2.已知物体运动的速度与时间之间的关系是v(t)=t2+2t+2，则在时间间隔[1，1+Δt]内的平均加速度是　　　　　，在t=1时的瞬时加速度是　　　　　.?
B
4+Δt
4
3.一质点运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t＝1 s时的瞬时速度估计是____ m/s.
4.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(　　 )
A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28
B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C.该物体位移的最大值为43
D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70
2
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