2.2.1 导数的概念 课件（15张PPT）

2.2.1 导数的概念
第二章 导数及其应用
1.了解导数的概念，会求函数在某点处的导数；
2.理解导数在实际问题中的意义．
问题：一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：m，时间单位：s).
(1)质点在前3 s内的平均速度是多少？在3 s时的瞬时速度是多少？
8 m/s，14 m/s.
(2)对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x0＋Δx时，y关于x的平均变化率是多少？
当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？
1.设函数y=f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为
知识讲解
2.当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的导数，通常用符号f'(x0)表示，记作
平均变化率的极限
注意：
(1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在;
(2)导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关，与Δx无关.
【例1】已知函数????????=?????2，求????????在????=3处的导数????′3.
?
解：当自变量在????=3处的改变量为?????时，平均变化率
?????????? =????3+??????????(3)????? =?(3+?????)2?(?32)????? =?6??????.
可以看出，当?????无限接近于0时，??????????无限接近于-6，
因此????′3 =lim?????→0????3+??????????(3)?????=lim?????→0?6??????=?6.
?
方法归纳
求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差、二比、三极限.
【例2】已知f(x)＝2????，且f′(m)＝－12，则m的值等于 .
?
±2
?
思考：设y=f(x),当Δx趋于0时,就下面问题，说明式子 的意义.
(1)若y=f(x)表示的是物体运动的位移y(单位:m)与时间x(单位:s)之间的关系.
(2)若y=f(x)表示一台机器生产的啤酒量y(单位:L)与工作时间x(单位:h)之间的关系.
(1)运动物体在x0时刻的瞬时速度.
(2)这台机器从启动算起，工作x0h时的生产速度(即工作效率).
c'(100)= -0. 6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为 0. 6 μg/(mL ·min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液中药物的质量浓度将下降 0. 6 μg/mL.
【例3】服药后，人体血液中药物的质量浓度c(单位:μg/mL)是时间t(单位:min)的函数 c=c(t).假设函数 c=c(t)在t=10和t=100处的导数分别为c'(10) = l.5和c'(100) = -0.6,试解释它们的实际意义.
解：c'(10) = l.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液中药物的质量浓度将上升 1. 5 μg/mL.
根据今天所学，回答下列问题：
1.导数的概念和数学符号？
2.导数在实际问题中的意义？
1.f(x)＝x2在x＝1处的导数为( )
A.2x B.2 C.2＋Δx D.1
B
D
A.f'(x0) B.f'(-x0)
C.-f'(x0) D.-f'(-x0)
C
4.设x(单位：km)表示从一条河流的某一处到其源头的距离，y(单位：km)表示这一点的海拔高度，y与x的函数关系式为y=f(x).若函数y=f(x)在x=100处的导数 f'(100) =-0.1，试解释它的实际意义.
解：f'(100) =-0.1表示河流从源头流到100km时，海拔高度瞬间下降0.1km，如果保持这一速度，每经过1km,该河流的海拔高度下降 0. 1km.