2.4.2 导数的乘法与除法法则 课件（17张PPT ）

2.4.2 导数的乘法与除法法则
第二章 导数及其应用
1.理解并掌握导数的乘法法则与除法法则.
2.能利用导数公式和乘法法则与除法法则求函数的导数.
我们前面学习了导数的加法与减法法则，如果给出两个函数并已知它们的导数，如何求它们的积、商的导数呢？与加法、减法法则类似吗？
问题：以????????=????2，????????=????为例，计算[????????????(????)]′与????′????????′(????)，看看
是否相等？
?
????????????????′=????3′=3????2，????′????????′????=2?????1=2????，
?
所以[????????????(????)]′≠????′????????′(????).
?
追问：再验算????????=????2与????????=????商的导数是否等于它们导数的商？
?
????????????????′=????2????′=????′=1，????′(????)????′(????)=2????1=2????.
所以????????????????′≠????′(????)????′(????).
?
设 f (x) ，g (x) 均为可导函数，y ＝ f (x)· g (x) 则
所以
所以
即
????????????????′=????′(????)????????+????????????′(????)
?
所以

同理可证，设 f (x)，g (x) 均为可导函数，y＝????????????????
?
则
归纳总结
函数积、商的求导运算法则
由函数乘积的导数法则可以得出 ????????????′=????′????????+????????′????=????????′????.
?
????????????????′=????′(????)????????+????????????′(????)；
????????????????′=????′?????????????????????????′????????????2????????≠0.
?
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即????????????′=????????′????.
?
对于两个函数????????，????(????)的乘积（或商）的导数，我们有如下法则：
?
【例1】求下列导数.
(3)y'=[(x+1)(x+3)]'(x+5)+(x+1)(x+3)(x+5)'
=[(x+1)'(x+3)+(x+1)(x+3)'](x+5)+(x+1)(x+3)
=(2x+4)(x+5)+(x+1)(x+3)
=3x2+18x+23.
(1)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数公式中是“+”，而商的导数公式中分子上是“-”.
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导.
归纳总结
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
【例4】已知函数?????(????)=????2+????????????????
(1)求函数的导数????′????；
(2)求函数的图象在????=1处的切线方程.
?
(1)????′(????)=(????2)′+(????ln????)′=2????+1×ln????+?????1????=2????+ln????+1．
?
解:
(2)由题意可知切点的横坐标为1，
所以切线的斜率是????=????′(1)=2×1+????????1+1=3，
切点纵坐标为????(1)=1+1×????????1=1，
故切点的坐标是(1,1)，
所以切线方程为?????1=3(?????1)，即3??????????2=0．
?
导数的四则运算法则
和、差：______________________________；
积：__________________________________，特殊：????????????′=________；
?
商：__________________________________； 1????????′=________________.
?
????????±????????′=????????′ ±?????????′
?
????????????????′=????′????????????+????(????)????′????
?
????????????????′=????′?????????????????(????)????′????????2(????)
?
????????′????
?
?????′????????2(????)
?
1.设函数y＝－2exsin x，则y′等于( )
A.－2excos x B.－2exsin x
C.2exsin x D.－2ex(sin x＋cos x)
B
2.已知函数f(x)=exlnx，f'(x)为f(x)的导函数，则f'(1)的值为　 　.
e
3.(多选题)下列求导运算正确的是(　　)
B.(sin x+cos x)'=cos x-sin x
BC
A.y=2x+1 B.y=2x-1
C.y=-2x-3 D.y=-2x+2
A