2.6.3 函数的最值 课件（20张PPT）

2.6.3 函数的最值
第二章 导数及其应用
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质. 也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x= x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值. 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小. 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值.
函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如何？
理解极值与最值的区别和联系；
掌握求函数最值的方法．
问题1 下图是函数y=f(x)， x∈[a， b]的图象，你能找出它的极小(大)值吗?
追问 你能进一步找出函数在区间[a， b]上的最小(大)值吗？你是如何确定的？
x
y
O
a
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
极大值：
f(x2)， f(x4)， f(x6)
极小值：
f(x1)， f(x3)， f(x5)
最大值：f(a) 最小值：f(x3)
问题2 观察[a，b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
x
y
O
a
b
x
y
O
a
b
x1
x2
x3
x4
x5
最大值：f(b); 最小值：f(a)
最大值：f(x3); 最小值：f(x4)
问题3 以上函数既有最大值，又有最小值，是不是所有的函数都有最大（小）值？
不是
x
y
O
a
b
x
y
O
a
b
x1
x2
x3
x4
x5
最大值：f(b); 最小值：f(a)
最大值：f(x3); 最小值：f(x4)
O
x
y
a
b
y=f(x)
y=f(x)
O
x
y
a
b
O
x
y
a
b
y=f(x)
O
x
y
a
b
y=f(x)
在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值
在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值
说一说： 什么样的函数一定会有最大值和最小值呢？
归纳总结
对函数最值的理解：
(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意x∈I，总有f(x)≤f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值；如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意x∈I，总有f(x)≥f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域内的最小值．
【注意】(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；
(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件．
【例1】求下列函数在相应区间上的最值:
(1)f(x)=x3-3x2-10，x∈[-1，1]；
(2)f(x)=2sin x-x，x∈[-π2，π2].
?
解：(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0(x=2舍去).
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
x
-1
(-1，0)
0
(0，1)
1
f'(x)
?
+
0
-
?
f(x)
-14
↗
极大值-10
↘
-12
所以当x=-1时，函数取最小值f(-1)=-14，当x=0时，函数取最大值f(0)=-10.
(2)f(x)=2sin x-x，x∈[-π2，π2].
?
(2)f'(x)=2cos x-1，令f'(x)=0，得x1=π3，x2=-π3.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
?
由上表知，x=π3为极大值点，x=-π3为极小值点，
f(π3)=3?π3，f(-π3)=?3+π3，f(π2)=?2+π2，f(-π2)=2?π2，
通过比较，f(x)max=3?π3，f(x)min=?3+π3.
?
求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的方法
1.求函数f(x)的导函数f'(x);
2.解方程f'(x)=0，求出使得f'(x)=0的所有点;
3.计算函数f(x)在区间[a，b]内使得f'(x)=0的所有点以及端点的函数值;
4.比较以上各个函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值.
方法归纳
【例2】求下列函数的最值:
(1)f(x)=?????1????2+3；(2)f(x)=(x2-3)ex.
?
解：(1)f'(x)=?(?????1)(?????3)(????2+3)2，令f'(x)=0，得x=-1或x=3，
容易验证函数在x=-1处取得极小值，在x=3处取得极大值，
又因为当x=1时y=0，当x<1时y<0，当x>1时y>0.
据此可以画出函数的大致图象，如图所示.
由图象知，f(x)max=f(3)=3?132+3=16，f(x)min=f(-1)=?1?1(?1)2+3=-12.
?
(2)f(x)=(x2-3)ex.
(2)函数的定义域是R，且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3)，
令f'(x)>0，得x>1或x<-3；令f'(x)<0，得-3 所以函数f(x)在(-∞，-3)和(1，+∞)内单调递增，在(-3，1)内单调递减，
因此函数f(x)在x=-3处取得极大值，极大值等于f(-3)=6e-3;
在x=1处取得极小值，极小值等于f(1)=-2e.
又由f(x)＞0得x＞3或x＜-3；
由f(x)＜0得-3＜x＜3，
所以函数的大致图象如图所示.
从函数图象可得f(x)min=f(1)=-2e，而函数无最大值.
?
求函数在开区间或无穷区间上最值的方法
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
方法归纳
【例3】已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，x∈[-1，2]的最大值为3，最小值为-29，求a，b的值.
解：由题设知a≠0，否则f(x)=b为常函数，与题设矛盾.
求导得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)，
令f'(x)=0，得x1=0，x2=4(舍去).
①当a>0，且当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
x
-1
(-1，0)
0
(0，2)
2
f'(x)
?
+
0
-
?
f(x)
-7a+b
↗
b
↘
-16a+b
由表可知，当x=0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[-1，2]上的最大值，
∴f(0)=b=3.
又f(-1)=-7a+3，f(2)=-16a+3 ∴f(2)=-16a+3=-29，解得a=2.
②当a<0时，同理可得当x=0时，f(x)取得函数在[-1，2]上的最小值，
∴f(0)=b=-29.
又f(-1)=-7a-29，f(2)=-16a-29>f(-1)，
∴f(2)=-16a-29=3，解得a=-2.
综上可得a=2，b=3或a=-2，b=-29.
(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值；
(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值；
(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决.
已知函数最值求参数的步骤：
方法归纳
回顾：结合本课内容，回答下列问题？
1. 函数的极值与最值有什么关系？
2. 如何求一个函数的最值？
1.如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则(　　)
A.函数f(x)没有最大值也没有最小值
B.函数f(x)有最大值，没有最小值
C.函数f(x)没有最大值，有最小值
D.函数f(x)有最大值，也有最小值
C
2.函数f (x)=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是(　 　)
A.5，-15 B.5，-4 C.-4，-15 D.5，-16
3.设函数f (x)＝x3－????22－2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f (x)＞m，则实数
m的取值范围是____________．
?
A
?∞，72