6.5.1.2 直线与平面垂直的判定 课件（12张PPT）

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第六章 立体几何初步
6.5.1.2 直线与平面垂直的判定
1.理解并掌握直线与平面垂直的性质定理，并能利用定理解决相关的问题.
问题1：过纸片△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？
知识点：直线与平面垂直的判定
当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直．
即直线AD与平面α内的两条相交直线BC，AD都垂直.
问题2：为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就和这个平面垂直？
由基本事实的推论2，两条相交直线可以确定一个平面；
当一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就垂直于这个平面．
问题3：如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直时，这条直线一定和这个平面垂直？
不一定，当平面内的两条直线平行时，这条直线和这个平面相交，但不一定垂直，如图.
直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
归纳总结
符号语言：a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A l⊥α．
思考交流：（1）若三条共点的直线两两垂直，那么其中的任意一条直线与另外两条直线确定的平面是什么关系？
（2）过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直？
（1）垂直关系，理由如下：
设a，b，c三条直线相交于点O，则a与b确定一个平面α，又c⊥a，c⊥b，则c⊥α.
（2）一条.
例1 证明：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
已知：如图，l1∥l2，l1⊥α.求证：l2⊥α.
证：要证明l2⊥α，只需证明l2与平面α内两条相交直线垂直.
如图，在平面α内作两条相交直线a，b.
∵l1⊥α，∴l1⊥a，l1⊥b.
又∵l1∥l2，∴l2⊥a，l2⊥b.
又∵a α，b α，a，b是两条相交直线，∴l2⊥α.
a
b
例2 如图，长杆l与地面α相交于点O，在杆子上距地面2m的点P处挂一根长2.5m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的点A或点B(A，B，O三点不在同一条直线上).如果A，B两点和点O的距离都是1.5m，那么长杆l和地面是否垂直？为什么？
解：在△POA和△POB中，
∵PO＝2m，AO＝BO＝1.5m，PA＝PB＝2.5m，
∴PO2＋AO2＝22＋1.52＝2.52＝PA2，PO2＋BO2＝PB2.
根据勾股定理的逆定理得PO⊥AO，PO⊥BO.
又A，B，O三点不共线，因此PO⊥平面α，即长杆与地面垂直.
归纳总结
利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤：
（1）在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；
（2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
（3）根据判定定理得出结论.
练一练
1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是( )
A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定
2.直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( )
A.平行 B.垂直 C.在平面α内 D.无法确定
B
D
根据今天所学，回答下列问题：
（1）直线与平面垂直的判定定理的具体内容是什么？
（2）说一说利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤.